資源簡介

5　平行四邊形和梯形
　一、平面內兩直線的位置關系 1.同一平面內兩條直線的位置關系:相交和不相交。(如下圖) 2.平行:在同一個平面內不相交的兩條直線叫做平行線,也可以說這兩條直線互相平行。 3.垂直:如果兩條直線相交成直角,就說這兩條直線互相垂直,其中一條直線叫做另一條直線的垂線,這兩條直線的交點叫做垂足。 如下圖: 圖1:直線a和直線b互相平行,直線a是直線b的平行線。記作a∥b，讀作a平行于b。 圖2:直線a和直線b互相垂直;直線a是直線b的垂線;點O是垂足。 4.畫垂線的方法。 (1)過直線上一點畫這條直線的垂線的方法。 先把三角尺的一條直角邊與已知直線重合,再讓三角尺上的直角頂點與直線上的點重合,最后用筆沿另一條直角邊畫出直線即可。(如下圖所示) (2)過直線外一點畫這條直線的垂線的方法。 先把三角尺的一條直角邊與已知直線重合,再讓三角尺的另一條邊與直線外的點重合,最后用筆沿這條邊畫出直線即可。(如下圖所示) 5.點到直線的距離:從直線外一點到這條直線所畫的垂直線段最短,它的長度叫做這點到直線的距離。 6.平行線的畫法。 (1)平行線的畫法。 用直尺和三角尺畫平行線,先把三角尺的一條直角邊緊靠直線,再讓直尺緊靠三角尺的另一條直角邊,這時沿直尺平移三角尺,再畫一條直線即可。(如圖) (2)端點分別在兩條平行線上,且與平行線垂直的所有線段平行且長度都相等。 7.長方形和正方形的畫法。 舉例:怎樣畫出一個長3厘米、寬2厘米的長方形? 長方形的對邊是互相平行的,鄰邊是互相垂直的。因此可以用畫垂線或平行線的方法畫。先畫一條長3厘米的線段;再過線段的一端畫一條長2厘米的垂線,并過另一個端點也畫一條長2厘米的垂線;連接兩個端點即可。(如圖) 　　二、平行四邊形 1.平行四邊形的概念:兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。 2.四邊形的特性。 四邊形容易變形,具有不穩定性的特征。 應用:推拉門 3.平行四邊形的底和高:從平行四邊形一條邊上的一點向對邊引一條垂線,這點和垂足之間的線段叫做平行四邊形的高,垂足所在的邊叫做平行四邊形的底。平行四邊形有無數條高,但是從一個頂點向對邊只能畫一條高。 三、梯形 1.梯形的概念:只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。 2.梯形的底、高和腰:從梯形上底上的任意一點向下底引一條垂線,這點和垂足之間的線段叫做梯形的高。互相平行的一組對邊分別叫做梯形的上底和下底;不平行的一組對邊叫做梯形的腰。 3.特殊的梯形:兩腰相等的梯形叫做等腰梯形,有一個角是直角的梯形叫做直角梯形。 四、四邊形之間的分類 用集合圖來表示四邊形之間的關系(如圖)。 五、圖形的拼接與分割 1.圖形的拼接。 (1)兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形。 (2)兩個完全一樣的平行四邊形可以拼成一個平行四邊形。 (3)兩個完全一樣的長方形可以拼成一個長方形或正方形。 (4)兩個完全一樣的正方形可以拼成一個長方形。 (5)兩個完全一樣的梯形可以拼成一個平行四邊形。 (6)兩個完全一樣的直角梯形可以拼成一個長方形或平行四邊形。 2.圖形的分割。 (1)平行四邊形可以被分割成兩個完全相等的三角形、平行四邊形或梯形。 (2)梯形可以被分割成兩個梯形、一個平行四邊形和一個三角形或兩個三角形。 　　 易錯點: 忽略兩直線平行的前提——在同一平面內。 誤區: 錯例: 如下圖,直線a∥b 分析:圖中的兩條直線雖然沒有相交,但是把直線a和b向兩端延伸之后,直線a和b會相交,因此不能說直線a∥b。 兩條直線相交所成的四個角中,只要有一個角是直角,其余三個角就都是直角。 巧記: 邊線重合, 平移到點, 畫線標號。 特別提示: 在畫垂線的過程中,三角尺不能挪動! 誤區:垂直線段是距離。 分析:線段是幾何圖形,而距離是數量,兩者是不同的概念。我們只能說垂直線段的長度是距離,兩者不可混淆。 應用舉例: 怎樣修路最近? 巧記: 一貼、二靠、三移、四畫。 兩條平行線之間的距離處處相等。 (這個性質可以用來證明長方形對邊相等且平行) 要點:用垂直和平行的方法畫圖,注意標注:長方形要標出一組鄰邊的長度(長和寬),正方形要標出一條邊長的長度;或者在旁邊寫出“長方形”或“正方形”。 把長方形拉成平行四邊形,周長不變,面積變小。 特別提示: 畫高要用虛線,并要作出垂直標記。 注意: 梯形有無數條高。但是從底的一個頂點向另一個底只能畫出一條高。 等腰梯形不可能是直角梯形,直角梯形也不可能是等腰梯形。 四邊形包括平行四邊形和梯形。長方形和正方形是特殊的平行四邊形。正方形又是特殊的長方形。 方法提示: 先確定中心點,兩條對角線的交點就是中心點,然后畫一條通過中心點且與平行四邊形任意一邊平行的虛線,這樣就一定能把這個平行四邊形平均分成兩個完全一樣的圖形。 誤區:兩個三角形可以拼成一個平行四邊形。 分析:平行四邊形的對邊是相等的,平行四邊形能分割成兩個完全相同的三角形,因此在用兩個三角形拼接四邊形時,不能漏掉前提條件——兩個完全一樣的三角形。



6　除數是兩位數的除法
　　一、口算除法 1.口算方法:整十數除整十數或幾百幾十數的口算,可以想乘法算除法,也可以先去掉被除數和除數末尾相同個數的0,再計算。 例如:160÷20= ①想:20×8=160,所以160÷20=8。 ②把160和20的末尾各去掉一個0,即16÷2=8,所以160÷20=8。 2.“除以”和“除”的不同:讀法、意思有不同。(常作為考點) 例如:120除以30,列式為120÷30=4。 20除130,列式為130÷20=6……10。 3.除法估算的方法:根據被除數和除數的特點,先把不是整十數或幾百幾十的數看作和它最接近的整十數或幾百幾十數,再計算。 例如: 　　　÷≈5
先將除數看作和它最接近的整十數60,再將被除數看作和它最接近的整百數300,最后估算出商是5。　　　　　÷≈7
先將除數看作和它最接近的整十數30,再將被除數看作和它最接近的幾百幾十數210,最后估算出商是7。 　　　÷≈9 先將除數看成70,再將被除數看作和它最接近的70的倍數630,最后估算出商是9。 二、筆算除法 1.除數是整十數的筆算除法。 ①確定商的位置。 ②確定首先商幾。 ③把商和除數乘起來再用被除數來減乘積。 ④比除數和余數的大小,余數一定要比除數小。 2.除數接近整十數的除法,一般按“四舍五入”法,把除數看作和它接近的整十數來試商。用“四舍”法試商,商容易偏大,要把商調小;用“五入”法試商,商容易偏小,要把商調大。 3.除數不接近整十數的除法,既可以按照“四舍五入”法試商,也可以采取把除數看作和它接近的幾十五的方法。 4.除數是兩位數的除法的計算方法。 (1)從被除數的高位除起,先用除數試除被除數的前兩位,如果它比除數小,再試除被除數的前三位。 (2)除到被除數的哪一位,就把商寫在那一位的上面。 (3)每次除后余下的數必須比除數小。 (4)最后根據豎式補充完橫式,注意要寫余數。 5.直接判斷商是幾位數的方法。 三位數除以兩位數,比較被除數的前兩位與除數的大小。除數大,商就是一位數;除數小,商就是兩位數。 三、商的變化規律 1.在除法算式中,除數不變,被除數乘或除以幾(0除外),商也要乘或除以幾。 2.在除法算式中,被除數不變,除數乘或除以幾(0除外),商反而要除以或乘幾。 3.在除法算式中,被除數和除數同時乘或除以相同的數(0除外),商不變。這叫做商不變的規律或商不變的性質。 4.運用商不變的規律化簡豎式。 當被除數和除數末尾都有0時,可以運用商不變的規律化簡豎式,在被除數和除數末尾畫掉相同個數的0,按照畫掉0后的豎式進行計算,得出的余數如果不是0,還要再添上0,原來各去掉了幾個就添上幾個。 5.先將除數看作和它相近的整十數,再將被除數看成除數估成的整十數的倍數,以此估算出商。 6.筆算除法驗算的方法。 如果是有余數的除法算式,用除數與商相乘,再加上余數,看是否等于被除數。 除法的意義:已知兩個因數的積和其中的一個因數,求另一個因數的運算。 除法中的數量關系(有余數的除法): 被除數÷除數=商……余數 被除數=商×除數+余數 (驗算方法) 除數=(被除數-余數)÷商 商=(被除數-余數)÷除數 余數=被除數-除數×商 提示:把除數和被除數看作與之最接近的整十數或幾百幾十數。 巧記: 一看;二試;三乘減;四比。 試商兒歌: 一二丟,八九收; 四六當五來動手; 四舍商大減去一; 五入商小加一好; 同頭無除商八九; 除數折半商四五。 典型考題舉例: 例如:□38÷53,要使商是一(兩)位數,□可以填幾?（5、6、7、8、9） 簡便記法: 被除數不變時,除數和商是反向變化的,其余都是同向變化的。 舉例:


7　條形統計圖
　　一、條形統計圖的特點 1.統計表和條形統計圖都可以清楚地表示出數量的多少,但條形統計圖比統計表更形象直觀,更能看出數據之間的關系。 2.條形統計圖常用1格代表2個單位,有時還要用半格來代表1個單位。如果要表示的數據比較大,那么可以用一格代表5個單位或更多的單位。1格代表幾個單位,要根據具體情況來確定,這樣比較方便。 二、由統計表畫統計圖的步驟和注意要點 1.觀察表中項目,確定數據項(一般為數量)和類別項(小組名稱、年份、時間等) 2.確定橫縱軸、刻度及圖的類型(橫向或縱向)。 3.畫條形,標數據,注意條形的高度要符合刻度,縱向統計圖的順序是從左往右,橫向統計圖的順序是從下往上。 4.標上標題。 5.檢查要素是否齊全。 三、讀圖 學會從統計圖中提取信息,發現問題,進行合理地判斷、預測和決策,并能解決生活中的簡單問題。 制作條形統計圖時,數據比較大時,要選擇1格代表多個單位。 注意:繪制條形圖時,要根據圖紙的大小,畫出兩條互相垂直的線條,作為縱軸和橫軸。 特別提示: 畫直條時,條形的寬度要一致,條形之間的間隔要相等。 易錯點: 忘記標上數據和標題。 觀察縱軸和橫軸分別表示什么,再看每個格表示多少個單位。根據直條的變化趨勢,進行分析或估測。


8　數學廣角—優化
　 　　一、解決合理安排時間問題需要的步驟（沏茶問題） 1.明確完成一項工作要做哪些事情。 2.知道做每項事情各需要多長時間。 3.明確先做什么,后做什么,哪些事情可以同時做,就盡量同時做,這樣最省時間。 二、烙餅問題的解決 在每次只能烙兩張餅,兩面都要烙的情況下: ①烙3張餅:先烙1,2號餅的正面,接著烙1號餅的反面和3號餅的正面,最后烙2,3號餅的反面。如下圖所示: ②烙多張餅:如果要烙的餅的張數是雙數,2張2張地烙就可以了,如果要烙的餅的張數是單數,可以先2張2張地烙,最后3張餅按上面的最優方法烙,最節省時間。 三、田忌賽馬(對策論) 解決同一問題可以用不同的策略,要學會尋找最優方案。在與對方比賽時,要選擇一個利多弊少的最優策略,從而獲得勝利。 關鍵:能同時做的事情要同時做。 公式: 烙餅所需的最短時間=烙餅張數×烙每面餅所需的時間(烙一張除外) 注意:如果算出的時間不是整數,采用“進一”法取近似數。 舉例: 每面要烙3分鐘,求烙5張餅需要的時間。 列式:5×3=15(分)。 每面要烙3分鐘,求烙8張餅需要的時間。 列式:8×3=24(分)。

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