資源簡介

24.1.2 垂直于弦的直徑教學(xué)設(shè)計
湖北省宜昌市秭歸縣歸州中學(xué) 向曉琳
一，教學(xué)目標(biāo)
1. 知識和能力：
探索圓的對稱性，進(jìn)而得到垂徑定理；能夠利用垂徑定理解決相關(guān)實際問題．
2. 過程和方法：
在探索問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力，使學(xué)生感受圓的對稱性，體會圓的一些性質(zhì)，經(jīng)歷探索垂徑定理的過程．
進(jìn)一步體會和理解研究幾何圖形的各種方法；培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立探索，相互合作交流的精神．
3. 情感態(tài)度和價值觀：
使學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和探索精神，培養(yǎng)學(xué)生實事求是的科學(xué)態(tài)度和積極參與的主動精神
2．教學(xué)重點(diǎn)：
垂徑定理的歸納
3．教學(xué)難點(diǎn)：
利用垂徑定理解決實際問題。
4．教學(xué)準(zhǔn)備：
老師：多媒體課件
學(xué)生：圓形紙片
5. 教學(xué)過程：
（一），活動探究 獲取新知
活動：動手折一折，畫一畫
（1）請拿出圓形紙片，找出它的圓心。在圓中任畫一條弦，組成的新圖形還是軸對稱圖形嗎？若是，請折出它的對稱軸，并用筆把它的對稱軸描出來。
（2）讓學(xué)生標(biāo)字母后，再次折疊此紙片，找出重合的部分，初步感知此圖形的特殊性。
（3）讓學(xué)生把此圖畫在草稿紙上，感知折痕（直徑所在的直線）滿足的2個條件。
（4）找出該折痕在滿足2個條件的情況下，能夠得出什么結(jié)論。
（5）通過學(xué)生不同的畫法，想到將條件和結(jié)論混合在一起，任選2個作為條件，剩下的3個作為結(jié)論，是否成立呢？可選取其中兩個驗證。
（6）先驗證最難的命題：如果一條直線經(jīng)過圓心，平分弦，那么這條直線垂直于弦，并且平分弦所對的優(yōu)弧和劣弧是否成立。讓學(xué)生畫圖驗證，從而得到，要想使該命題成立，必須加限制條件：該弦不是直徑。
（7）歸納總結(jié)垂徑定理：
如果一條直線：
經(jīng)過圓心.
垂直于弦.
平分弦.
④平分弦所對的優(yōu)弧.
⑤平分弦所對的劣弧.
滿足以上5條中的任意2條，其它3條都成立。
但是：一條直線經(jīng)過圓心，平分弦時，要求這條弦一定不是直徑。
（二）.強(qiáng)化新知 加深理解
通過填空題加深對垂徑定理的理解 。 ?1,∵AE=EB,弧AC=弧BC∴________
2,∵AE=EB,CD⊥AB.∴________
3,∵弧AC=弧BC,弧AD=弧BD.∴__________
4，∵CD是直徑,AE=EB.∴___________
5，∵CD⊥AB,弧AD=弧BD.∴_____________

(3）運(yùn)用新知，解決問題
例.如圖，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離(弦心距）為3cm，求⊙O的半徑。



變式（1）如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，CE=2，AB=8，求⊙O的半徑。

變式（2）如圖，1 400 多年前，我國隋代建造的趙州橋主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦長）是 37 m，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為 7.23 m，求趙州橋主橋拱的半徑。（精確到 0.1 m）．

（4）歸納小結(jié)
一是垂徑定理的內(nèi)容，二是常用的輔助線的作法。
（5）反饋檢測
必做題：
1、如圖，圓弧形橋拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，求拱橋的半徑。

2、如圖， 圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示AB=8m，∠CAD=30°，求大棚高度CD。

3、如圖，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
且AB=8cm，AC=6cm，那 么⊙O的半徑OA長為____________.

選做題：
1、如圖所示，⊙O中，弦CD交直徑AB于點(diǎn)P，AB=12cm，PA：PB=1：5，且∠BPD=30°，求CD的長。

2,如圖,某地有一圓弧形拱橋,橋下水面寬為7.2米,拱頂高出水面2.4米.現(xiàn)有一艘寬3米、船艙頂部為長方形并高出水面2米的貨船要經(jīng)過這里,此貨船能順利通過這座拱橋嗎？








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24．1．2 垂直于弦的直徑說課稿
湖北省宜昌市秭歸縣歸州中學(xué) 向曉琳


一、說教材
1、本節(jié)課選自人教版九上數(shù)學(xué)第24章第24.1.2內(nèi)容。作為《圓》這章的第一個重要性質(zhì)，它研究的是垂直于弦的直徑和這弦的關(guān)系。
2、該性質(zhì)是圓的軸對稱性的演繹，也是今后證明圓中線段相等、角相等、弧相等、垂直關(guān)系的重要依據(jù)，同時為后面圓的計算和作圖提供了方法和依據(jù)，所以它在教材中處于非常重要的作用。由于學(xué)生在實際運(yùn)用中出現(xiàn)對垂徑定理的文字?jǐn)⑹龅睦斫庹系K，不會把垂徑定理及推論運(yùn)用自如，于是我把定理和推論混合到一起，大大減輕了學(xué)生在使用中的困難。
二、說教學(xué)目標(biāo)
（1）利用軸對稱探索垂直于弦的直徑的有關(guān)性質(zhì)，掌握垂徑定理。運(yùn)用垂徑定理解決實際問題。
（2）讓學(xué)生經(jīng)歷“實驗—觀察—猜想—驗證—?dú)w納”的探究過程，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，促進(jìn)學(xué)生觀察分析、歸納問題和解決問題的能力的培養(yǎng)。
(3)通過實驗操作探索數(shù)學(xué)規(guī)律，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲同時培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神。
三、說教學(xué)重點(diǎn)：
通過學(xué)生折疊，畫圖，再折疊，得出垂徑定理的內(nèi)容。
四，說難點(diǎn)：
教會學(xué)生如何運(yùn)用垂徑定理解決實際問題。
五，說教學(xué)過程：
（一），活動探究 獲取新知
活動：動手折一折，畫一畫
（1）請拿出圓形紙片，找出它的圓心。在圓中任畫一條弦，組成的新圖形還是軸對稱圖形嗎？若是，請折出它的對稱軸，并用筆把它的對稱軸描出來。
（2）讓學(xué)生標(biāo)字母后，再次折疊此紙片，找出重合的部分，初步感知此圖形的特殊性。
（3）讓學(xué)生把此圖畫在草稿紙上，感知折痕（直徑所在的直線）滿足的2個條件。
（4）找出該折痕在滿足2個條件的情況下，能夠得出什么結(jié)論。
（5）通過學(xué)生不同的畫法，想到將條件和結(jié)論混合在一起，任選2個作為條件，剩下的3個作為結(jié)論，是否成立呢？可選取其中兩個驗證。
（6）先驗證最難的命題：如果一條直線經(jīng)過圓心，平分弦，那么這條直線垂直于弦，并且平分弦所對的優(yōu)弧和劣弧是否成立。讓學(xué)生畫圖驗證，從而得到，要想使該命題成立，必須加限制條件：該弦不是直徑。
（7）歸納總結(jié)垂徑定理：
如果一條直線：
經(jīng)過圓心.
垂直于弦.
平分弦.
④平分弦所對的優(yōu)弧.
⑤平分弦所對的劣弧.
滿足以上5條中的任意2條，其它3條都成立。
但是：一條直線經(jīng)過圓心，平分弦時，要求這條弦一定不是直徑。
（二）.強(qiáng)化新知 加深理解
通過填空題加深對垂徑定理的理解 。 ?1,∵AE=EB,弧AC=弧BC∴________
2,∵AE=EB,CD⊥AB.∴________
3,∵弧AC=弧BC,弧AD=弧BD.∴__________
4，∵CD是直徑,AE=EB.∴___________
5，∵CD⊥AB,弧AD=弧BD.∴_____________



運(yùn)用新知，解決問題
例.如圖，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離(弦心距）為3cm，求⊙O的半徑。

變式（1）如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，CE=2，AB=8，求⊙O的半徑。

變式（2）如圖，1 400 多年前，我國隋代建造的趙州橋主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦長）是 37 m，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為 7.23 m，求趙州橋主橋拱的半徑。（精確到 0.1 m）．

歸納小結(jié)
一是垂徑定理的內(nèi)容，二是常用的輔助線的作法。
反饋檢測
必做題：
1、如圖，圓弧形橋拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，求拱橋的半徑。

2、如圖， 圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示AB=8m，∠CAD=30°，求大棚高度CD。

3、如圖，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
且AB=8cm，AC=6cm，那 么⊙O的半徑OA長為____________.

選做題：
1、如圖所示，⊙O中，弦CD交直徑AB于點(diǎn)P，AB=12cm，PA：PB=1：5，且∠BPD=30°，求CD的長。

2,如圖,某地有一圓弧形拱橋,橋下水面寬為7.2米,拱頂高出水面2.4米.現(xiàn)有一艘寬3米、船艙頂部為長方形并高出水面2米的貨船要經(jīng)過這里,此貨船能順利通過這座拱橋嗎？



湖北省宜昌市秭歸縣歸州中學(xué) 向曉琳
孩子：當(dāng)你停止嘗試時，就是失敗的時候！
人教版數(shù)學(xué)九上
一，活動探究，獲取新知
活動：動手折一折，畫一畫
請拿出圓形紙片，找出它的圓心。在圓中任畫一條弦，組成的新圖形還是軸對稱圖形嗎？若是，請折出它的對稱軸，并用筆把它的對稱軸描出來。
通過剛才的畫法可以得到：
如果一條直線滿足：
①經(jīng)過圓心.
那么這條直線一定
③平分弦.
符號語言：
∵EF經(jīng)過圓心
EF⊥AB
②垂直于弦.
④平分弦所對的優(yōu)弧.
⑤平分弦所對的劣弧.
①經(jīng)過圓心.
如果一條直線
那么這條直線一定
②垂直于弦.
③平分弦.
④平分弦所對的優(yōu)弧.
⑤平分弦所對的劣弧
②垂直于弦.
探究：我們將條件和結(jié)論混合在一起，任選兩個作為條件，剩下的三個作為結(jié)論，有幾種選法？結(jié)論是否成立？
如果一條直線
⑤平分弦所對的劣弧
①經(jīng)過圓心.
②垂直于弦.
③平分弦.
④平分弦所對的優(yōu)弧.
探究：我們將條件和結(jié)論混合在一起，任選兩個作為條件，剩下的三個作為結(jié)論，有幾種選法？結(jié)論是否成立？
①經(jīng)過圓心.
如果一條直線
那么這條直線一定
③平分弦.
④平分弦所對的優(yōu)弧.
⑤平分弦所對的劣弧
①經(jīng)過圓心.
②垂直于弦.
探究：我們將條件和結(jié)論混合在一起，任選兩個作為條件，剩下的三個作為結(jié)論，有幾種選法？結(jié)論是否成立？
如果一條直線
那么這條直線一定
③平分弦
④平分弦所對的優(yōu)弧.
⑤平分弦所對的劣弧
①經(jīng)過圓心.
②垂直于弦.
∵EF經(jīng)過圓心，
DA=DB
且AB不是直徑
(不是直徑)
探究：我們將條件和結(jié)論混合在一起，任選兩個作為條件，剩下的三個作為結(jié)論，有幾種選法？結(jié)論是否成立？
①經(jīng)過圓心.
如果一條直線
那么這條直線一定
③平分弦.
④平分弦所對的優(yōu)弧.
⑤平分弦所對的劣弧
②垂直于弦.
垂徑定理
如果一條直線：
? 經(jīng)過圓心.
? 垂直于弦.
? 平分弦.
④平分弦所對的優(yōu)弧.
⑤平分弦所對的劣弧.
滿足以上5條中的任意2條，其它3條都成立。
但是：一條直線經(jīng)過圓心，平分弦時，要求這條弦一定不是直徑。
知二推三
1,∵AE=EB,AC=BC.∴___________
2,∵AE=EB,CD⊥AB.∴____________
3,∵AC=BC,AD=BD.∴______________
4，∵CD是直徑,AE=EB.∴___________
5，∵CD⊥AB,AD=BD.∴_____________
二．強(qiáng)化新知，加深理解
填空
例.如圖，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離(弦心距）為3cm，求⊙O的半徑。
·
O
A
B
E
解：過點(diǎn)O作OE⊥AB于E，連接OA
即⊙O的半徑為5cm.
三．運(yùn)用新知，解決問題
∵OE經(jīng)過圓心，OE⊥AB
變式（1）如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，CE=2，AB=8，求⊙O的半徑。
變式（2）如圖，1 400 多年前，我國隋代建造的趙州橋主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦長）是 37 m，拱高
（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為 7.23 m，求趙州橋主橋拱的半徑。（精確到 0.1 m）．
解得：R≈27．3（m）
解決求趙州橋拱半徑的問題
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
即 R2=18.52+（R－7.23）2
∴趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m.
OA2=AD2+OD2
AB=37，CD=7.23，
∴AD= AB=18.5，
OD=OC－CD=R－7.23
在圖中
方法點(diǎn)撥：在解決有關(guān)弦的問題時，一般作弦心距，連半徑，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題。
?內(nèi)容：垂徑定理（知二推三）

　
四．歸納小結(jié)
?重要輔助線：過圓心作弦心距，連半徑
如果一條直線：
? 經(jīng)過圓心.
? 垂直于弦.
? 平分弦.
④平分弦所對的優(yōu)弧.
⑤平分弦所對的劣弧.
滿足以上5條中的任意2條，其它3條都成立。
但是：一條直線經(jīng)過圓心，平分弦時，要求這條弦一定不是直徑。
五，反饋檢測
必做題：
1、如圖，圓弧形橋拱的跨度AB=12米，
拱高CD=4米，求拱橋的半徑。
2、如圖， 圓弧形蔬菜大棚的剖面如
圖所示AB=8m，∠CAD=30°，求大棚高度CD。
3、如圖，在⊙O中，AB、AC是互相垂
直的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
且AB=8cm，AC=6cm，那 么⊙O的半徑
OA長為____________.
選做題：
1、如圖所示，⊙O中，弦CD交直徑AB
于點(diǎn)P，AB=12cm，PA：PB=1：5，
且∠BPD=30°，求CD的長。
船能過拱橋嗎?
2,如圖,某地有一圓弧形拱橋,橋下水面寬為7.2米,拱頂高出水面2.4米.現(xiàn)有一艘寬3米、船艙頂部為長方形并高出水面2米的貨船要經(jīng)過這里,此貨船能順利通過這座拱橋嗎？
船能過拱橋嗎
解:如圖,用 表示橋拱, 所在圓的圓心為O,半徑為Rm,
經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OD,D為垂足,與 相交于點(diǎn)C.根
據(jù)垂徑定理,D是AB的中點(diǎn),C是 的中點(diǎn),CD就是拱高.
由題設(shè)得
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈3.9（m）.
在Rt△ONH中，由勾股定理，得
∴此貨船能順利通過這座拱橋.
《垂直于弦的直徑》教學(xué)反思
湖北省宜昌市秭歸縣歸州中學(xué) 向曉琳
本節(jié)課是在上節(jié)課學(xué)習(xí)了圓的概念及弧、弦等概念的基礎(chǔ)上的一節(jié)課。本節(jié)課的主要內(nèi)容一是圓的對稱性，二是垂徑定理及其推論。本節(jié)課我將垂徑定理及推論融合到一起，統(tǒng)一叫做垂徑定理。
開始讓學(xué)生帶著問題進(jìn)行學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活，在實際生活中，數(shù)、形結(jié)合隨處可見，無處不在。好的實際問題容易引起學(xué)生的興趣，激發(fā)學(xué)生探索和發(fā)現(xiàn)問題的欲望，使學(xué)生感到數(shù)學(xué)課很熟悉，數(shù)學(xué)知識離我們很近。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，一些結(jié)論的表述是很重要的。我在這節(jié)課上打破教材原有的順序和內(nèi)容，將自己平時教學(xué)中積累的經(jīng)驗融入到教學(xué)中，將垂經(jīng)定理及推論融為一體，感覺思路更加順暢，學(xué)生也容易接受。這些表述確實很精煉，也極具條理性，而且我在課堂上,尤其是知識點(diǎn)的聯(lián)系方面的引導(dǎo)詞也恰到好處。今后我將在這方面還要下工夫,在去聽其他數(shù)學(xué)老師的課時,更要注意其他老師在知識點(diǎn)之間的過渡語句.
在教學(xué)設(shè)計方面,設(shè)計的內(nèi)容確實花了不少心思,就是在時間上把握得不夠準(zhǔn)確。在內(nèi)容上，設(shè)問導(dǎo)讀的問題有點(diǎn)多，學(xué)生完成、核對完答案的時間有點(diǎn)長，我在時間把握上不夠到位，還是我講的有點(diǎn)多，浪費(fèi)了時間，導(dǎo)致學(xué)生的練習(xí)時間少。還有其他很多問題: 例題的講解不夠詳細(xì),深刻. 給學(xué)生思考的時間不夠……
通過反思這一課的課堂教學(xué)，我發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生對知識的理解很到位，能靈活應(yīng)用知識于實際生活（求趙州橋主橋拱的半徑）（在課堂檢測中可以發(fā)現(xiàn)）。對這一課進(jìn)行全面反思后，我認(rèn)識到要善于處理好教學(xué)中知識傳授與能力培養(yǎng)的關(guān)系，巧妙地引導(dǎo)學(xué)生解決生活中的數(shù)學(xué)問題。不斷地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與主動性，培養(yǎng)學(xué)生思維能力、想象力和創(chuàng)新精神，使每個學(xué)生的身心都能得到充分的發(fā)展。 在今后的學(xué)習(xí)中,我會更加努力,改正自己的缺點(diǎn),努力鉆研教材。

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