資源簡介

初中數(shù)學(xué)文化講學(xué)（拓展開放型題）
數(shù)學(xué)文化講堂(一)
一 中國人最先使用負(fù)數(shù)
我國很早就開始使用負(fù)數(shù)，著名的中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》在世界數(shù)學(xué)史上首次正式引入負(fù)數(shù)及其加減法運算法則，并給出名為“正負(fù)術(shù)”的算法．
材料一　《九章算術(shù)》中用不同顏色的算籌(小棍形狀的記數(shù)工具)分別表示正數(shù)和負(fù)數(shù)(白色為正，黑色為負(fù)，如圖表示的是＋23－54＝－31的計算過程)．
　　　　　　
1. 閱讀材料，下圖表示的過程是在計算________；

第1題圖
材料二　“正負(fù)術(shù)”是正負(fù)數(shù)加減法則，其中有一段話是“同名相除，異名相益，正無入負(fù)之，負(fù)無入正之．”意思是：“同名相除”即同號兩數(shù)相減時，括號前為被減數(shù)的符號，括號內(nèi)為被減數(shù)的絕對值減去減數(shù)的絕對值．例如(＋5)－(＋3)＝＋(5－3)．“異名相益”，即異號兩數(shù)相減時，括號前為被減數(shù)的符號，括號內(nèi)為被減數(shù)的絕對值加減數(shù)的絕對值．例如(＋5)－(－3)＝＋(5＋3)．(華師七上P42)
2. 根據(jù)材料中“正負(fù)術(shù)”的運算法則，將下列計算過程補(bǔ)充完成整：
(－5)－(－3)＝________．(－5)－(＋3)＝________．
二 楊輝三角
楊輝三角，又稱賈憲三角形、帕斯卡三角形，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年)一書中用如圖所示的三角形解釋二項式的乘方規(guī)律．
　　　　　　　　　　(人教八上P113，北師七下P24)
3. 楊輝三角兩腰上的數(shù)都是1，其余每個數(shù)為它的上方(左右)兩數(shù)之和．事實上，這個三角形給出了(a＋b)n(n＝0，1，2，3，4，5，6…)的展開式(按a的次數(shù)由大到小的順序)的系數(shù)規(guī)律．如圖：
(1)根據(jù)前面各式規(guī)律，則(a＋b)5＝________________________；
(2)根據(jù)前面各式規(guī)律，(a＋b)10展開式中，所有系數(shù)的和為________；
(3)利用上面的規(guī)律計算：25－5×24＋10×23－10×22＋5×21－15＝________．

第3題圖 第4題圖
4．將楊輝三角中的每一個數(shù)換成分?jǐn)?shù)，得到一個如圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形，則第9行第2個數(shù)是________．
三 斐波那契數(shù)列
斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、….美國數(shù)學(xué)會從1963年起出版了以《斐波那契數(shù)列季刊》為名的一份數(shù)學(xué)雜志，用于專門刊載這方面的研究成果．
5. 數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…的排列規(guī)律是：前兩個數(shù)是1，從第三個數(shù)開始，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)的和，這個數(shù)列叫斐波那契數(shù)列，在斐波那契數(shù)列的前2018個數(shù)中，共有________個偶數(shù)．
6．(2017溫州改編)我們把1，1，2，3，5，8，13，21，…這組數(shù)稱為斐波那契數(shù)列．為了進(jìn)一步研究，依次以這列數(shù)為半徑作90°圓弧，，，…，得到斐波那契螺旋線，然后順次連接P1P2，P2P3，P3P4，…，得到螺旋折線(如圖)，已知點P1(0，1)，P2(－1，0)，P3(0，－1)，則該折線上點P9的坐標(biāo)為________．

第6題圖
材料三　斐波那契在《算盤書》中提出了一個有趣的兔子問題：
一般而言，兔子在出生兩個月后，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來．我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下：
第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對；
兩個月后，生下一對小兔子，總數(shù)共有兩對；
三個月以后，老兔子又生下一對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對；
…
7. 根據(jù)材料內(nèi)容依次類推，如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少對兔子？





材料四　人們在研究斐波那契數(shù)列的過程中，發(fā)現(xiàn)了許多意想不到的結(jié)果．在實際生活中，很多花朵(如梅花、飛燕草、萬壽菊等)的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)．斐波那契數(shù)列還有很多有趣的性質(zhì)，在實際生活中也有廣泛的應(yīng)用．斐波那契數(shù)列中的第n個數(shù)可以用[()n－()n]表示(其中，n≥1)．這是用無理數(shù)表示有理數(shù)的一個范例．
8. 請根據(jù)以上材料，通過計算求出斐波那契數(shù)列中的第1個數(shù)和第2個數(shù)．


數(shù)學(xué)文化講堂(二)
一《九章算術(shù)》—方程
《九章算術(shù)》大約于東漢初年(公元一世紀(jì))成書，共九章，匯總了戰(zhàn)國和西漢時期的數(shù)學(xué)成果，是幾代人共同勞動的結(jié)晶．書中收集了246個與生產(chǎn)、生活實踐有聯(lián)系的應(yīng)用問題，它的出現(xiàn)標(biāo)志中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系．
《九章算術(shù)》中記載了下列有代表性的應(yīng)用問題：
1. “今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今鳧雁俱起，問何日相逢？”(鳧：野鴨)設(shè)野鴨與大雁從南海和北海同時起飛，經(jīng)過x天相遇，可列方程為(　　)
A. (9－7)x＝1 B. (9＋7)x＝1 C. (－)x＝1 D. (＋)x＝1
2．“今有客馬日行三百里，客去忘持衣，日已三分之一，主人乃覺．持衣追及與之而還，至家，視日四分之三．問主人馬不休，日行幾何？”(注：在我國古代白天的開始是卯初(即現(xiàn)今5時整)，白天的終了是酉初(即現(xiàn)今17時整)，因此從卯初至酉初12小時為1日)題中講到的主人馬速日行多少里(　　)
A. 540里 B. 720里 C. 780里 D. 960里
3. “今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩．問：牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設(shè)有5頭牛、2只羊，值金10兩；2頭牛、5只羊，值金8兩．問：每頭牛、每只羊各值金多少兩？”設(shè)每頭牛值金x兩，每只羊值金y兩，可列方程組為________________．

二《孫子算經(jīng)》
《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作．成書大約在四、五世紀(jì)，也就是大約一千五百年前．傳本的《孫子算經(jīng)》共三卷，上卷敘述算籌記數(shù)的縱橫相間制度和籌算乘除法，中卷舉例說明籌算分?jǐn)?shù)算法和籌算開平方法．下卷第31題，可謂是后世“雞兔同籠”題的始祖，后來傳到日本，變成“鶴龜算”．
4．該書中記載了一道題，大意是：100匹馬恰好拉了100片瓦，已知1匹大馬能拉3片瓦，3匹小馬能拉1片瓦，問有多少匹大馬、多少匹小馬？若設(shè)大馬有x匹，小馬有y匹，那么可列方程組為(　　)
A. B. C. D.
5．該書有一段文字的大意是：甲、乙兩人各有若干錢．如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢48文．如果乙得到甲所有錢的，那么乙也共有錢48文．甲、乙兩人原來各有多少錢？
設(shè)甲原有x文錢，乙原有y文錢，可列方程組是________________．
6．書中記載：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這四句話的意思是：有若干只雞兔關(guān)在一個籠子里，從上面數(shù)，有35個頭，從下面數(shù)，有94條腿，問籠中各有幾只雞和兔？

三《算法統(tǒng)宗》
《算法統(tǒng)宗》全稱《新編直指算法統(tǒng)宗》，程大位著，是一部應(yīng)用數(shù)學(xué)書，是以珠算為主要的計算工具，列有595個應(yīng)用題的數(shù)字計算，用珠算演算．該書確立了算盤用法，完成了由籌算到珠算的徹底轉(zhuǎn)變．
《算法統(tǒng)宗》中記載了下列應(yīng)用問題：
7. “遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈(　　)
A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞
8. “一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾丁？”意思是：有100個和尚分100個饅頭，正好分完；如果大和尚一人分3個，小和尚3人分一個，試問大、小和尚各幾人？設(shè)大、小和尚各有x、y人，則可列方程組____________________．
9．“我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”詩中后兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么有7人無房可住，如果每一間客房住9人，那么就空出一間房．
(1)求該店有客房多少間？房客多少人？
(2)假設(shè)店主李三公將客房進(jìn)行改造后，房間數(shù)大大增加．每間客房收費20錢，且每間客房最多入住4人，一次性訂客房18間以上(含18間)，房費按8折優(yōu)惠．若詩中“眾客”再次一起入住，他們?nèi)绾斡喎扛纤悖?br/>
四 一元二次方程的圖解法
古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖在公元250年前在《算術(shù)》中就提出一元二次方程的問題，不過當(dāng)時人們還沒有找到一元二次方程的求根公式，只能用圖解法求解，在歐幾里得的《幾何原本》中，就給出了形如x2＋ax＝b2的方程的圖解法是：

如圖，以和b為兩直角邊作Rt△ABC，再在斜邊上截取BD＝，則AD的長就是所求方程的解，顯然，用這個方法只能求出其中的一個正根．
10. 請利用你所學(xué)的知識，說明該圖解法的正確性．






11. 結(jié)合上述材料，方程x2－5x＋6＝0可以用圖解法求解嗎？若能，寫出求解過程，若不能，請說明理由．




數(shù)學(xué)文化講堂(三)
一 漏壺
漏壺也叫漏刻，古代利用滴水、沙多少來計量時間的一種儀器，按流媒分可分水漏和沙漏．其中水漏是以壺盛水，利用水均衡滴漏原理，觀測壺中刻箭上顯示的數(shù)據(jù)來計算時間．歷史可追溯到夏、商時期．北師八上P81
1. 如圖是一種古代計時器“漏壺”的示意圖，在壺內(nèi)盛有一定量的水，水從壺下的小孔漏出，壺壁上畫有刻度，人們可以根據(jù)壺中水面的位置計算時間．若用x表示時間，y表示壺底到水面的高度，下面的圖象適合表示一小段時間內(nèi)y與x的函數(shù)關(guān)系的是(不考慮水量變化對壓力的影響)(　　)

二 帕普斯與三等分角
帕普斯，古希臘數(shù)學(xué)家，3－4世紀(jì)人，也譯巴普士．他是亞歷山大學(xué)派的最后一位偉大的幾何學(xué)家．三等分角是古希臘三大幾何問題之一，如今數(shù)學(xué)上已證實三等分角雖然不能在尺規(guī)作圖中解決此問題，但是帕普斯卻利用反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決了此問題．
2. 帕普斯給出的一種方法是：如圖，將給定的銳角∠AOB置于平面直角坐標(biāo)系中，角的一邊OA與y＝的圖象交于點P，以P為圓心、以2OP為半徑作弧交y＝的圖象于點R.分別過點P和R作x軸和y軸的平行線，兩線相交于點M，Q，連接OM.
(1)為什么矩形PQRM的頂點Q在直線OM上？
(2)你能說明∠MOB＝∠AOB的理由嗎？
(3)當(dāng)給定的已知角是鈍角或直角時，怎么辦？

第2題圖

數(shù)學(xué)文化講堂(四)
一 海倫——秦九韶公式
古希臘的幾何學(xué)家海倫，約公元50年，在數(shù)學(xué)史上以解決幾何測量問題而聞名．在他的著作《度量》一書中，給出了如下公式：若一個三角形的三邊分別為a，b，c，記p＝(a＋b＋c)，那么三角形的面積為：S△ABC＝(海倫公式)．我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶(約1202～約1261)，曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式：S△ABC＝.海倫公式和秦九韶公式實質(zhì)上是同一個公式，所以我們一般也稱此公式為海倫——秦九韶公式．(人教八下P16，北師八上P51)
1. 若△ABC的三邊長為5，6，7，△DEF的三邊長為，，，請利用上面的兩個公式分別求出△ABC和△DEF的面積．



2. 如圖，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9，求△ABC的內(nèi)切圓半徑．

第2題圖
二 趙爽弦圖
趙爽，三國吳人，是三國到南宋時期三百多年間中國杰出的數(shù)學(xué)家之一．他在注解《周髀算經(jīng)》中給出的“趙爽弦圖”證明了勾股定理的準(zhǔn)確性，如圖所示，四個全等的直角三角形可以圍成一個大的正方形，中間空的是一個小正方形．通過對這個圖形的切割、拼接、巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理．證明方法如下：
設(shè)直角三角形的三邊中較短的直角邊為a，另一直角邊為b，斜邊為c，朱實面積＝2ab，黃實面積＝(b－a)2＝b2－2ab＋a2，朱實面積＋黃實面積＝a2＋b2＝大正方形面積＝c2.(人教八下P30，北師八下P16)

3. 如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形構(gòu)成的大正方形，若直角三角形的兩邊長分別為3和5，則小正方形的面積為________．

第3題圖 第4題圖
4. 如圖是“趙爽弦圖”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于________．
三 泰勒斯——全等
泰勒斯，公元前7至6世紀(jì)的古希臘時期的思想家、科學(xué)家、哲學(xué)家，希臘最早的哲學(xué)學(xué)派——米利都學(xué)派(也稱愛奧尼亞學(xué)派)的創(chuàng)始人．泰勒斯是古希臘及西方第一個有記載有名字留下來的自然科學(xué)家和哲學(xué)家．
5. 相傳泰勒斯利用三角形全等的方法求出岸上一點到海中一艘船的距離．如圖，B是觀察點，船A在B的正前方，過點B作AB的垂線，在垂線上截取任意長BD，C是BD的中點，觀察者從點D沿垂直于BD的DE方向走，直到點E、船A和點C在一條直線上，那么△ABC≌△EDC，從而量出DE的距離即為船離岸的距離AB，這里判定△ABC≌△EDC的方法是(　　)

第5題圖
A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
四 《海島算經(jīng)》
《海島算經(jīng)》是中國最早的一部測量數(shù)學(xué)專著，也是中國古代高度發(fā)達(dá)的地圖學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．由劉徽于三國魏景元四年所撰，《海島算經(jīng)》共九問，都是用表尺重復(fù)從不同位置測望，取測量所得的差數(shù)，進(jìn)行計算從而求得山高或谷深．(北師九上P104)
6. 該書中提出九個測量問題，其中一個為：有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺．從勾端望谷底，入下股九尺一寸．又設(shè)重矩于上，其矩間相去三丈．更從勾端望谷底，入上股八尺五寸．問谷深幾何？題目的大意是：測量一個山谷AE的深度，拿一個高AB為6尺的矩尺△ABD放在岸上，從B端看谷底EG(D在BG上)，下股AD為9尺1寸，向上平移矩尺3丈，現(xiàn)從B′端看谷底EG，上股A′D′為8尺5寸，試求谷深A(yù)E.(一丈＝10尺＝100寸)

第6題圖
7. 某校王老師根據(jù)《海島算經(jīng)》中的問題，編了這樣一道題：如圖，甲、乙兩船同時由港口A出發(fā)開往海島B，甲船沿北偏東60°方向向海島B航行，其速度為15海里/小時；乙船速度為20海里/小時，先沿正東方向航行1小時后，到達(dá)C港口接旅客，在C港口停留0.5小時后再沿東北方向開往B島，B島建有一座燈塔，在燈塔方圓5海里內(nèi)都可以看見燈塔，問甲、乙兩船哪一艘先看到燈塔，兩船看到燈塔的時間相差多少？(精確到分鐘，≈1.73，≈1.41)

第7題圖

數(shù)學(xué)文化講堂(五)
一 圓周率π
材料一　歷史上，對于圓周率π的研究是古代數(shù)學(xué)一個經(jīng)久不衰的話題，在我國，東漢初年《周髀算經(jīng)》里就有“徑一周三”的故率，公元前3世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德通過圓內(nèi)接和外切正多邊形逼近圓周的方法得到圓周率介于3和3之間．我國魏晉時期劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”，南朝祖沖之進(jìn)一步求得π的值，他是第一個將其精確到7位的人．(華師九下P68)

第1題圖
1. 設(shè)半徑為r的圓內(nèi)接正n邊形的周長為L，圓的直徑為d，如圖所示，當(dāng)n＝6時，π≈＝＝3，那么當(dāng)n＝12時，π≈＝________．(結(jié)果精確到0.01，參考數(shù)據(jù)：sin75°＝cos15°≈0.966)

二 《九章算術(shù)》——方田
《九章算術(shù)》與古希臘歐幾里得的《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉，是中國古代《算經(jīng)十書》中最重要的一種，它系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就，標(biāo)志著以算籌為基礎(chǔ)的中國古代數(shù)學(xué)體系的正式形成．全書分為9章，卷一“方田”中，詳細(xì)記述了扇形、弓形、環(huán)形的面積計算方法．
材料二　“方田”篇中所記：宛田面積術(shù)曰：以徑乘周，四而一．其中，宛田：扇形的田地；徑：扇形的直徑；周：扇形的弧長；意思是：扇形的面積＝直徑×弧長÷4.
2. 請完成下列問題：
(1)請用所學(xué)公式證明古人方法是否正確；



(2)我們將弧長與半徑相等的扇形叫作“等邊扇形”，試求面積為16的“等邊扇形”的弧長為________．

材料三　“方田”篇中還記載：弧田面積術(shù)曰：以弦乘矢，矢又自乘，二而一．即給出了計算弧田面積的經(jīng)驗公式：(弦×矢＋矢×矢)÷2.弧田(如圖)，由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差(弓形的高)．
3. 按照上述經(jīng)驗公式計算所得的弧田面積與其實際面積之間存在誤差，現(xiàn)有圓心角為120°，弦長等于9米的弧田．
(1)計算弧田的實際面積；
(2)按照材料中的經(jīng)驗公式計算所得結(jié)果與(1)中計算的弧田面積相差多少平方米？(結(jié)果保留兩位小數(shù)，≈1.732，π取3.14)


三 《周髀算經(jīng)》
《周髀算經(jīng)》，原名《周髀》，是算經(jīng)的十書之一．中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，約成書于公元前1世紀(jì)，主要闡述當(dāng)時的蓋天說和四分歷法．
材料四　《周髀算經(jīng)》中記載：周公與商高對話中，商高提出“環(huán)矩以為圓”．
注解1：《中國數(shù)學(xué)史大系》第一卷中解釋為：把矩的長短兩只當(dāng)作“規(guī)”的兩只腳，直立于平面上，以矩的一端為樞，旋轉(zhuǎn)時，另一端即可成圓．如圖①.

注解2：中國近代著名數(shù)學(xué)家李儼注解：“直角三角形固定弦，其直角頂點的軌跡便是圓”，如圖②，數(shù)學(xué)家梁宗臣的看法與李儼相同，并在其《世界數(shù)學(xué)史簡編》注明．
請完成下列問題：
4. 注解1中，闡述了圓的定義：___________________________________________；
5. 注解2中說明直徑所對的圓周角為________；
6. 已知一直角三角形的斜邊長為4，結(jié)合材料，請?zhí)骄窟@個直角三角形的面積是否存在最大值？若存在，請求出面積的最大值；若不存在，請說明理由．


四 婆羅摩笈多定理
婆羅摩笈多，是一位印度數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，寫了兩部關(guān)于數(shù)學(xué)和天文學(xué)的書籍．他的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高的地位，他的負(fù)數(shù)概念及加減法運算僅晚于中國的《九章算術(shù)》，而他的負(fù)數(shù)乘除法則在全世界都是領(lǐng)先的．他還提出了著名的婆羅摩笈多定理．
材料五　婆羅摩笈多定理的內(nèi)容及部分證明過程如下：
已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC⊥BD于點P，PM⊥AB于點M，延長MP交CD于點N，求證：CN＝DN.

證明：在△ABP和△BMP中，∵AC⊥BD，PM⊥AB，
∴∠BAP＋∠ABP＝90°，∠BPM＋∠MBP＝90°.
∴∠BAP＝∠BPM.
∵∠DPN＝∠BPM，∠BAP＝∠BDC，
∴…
7. (1)請你閱讀婆羅摩笈多定理的證明過程，完成剩余的證明部分．
(2)已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2.點D在⊙O上，∠BCD＝60°，連接AD，與BC交于點P.作PM⊥AB于點M，延長MP交CD于點N，則PN的長為________．

第7題圖
五 阿基米德折弦定理
阿基米德(公元前287～公元前212年，古希臘)是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一．他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．阿拉伯Al－Binmi(973年～1050年)的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al－Binmi譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德折弦定理．
材料六　

如圖①，AB和BC是⊙O的兩條弦(即折線ABC是圓的一條折弦)，BC>AB，點M是的中點，則從點M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD＝AB＋BD.下面是運用“截長法”證明CD＝AB＋BD的部分證明過程．
證明：如圖②，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MB，MC和MG.
∵M(jìn)是的中點，
∴MA＝MC.
…
8. (1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；
(2)填空：如圖，已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝2，D為上一點，∠ABD＝45°，AE⊥BD于點E，則△BDC的周長是________．

第8題圖





數(shù)學(xué)文化講堂(六)
將軍飲馬問題
唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題．
如圖所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā)，走到河邊飲馬后再到B點宿營，請問怎樣走才能使總的路程最短？
這個問題早在古羅馬時代就有了，傳說亞歷山大有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教這個百思不得其解的問題．
從此，這個被稱為“將軍飲馬”的問題廣泛流傳．

1. 你能解決上面的問題嗎？請畫圖說明．


2. 請利用將軍飲馬問題的模型解決下列問題：
(1)幾何應(yīng)用：如圖①，等腰直角三角形ABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點，P是AC邊上的一動點，則PB＋PE的最小值為________．
(2)幾何拓展：如圖②，△ABC中，AB＝2，∠BAC＝30°，若在AC、AB上各取一點M、N，使BM＋MN的值最小，求這個最小值；
(3)代數(shù)應(yīng)用：求代數(shù)式＋(0≤x≤4)的最小值．

第2題圖

數(shù)學(xué)文化講堂(一)答案
1. －33＋45＝＋12
2. －(5－3)；－(5＋3)
3. (1)a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5；
(2)1024；
(3)1　【解析】25－5×24＋10×23－10×22＋5×21－15＝(2－1)5＝15＝1.
4. 　【解析】觀察圖表可知以下規(guī)律：是第幾行就有幾個分?jǐn)?shù)；每行每個分?jǐn)?shù)的分子都是1；每行第一個分?jǐn)?shù)的分母為行號，每行首尾對稱．如第n行第一個分?jǐn)?shù)為，第二個分?jǐn)?shù)為；故第9行，從左到右第2個數(shù)是＝.
5. 672　【解析】觀察數(shù)列發(fā)現(xiàn)，偶數(shù)的位置位于第3個數(shù)，第6個數(shù)，第9個數(shù)，…，由于2018÷3＝672……2，則共有672個偶數(shù)．
6. (－6，25)　【解析】由題意可知，P1(0，1)，P2(－1，0)，P3(0，－1)，P4(2，1)，P5(－1，4)，P6(－6，－1)，結(jié)合斐波那契數(shù)可以看出，這組數(shù)據(jù)是以P1(0，1)為起點，向右轉(zhuǎn)動，橫坐標(biāo)加對應(yīng)的斐波那契數(shù)，向上轉(zhuǎn)縱坐標(biāo)加斐波那契數(shù)，向左轉(zhuǎn)橫坐標(biāo)減斐波那契數(shù)，向下轉(zhuǎn)縱坐標(biāo)減斐波那契數(shù)．由此可知P7(2，－9)，P8(15，4)，P9(－6，25)．
7. 解：根據(jù)題意分析，可以推理得出每一個月的兔子的對數(shù)，如下表所示：

月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
兔子 對數(shù) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

從上表中的數(shù)據(jù)可得，1年以后即第13個月可以繁殖144＋89＝233對小兔子．
8. 解：第1個數(shù)，當(dāng)n＝1時，
×[()n－()n]
＝×(－)
＝×
＝1.
第2個數(shù)，當(dāng)n＝2時，
×[()n－()n]
＝×[()2－()2]
＝×(＋)×(－)
＝×1×
＝1.

數(shù)學(xué)文化講堂(二)答案
1. D
2. C　【解析】設(shè)主人的馬日行x里，由題意得×(－)x＝300×[×(－)＋]，解得x＝780，故選C.
3.
4. 解：設(shè)共有x人，依題意得：
8x－3＝7x＋4，
解得x＝7，
8x－3＝8×7－3＝53，
答：共有7個人，物品價格為53元．
5. C
6.
7. 解：設(shè)雞有x只，兔有y只，由題意
得，
解得，
答：籠中雞有23只，兔有12只．
8. B　【解析】設(shè)這個塔頂層有a盞燈，則a＋2a＋4a＋8a＋16a＋32a＋64a＝381，解得a＝3.
9. 　【解析】根據(jù)等量關(guān)系為“大和尚的人數(shù)＋小和尚的人數(shù)＝100，大和尚分得的饅頭數(shù)＋小和尚分得的饅頭數(shù)＝100”，列出方程組，設(shè)大和尚x人，小和尚y人，由題意可得.
10. 解：(1)設(shè)該店有客房x間，房客y人；
根據(jù)題意得：
，解得.
答：該店有客房8間，房客63人；
(2)若每間客房住4人，則63名客人至少需客房16間，需付費20×16＝320錢；
若一次性定客房18間，則需付費20×18×0.8＝288錢＜320錢；
答：若詩中“眾客”再次一起入住，他們應(yīng)選擇一次性訂房18間更合算．
11. 解：∵∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，
∴AB＝，
∴AD＝－
＝.
解方程x2＋ax－b2＝0得，
x1＝，
x2＝，
則AD的長是方程的正根．
12. 解：不能，BD＝－，作圖不能表示出BD的長

數(shù)學(xué)文化講堂(三)答案
1. B　【解析】由題意知，開始時，壺內(nèi)盛一定量的水，所以y的初始位置應(yīng)該大于0，可以排除A、D選項；由于漏壺漏水的速度不變，所以題圖中的函數(shù)應(yīng)該是一次函數(shù)，可以排除C選項，故選B.
2. 解：(1)設(shè)P、R兩點的坐標(biāo)分別為P(a1，)，R(a2，)，
則Q(a1，)，M(a2，)．
設(shè)直線OM的關(guān)系式為y＝kx(k≠0)，
∵當(dāng)x＝a2時，y＝.
∴＝ka2，∴k＝，
∴直線OM的解析式為y＝x.
當(dāng)x＝a1時，y＝，
∴Q(a1，)在直線OM上；
(2)∵四邊形PQRM是矩形，
∴PC＝PR＝MQ＝CM，
∴∠2＝2∠3.
∵PR＝2OP，
∴PC＝OP，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠4，
∴∠1＝2∠4，
即∠MOB＝∠AOB；
(3)當(dāng)給定的已知角是鈍角或直角時，鈍角或直角的一半是銳角，該銳角可以用此方法三等分．
數(shù)學(xué)文化講堂(四)答案
1. 解： 當(dāng)△ABC的三邊長為5，6，7時，則p＝×(5＋6＋7)＝9，
∴S△ABC＝＝6，
當(dāng)△DEF的三邊長為，，時，
S△DEF＝＝.
2. 解：由題意得p＝×(5＋6＋9)＝10，則
S＝＝10.
∵S＝r(AC＋BC＋AB)，
∴10＝r(5＋6＋9)，
解得r＝，
故△ABC的內(nèi)切圓半徑為.
3. 1或4　【解析】分兩種情況：①5為斜邊時，由勾股定理得，另一直角邊長＝＝4，∴小正方形的邊長＝4－3＝1，∴小正方形的面積＝12＝1；②3和5為兩條直角邊長時，小正方形的邊長＝5－3＝2，∴小正方形的面積＝22＝4；綜上所述，小正方形的面積為1或4.
4. 6　【解析】設(shè)AH＝x，則AE＝x＋2，由四個全等的直角三角形可得DE＝AH＝x，在Rt△DAE中，由勾股定理得：AD2＝AE2＋DE2，即102＝(x＋2)2＋x2，解得x＝6或x＝－8(舍去)．
5. B
6. 解：∵AD∥EG，
∴△BAD∽△BEG，
∴＝，
∴＝，
∵A′D′∥EG，
∴△B′A′D′∽△B′EG，
∴＝，
∴＝，
∴9.1(6＋AE)＝8.5(36＋AE)，
∴解得AE＝419(尺)，
∴谷深A(yù)E為41丈9尺．
7. 解：如解圖，過點B作BD⊥AC，交AC的延長線于點D，設(shè)BD＝x，
在Rt△BCD中，

第7題解圖
∵∠BCD＝45°，
∴BC＝＝x，
在Rt△ABD中，
∵∠ABD＝60°，
∴AD＝BD·tan60°＝x，AB＝＝2x，
∵AC＝20×1＝20(海里)，AC＋CD＝AD，
∴20＋x＝ x，
解得x＝10(＋1)海里，
∴AB＝2x＝20(＋1)海里，
BC＝x＝10(＋1)海里，
∴t甲＝(AB－5)÷15×60
＝(20＋20－5)÷15×60
≈198.4(分鐘)，
t乙＝(AC＋BC－5)÷20×60＋0.5×60
＝[20＋10(＋1)－5]÷20×60＋30
≈190.5(分鐘)．
∵t甲>t乙，
t甲－t乙≈8(分鐘)，
∴乙船先看到燈塔，兩艘船看到燈塔的時間相差約8分鐘．
數(shù)學(xué)文化講堂(五)答案
1. 3.11.
2. 解：(1)正確．S扇形＝lr＝l×＝ld；
(2)4.
【解法提示】設(shè)半徑為r，∵“等邊扇形”的弧長與半徑相等，∴l(xiāng)＝r，∴16＝2r×r÷4，解得r＝4，∴扇形的弧長l＝4.
3. 解：(1)如解圖，在△OAB中，AB＝9，∠AOB＝120°，
則∠AOC＝60°，∠ACO＝90°，
則AC＝，∴OA＝3，OC＝.
則可知扇形的半徑r＝3，
所以S△AOB＝×9×＝，
S扇形AOB＝＝9π，
所以S弧田＝(9π－)平方米．

第3題解圖
(2)由(1)知矢長為r＝OA－＝，
根據(jù)經(jīng)驗公式的S弧田＝×[9×＋()2]＝(＋)平方米．
∴9π－－－≈1.50(平方米)．
按照弧田面積經(jīng)驗公式所得結(jié)果比實際少1.50平方米．
4. 平面上到定點的距離為定值的所有的點的集合即為圓．
5. 直角．
6. 解：存在．
由注解2可知，該直角三角形的直角頂點在直徑為4的圓上，
∴該直角三角形斜邊上的高的最大值為2，
∵斜邊長為4是定值，
∴該直角三角形的面積存在最大值，且面積的最大值為×4×2＝4.
7. (1)剩余證明過程如下：
∴∠DPN＝∠BDN，∴DN＝PN，
同理，PN＝CN，∴CN＝DN.
(2)解：1
【解法提示】∵∠ACB＝45°，∠BCD＝60°，∴∠ACD＝105°.又∵∠D＝∠B＝30°，∴∠DAC＝180°－∠ACD－∠D＝45°，∴∠APC＝180°－∠DAC－∠ACB＝90°，PA＝PC.在△ABP和△CDP中，，∴△ABP≌△CDP，∴CD＝AB＝2.∵AD⊥BC，PM⊥AB，由婆羅摩笈多定理得，CN＝DN，∵∠CPD＝90°，∴PN＝CD＝1.
8. 解：(1)剩余證明過程如下：
∵CG＝AB，∠A＝∠C，
∴△MBA≌△MGC(SAS)，
∴MB＝MG.
在△MBG中，MD⊥BG，
∴BD＝GD，
∴CD＝CG＋GD＝AB＋BD；
(2)2＋2.
【解法提示】∵△ABC為等邊三角形，∴點A為的中點，BD和DC為⊙O中的兩條弦，BD>DC，又∵AE⊥BD，∴垂足E為折弦BDC的中點，∴△BDC的周長＝BD＋DC＋BC＝2BE＋BC，在Rt△ABE中，∠ABD＝45°，AB＝2，∴AE＝BE＝，∴△BDC的周長為2＋2.

數(shù)學(xué)文化講堂(六)答案
1. 解：如解圖所示，從A出發(fā)向河岸引垂線，垂足為D，在AD的延長線上，取A關(guān)于河岸的對稱點A′，連接A′B，與河岸線相交于C，則C點就是飲馬的地方，將軍只要從A出發(fā)，沿直線走到C，飲馬之后，再由C沿直線走到B，所走的路程就是最短的．
如果將軍在河邊的另外任一點C′飲馬，所走的路程就是AC′＋C′B，但是，AC′＋C′B＝A′C′＋C′B>A′B＝A′C＋CB＝AC＋CB.
可見，在C點外任何一點C′飲馬，所走的路程都要遠(yuǎn)一些．
這有幾點需要說明的：
(1)由作法可知，河流l相當(dāng)于線段AA′的中垂線，所以AD＝A′D.
(2)將軍走的路程是AC＋BC，就等于A′C＋BC，而兩點之間線段最短，所以C點為最優(yōu)．

第1題解圖
2. 解：(1)；
【解法提示】如解圖①所示，作點B關(guān)于AC對稱的對稱點B′，連接B′E交AC于點P，

第2題解圖①
此時PB＋PE的值最小．連接AB′.
在Rt△ACB中，
AB′＝AB＝＝＝2.
∴AE＝AB＝，
∵∠B′AC＝∠BAC＝45°，
∴∠B′AB＝90°，
∴PB＋PE的最小值＝B′E＝＝＝.
(2)如解圖②，作點B關(guān)于AC對稱的對稱點B′，過B′作B′N⊥AB于N，交AC于M.連接BM，AB′，此時BM＋MN的值最小，即BM＋MN＝B′M＋MN＝B′N.
∵點B′與B關(guān)于AC對稱，
∴AB′＝AB，
又∵∠BAC＝30°，
∴∠B′AB＝60°，
∴△B′AB是等邊三角形，
∴B′B＝AB＝2，∠B′BN＝60°，
又∵B′N⊥AB，
∴B′N＝B′B·sin∠B′BN＝2×＝；

第2題解圖②
(3)構(gòu)造圖形，如解圖③所示，
其中AB＝4，AC＝1，DB＝2，AP＝x，CA⊥AB于點A，DB⊥AB于點B.
∵PC＋PD＝＋，
∴所求的最小值就是求PC＋PD的最小值．
作點C關(guān)于AB的對稱點C′，過C′作C′E⊥DB，交DB延長線于點E.則C′E＝AB＝4，DE＝2＋1＝3，
∴C′D＝＝＝5，
∴所求代數(shù)式的最小值是5.

第2題解圖③

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