資源簡介

中考數學總復習資料
代數部分
第一章：實數
基礎知識點：

一、實數的分類：

1、有理數：任何一個有理數總可以寫成的形式，其中p、q是互質的整數，這是有理數的重要特征。
2、無理數：初中遇到的無理數有三種：開不盡的方根，如、；特定結構的不循環無限小數，如1.101001000100001……；特定意義的數，如π、°等。
3、判斷一個實數的數性不能僅憑表面上的感覺，往往要經過整理化簡后才下結論。

二、實數中的幾個概念
1、相反數：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數。
（1）實數a的相反數是 -a； （2）a和b互為相反數a+b=0
2、倒數：
（1）實數a（a≠0）的倒數是；（2）a和b 互為倒數；（3）注意0沒有倒數
3、絕對值：
（1）一個數a 的絕對值有以下三種情況：
（2）實數的絕對值是一個非負數，從數軸上看，一個實數的絕對值，就是數軸上表示這個數的點到原點的距離。
（3）去掉絕對值符號（化簡）必須要對絕對值符號里面的實數進行數性（正、負）確認，再去掉絕對值符號。
4、n次方根
（1）平方根，算術平方根：設a≥0，稱叫a的平方根，叫a的算術平方根。
（2）正數的平方根有兩個，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根。
（3）立方根：叫實數a的立方根。
（4）一個正數有一個正的立方根；0的立方根是0；一個負數有一個負的立方根。
三、實數與數軸
1、數軸：規定了原點、正方向、單位長度的直線稱為數軸。原點、正方向、單位長度是數軸的三要素。
2、數軸上的點和實數的對應關系：數軸上的每一個點都表示一個實數，而每一個實數都可以用數軸上的唯一的點來表示。實數和數軸上的點是一一對應的關系。
四、實數大小的比較
1、在數軸上表示兩個數，右邊的數總比左邊的數大。
2、正數大于0；負數小于0；正數大于一切負數；兩個負數絕對值大的反而小。
五、實數的運算
1、加法：
（1）同號兩數相加，取原來的符號，并把它們的絕對值相加；
（2）異號兩數相加，取絕對值大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。可使用加法交換律、結合律。
2、減法：
減去一個數等于加上這個數的相反數。
3、乘法：
（1）兩數相乘，同號取正，異號取負，并把絕對值相乘。
（2）n個實數相乘，有一個因數為0，積就為0；若n個非0的實數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有偶數個時，積為正；當負因數為奇數個時，積為負。
（3）乘法可使用乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律。
4、除法：
（1）兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。
（2）除以一個數等于乘以這個數的倒數。
（3）0除以任何數都等于0，0不能做被除數。
5、乘方與開方：乘方與開方互為逆運算。
6、實數的運算順序：乘方、開方為三級運算，乘、除為二級運算，加、減是一級運算，如果沒有括號，在同一級運算中要從左到右依次運算，不同級的運算，先算高級的運算再算低級的運算，有括號的先算括號里的運算。無論何種運算，都要注意先定符號后運算。
六、有效數字和科學記數法
1、科學記數法：設N＞0，則N= a×（其中1≤a＜10，n為整數）。
2、有效數字：一個近似數，從左邊第一個不是0的數，到精確到的數位為止，所有的數字，叫做這個數的有效數字。精確度的形式有兩種：（1）精確到那一位；（2）保留幾個有效數字。
例題：
例1、已知實數a、b在數軸上的對應點的位置如圖所示，且。
化簡：
例2、若，比較a、b、c的大小。
例3、若互為相反數，求a+b的值
例4、已知a與b互為相反數，c與d互為倒數，m的絕對值是1，求的值。
例5、計算：（1） （2）

代數部分
第二章：代數式
基礎知識點：
一、代數式
1、代數式：用運算符號把數或表示數的字母連結而成的式子，叫代數式。單獨一個數或者一個字母也是代數式。
2、代數式的值：用數值代替代數里的字母，計算后得到的結果叫做代數式的值。
3、代數式的分類：

二、整式的有關概念及運算
1、概念
（1）單項式：像x、7、，這種數與字母的積叫做單項式。單獨一個數或字母也是單項式。
單項式的次數：一個單項式中，所有字母的指數叫做這個單項式的次數。
單項式的系數：單項式中的數字因數叫單項式的系數。
（2）多項式：幾個單項式的和叫做多項式。
多項式的項：多項式中每一個單項式都叫多項式的項。一個多項式含有幾項，就叫幾項式。
多項式的次數：多項式里，次數最高的項的次數，就是這個多項式的次數。不含字母的項叫常數項。
升（降）冪排列：把一個多項式按某一個字母的指數從小（大）到大（小）的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母升（降）冪排列。
（3）同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數也分別相同的項叫做同類項。
2、運算
（1）整式的加減：
合并同類項：把同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母及字母的指數不變。
去括號法則：括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項都不變；括號前面是“–”號，把括號和它前面的“–”號去掉，括號里的各項都變號。
添括號法則：括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變；括號前面是“–”號，括到括號里的各項都變號。
整式的加減實際上就是合并同類項，在運算時，如果遇到括號，先去括號，再合并同類項。
（2）整式的乘除：
冪的運算法則：其中m、n都是正整數
同底數冪相乘：；同底數冪相除：；冪的乘方：積的乘方：。
單項式乘以單項式：用它們系數的積作為積的系數，對于相同的字母，用它們的指數的和作為這個字母的指數；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式。
單項式乘以多項式：就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。
多項式乘以多項式：先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。
單項除單項式：把系數，同底數冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有字母，則連同它的指數作為商的一個因式。
多項式除以單項式：把這個多項式的每一項除以這個單項，再把所得的商相加。
乘法公式：
平方差公式：；
完全平方公式：，
三、因式分解
1、因式分解概念：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解。
2、常用的因式分解方法：
（1）提取公因式法：
（2）運用公式法：
平方差公式：；完全平方公式：
（3）十字相乘法：
（4）分組分解法：將多項式的項適當分組后能提公因式或運用公式分解。
（5）運用求根公式法：若的兩個根是、，則有：
3、因式分解的一般步驟：
（1）如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；
（2）提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘法；
（3）對二次三項式，應先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。
（4）最后考慮用分組分解法。
四、分式
1、分式定義：形如的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中含有字母。
（1）分式無意義：B=0時，分式無意義； B≠0時，分式有意義。
（2）分式的值為0：A=0，B≠0時，分式的值等于0。
（3）分式的約分：把一個分式的分子與分母的公因式約去叫做分式的約分。方法是把分子、分母因式分解，再約去公因式。
（4）最簡分式：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫做最簡分式。分式運算的最終結果若是分式，一定要化為最簡分式。
（5）通分：把幾個異分母的分式分別化成與原來分式相等的同分母分式的過程，叫做分式的通分。
（6）最簡公分母：各分式的分母所有因式的最高次冪的積。
（7）有理式：整式和分式統稱有理式。
2、分式的基本性質：
（1）；（2）
（3）分式的變號法則：分式的分子，分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變。
3、分式的運算：
（1）加、減：同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減；異分母的分式相加減，先把它們通分成同分母的分式再相加減。
（2）乘：先對各分式的分子、分母因式分解，約分后再分子乘以分子，分母乘以分母。
（3）除：除以一個分式等于乘上它的倒數式。
（4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分別乘方。
五、二次根式
1、二次根式的概念：式子叫做二次根式。
（1）最簡二次根式：被開方數的因數是整數，因式是整式，被開方數中不含能開得盡方的因式的二次根式叫最簡二次根式。
（2）同類二次根式：化為最簡二次根式之后，被開方數相同的二次根式，叫做同類二次根式。
（3）分母有理化：把分母中的根號化去叫做分母有理化。
（4）有理化因式：把兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數式互為有理化因式（常用的有理化因式有：與；與）
2、二次根式的性質：
（1） ；（2）；（3）（a≥0，b≥0）；（4）
3、運算：
（1）二次根式的加減：將各二次根式化為最簡二次根式后，合并同類二次根式。
（2）二次根式的乘法：（a≥0，b≥0）。
（3）二次根式的除法：
二次根式運算的最終結果如果是根式，要化成最簡二次根式。
例題：
一、因式分解：
1、提公因式法：
例1、
分析：先提公因式，后用平方差公式
[規律總結]因式分解本著先提取，后公式等，但應把第一個因式都分解到不能再分解為止，往往需要對分解后的每一個因式進行最后的審查，如果還能分解，應繼續分解。
2、十字相乘法：
例2、（1）；（2）
分析：可看成是和(x+y)的二次三項式，先用十字相乘法，初步分解。
[規律總結]應用十字相乘法時，注意某一項可是單項的一字母，也可是某個多項式或整式，有時還需要連續用十字相乘法。
3、分組分解法：
例3、
分析：先分組，第一項和第二項一組，第三、第四項一組，后提取，再公式。
[規律總結]對多項式適當分組轉化成基本方法因式分組，分組的目的是為了用提公因式，十字相乘法或公式法解題。
4、求根公式法：
例4、
二、式的運算
巧用公式
例5、計算：
分析：運用平方差公式因式分解，使分式運算簡單化。
[規律總結]抓住三個乘法公式的特征，靈活運用，特別要掌握公式的幾種變形，公式的逆用，掌握運用公式的技巧，使運算簡便準確。
2、化簡求值：
例6、先化簡，再求值：，其中x= – 1 y =
[規律總結]一定要先化到最簡再代入求值，注意去括號的法則。
3、分式的計算：
例7、化簡
分析：– 可看成
[規律總結]分式計算過程中：（1）除法轉化為乘法時，要倒轉分子、分母；（2）注意負號
4、根式計算
例8、已知最簡二次根式和是同類二次根式，求b的值。
分析：根據同類二次根式定義可得：2b+1=7–b。
[規律總結]二次根式的性質和運算是中考必考內容，特別是二次根式的化簡、求值及性質的運用是中考的主要考查內容。
代數部分
第三章：方程和方程組
基礎知識點：
一、方程有關概念
1、方程：含有未知數的等式叫做方程。
2、方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數的值叫方程的解，含有一個未知數的方程的解也叫做方程的根。
3、解方程：求方程的解或方判斷方程無解的過程叫做解方程。
4、方程的增根：在方程變形時，產生的不適合原方程的根叫做原方程的增根。
二、一元方程
1、一元一次方程
（1）一元一次方程的標準形式：ax+b=0（其中x是未知數，a、b是已知數，a≠0）
（2）一玩一次方程的最簡形式：ax=b（其中x是未知數，a、b是已知數，a≠0）
（3）解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項和系數化為1。
（4）一元一次方程有唯一的一個解。
2、一元二次方程
（1）一元二次方程的一般形式：（其中x是未知數，a、b、c是已知數，a≠0）
（2）一元二次方程的解法： 直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法
（3）一元二次方程解法的選擇順序是：先特殊后一般，如果沒有要求，一般不用配方法。
（4）一元二次方程的根的判別式：
當Δ＞0時方程有兩個不相等的實數根；
當Δ=0時方程有兩個相等的實數根；
當Δ< 0時方程沒有實數根，無解；
當Δ≥0時方程有兩個實數根
（5）一元二次方程根與系數的關系：
若是一元二次方程的兩個根，那么：，
（6）以兩個數為根的一元二次方程（二次項系數為1）是：
三、分式方程
（1）定義：分母中含有未知數的方程叫做分式方程。
（2）分式方程的解法：
一般解法：去分母法，方程兩邊都乘以最簡公分母。
特殊方法：換元法。
（3）檢驗方法：一般把求得的未知數的值代入最簡公分母，使最簡公分母不為0的就是原方程的根；使得最簡公分母為0的就是原方程的增根，增根必須舍去，也可以把求得的未知數的值代入原方程檢驗。
四、方程組
1、方程組的解：方程組中各方程的公共解叫做方程組的解。
2、解方程組：求方程組的解或判斷方程組無解的過程叫做解方程組
3、一次方程組：
（1）二元一次方程組：
一般形式：（不全為0）
解法：代入消遠法和加減消元法
解的個數：有唯一的解，或無解，當兩個方程相同時有無數的解。
（2）三元一次方程組：
解法：代入消元法和加減消元法
4、二元二次方程組：
（1）定義：由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組以及由兩個二元二次方程組成的方程組叫做二元二次方程組。
（2）解法：消元，轉化為解一元二次方程，或者降次，轉化為二元一次方程組。
考點與命題趨向分析
例題：
一、一元二次方程的解法
例1、解下列方程：
（1）；（2）；（3）
分析：（1）用直接開方法解；（2）用公式法；（3）用因式分解法
[規律總結]如果一元二次方程形如，就可以用直接開方法來解；利用公式法可以解任何一個有解的一元二次方程，運用公式法解一元二次方程時，一定要把方程化成一般形式。
例2、解下列方程：
（1）；（2）
分析：（1）先化為一般形式，再用公式法解；（2）直接可以十字相乘法因式分解后可求解。
[規律總結]對于帶字母系數的方程解法和一般的方程沒有什么區別，在用公式法時要注意判斷△的正負。
二、分式方程的解法：
例3、解下列方程：
（2）；（2）
分析：（1）用去分母的方法；（2）用換元法

[規律總結]一般的分式方程用去分母法來解，一些具有特殊關系如：有平方關系，倒數關系等的分式方程，可采用換元法來解。
三、根的判別式及根與系數的關系
例4、已知關于x的方程：有兩個相等的實數根，求p的值。
分析：由題意可得=0，把各系數代入=0中就可求出p，但要先化為一般形式。

[規律總結]對于根的判別式的三種情況要很熟練，還有要特別留意二次項系數不能為0
例5、已知a、b是方程的兩個根，求下列各式的值：
（1）；（2）
分析：先算出a+b和ab的值，再代入把（1）（2）變形后的式子就可求出解。
[規律總結]此類題目都是先算出兩根之和和兩根之積，再把要求的式子變形成含有兩根之和和兩根之積的形式，再代入計算。但要注意檢驗一下方程是否有解。
例6、求作一個一元二次方程，使它的兩個根分別比方程的兩個根小3
分析：先出求原方程的兩根之和和兩根之積再代入求出和的值，所求的方程也就容易寫出來。
[規律總結]此類題目可以先解出第一方程的兩個解，但有時這樣又太復雜，用根與系數的關系就比較簡單。
三、方程組
例7、解下列方程組：
（1） ； （2）
分析：（1）用加減消元法消x較簡單；（2）應該先用加減消元法消去y，變成二元一次方程組，較易求解。

[規律總結]加減消元法是最常用的消元方法，消元時那個未知數的系數最簡單就先消那個未知數。
例8、解下列方程組：
（1） ； （2）
分析：（1）可用代入消遠法，也可用根與系數的關系來求解；（2）要先把第一個方程因式分解化成兩個二元一次方程，再與第二個方程分別組成兩個方程組來解。

[規律總結]對于一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組一般用代入消元法，對于兩個二元二次方程組成的方程組，一定要先把其中一個方程因式分解化為兩個一次方程再和第二個方程組成兩個方程組來求解。
代數部分
第四章：列方程（組）解應用題
知識點：
一、列方程（組）解應用題的一般步驟
1、審題：
2、設未知數；
3、找出相等關系，列方程（組）；
4、解方程（組）；
5、檢驗，作答；
二、列方程（組）解應用題常見類型題及其等量關系；
1、工程問題
（1）基本工作量的關系：工作量=工作效率×工作時間
（2）常見的等量關系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作總量
（3）注意：工程問題常把總工程看作“1”，水池注水問題屬于工程問題
2、行程問題
（1）基本量之間的關系：路程=速度×時間
（2）常見等量關系：
相遇問題：甲走的路程+乙走的路程=全路程
追及問題（設甲速度快）：
同時不同地：甲的時間=乙的時間；甲走的路程–乙走的路程=原來甲、乙相距路程
同地不同時：甲的時間=乙的時間–時間差；甲的路程=乙的路程
3、水中航行問題：
順流速度=船在靜水中的速度+水流速度；
逆流速度=船在靜水中的速度–水流速度
4、增長率問題：
常見等量關系：增長后的量=原來的量+增長的量；增長的量=原來的量×（1+增長率）；
5、數字問題：
基本量之間的關系：三位數=個位上的數+十位上的數×10+百位上的數×100
三、列方程解應用題的常用方法
1、譯式法：就是將題目中的關鍵性語言或數量及各數量間的關系譯成代數式，然后根據代數之間的內在聯系找出等量關系。
2、線示法：就是用同一直線上的線段表示應用題中的數量關系，然后根據線段長度的內在聯系，找出等量關系。
3、列表法：就是把已知條件和所求的未知量納入表格，從而找出各種量之間的關系。
4、圖示法：就是利用圖表示題中的數量關系，它可以使量與量之間的關系更為直觀，這種方法能幫助我們更好地理解題意。
例題：
例1、甲、乙兩組工人合作完成一項工程，合作5天后，甲組另有任務，由乙組再單獨工作1天就可完成，若單獨完成這項工程乙組比甲組多用2天，求甲、乙兩組單獨完成這項工程各需幾天？
分析：設工作總量為1，設甲組單獨完成工程需要x天，則乙組完成工程需要(x+2)天，等量關系是甲組5天的工作量+乙組6天的工作量=工作總量

例2、某部隊奉命派甲連跑步前往90千米外的A地，1小時45分后，因任務需要，又增派乙連乘車前往支援，已知乙連比甲連每小時快28千米，恰好在全程的處追上甲連。求乙連的行進速度及追上甲連的時間
分析：設乙連的速度為v千米/小時，追上甲連的時間為t小時，則甲連的速度為（v–28）千米/小時，這時乙連行了小時，其等量關系為：甲走的路程=乙走的路程=30

例3、某工廠原計劃在規定期限內生產通訊設備60臺支援抗洪，由于改進了操作技術；每天生產的臺數比原計劃多50%，結果提前2天完成任務，求改進操作技術后每天生產通訊設備多少臺？
分析：設原計劃每天生產通訊設備x臺，則改進操作技術后每天生產x（1+0.5）臺，等量關系為：原計劃所用時間–改進技術后所用時間=2天
例4、某商廈今年一月份銷售額為60萬元，二月份由于種種原因，經營不善，銷售額下降10%，以后經加強管理，又使月銷售額上升，到四月份銷售額增加到96萬元，求三、四月份平均每月增長的百分率是多少？
分析：設三、四月份平均每月增長率為x%，二月份的銷售額為60（1–10%）萬元，三月份的銷售額為二月份的（1+x）倍，四月份的銷售額又是三月份的（1+x）倍，所以四月份的銷售額為二月份的（1+x）2倍，等量關系為：四月份銷售額為=96萬元。
例5、一年期定期儲蓄年利率為2.25%，所得利息要交納20%的利息稅，例如存入一年期100元，到期儲戶納稅后所得到利息的計算公式為：
稅后利息=
已知某儲戶存下一筆一年期定期儲蓄到期納稅后得到利息是450元，問該儲戶存入了多少本金？
分析：設存入x元本金，則一年期定期儲蓄到期納稅后利息為2.25%(1-20%)x元，方程容易得出。
例6、某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，減少庫存，商場決定采取適當的降低成本措施，經調查發現，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件。若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應降價多少元？
分析：設每件襯衫應該降價x元，則每件襯衫的利潤為（40-x）元，平均每天的銷售量為（20+2x）件，由關系式：
總利潤=每件的利潤×售出商品的叫量，可列出方程

代數部分
第五章：不等式及不等式組
知識點：
一、不等式與不等式的性質
1、不等式：表示不等關系的式子。（表示不等關系的常用符號：≠，＜，＞）。
2、不等式的性質：
（l）不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數，不等號方向不改變，如a＞ b， c為實數a＋c＞b＋c
（2）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號方向不變，如a＞b， c＞0ac＞bc。
（3）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號方向改變，如a＞b，c＜0ac＜bc.
注：在不等式的兩邊都乘以（或除以）一個實數時，一定要養成好的習慣、就是先確定該數的數性（正數，零，負數）再確定不等號方向是否改變，不能像應用等式的性質那樣隨便，以防出錯。
3、任意兩個實數a，b的大小關系（三種）：
（1）a – b ＞0 a＞b
（2）a – b=0a=b
（3）a–b＜0a＜b
4、（1）a＞b＞0
（2）a＞b＞0
二、不等式（組）的解、解集、解不等式
1、能使一個不等式（組）成立的未知數的一個值叫做這個不等式（組）的一個解。
不等式的所有解的集合，叫做這個不等式的解集。
不等式組中各個不等式的解集的公共部分叫做不等式組的解集。
2．求不等式（組）的解集的過程叫做解不等式（組）。
三、不等式（組）的類型及解法
1、一元一次不等式：
（l）概念：含有一個未知數并且含未知數的項的次數是一次的不等式，叫做一元一次不等式。
（2）解法：與解一元一次方程類似，但要特別注意當不等式的兩邊同乘以（或除以）一個負數時，不等號方向要改變。
2、一元一次不等式組：
（l）概念：含有相同未知數的幾個一元一次不等式所組成的不等式組，叫做一元一次不等式組。
（2）解法：先求出各不等式的解集，再確定解集的公共部分。
注：求不等式組的解集一般借助數軸求解較方便。
例題：
方法1：利用不等式的基本性質
1、判斷正誤：
（1）若a＞b，c為實數，則＞；
（2）若＞，則a＞b
分析：在（l）中，若c=0，則=； 在（2）中，因為”＞”，所以。C≠0，否則應有= 故a＞b

［規律總結］將不等式正確變形的關鍵是牢記不等式的三條基本性質，不等式的兩邊都乘以或除以含有字母的式子時，要對字母進行討論。
方法2：特殊值法
例2、若a＜b＜0，那么下列各式成立的是（ ）
A、 B、ab＜0 C、 D、
分析：使用直接解法解答常常費時間，又因為答案在一般情況下成立，當然特殊情況也成立，因此采用特殊值法。
解：根據a＜b＜0的條件，可取a= –2，b= –l，代入檢驗，易知，所以選D
[規律總結］此種方法常用于解選擇題，學生知識有限，不能直接解答時使用特殊值法，既快，又能找到符合條件的答案。
方法3：類比法
例3、解下列一元一次不等式，并把解集在數軸上表示出來。
（1）8–2（x＋2）＜4x–2；（2）
分析：解一元一次不等式的步驟與解一元一次方程類似，主要步驟有去分母，去括號、移項、合并同類項，把系數化成1，需要注意的是，不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數，不等號要改變方向。

[規律總結］解一元一次不等式與解一元一次方程的步驟類似，但要注意當不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數時，不等號的方向必須改變，類比法解題，使學生容易理解新知識和掌握新知識。
方法4：數形結合法
例4、求不等式組：的非負整數解
分析：要求一個不等式組的非負整數解，就應先求出不等式組的解集，再從解集中找出其中的非負整數解。

方法5：逆向思考法
例5、已知關于x的不等式的解集是x＞3，求a的值。
分析：因為關于x的不等式的解集為x＞3，與原不等式的不等號同向，所以有a – 2 >0，即原不等式的解集為，解此方程求出a的值。

[規律總結]此題先解字母不等式，后著眼已知的解集，探求成立的條件，此種類型題都采用逆向思考法來解。


代數部分
第六章：函數及其圖像
知識點：
一、平面直角坐標系
1、平面內有公共原點且互相垂直的兩條數軸，構成平面直角坐標系。在平面直角坐標系內的點和有序實數對之間建立了—一對應的關系。
2、不同位置點的坐標的特征：
（1）各象限內點的坐標有如下特征：
點P（x, y）在第一象限x ＞0，y＞0；
點P（x, y）在第二象限x＜0，y＞0；
點P（x, y）在第三象限x＜0，y＜0；
點P（x, y）在第四象限x＞0，y＜0。
（2）坐標軸上的點有如下特征：
點P（x, y）在x軸上y為0，x為任意實數。
點P（x，y）在y軸上x為0，y為任意實數。
3．點P（x, y）坐標的幾何意義：
（1）點P（x, y）到x軸的距離是| y |；
（2）點P（x, y）到y袖的距離是| x |；
（3）點P（x, y）到原點的距離是
4．關于坐標軸、原點對稱的點的坐標的特征：
（1）點P（a, b）關于x軸的對稱點是；
（2）點P（a, b）關于x軸的對稱點是；
（3）點P（a, b）關于原點的對稱點是；
二、函數的概念
1、常量和變量：在某一變化過程中可以取不同數值的量叫做變量；保持數值不變的量叫做常量。
2、函數：一般地，設在某一變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說x是自變量，y是x的函數。
（1）自變量取值范圍的確是：
①解析式是只含有一個自變量的整式的函數，自變量取值范圍是全體實數。
②解析式是只含有一個自變量的分式的函數，自變量取值范圍是使分母不為0的實數。
③解析式是只含有一個自變量的偶次根式的函數，自變量取值范圍是使被開方數非負的實數。
注意：在確定函數中自變量的取值范圍時，如果遇到實際問題，還必須使實際問題有意義。
（2）函數值：給自變量在取值范圍內的一個值所求得的函數的對應值。
（3）函數的表示方法：①解析法；②列表法；③圖像法
（4）由函數的解析式作函數的圖像，一般步驟是：①列表；②描點；③連線
三、幾種特殊的函數
1、一次函數

直線位置與k，b的關系：
（1）k＞0直線向上的方向與x軸的正方向所形成的夾角為銳角；
（2）k＜0直線向上的方向與x軸的正方向所形成的夾角為鈍角；
（3）b＞0直線與y軸交點在x軸的上方；
（4）b＝0直線過原點；
（5）b＜0直線與y軸交點在x軸的下方；
2、二次函數

拋物線位置與a，b，c的關系：
（1）a決定拋物線的開口方向
（2）c決定拋物線與y軸交點的位置：
c>0圖像與y軸交點在x軸上方；c=0圖像過原點；c<0圖像與y軸交點在x軸下方；
（3）a，b決定拋物線對稱軸的位置：a，b同號，對稱軸在y軸左側；b＝0，對稱軸是y軸； a，b異號。對稱軸在y軸右側；
3、反比例函數：

4、正比例函數與反比例函數的對照表：

例題：
例1、正比例函數圖象與反比例函數圖象都經過點P（m，4），已知點P到x軸的距離是到y軸的距離2倍.
⑴求點P的坐標.；
⑵求正比例函數、反比例函數的解析式。
分析：由點P到x軸的距離是到y軸的距離2倍可知：2|m|=4，易求出點P的坐標，再利用待定系數法可求出這正、反比例函數的解析式。
例2、已知a，b是常數，且y+b與x+a成正比例.求證：y是x的一次函數.
分析：應寫出y+b與x+a成正比例的表達式，然后判斷所得結果是否符合一次函數定義.
證明：由已知，有y+b=k(x+a)，其中k≠0.
整理，得y=kx+(ka－b).　　　①
因為k≠0且ka－b是常數，故y=kx+(ka－b)是x的一次函數式.
例3、填空：如果直線方程ax+by+c=0中，a＜0，b＜0且bc＜0，則此直線經過第________象限.
分析：先把ax+by+c=0化為.因為a＜0，b＜0，所以，又bc＜0，即＜0，故－＞0.相當于在一次函數y=kx+l中，k=－＜0，l=－＞0，此直線與y軸的交點(0，－)在x軸上方.且此直線的向上方向與x軸正方向所成角是鈍角，所以此直線過第一、二、四象限.
例4、把反比例函數y=與二次函數y=kx2(k≠0)畫在同一個坐標系里，正確的是( ).
答：選(D).這兩個函數式中的k的正、負號應相同(圖13－110).

例5、畫出二次函數y=x2-6x+7的圖象，根據圖象回答下列問題：
（1）當x=-1，1，3時y的值是多少？
（2）當y=2時，對應的x值是多少？
（3）當x＞3時，隨x值的增大y的值怎樣變化？
（4）當x的值由3增加1時，對應的y值增加多少？
分析：要畫出這個二次函數的圖象，首先用配方法把y=x2-6x+7變形為y=（x-3）2-2，確定拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標，然后列表、描點、畫圖．
解：圖象略．
例6、拖拉機開始工作時，油箱有油45升，如果每小時耗油6升．
（1）求油箱中的余油量Q（升）與工作時間t（時）之間的函數關系式；
（2）畫出函數的圖象．
答：（1）Q=45-6t．
（2）圖象略．注意：這是實際問題，圖象只能由自變量t的取值范圍0≤t≤7.5決定是一條線段，而不是直線．

代數部分
第七章：統計初步
知識點：
一、總體和樣本：
在統計時，我們把所要考察的對象的全體叫做總體，其中每一考察對象叫做個體。從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本，樣本中個體的數目叫做樣本容量。
二、反映數據集中趨勢的特征數
1、平均數
（1）的平均數，
（2）加權平均數：如果n個數據中，出現次，出現次，……，出現次（這里），則
（3）平均數的簡化計算：
當一組數據中各數據的數值較大，并且都與常數a接近時，設的平均數為則：。
2、中位數：將一組數據接從小到大的順序排列，處在最中間位置上的數據叫做這組數據的中位數，如果數據的個數為偶數中位數就是處在中間位置上兩個數據的平均數。
3、眾數：在一組數據中，出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數。一組數據的眾數可能不止一個。
三、反映數據波動大小的特征數：
1、方差：
（l）的方差，
（2）簡化計算公式：（為較小的整數時用這個公式要比較方便）
（3）記的方差為，設a為常數，的方差為，則=。
注：當各數據較大而常數a較接近時，用該法計算方差較簡便。
2、標準差：方差（）的算術平方根叫做標準差（S）。
注：通常由方差求標準差。
四、頻率分布
1、有關概念
（1）分組：將一組數據按照統一的標準分成若干組稱為分組，當數據在100個以內時，通常分成5－12組。
（2）頻數：每個小組內的數據的個數叫做該組的頻數。各個小組的頻數之和等于數據總數n。
（3）頻率：每個小組的頻數與數據總數n的比值叫做這一小組的頻率，各小組頻率之和為l。
（4）頻率分布表：將一組數據的分組及各組相應的頻數、頻率所列成的表格叫做頻率分布表。
（5）頻率分布直方圖：將頻率分布表中的結果，繪制成的，以數據的各分點為橫坐標，以頻率除以組距為縱坐標的直方圖，叫做頻率分布直方圖。
圖中每個小長方形的高等于該組的頻率除以組距。
每個小長方形的面積等于該組的頻率。
所有小長方形的面積之和等于各組頻率之和等于1。
樣本的頻率分布反映樣本中各數據的個數分別占樣本容量n的比例的大小，總體分布反映總體中各組數據的個數分別在總體中所占比例的大小，一般是用樣本的頻率分布去估計總體的頻率分布。
2、研究頻率分布的方法；得到一數據的頻率分布和方法，通常是先整理數據，后畫出頻率分布直方圖，其步驟是：
（1）計算最大值與最小值的差；（2）決定組距與組數；（3）決定分點；（4）列領率分布表；（5）繪頻率分布直方圖。
例題：
例1、某養魚戶搞池塘養魚，放養鱔魚苗20000尾，其成活率為70％，隨意撈出10尾魚，稱得每尾的重量如下（單位：千克）0．8、0．9、1．2、1．3、0．8、1．l、1．0、1．2、0．8、0．9
根據樣本平均數估計這塘魚的總產量是多少千克？
分析：先算出樣本的平均數，以樣本平均數乘以20000，再乘以70%。
［規律總結］求平均數有三種方法，即當所給數據比較分散時，一般用平均數的概念來求；著所給數據較大且都在某一數a上下波動時，通常采用簡化公式；若所給教據重復出現時，通常采用加權平均數公式來計算。
例2、一次科技知識競賽，兩次學生成績統計如下

已經算得兩個組的人均分都是80分，請根據你所學過的統計知識進一步判斷這兩個組成績誰優誰次，并說明理由
解：（l）甲組成績的眾數90分，乙組成績的眾數為70分，從眾數比較看，甲組成績好些。
（2）算得=172，
所以甲組成績較乙組波動要小。
（3）甲、乙兩組成績的中位數都是80分，甲組成績在中位數以上的有33人，乙組成績在中位數以上的有26人，從這一角度看甲組的成績總體要好。
（4）從成績統計表看，甲組成績高于80分的人數為20人，乙組成績高于80分的人數為24人，所以，乙組成績集中在高分段的人數多，同時，乙組得滿分的人數比甲組得滿分的人數多6人，從這一角度看，乙組的成績較好。
[規律總結］明確方差或標準差是衡量一組數據的波動的大小的，恰當選用方差的三個計算公式，應抓住三個公式的特征，根據題中數據的特點選用計算公式。
例3、到從某學校3600人中抽出50名男生，取得他們的身高（單位cm），數據如下：181 181 179 177 177 177 176 175 175 175 175 174 174 174 174 173 173 173 173 172 172 172 172 172 171 171 171 170 170 169 l69 168 167 167 167 166 l66 l66 166 166 165 165 165 163 163 162 161 160 158 157
1、計算頻率，并畫出頻率分布直方圖
2、上指出身高在哪一組內的男學生人數所占的比最大
3．請估計這些初三男學生身高在166．5cm以下的約有多少人？

解：1、各組頻率依次是：0.08，0.22，0.22，0.36，0.12

2、從頻率分布表（或圖）中，可見身高在171.5—176.5組內男學生人數所占的比最大。
3、這個地方男學生身高166.5側以下的約為900（人）
[規律總結］要掌握獲得一組數據的頻率分布的五大步驟，掌握整理數據的步驟和方法。會對數據進行合理的分組。
幾何部分
第一章：線段、角、相交線、平行線
知識點：
一、直線：直線是幾何中不加定義的基本概念，直線的兩大特征是“直”和“向兩方無限延伸”。
二、直線的性質：經過兩點有一條直線，并且只有一條直線，直線的這條性質是以公理的形式給出的，可簡述為：過兩點有且只有一條直線，兩直線相交，只有一個交點。
三、射線：
1、射線的定義：直線上一點和它們的一旁的部分叫做射線。
2．射線的特征：“向一方無限延伸，它有一個端點。”
四、線段：
1、線段的定義：直線上兩點和它之間的部分叫做線段，這兩點叫做線段的端點。
2、線段的性質（公理）：所有連接兩點的線中，線段最短。
五、線段的中點：
1、定義如圖1一1中，點B把線段AC分成兩條相等的線段，點B叫做線段圖1－1AC的中點。
2、表示法：
∵AB＝BC
∴點 B為 AC的中點
或∵ AB＝ MAC
∴點 B為AC的中點，或∵AC＝2AB，∴點B為AC的中點
反之也成立
∵點 B為AC的中點，∴AB＝BC
或∵點B為AC的中點， ∴AB= AC
或∵點B為AC的中點， ∴AC=2BC
六、角
1、角的兩種定義：一種是有公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角。要弄清定義中的兩個重點①角是由兩條射線組成的圖形；②這兩條射線必須有一個公共端點。另一種是一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形。可以看出在起始位置的射線與終止位置的射線就形成了一個角。
2．角的平分線定義：一條射線把一個角分成兩個相等的角，
這條射線叫做這個角的平分線。表示法有三種：如圖1—2
（1）∠AOC＝∠BOC
（2）∠AOB＝2∠AOC＝ 2∠COB
（3）∠AOC＝∠COB=∠AOB
七、角的度量：度量角的大小，可用“度”作為度量單位。把一個圓周分成360等份，每一份叫做一度的角。1度=60分；1分=60秒。
八、角的分類：
（1）銳角：小于直角的角叫做銳角
（2）直角：平角的一半叫做直角
（3）鈍角：大于直角而小于平角的角
（4）平角：把一條射線，繞著它的端點順著一個方向旋轉，當終止位置和起始位置成一直線時，所成的角叫做平角。
（5）周角：把一條射線，繞著它的端點順著一個方向旋轉，當終邊和始邊重合時，所成的角叫做周角。
（6）周角、平角、直角的關系是： l周角=2平角=4直角=360°
九、相關的角：
1、對頂角：一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角。
2、互為補角：如果兩個角的和是一個平角，這兩個角做互為補角。
3、互為余角：如果兩個角的和是一個直角，這兩個角叫做互為余角。
4、鄰補角：有公共頂點，一條公共邊，另兩條邊互為反向延長線的兩個角做互為鄰補角。
注意：互余、互補是指兩個角的數量關系，與兩個角的位置無關，而互為鄰補角則要求兩個角有特殊的位置關系。
十、角的性質
1、對頂角相等。
2、同角或等角的余角相等。
3、同角或等角的補角相等。
十一、相交線
1、斜線：兩條直線相交不成直角時，其中一條直線叫做另一條直線的斜線。它們的交點叫做斜足。
2、兩條直線互相垂直：當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直。
3、垂線：當兩條直線互相垂直時，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。
4、垂線的性質
（l）過一點有且只有一條直線與己知直線垂直。
（2）直線外一點與直線上各點連結的所有線段中，垂線段最短。簡單說：垂線段最短。
十二、距離
1、兩點的距離：連結兩點的線段的長度叫做兩點的距離。
2、從直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離。
3、兩條平行線的距離：兩條直線平行，從一條直線上的任意一點向另一條直線引垂線，垂線段的長度，叫做兩條平行線的距離。
說明：點到直線的距離和平行線的距離實際上是兩個特殊點之間的距離，它們與點到直線的垂線段是分不開的。
十三、平行線
1、定義：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。
2、平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。
3、平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。
說明：也可以說兩條射線或兩條線段平行，這實際上是指它們所在的直線平行。
4、平行線的判定：
（1）同位角相等，兩直線平行。
（2）內錯角相等，兩直線平行。
（3）同旁內角互補，兩直線平行。
5、平行線的性質
（1）兩直線平行，同位角相等。
（2）兩直線平行，內錯角相等。
（3）兩直線平行，同旁內角互補。
說明：要證明兩條直線平行，用判定公理（或定理）在已知條件中有兩條直線平行時，則應用性質定理。
6、如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補。
注意：當角的兩邊平行且方向相同（或相反）時，這兩個角相等。當角的兩邊平行且一邊方向相同另一方向相反時，這兩個角互補。
例題：
方法1：利用特殊“點”和線段的長
例1、已知：如圖1－3，C是線段AB的中點，D是線段CB
的中點，BD＝1.2cm。求：AD的長。
[思路分析]由D是CB中點，DB已知可求出CB，再由C點
是AB中點可求出AB長，用AB減減去DB可求AD。

[規律總結]利用線段的特殊點如“中點”“比例點”求線段的長的方法是較為簡便的解法。
方法2：如何辨別角的個數與線段條數。
例2、如圖1－4在線段AE上共有5個點A、B、C、D、E怎樣才數出所有線段，
[思路分析]本問題如不認真審題會誤以為有4點恰有4個空就是4條線段即AB、BC、 CD、 ED；而如果從一個端點出發、再找出另一個端點確定線段，就會發現有10條線段：
即：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10條。
[規律總結]此類型題如果做到不重不漏，最好方法是先從一個端點出發，
再找出另一個端點確定線段。
例3、如圖1一5指出圖形中直
線AB上方角的個數（不含平角）
[思路分析]此題有些同學不認真分析誤認為就4個角，其實共有9個角。即：∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠COD、∠COE、∠COB、∠DOE、∠DOB、∠EOB共9個角。
[規律總結]從一個頂點引出多條射線時．為了確定角的個數，一般按邊順序分類統計，避免既不重復又不遺漏。
方法3：用代數法求角度
例4、已知一個銳角的余角，是這個銳角的補角的，求這個角。
[思路分析]本題涉及到的角是銳角同它的余角及補角。根據互為余角，互為補角的概念，考慮它們在數量上有什么關系？設銳角為x，則它的余角為90 – x 。，它的補角為180 – x，這就可以列方程了。

[規律總結］有關余角、補角的問題，一般都用代數方法先設未知數，再依題意列出方程，求出結果。
方法4：添加輔助線平移角
例5、已知：如圖l—6，AB∥ED
求證：∠B＋∠BCD＋∠D＝360°
[思路分析]我們知道只有周角是等于360°，而圖中又出現了與∠BCD相關的以C為頂點的周角，若能把∠B、∠D移到與∠BCD相鄰且以C為頂點的位置，即可把∠B、∠BCD和∠D三個角組成一分周角，則可推出結論。
證時：略
規律總結]此題雖是三種證法但思想是一樣的，都是通過加輔助線，平移角達到目的，這種處理方法在幾何中常常用到。

幾何部分
第二章：三角形
知識點：
一、關于三角形的一些概念
由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。
組成三角形的線段叫三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫三角形的頂點；相鄰兩邊所組成的角叫三角形的內角，簡稱三角形的角。
1、三角形的角平分線。
三角形的角平分線是一條線段（頂點與內角平分線和對邊交線間的距離）
2、三角形的中線
三角形的中線也是一條線段（頂點到對邊中點間的距離）
3．三角形的高
三角形的高線也是一條線段（頂點到對邊的距離）
注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內。
如圖 2－l， AD、 BE、 CF都是么ABC的角平分線，它們都在△ABC內
如圖2－2，AD、BE、CF都是△ABC的中線，它們都在△ABC內

而圖2－3，說明高線不一定在 △ABC內，

圖2—3—（1） 圖2—3—（2） 圖2－3一（3）
圖2－3—（1），中三條高線都在△ ABC內，
圖2－3－（2），中高線CD在△ABC內，而高線AC與BC是三角形的邊；
圖2－3一（3），中高線BE在△ABC內，而高線AD、CF在△ABC外。
三、三角形三條邊的關系
三角形三邊都不相等，叫不等邊三角形；有兩條邊相等的叫等腰三角形；三邊都相等的則叫等邊三角形。
等腰三角形中，相等的兩條邊叫腰，另一邊叫底邊，腰和底邊的夾角叫底角，兩腰的夾角叫項角。
三角形接邊相等關系來分類：
三角形
用集合表示，見圖2－4

推論三角形兩邊的差小于第三邊。
不符合定理的三條線段，不能組成三角形的三邊。
例如三條線段長分別為5，6，1人因為5＋6＜12，所以這三條線段，不能作為三角形的三邊。
三、三角形的內角和
定理三角形三個內角的和等于180°
由定理可知，三角形的二個角已知，那么第三角可以由定理求得。
如已知△ABC的兩個角為∠A＝90°，∠B＝40°，則∠C＝180°–90°–40°＝50°
由定理可以知道，三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角。
推論1：直角三角形的兩個銳角互余。
三角形按角分類：

用集合表示，見圖

三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角。
推論2：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和。
推論3：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。
例如圖2—6中
∠1 ＞∠3；∠1=∠3＋∠4；∠5＞∠3＋∠8；∠5＝∠3＋∠7＋∠8；
∠2＞∠8；∠2＝∠7＋∠8；∠4＞∠9；∠4＝∠9＋∠10等等。
四、全等三角形
能夠完全重合的兩個圖形叫全等形。
兩個全等三角形重合時，互相重合的頂點叫對應頂點，互相重合的邊叫對應邊，互相重合的角叫對應角。
全等用符號“≌”表示
△ABC≌△A `B`C`表示 A和 A`， B和B`， C和C`是對應點。
全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等。

如圖2—7，△ABC≌△A `B`C`，則有A、B、C的對應點A`、B`、C`；AB、BC、CA的對應邊是A`B`、B`C`、C`A`。
∠A，∠B，∠C的對應角是∠A`、∠B`、∠C`。
∴AB＝A`B`，BC＝B`C`，CA＝C`A`；∠A＝∠A`，∠ B＝∠B`，∠C＝∠C`
五、全等三角形的判定
1、邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）
注意：一定要是兩邊夾角，而不能是邊邊角。
2、角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角“或“ASA”）
3、推論有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊’域“AAS”）
4、邊邊邊公理有三邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）
由邊邊邊公理可知，三角形的重要性質：三角形的穩定性。
除了上面的判定定理外，“邊邊角”或“角角角”都不能保證兩個三角形全等。
5、直角三角形全等的判定：斜邊、直角邊公理有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊，直角邊”或“HL”）
六、角的平分線
定理1、在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。
定理2、一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。
由定理1、2可知：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合。
可以證明三角形內存在一個點，它到三角形的三邊的距離相等這個點就是三角形的三條角平分線的交點（交于一點）
在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互為逆命題，如果把其中的一個做原命題，那么另一個叫它的逆命題。
如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫互逆定理，其中一個叫另一個的逆定
理。
例如：“兩直線平行，同位角相等”和“同位角相等，兩直線平行”是互逆定理。
一個定理不一定有逆定理，例如定理：“對頂角相等”就沒逆定理，因為“相等的角是對頂角”這是一個假命顆。
七、基本作圖
限定用直尺和圓規來畫圖，稱為尺規作網＿
最基本、最常用的尺規作圖．通常稱為基本作圖，例如做一條線段等于己知線段。
1、作一個角等于已知角：作法是使三角形全等（SSS），從而得到對應角相等；
2、平分已知角：作法仍是使三角形全等（SSS）．從而得到對應角相等。
3、經過一點作已知直線的垂線：（1）若點在已知直線上，可看作是平分已知角平角；（2）若點在已知直線外，可用類似平分已知角的方法去做：已知點 C為圓心，適當長為半徑作弧交已知真線于A、B兩點，再以A、B為圓心，用相同的長為半徑分別作弧交于D點，連結CD即為所求垂線。
4、作線段的垂直平分線：
線段的垂直平分線也叫中垂線。
做法的實質仍是全等三角形（SSS）。
也可以用這個方法作線段的中點。
八、作圖題舉例
重要解決求作三角形的問題
1、已知兩邊一夾角，求作三角形
． 2、已知底邊上的高，求作等腰三角形
九、等腰三角形的性質定理
等腰三角形的性質定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）
推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，就是說：等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。
推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°
例如：等腰三角形底邊中線上的任一點到兩腰的距離相等，因為等腰三角形底邊中線就是頂角的角平分線、而角平分線上的點到角的兩邊距離相等n
十、等腰三角形的判定
定理：如果一個三角形有兩個角相，那這兩個角所對的兩條邊也相等。（簡寫成“等角對等動”）。
推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形
推論2：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形
推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于3O°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。
十一、線段的垂直平分線
定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等
逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。
就是說：線段的垂直平分線可以看作是和線段兩個端點距離相等的所有點的集合。
十二、軸對稱和軸對稱圖形
把一個圖形沿著某一條直線折疊二如果能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線軸對稱，兩個圖形中的對應點叫關于這條直線的對稱點，這條直線叫對稱軸。
兩個圖形關于直線對稱也叫軸對稱。
定理1：關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。
定理2：如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線。
定理3：兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長相交。那么交點在對稱軸上。
逆定理：如果兩個圖形的對應點連線被一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱。
如果一個圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是對稱軸。
例如：等腰三角形頂角的分角線就具有上面所述的特點，所以等腰三角形頂角的分角線是等腰三角形的一條對稱軸，而等腰三角形是軸對稱圖形。
十三、勾股定理
勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方：
勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c有下面關系：
那么這個三角形是直角三角形
例題：
例1、已知：AB、CD相交于點O，AC∥DB，OC=OD,E、F為AB上兩點，且AE=BF.求證：CE=DF
分析：要證CE=DF，可證△ACE≌△BDF，但由已知條件直接證不出全等，這時由已知條件可先證出△AOC≌△BOD，得出AC=BD，從而證出△ACE≌△BDF.
證明：略
例2、已知：如圖，AB=CD，BC=DA，E、F是AC上兩點，且AE=CF。求證：BF=DE
分析：觀察圖形，BF和DE分別在△CFB和△AED（或△ABF和△CDE）中，由已知條件不能直接證明這兩個三角形全等。這時可由已知條件先證明△ABC≌△CDA,由此得∠1=∠2，從而證出△CFB≌△AED。
證明：略
例3、已知：∠CAE是三角形ABC的外角, ∠1=∠2， AD∥BC 。
求證：AB=AC
證明：略


例4、已知：如圖 3－ 89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于 C，ED⊥OB于 D．求證：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD．
分析：證明第（1）題時，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分線的性質定理得到 OC＝OD．這樣處理，可避免證明兩個三角形全等．
證明：略





幾何部分
第三章：四邊形
知識點：
一、多邊形
1、多邊形：由一些線段首尾順次連結組成的圖形，叫做多邊形。
2、多邊形的邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊。
3、多邊形的頂點：多邊形每相鄰兩邊的公共端點叫做多邊形的頂點。
4、多邊形的對角線：連結多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。
5、多邊形的周長：多邊形各邊的長度和叫做多邊形的周長。
6、凸多邊形：把多邊形的任何一條邊向兩方延長，如果多邊形的其他各邊都在延長線所得直線的問旁，這樣的多邊形叫凸多邊形。
說明：一個多邊形至少要有三條邊，有三條邊的叫做三角形；有四條邊的叫做四邊形；有幾條邊的叫做幾邊形。今后所說的多邊形，如果不特別聲明，都是指凸多邊形。
7、多邊形的角：多邊形相鄰兩邊所組成的角叫做多邊形的內角，簡稱多邊形的角。
8、多邊形的外角：多邊形的角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做多邊形的外角。
注意：多邊形的外角也就是與它有公共頂點的內角的鄰補角。
9、n邊形的對角線共有條。
說明：利用上述公式，可以由一個多邊形的邊數計算出它的對角線的條數，也可以由一個多邊形的對角線的條數求出它的邊數。
10、多邊形內角和定理：n邊形內角和等于（n－2）180°。
11、多邊形內角和定理的推論：n邊形的外角和等于360°。
說明：多邊形的外角和是一個常數（與邊數無關），利用它解決有關計算題比利用多邊形內角和公式及對角線求法公式簡單。無論用哪個公式解決有關計算，都要與解方程聯系起
來，掌握計算方法。
二、平行四邊形
1、平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
2、平行四邊形性質定理1：平行四邊形的對角相等。
3、平行四邊形性質定理2：平行四邊形的對邊相等。
4、平行四邊形性質定理2推論：夾在平行線間的平行線段相等。
5、平行四邊形性質定理3：平行四邊形的對角線互相平分。
6、平行四邊形判定定理1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
7、平行四邊形判定定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。
8、平行四邊形判定定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
9、平行四邊形判定定理4：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。
說明：（1）平行四邊形的定義、性質和判定是研究特殊平行四邊形的基礎。同時又是證明線段相等，角相等或兩條直線互相平行的重要方法。
（2）平行四邊形的定義即是平行四邊形的一個性質，又是平行四邊形的一個判定方法。
三、矩形
矩形是特殊的平行四邊形，從運動變化的觀點來看，當平行四邊形的一個內角變為90°時，其它的邊、角位置也都隨之變化。因此矩形的性質是在平行四邊形的基礎上擴充的。
1、矩形：有一個角是直角的平行四邊形叫做短形（通常也叫做長方形）
2、矩形性質定理1：矩形的四個角都是直角。
3．矩形性質定理2：矩形的對角線相等。
4、矩形判定定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形。
說明：因為四邊形的內角和等于360度，已知有三個角都是直角，那么第四個角必定是直角。
5、矩形判定定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形。
說明：要判定四邊形是矩形的方法是：
法一：先證明出是平行四邊形，再證出有一個直角（這是用定義證明）
法二：先證明出是平行四邊形，再證出對角線相等（這是判定定理1）
法三：只需證出三個角都是直角。（這是判定定理2）
四、菱形
菱形也是特殊的平行四邊形，當平行四邊形的兩個鄰邊發生變化時，即當兩個鄰邊相等時，平行四邊形變成了菱形。
1、菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。
2、菱形的性質1：菱形的四條邊相等。
3、菱形的性質2：菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。
4、菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形。
5、菱形判定定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。
說明：要判定四邊形是菱形的方法是：
法一：先證出四邊形是平行四邊形，再證出有一組鄰邊相等。（這就是定義證明）。
法二：先證出四邊形是平行四邊形，再證出對角線互相垂直。（這是判定定理2）
法三：只需證出四邊都相等。（這是判定定理1）
（五）正方形
正方形是特殊的平行四邊形，當鄰邊和內角同時運動時，又能使平行四邊形的一個內角為直角且鄰邊相等，這樣就形成了正方形。
1、正方形：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。
2、正方形性質定理1：正方形的四個角都是直角，四條邊都相等。
3、正方形性質定理2：正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。
4、正方形判定定理互：兩條對角線互相垂直的矩形是正方形。
5、正方形判定定理2：兩條對角線相等的菱形是正方形。
注意：要判定四邊形是正方形的方法有
方法一：第一步證出有一組鄰邊相等； 第二步證出有一個角是直角；第三步證出是平行四邊形。（這是用定義證明）
方法二：第一步證出對角線互相垂直；第二步證出是矩形。（這是判定定理1）
方法三：第一步證出對角線相等；第二步證出是菱形。（這是判定定理2）
六、梯形
1、梯形：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。
2、梯形的底：梯形中平行的兩邊叫做梯形的底（通常把較短的底叫做上底，較長的邊叫做下底）
3、梯形的腰：梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。
4、梯形的高：梯形有兩底的距離叫做梯形的高。
5、直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。
6、等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。
7、等腰梯形性質定理1：等腰梯形在同一底上的兩個角相等。
8、等腰梯形性質定理2：等腰梯形的兩條對角線相等。
9、等腰梯形的判定定理l。：在同一個底上鉤兩個角相等的梯形是等腰梯形。
10、等腰梯形的判定定理2：對角線相等的梯形是等腰梯形。
研究等腰梯形常用的方法有：化為一個等腰三角形和一個平行四邊形；或兩個全等的直角三角形和一矩形；或作對角線的平行線交下底的延長線于一點；或延長兩腰交于一點。
七、中位線
1、三角形的中位線連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。
說明：三角形的中位線與三角形的中線不同。
2、梯形的中位線：連結梯形兩腰中點的線段叫做梯形中位線。
3、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。
4、梯形中位線定理：梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。
八、多邊形的面積
說明：多邊形的面積常用的求法有：

（1）將任意一個平面圖形劃分為若干部分再通過求部分的面積的和，求出原來圖形的面積這種方法叫做分割法。如圖3－l，作六邊形的最長的一條對角線，從其它各頂點向這條對角線引垂線，把六邊形分成四個直角三角形和兩個直角梯形，計算它們的面積再相加。
（2）將一個平面圖形的某一部分割下來移放在另一個適當的位置上，從而改變原來圖形的形狀。利用計算變形后的圖形的面積來求原圖形的面積的這種方法。叫做割補法。——
（3）將一個平面圖形通過拼補某一圖形，使它變為另一個圖形，利用新的圖形減去所補充圖形的面積，來求出原來圖形面積的這種方法叫做拼湊法。
注意：兩個圖形全等，它們的面積相等。等底等高的三角面積相等。一個圖形的面積等于它的各部分面積的和。
例題：
例1、如圖41-2，求∠B+∠C+∠D的度數和。
　　
例2、一個多邊形的每一個外角都等于45°，那么這個多邊形的內角和是多少度。
分析：用多邊形外角和公式就可以求解。

例3、已知：如圖43-1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，∠EAF=60°，BE=2cm，DF=3cm。求□ABCD內角的度數與邊長。
　　
例4、如圖45-4，在□ABCD中，對角線AC、BD交于O點，EF過O分別交BC、AD于點E、F，且AE⊥BC，求證：四邊形AECF是矩形。
　　
例5、如圖48-3，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分別為CD、AB的中點，且MN⊥AB。
求證：梯形ABCD是等腰梯形。
　　
　　　圖48-3
例6、已知：如圖49-2，梯形ABCD中，AB⊥BC，DE=EC。求證：AE=EB。
　　
幾何部分
第四章：相似形
知識點：
一、比例線段
1、比：選用同一長度單位量得兩條線段。a、b的長度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比是a：b＝m：n（或）
2、比的前項，比的后項：兩條線段的比a：b中。a叫做比的前項，b叫做比的后項。
說明：求兩條線段的比時，對這兩條線段要用同一單位長度。
3、比例：兩個比相等的式子叫做比例，如
4、比例外項：在比例（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外項。
5、比例內項：在比例（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例內項。
6、第四比例項：在比例（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例項。
7、比例中項：如果比例中兩個比例內項相等，即比例為（或a:b=b:c時，我們把b叫做a和d的比例中項。
8、比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。
9、比例的基本性質：如果a：b＝c：d那么ad＝bc逆命題也成立，即如果ad＝bc，那么a：b＝c：d
10、比例的基本性質推論：如果a：b=b：d那么b2=ad，逆定理是如果b2=ad那么a：b=b：c。說明：兩個論是比積相等的式子叫做等積式。比例的基本性質及推例式與等積式互化的理論依據。
11、合比性質：如果，那么
12．等比性質：如果，（），那么
說明：應用等比性質解題時常采用設已知條件為k ，這種方法思路單一，方法簡單不易出錯。
13、黃金分割把一條線段分成兩條線段，使較長的線段是原線段與較小的線段的比例中項，叫做把這條線段黃金分割。
說明：把一條線段黃金分割的點，叫做這條線段的黃金分割點，在線段AB上截取這條線段的倍得到點C，則點C就是AB的黃金分割點。
二、平行線分線段成比例
1、平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也相等。
格式：如果直線L1∥L2∥L3， AB＝ BC，
那么：A1B1＝B1C1，如圖4－l
說明：由此定理可知推論1和推論2
推論1：經過梯形一腰的中點與底平行的直線必平分另一腰。
格式：如果梯形ABCD，AD∥BC，AE＝EB，EF∥AD，那么DF=FC

推論2：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊。
格式，如果△ABC中，D是AB的中點，DE∥BC，那么AE＝EC，如圖4—3
2、平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。
說明：平行線等分線段定理是平行線分線段成比問定理的特殊情況。

3．平行線分線段成比例定理的推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所得的對應線段成比例。
說明1：平行線分線段成比例定理可用形象的語言來表達。如圖4—4
說明2：圖4－4的三種圖形中這些成比例線段的位置關系依然存在。
4、三角形一邊的平行線的判定定理。如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

5、三角形一邊的平行線的判定定理：平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例。
6、線段的內分點：在一條線段上的一個點，將線段分成兩條線段，這個點叫做這條線段的內分點。
7、線段的外分點：在一條線段的延長線上的點，有時也叫做這條線段的外分點。
說明：外分點分線段所得的兩條線段，也就是這個點分別和線段的兩個端點確定的線段。
三、相似三角形
1、相似三角形：兩個對應角相等，對應邊成比例的三角形叫做相似三角形。
說明：證兩個三角形相似時和證兩個三角形全等一樣，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上，這樣便于找出相似三角形的對應角和對應邊。
2、相似比：相似三角形對應邊的比k，叫做相似比（或叫做相似系數）。
3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一邊的直線和其它兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似。
說明：這個定理反映了相似三角形的存在性，所以有的書把它叫做相似三角形的存在定理，它是證明三角形相似的判定定理的理論基礎。
4、三角形相似的判定定理：
（1）判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么就兩個三角形相似。可簡單說成：兩角對應相等，兩三角形相似。
（2）判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似，可簡單說成：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似。
（3）判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似，可簡單說成：三邊對應成比例，兩三角形相似。
（4）直角三角形相似的判定定理如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似。
說明：以上四個判定定理不難證明，以下判定三角形相似的命題是正確的，在解題時，也可以用它們來判定兩個三角形的相似。
第一：頂角（或底角）相等的兩個等腰三角形相似。
第二：腰和底對應成比例的兩個等腰三角形相似。
第三：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。
第四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似。
第五：如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線對應成比例，那么這兩個三角形．相似。
5、相似三角形的性質：
（1）相似三角形性質1：相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比。
（2）相似三角形性質2：相似三角形周長的比等于相似比。
說明：以上兩個性質簡單記為：相似三角形對應線段的比等于相似比。
（3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。
說明：兩個三角形相似，根據定義可知它們具有對應角相等、對應邊成比例這個性質。
6、介紹有特點的兩個三角形
（1）共邊三角形指有一條公共邊的兩個三角形叫做共邊三角形。
（2）共角三角形有一個角相等或互補的兩個三角形叫做共角三角形，如圖4－6

（3）公邊共角有一個公共角，而且還有一條公共邊的兩個三角形叫做公邊共角三角形。
說明：具有公邊共角的兩個三角形相似，則公邊的平方等于疊在一條直線上的兩邊的乘積：如圖4—7若△ACD∽△ABC，則AC2＝AD·AB
例題：
例1、已知：的值.
分析：已知等比條件時常有以下幾種求值方法：
(1)設比值為k;
(2)比例的基本性質；
(3)方程的思想，用其中一個字母表示其他字母.
解：由，得a:b=2:3,b:c=5:4,即a:b:c=10:15:12.設a=10k,b=15k,c=12k, 則(a+b):(b－c)=25:3.
例2 已知：如圖5－126(a)，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線交于O點，過O作EF∥BC，分別交AB，DC于E，F.求證：(1)OE=OF;(2);(3)若MN為梯形中位線，求證AF∥MC.

分析：
(1)利用比例證明兩線段相等的方法.
①若,a=c(或b=d或a=b)，則b=d(或a=c或c=d)；
②若,則a=b(只適用于線段，對實數不成立)；
③若,,a=a′,b=b′,c=c′,則d=d′.
(2)利用平行線證明比例式及換中間比的方法.
(3)證明時，可將其轉化為“”類型后：
①化為直接求出各比值，或可用中間比求出各比值再相加，證明比值的和為1；
②直接通分或移項轉化為證明四條線段成比例.
(4)可用分析法證明第(3)題，并延長兩腰將梯形問題轉化為三角形問題.
延長BA，CD交于S，AF∥MC

∴ AF∥MC成立.
(5)用運動的觀點將問題進行推廣.
若直線EF平行移動后不過點O，分別交AB，BD，AC，CD于E，O1，O2，F，如圖5－126(b),O1F
與O2F是否相等?為什么?
(6)其它常用的推廣問題的方法有：類比、從特殊到一般等
例3 已知：如圖5－127，在ΔABC中，AB=AC，D為BC中點，DE⊥AC于E，F為DE中點，BE交AD于N，AF交BE于M.求證：AF⊥BE.
分析：

(1)分解基本圖形探求解題思路.
(2)總結利用相似三角形的性質證明兩角相等，進一步證明兩直線位置關系(平行、垂直等)
的方法，利用ΔADE∽ΔDCE得到
結合中點定義得到,結合∠3=∠C,得到ΔBEC∽ΔAFD，因此∠1=∠2.進一步可
得到AF⊥BE.
(3)總結證明四條線段成比例的常用方法：①比例的定義；②平行線分線段成比例定理；③
三角形相似的預備定理；④直接利用相似三角形的性質；⑤利用中間比等量代換；⑥利用面
積關系.
例4 已知：如圖5－128，RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F.
求證：(1)CD3=AAE·BF·AB；(2)BC2：AC2=CE:EA;(3)BC3:AC3=BF:AE.
分析：

掌握基本圖形“RtΔABC，∠C=90°，CD⊥AB于D”中的常用結論.
①勾股定理：AC2+BC2=AB2.
②面積公式：AC·BC=AB·CD.
③三個比例中項：AC2=AD·AB,BC2=BD·BA,CD2=DA·DB.

⑤
證明：第(1)題：
∵ CD2=AD·BD,
∴ CD4=AD2·BD2=(AE·AC)·(BF·BC)=(AE·BF)(AC·BC) =(AE·BF)·(AB·CD).
第(2)題：
∵,利用ΔBDF∽ΔDAE，證得,命題得證.
第(3)題：
∵,
∴,∴


第五章：解直角三角形
知識點：
一、銳角三角函數：在直角三角形ABC中，∠C是直角，如圖5－1
1、正弦：把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作
2、余弦：把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作
3、正切：把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作
4、余切：把銳角A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的余切，記作
說明：由定義可以看出tanA·cotA＝l（或寫成）
5、銳角三角函數：銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數
說明：銳角三角函數都不能取負值。
0＜ sinA＜ l； 0＜cosA＜；l
6、銳角的正弦和余弦之間的關系任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。
即sinA＝cos（90°一 A）＝cosB；cosA＝sin（90°一A）＝sinB
7、銳角的正切和余切之間的關系任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。
即tanA＝cot（90°一 A）＝cotB；cotA＝tan（90°－A）＝ tanB
說明：式中的90°一A = B 。
8、三角函數值的變化規律
（1）當角度在0°— 90°間變化時，正弦值（正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）
（2）當角度在0°—90°間變化時，余弦值（余切值）隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大）。
9、同角三角函數關系公式
（1）；（2）；（3） tanA＝
10．一些特殊角的三角函數值

二、解直角三角形
由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。
若直角三角形ABC中，∠C＝90°，那么A、B、C，a，b，c中除∠C＝90°外，其余5個元素之間有關系：
（l）；（2）∠A十∠B＝90°；
（3）；；；
所以，只要知道其中的2個元素（至少有一個是邊），就可以求出其余3個未知數。
例如Rt△ABC中，∠C＝90°，且∠A＝30°，a＝5，
則由：



三、應用舉例
是實際問題中的解直角三角形，或者說用解直角三角形的方法解決實際問題。
例如一桿AB直立地面，從D點看桿頂A，仰角為60°，從C點看桿頂A，仰角為30°（如圖5～2）若CD長為10米，求桿AB的高。
解：設AB＝x
即，，
即
，，∴
即桿高約8．66米，應用題中要注意：
（1）仰角，俯角見圖5－3
（2）跨度、中柱：如房屋頂人字架跨度為AB，見圖5—4

（3）深度、燕尾角
如燕尾槽的深度，見圖5—5

（4）坡度、坡角
見圖5一6坡度i＝7坡度的垂直高度h水平寬度，
例題：
例1、根據下列條件，解直角三角形．

例2、在平地上一點C，測得山頂A的仰角為30°，向山沿直線前進20米到D處，再測得山頂A的仰角為45°，求山高AB．
分析：此題一方面可引導學生復習仰角、俯角的概念，同時，可引導學生加以分析：
如圖6-39，根據題意可得AB⊥BC，得∠ABC=90°，△ABD和△ABC都是直角三角形，且C、D、B在同一直線上，由∠ADB=45°，AB=BD，CD=20米，可得BC=20+AB，在Rt△ABC中，∠C=30°，可得AB與BC之間的關系，因此山高AB可求．學生在分析此題時遇到的困難是：在Rt△ABC中和Rt△ABD中，都找不出一條已知邊，而題目中的已知條件CD=20米又不會用．

例題3如圖6-40，水庫的橫截面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB
壩底寬AD(精確到0.1m)．
分析：坡度問題是解直角三角形的一個重要應用，學生在解坡度問題時常遇到以下問題：
1．對坡度概念不理解導致不會運用題目中的坡度條件；
2．坡度問題計算量較大，學生易出錯；
3．常需添加輔助線將圖形分割成直角三角形和矩形．
幾何部分
第六章：圓
知識點：
一、圓
1、圓的有關性質
在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫圓，固定的端點O叫圓心，線段OA叫半徑。
由圓的意義可知：
圓上各點到定點（圓心O）的距離等于定長的點都在圓上。
就是說：圓是到定點的距離等于定長的點的集合，圓的內部可以看作是到圓。心的距離小于半徑的點的集合。
圓的外部可以看作是到圓心的距離大于半徑的點的集合。連結圓上任意兩點的線段叫做弦，經過圓心的弦叫直徑。圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧。
圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫半圓，大于半圓的弧叫優弧；小于半圓的弧叫劣弧。由弦及其所對的弧組成的圓形叫弓形。
圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫同心圓。
能夠重合的兩個圓叫等圓。
同圓或等圓的半徑相等。
在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫等弧。
二、過三點的圓
l、過三點的圓
過三點的圓的作法：利用中垂線找圓心
定理不在同一直線上的三個點確定一個圓。
經過三角形各頂點的圓叫三角形的外接圓，外接圓的圓心叫外心，這個三角形叫圓的內接三角形。
2、反證法
反證法的三個步驟：
①假設命題的結論不成立；
②從這個假設出發，經過推理論證，得出矛盾；
③由矛盾得出假設不正確，從而肯定命題的結論正確。
例如：求證三角形中最多只有一個角是鈍角。
證明：設有兩個以上是鈍角
則兩個鈍角之和＞180°
與三角形內角和等于180°矛盾。
∴不可能有二個以上是鈍角。
即最多只能有一個是鈍角。
三、垂直于弦的直徑
圓是軸對稱圖形，經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。
推理1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對兩條弧。
弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。
平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一個條弧。
推理2：圓兩條平行弦所夾的弧相等。
四、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系
圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。
實際上，圓繞圓心旋轉任意一個角度，都能夠與原來的圖形重合。
頂點是圓心的角叫圓心角，從圓心到弦的距離叫弦心距。
定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距相等。
推理：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中，有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等。
五、圓周角
頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角。
推理1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。
推理2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。
推理3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。
由于以上的定理、推理，所添加輔助線往往是添加能構成直徑上的圓周角的輔助線。
六、圓的內接四邊形
多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫圓內接多邊形，這個圓叫這個多邊形的外接圓
定理：圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角。
例如圖6—1，連EF后，可得：
∠DEF＝∠B
∠DEF＋∠A＝180°
∴∠A＋∠B＝18ry
∴BC∥DA
七、直線和圓的位置關系
1、直線和圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這時直線叫圓的割線
直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫圓的切線，唯一的公共點叫切點。
直線和圓沒有公共點時，叫直線和圓相離。
2、若圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則：
直線和圓相交d＜r；直線和圓相切d＝r；直線和圓相離d＞r；直線和圓相交d＜r
例如：圖6－2中，直線與圓O相割，有：r＞d
圖6－3中，直線與圓O相切，r＝d
圖6－4中，直線與圓O相離，r＜d
八、切線的判定和性質
切線的判定：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑
推理1：經過圓心且垂直干切線的直線必經過切點。
推理2：經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心。
例如圖6－5中，O為圓心，AC是切線，D為切點。
∠B＝90°
則有BC是切線
OD是半徑
OD⊥AC
九、三角形的內切圓
要求會作圖，使它和己知三角形的各邊都相切
∵分角線上的點到角的兩邊距離相等。
∴兩條分角線的交點就是圓心。
這樣作出的圓是三角形的內切圓，其圓心叫內心，三角形叫圓的外切三角形。
和多邊形各邊都相切的圓叫多邊形的內切圓，多邊形叫圓的外切多邊形。
十、切線長定理
經過圓外一點可作圓的兩條切線。在經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長，叫這點到圓的切線長。
切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等。圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角，如圖6－6
B、C為切點，O為圓心。
AB＝AC，∠1＝∠2
十一、弦切角
頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角。
弦切角定理弦切角等于它所央的弧對的圓周角。
推理如果兩個弦切角所央的弧相等，那么這兩個弦切角也相等。
例如圖6－7，AB為切線，
則有：∠C＝∠BAE，∠BAE＝∠D
∴∠C＝∠D
十二、和圓有關的比例線段
相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。
推理：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。
切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。
推理：從圓外一點引兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等，如圖6－8，若F為切點
則有：AF2=AH·AC，AG·AB＝AF2
EM·MD=BM·MG
CN·NH=DN·NE
十三、圓和圓的位置關系如圖6－9
若連心線長為d，兩圓的半徑分別為R，r，則：
1、兩圓外離d ＞R＋r；
2、兩圓外切d = R＋r；
3、兩圓相交R－r＜d＜R＋r（R＞r）
4、兩圓內切d = R－r；（R＞r）
5、兩圓內含d＜R－r。（R＞r）
定理相交兩圓的連心線垂直平分丙兩圓的公共弦。
如圖6－10，O1，O2為圓心，
則有：AB⊥O1O2，且AB被O1O2平分
十四、兩圓的公切線
和兩個圓都相切的直線叫兩圓的公切線，兩圓在公切線同旁時，叫外公切線，在公切線兩旁時，叫內公切線，公切線上兩個切點的距離叫公切線的長。
如圖6－11，若 A、B、C、D為切點，則AB為內公切線長，CD為外公切線長
內外公切線中的重要直角三角形，如圖6－12，OO1A為直角三角形。
d2=（R－r）2＋e2為外公切線長，
又如圖 6－13， OO1C為直角三角形。
d2＝（R十r）2＋ e’2為內公切線長。

十五、相切在作圖中的應用
生活、生產中常常需要由一條線（線段或孤）平滑地渡到另一條線上，通常稱為圓弧連接，簡稱連接，連接時，線段與圓弧，圓弧與圓弧在連接外相切，如圖 6－ 14

十六、正多邊形和圓
各邊相等，各角也相等的多邊形叫正多邊形。
定理：把圓分成n（n＞3）等分：
（l）依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內按正多邊形；
（2）經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形。
定理：任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓。
正多邊形的外接（或內切）圓的圓心叫正多邊形的中心。外接圓的半徑叫正多邊形的半徑，內切圓的半徑叫正多邊形的邊心距。
正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等，叫正多邊形的中心角。
正n邊形的每個中心角等于
正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心。
若n為偶數，則正n邊形又是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心。
邊數相同的正多邊形相似，所以周長的比等于邊長的比，面積的比等于邊長平方的比。
十七、正多邊形的有關計算
正n邊形的每個內角都等于
定理：正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形。正多邊形的有關計算都歸結為解直角三角形的計算。
十八、畫正多邊形
1、用量角器等分圓
2、用尺規等分圓
正三、正六、正八、正四及其倍數（正多邊形）。
正五邊形的近似作法；
二十、圓周長、弧長
1、圓周長C＝2πR；2、弧長
二十一、圓扇形，弓形的面積
l、圓面積：；
2、扇形面積：一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形。
在半徑為R的圓中，圓心角為n°的扇形面積S扇形的計算公式為：
注意：因為扇形的弧長。所以扇形的面積公式又可寫為
（3）弓形的面積
由弦及其所對的弧組成的圓形叫做弓形。
弓形面積可以在計算扇形面積和三角形面積的基礎上求得。如果弓形的弧是劣弧，則弓形面積等于扇形面積減去三角形面積。若弓形的弧是優弧，則弓形面積等于扇形面積加上三角形面積。
二十二、圓柱和圓錐的側面展開圖
1、圓柱的側面展開圖
圓柱可以看作是由一個矩形旋轉得到的，如把矩形ABCD繞邊AB旋轉一周得到的圖形是一個圓柱。（圖6一16）
AB叫圓柱的軸，圓柱側面上平行軸的線段CD， C’D’，…都叫圓柱的母線。
圓柱的母線長都相等，等于圓柱的高。
圓柱的兩個底面是平行的。
圓柱的側面展開圖是一個長方形，如圖6－17，其中AB=高，AC=底面圓周長。
∴S側面=2πRh
圓柱的軸截面是長方形一邊長為h，一邊長為2R
R是圓柱底半徑，h是圓柱的高。見圖6－8

（2）圓錐的側面展開圖
圓錐可以看作由一個直角三角形旋轉得到。
如圖6－19，把Rt△OAS繞直線SO旋轉一周得到的圖形就是圓錐。
旋轉軸SO叫圓錐的軸，連通過底面圓的圓心，且垂直底面。
連結圓錐頂點和底面圓的任意一點的SA、SA’、…都叫圓錐的母線，母線長都相等。
圓錐的側面展開圖如圖6一19是一個扇形SAB
半徑是母線長，AB是2πR。（底面的周長），所以圓錐側面積為S側面=πRL
例題：
例1、如圖7.2-1，AB是⊙O的直徑，AD⊥CD,BC⊥CD,且AD+BC=AB，
1、求證：⊙O與CD相切；
2、若CD=3，求AD?BC.
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