資源簡介

北師大版數學六年級上冊期末必記知識點歸納
第一單元 圓
圓概念總結
1．圓的定義：圓是由曲線圍成的平面封閉圖形。
2．將一張圓形紙片對折兩次，折痕相交于圓中心的一點，這一點叫做圓心。圓心一般用字母O表示。它到圓上任意一點的距離都相等．
3．半徑：連接圓心到圓上任意一點的線段叫做半徑。半徑一般用字母r表示。把圓規兩腳張開，兩腳之間的距離就是圓的半徑。
4．圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。
5．直徑：通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。直徑一般用字母d表示。圓內最長的線段是直徑
6．在同一個圓內，所有的半徑都相等，所有的直徑都相等。
7．在同一個圓內，有無數條半徑，有無數條直徑。
8．在同一個圓內，直徑的長度是半徑的2倍，半徑的長度是直徑的一半。
用字母表示為：d＝２r r ＝d
用文字表示為：半徑=直徑÷2 直徑=半徑×2
車輪為什么是圓的？答：因為圓心到圓上各點的距離相等，所以圓在滾動時，圓心在一條直線上運動，這樣的車輪運行才穩定。
9．圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長。或者，圓一周的長度就是圓的周長。
10．圓的周長總是直徑的3倍多一些，這個比值是一個固定的數。我們把圓的周長和直徑的比值是一個固定的數，我們把它叫做圓周率，用字母表示。圓周率是一個無限不循環小數。在計算時，取3.14。世界上第一個把圓周率算出來的人是我國的數學家祖沖之。
11．圓的周長公式：C圓=πd =2πr
圓周長=×直徑 圓周長=×半徑×2
12、圓的面積：圓所占面積的大小叫圓的面積。
13、圓所占平面的大小叫圓的面積。把圓等分的份數越多，拼成的圖形就越接近平行四邊形或長方形。拼成的平行四邊形的底相當于圓周長的一半，高相當于圓的半徑；長方形的長相當于圓周長的一半，寬相當于圓的半徑。
如果用S表示圓的面積, r表示圓的半徑，那么圓的面積公式：S圓＝πr2
14．圓的面積公式：Ｓ＝ｒ2　或者S=（d2）2 或者S=（C 2）2
15．在一個正方形里畫一個最大的圓，圓的直徑等于正方形的邊長。
16．在一個長方形里畫一個最大的圓，圓的直徑等于長方形的寬。
17．一個環形，外圓的半徑是R，內圓的半徑是r，它的面積是：
S=R2－ｒ2　或　S=（R2－ｒ2）。（其中R＝r＋環的寬度．）
19．半圓的周長等于圓的周長的一半加直徑。半圓的周長與圓周長的一半的區別在于，半圓有直徑，而圓周長的一半沒有直徑。
半圓的周長公式：Ｃ＝d2＋d　或　Ｃ＝r＋2r
圓周長的一半=r
20．半圓面積＝圓的面積2　　公式為：Ｓ＝ｒ22或
21．在同一個圓里，半徑擴大或縮小多少倍，直徑和周長也擴大或縮小相同的倍數。而面積擴大或縮小以上倍數的平方倍。
例如：在同一個圓里，半徑擴大４倍，那么直徑和周長就都擴大４倍，而面積擴大１６倍。
22．兩個圓的半徑比等于直徑比等于周長比，而面積比等于以上比的平方。
例如：兩個圓的半徑比是２：３，那么這兩個圓的直徑比和周長比都是２：３，而面積比是４：９。
圓周長和直徑的比是：1，比值是
圓周長和半徑的比是2：1，比值是2
23．當一個圓的半徑增加ａ厘米時，它的周長就增加２ａ厘米；
當一個圓的直徑增加ａ厘米時，它的周長就增加ａ厘米。
24．當長方形，正方形，圓的周長相等時，圓的面積最大，長方形的面積最小
25、周長相等時,圓的面積最大；面積相等時,圓的周長最小。考試一般正方形、長方形和圓：
①它們周長相等時，圓的面積最大，正方形面積居中，長方形的面積最小；
②它們面積相等時，長方形周長最大，正方形周長居中，圓的周長最小。
26、一個圓的半徑擴大（縮小）幾倍，直徑就擴大（縮小）幾倍，周長也擴大（縮小）幾倍，面積就擴大（縮小）幾的平方倍，但圓周率永遠不變。
27．軸對稱圖形：如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側的圖形能夠完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形。折痕所在的這條直線叫做對稱軸。這時,我們也說這個圖形關于這條直線的軸對稱。對稱軸是一條直線。
28． 有一條對稱軸的圖形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圓。
有2條對稱軸的圖形是：長方形
有3條對稱軸的圖形是：等邊三角形
有4條對稱軸的圖形是：正方形
有無數條對稱軸的圖形是：圓、圓環。
29．直徑所在的直線是圓的對稱軸。
30、幾個公式：
C圓=πd =2πr d =  d = 2r
S圓＝πr r =  r = 
31、永遠記住要帶單位，周長是（例如：cm），面積是平方（例如：cm2），體積是立方（例如：cm3）。
32、圓的周長：
3.14×1＝3.14 3.14×2＝6.28
3.14×3＝9.42 3.14×4＝12.56
3.14×5＝15.7 3.14×6＝18.84
3.14×7＝21.98 3.14×8＝25.12
3.14×9＝28.26 3.14×10＝31.4
33、圓的面積：
3.14×12＝3.14 3.14×22＝12.56
3.14×32＝28.26 3.14×42＝50.24
3.14×52＝78.5 3.14×62＝113.04
3.14×72＝153.86 3.14×82＝200.96
3.14×92＝254.34 3.14×102＝314
第二單元 分數混合運算
1、分數混合運算的運算順序與整數混合運算的運算順序完全相同，都是先算乘除，再算加減，有括號的先算括號里的。
①如果是同一級運算，按照從左到右的順序依次計算。
②如果是分數連乘，可先進行約分，再進行計算；
③如果是分數乘除混合運算時，要先把除法轉換成乘法，然后按乘法運算。
2、解決問題?
（1）用分數運算解決“求比已知量多（或少）幾分之幾的量是多少”的實際問題，方法是：
第①種方法：可以先求出多或少的具體量，再用單位“1”的量加或減去多或少的部分，求出要求的問題。
第②種方法：也可以用單位“1”加或減去多或少的幾分之幾，求出未知數占單位“1”的幾分之幾，再用單位“1”的量乘這個分數。
（2）“已知甲與乙的和，其中甲占和的幾分之幾，求乙數是多少？”
第①種方法：首先明確誰占單位“1”的幾分之幾，求出甲數，再用單位“1”減去甲數，求出乙數。
第②種方法：先用單位“1”減去已知甲數所占和的幾分之幾，即得未知乙數所占和的幾分之幾，再求出乙數。
（3）用方程解決稍復雜的分數應用題的步驟：
①要找準單位“1”。
②確定好其他量和單位“1”的量有什么關系，畫出關系圖，寫出等量關系式。
③設未知量為X，根據等量關系式，列出方程。
④解答方程。
（4）要記住以下幾種算術解法解應用題：
①對應數量÷對應分率=單位“1”?的量
②求一個數的幾分之幾是多少，用乘法計算。?
③已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數，用除法計算，還可以用列方程解答。
3、要記住以下的解方程定律：
加數 +加數 = 和 ；?? 加數 = 和–另一個加數。
被減數–減數 = 差；??被減數=差+減數；?? 減數=被減數–差。
因數×因數 = 積；???因數 = 積÷另一個因數。
被除數÷除數 = 商；??被除數=商×除數；?? 除數=被除數÷商。
4、方程形如：
（1）X﹢a=b X=b－a （2）X－a=b X=b+a
（3）a－X=b X=a－b （4）aX=b X=b÷a
（5）X÷a=b X=a×b （6）a÷X=b X=a÷b
（7）aX﹢b=c X=(c－b)÷a （8）aX－b=c X=（c﹢b）÷a
（9）a—bX=c X=(a—c)÷b (10)aX＋bX=c X=c÷(a＋b)
(11)aX—bX=c X=c÷(a—b) (12)aX＋b=cX＋d X=(d—b)÷(a—c)
5、繪制簡單線段圖的方法：
分數應用題，分兩種類型，一種是知道單位“1”的量用乘法，另一種是求單位“1”的量，用除法。這兩種類型應用題的數量關系可以分成三種:
(一)一種量是另一種量的幾分之幾。
(二)一種量比另一種量多幾分之幾。
(三)一種量比另一種量少幾分之幾。
繪制時關鍵處理好量與量之間的關系，在審題確定單位“1”的量。
繪制步驟：
①首先用線段表示出這個單位“1”的量，畫在最上面，用直尺畫。
②分率的分母是幾就把單位“1”的量平均分成幾份，用直尺畫出平均的等分。標出相關的量。
③再繪制與單位“1”有關的量，根據實際是上面的三種關系中的哪一種再畫。標出相關的量。
④問題所求要標出“？”號和單位。
第三單元 觀察物體
1、觀察物體一般從正面、上面、左面或右面來觀察。
2、同樣高度的物體，在同一光源的照射下，離光源越近，這個物體的影子就越短；離光源越遠，這個物體的影子就越長。
3、站得高，才能望得遠。
4、確定觀察的范圍：
（1）先找到觀察點、障礙點；
（2）連接觀察點和障礙點后確定觀察的范圍。
5、看不到的地方稱作盲區。
第四單元 百分數的認識
1、百分數的意義
像84%，28%，2.5%……這樣的數叫作百分數，表示一個數是另一個數的百分之幾。百分數也叫百分比、百分率。百分數只表示兩個數之間的關系，不能帶單位名稱，它表示的是一個比值。
2、百分數的讀法和寫法
①百分數的讀法：百分數的讀法與分數的讀法相同，但百分數讀作“百分之幾”，不讀作“一百分之幾”。
②百分數的寫法：百分數相當于分母是100的分數，但百分數不能寫成分數的形式，而是在分子的后面加上百分號（%）來表示。
3、百分數和分數的區別
①意義不同
百分數只表示一個數是另一個數的百分之幾。它只能表示兩個數之間的倍數關系，并不是表示某一個具體數量，所以百分數不能帶單位。分數不僅可以表示兩個數之間的倍數關系，還可以表示一定的數量，所以分數表示數量時可以帶單位。
②寫法不同
百分數通常不寫成分數形式，而在原來的分子后面加上百分號“%”來表示。
分數的最后結果中的分子只能是整數，計算結果不是最簡分數的要化成最簡分數。
百分數的最后結果中的分子可以是整數，也可以是小數。如：18%，16.7%，180%
4、小數、分數、百分數的互化
①把小數化成百分數的方法：
先把小數點向右移動兩位，再在數的后面直接添上“%”，如0.25=25%
②把分數化成百分數的方法：
可以先把分數化成分母是100的分數，再改寫成百分數，如=0.6=60%（除不盡的保留三位小數）。
③把百分數化成小數的方法：
先把“%”去掉，同時把小數點向左移動兩位，當移動的位數不夠時，要添0補位。
④把百分數化成分數的方法：
先把百分數改寫成分母是100的分數，能約分的要約分成最簡分數。當百分數的分子是小數時，要要根據分數的基本性質把分子和分母同時擴大相同的倍數，把分子變成整數后能約分的再約分。
5、求一個數是另一個數的百分之幾的方法
求一個數是另一個數的百分之幾的方法與求一個數是另一個數的幾分之幾的方法相同，就是用這個數除以另一個數，除不盡時通常保留三位小數，然后把小數點向右移動兩位，再在數的后面加上%
6、求百分率的方法：
百分率一般是指部分占總體的百分之幾。如合格率就是合格的產品數量占產品數量的百分之幾。及格率就是及格人數占總人數的百分之幾。結果用百分數的形式表示。
常考的幾種百分率：
合格率=合格的數量÷總數量
及格率=及格的人數÷總人數
發芽率=發芽的數量÷總數量
優秀率=優秀的人數÷總人數
正確率=正確的題數÷總題數
出勤率=出勤的人數÷總人數
命中率=命中的次數÷總次數
成活率=成活的棵數÷總棵數
含鹽率=鹽的質量÷鹽水的質量
含糖率=糖的質量÷糖水的質量
出油率=油的質量÷花生的質量
出米率=大米的質量÷稻谷的質量
出粉率=面粉的質量÷小麥的質量
7、求一個數的百分之幾是多少的實際問題的解法
與求一個數的幾分之幾是多少的問題的解答方法相同，都是用乘法來計算，用這個數乘百分之幾。計算時可以把這個數化成小數來計算，也可以把這個數化成分數來計算，要根據具體情況分析，選擇簡便的計算方法。
第五單元 數據處理
三種統計圖特點：
條形統計圖：很容易看出各種數量的多少；
折線統計圖：不僅能表示數量多少，還能清楚地反映數量的增減變化情況；
扇形統計圖：能清楚地表示部分與整體之間的關系。
第六單元 比的認識
（一）比的基本概念
兩個數相除又叫做兩個數的比，“：”是比號。比的前項除以后項所得的商，叫做比值。
比值通常用分數、小數和整數表示。
比的基本性質：比的前項和后項同乘或者同時除以相同的數（0除外），比值不變。
分數的基本性質：分數的分子和分母同乘或者同時除以相同的數（0除外），分數的大小不變。
同除法比較，比的前項相當于被除數，后項相當于除數，比值相當于商；
根據分數與除法的關系，比的前項相當于分子，比的后項相當于分母，比值相當于分數的值。數的分子和分母同時乘以或者除以相同的數（0除外），分數的大小不變。乘積是1的兩個數互為倒數。1的倒數是1，0沒有倒數。
8、商不變的規律：在除法里，被除數和除數同乘或者同時除以相同的數（0除外），商不變。
9、小數的性質：在小數的末尾添上零或者去掉零小數的大小不變。
（二）求比值
求比值：用比的前項除以比的后項。最后結果是數值。
（三）化簡比
1、最后得到的比必須是最簡整數比：比的前項和后項是互質數，也就是比的前項和后項只有公因數1。
2、化簡的方法：用商不變的性質、分數的基本性質或比的基本性質來化簡；用比的前項除以比的后項求出分數的比值后，再把分數比值改成比（最終是比的形式）。。
（四）比的應用
1、比的第一種應用：已知兩個或幾個數量的和，這兩個或幾個數量的比，求這兩個或這幾個數量是多少？
例如：六年級有60人，男女生的人數比是5：7，男女生各有多少人？
題目解析：60人就是男女生人數的和。
解題思路：第一步求每份：60÷（5+7）=5人
第二步求男女生：男生：5×5=25人 女生：5×7=35人。
2、比的第二種應用：已知一個數量是多少，兩個或幾個數的比，求另外幾個數量是多少？
例如：六年級有男生25人，男女生的比是5：7，求女生有多少人？全班共有多少人？
題目解析：“男生25人”就是其中的一個數量。
解題思路：第一步求每份：25÷5=5人
第二步求女生： 女生：5×7=35人。 全班：25+35=60人
3、比的第三種應用：已知兩個數量的差，兩個或幾個數的比，求這兩個或這幾個數量是多少？
例如：六年級的男生比女生多20人（或女生比男生少20人），男女生的比是7：5，男女生各有多少人？全班共有多少人？
4、要求量=已知量×
5、比在幾何里的運用：
（1）已知長方形的周長，長和寬的比是ａ：ｂ。求長和寬、面積。
長=周長÷2× 寬=周長÷2×　面積＝長×寬
（2）已知長方體的棱長和，長、寬、高的比是ａ：ｂ：ｃ。求長、寬、高、體積
長=周長÷４× 寬=周長÷４×　
高=周長÷４×　　體積＝長×寬×高
（3）已知三角形三個角的比是ａ：ｂ：ｃ，求三個內角的度數。
三個角分別為：
１８０× １８０× １８０×
（４）已知三角形的周長，三條邊的長度比是ａ：ｂ：ｃ，求三條邊的長度。
三條邊分別為：
周長× 周長× 周長×

第七單元　百分數的應用
（一）百分數的基本概念
1．百分數的定義：表示一個數是另一個數的百分之幾的數，叫做百分數。百分數也叫做百分率或百分比。
百分數表示兩個數之間的比率關系，不表示具體的數量，所以百分數不能帶單位。
2．百分數的意義：表示一個數是另一個數的百分之幾。
例如：25％的意義：表示一個數是另一個數的25％。
3．百分數通常不寫成分數形式，而在原來分子后面加上“％”來表示。分子部分可為小數、整數，可以大于100，小于100或等于100。
4．小數與百分數互化的規則：
把小數化成百分數，只要把小數點向右移動兩位，同時在后面添上百分號；
把百分數化成小數，只要把百分號去掉，同時把小數點向左移動兩位。
5．百分數與分數互化的規則：
　 把分數化成百分數，通常先把分數化成小數（除不盡的保留三位小數），再把小數化成百分數；
　 把百分數化成分數，先把百分數改寫成分數，能約分的要約成最簡分數。
（二）百分數應用題
1、四個公式：
① 誰是誰的幾分之幾？ ② 誰是誰的百分之幾？
 
③ 誰比誰多百分之幾？ ④ 誰比誰少百分之幾？
 
2、兩個公式：
①增加量（減少量）＝原來的量×增加的百分數（減少的百分數）
②現在的量＝原來的量±增加量（減少量）
③求增加百分之幾？減少百分之幾？
公式：增加百分之幾=增加的部分÷單位“1”
減少百分之幾=減少的部分÷單位“1”
例如：1、45立方厘米的水結成冰后，冰的體積為50立方厘米，冰的體積比原來水的體積增加百分之幾？
解題思路：根據公式增加百分之幾=增加的部分÷單位“1”，先確定單位“1”是水，已經知道是45：增加的部分不知道，可以利用50減45求得5；最后用增加的部分5÷單位“1”水的45就等于增加百分之幾。
計算步驟：第一步：單位“1”：水：45立方厘米
第二步：增加的部分：50—45=5立方厘米
第三步：增加百分之幾：5÷45=11.1%
2、45立方厘米的水結成冰后，體積增加了5立方厘米，冰的體積比原來水的體積增加百分之幾？
解題思路：根據公式增加百分之幾=增加的部分÷單位“1”，先確定單位“1”是水，已經知道是45：增加的部分是5立方厘米；最后用增加的部分5÷單位“1”水的45就等于增加百分之幾。
計算步驟：第一步：單位“1”：水：45立方厘米
第二步：增加的部分： 5立方厘米
第三步：增加百分之幾：5÷45=11.1%
3、水結成冰后，體積增加了5立方厘米，冰的體積為50立方厘米，冰的體積比原來水的體積增加百分之幾？
解題思路：根據公式增加百分之幾=增加的部分÷單位“1”，先確定單位“1”是水的體積，根據題目“水結成冰后，體積增加了5立方厘米”知道水比較少，冰比較多，所以可以用50—5求出水的體積是45立方厘米。增加的部分是5立方厘米；最后用增加的部分5÷單位“1”水的體積45立方厘米就等于增加百分之幾。
計算步驟：第一步：單位“1”：水：50—5=45立方厘米
第二步：增加的部分： 5立方厘米
第三步：增加百分之幾：5÷45≈11.1%
4、“減少百分之幾與增加百分之幾”的解題方法完全相同。
5、與增加百分之幾相同的還有“多百分之幾”“提高百分之幾”“增長百分之幾“等。
與減少百分之幾相同的還有“少百分之幾”“降低百分之幾”“節約百分之幾”等。

百分數應用題（二）?
（1） “求比已知量多（或少）百分之幾的量是多少”的實際問題，方法是：
第①種方法：可以先求出多或少的具體量，再用單位“1”的量加或減去多或少的部分，求出要求的問題。
第②種方法：也可以用單位“1”加或減去多或少的百分之幾，求出未知數占單位“1”的百分之幾，再用單位“1”的量乘這個分數。
（2）“已知甲與乙的和，其中甲占和的百分之幾，求乙數是多少？”
第①種方法：首先明確誰占單位“1”的百分之幾，求出甲數，再用單位“1”減去甲數，求出乙數。
第②種方法：先用單位“1”減去已知甲數所占和的百分之幾，即得未知乙數所占和的百分之幾，再求出乙數。
百分數應用題（三）
“已知比一個數多（少）百分之幾的數是多少，求這個數。”
（1）用方程解決稍復雜的分數應用題的步驟：
①要找準單位“1”。
②確定好其他量和單位“1”的量有什么關系，畫出關系圖，寫出等量關系式。
③設未知量為X，根據等量關系式，列出方程。
④解答方程。
（2）要記住以下幾種算術解法解應用題：
①對應數量÷對應百分率=單位“1”?的量
②“求比已知量多（或少）百分之幾的量是多少”。單位“1”已知，用乘法計算。?
③“已知比一個數多（少）百分之幾的數是多少，求這個數”。單位“1”未知，用除法計算，還可以用列方程解答。
百分數應用題（四）利息的計算
1. 本金：存入銀行的錢叫做本金。
2．利息：取款時銀行多支付的錢叫做利息。
利息=本金×利率×時間
3．2008年10月9日以前國家規定，存款的利息要按20％的稅率納稅。國債的利息不納稅。2008年10月9日以后免收利息稅。所以如無特殊說明，就不在計算利息稅。
4．利率：利息與本金的比值叫做利率。
5．銀行存款稅后利息的計算公式：稅后利息＝利息×（１－20％）
6．國債利息的計算公式：利息＝本金×利率×時間
7．本息：本金與利息的總和叫做本息。
8．應納稅額：繳納的稅款叫應納稅額。
9．稅率：應納稅額與各種收入的比率叫做稅率。
10．應納稅額的計算：應納稅額＝各種收入×稅率
例如：李老師把2000元錢存入銀行，整存整取五年，年利率按4.14%計算，到期時，李老師的本金和利息共有多少元？
解題思路：要求“本金和利息共有多少元”應該用本金的2000元加上利息的。
解題步驟：第一步：根據“利息＝本金×利率×時間”算利息
利息：2000×4.14%×5=414元
第二步：本金+利息：2000+414=2414元。
例如：李老師把2000元錢存入銀行，整存整取五年，年利率按4.14%計算，到期時，李老師的本金和利息共有多少元？（如果利息按20%來上稅）
解題思路：要求“本金和利息共有多少元”應該用本金的2000元加上利息的。
解題步驟：第一步：根據“利息＝本金×利率×時間”算利息
利息：2000×4.14%×5=414元
第二步：算稅后利息：414×（1—20%）=331.2元
本金+利息：2000+331.2=233.2元。
幾何形體周長、面積計算公式
1、長方形的周長=（長+寬）×2 C=(a+b)×2
2、正方形的周長=邊長×4 C=4a
3、長方形的面積=長×寬 S=ab
4、正方形的面積=邊長×邊長 S=a.a= a2
5、三角形的面積=底×高÷2 S=ah÷2
6、平行四邊形的面積=底×高 S=ah
7、梯形的面積=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2
8、直徑=半徑×2 d=2r 半徑=直徑÷2 r= d÷2
9、圓的周長=圓周率×直徑=圓周率×半徑×2 C=πd=2πr 10、圓的面積=圓周率×半徑×半徑 S＝πr2
11、長方體的棱長總和=（長＋寬＋高）×4 C=（a＋b＋h）×4
正方體的棱長總和=棱長×12 C=a×12
12、長方體的表面積=（長×寬＋長×高＋寬×高）×2 S=（ab＋ah＋bh）×2
正方體的表面積=棱長×棱長×6 S= a2×6
13、長方體的體積=長×寬×高 v=abh
正方體的體積=棱長×棱長×棱長 v=a3
常見的量1、長度單位換算
1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米
1米=100厘米 1厘米=10毫米
2、面積單位換算
1平方千米=100公頃 1公頃=10000平方米 1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米
3、質量單位換算
1千克=1000克 1克=1000毫克
1千克=1公斤＝2市斤
　4、時間單位換算
1晝夜＝1天＝24時　　1時＝60分　　1分＝60秒
5、體積單位換算
1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米
1立方米=100 0000立方厘米
1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升
1升=1000毫升

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