資源簡介

《平面直角坐標系》全章復習與鞏固（基礎）鞏固練習

【鞏固練習】
一、選擇題
1．點P（0，3）在（ ）.
A．x軸的正半軸上 B．x的負半軸上 C．y軸的正半軸上 D．y軸的負半軸上
2．如圖中△ABC到△ABC 經歷了如何的變化（ ）.










A．向左平移4個單位
B．向右平移4個單位
C．向左平移3個單位
D．向右平移3個單位
3．將某圖形的橫坐標減去2，縱坐標保持不變,可將圖形（ ）.
A．橫向向右平移2個單位
B．橫向向左平移2個單位
C．縱向向右平移2個單位
D．縱向向左平移2個單位
4．在平面直角坐標系中，點M（－3，2）關于x軸對稱的點在( ).
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．點P的坐標為（3a-2，8-2a），若點P到兩坐標軸的距離相等，則a的值是（ ）.
A．或4 B．-2或6 C．或-4 D．2或-6
6. 如圖是被墨跡污染的旅游區各景點地圖，隱約可見，第一景點的坐標為（0,3），第二景點的坐標為（5,3），景區車站坐標為（0,0），則車站大約在（ ）.

A．點A B．點B C．點C D．點D
7．若點A(m，n)在第二象限，則點B(|m|，-n)在( )．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．點P(m+3，m+1)在直角坐標系的x軸上，則P點的坐標為( )．
A．(0，-2) B．(2，0) C．(4，0) D．(0，-4)
二、填空題
9.如圖，若點E坐標為(－2，1)，點F坐標為(1，－1)，則點G的坐標為 ．

10. 點P（－5，4）到x軸的距離是 ，到y軸的距離是 ．
11. 若點M在第二象限，到x軸的距離是2，到y軸的距離是3，則M的坐標是 ．
12.若點（a，b）在第二象限，則點（b，a）在第 象限.
13.將點P（－1，－2）向下平移2個單位，再向右平移3個單位，得到P1，則點P1的坐標是 ．
14.點B與點C的橫坐標相同，縱坐標不同，則直線BC與x軸的關系為 ．
15.在平面直角坐標系中，若點M（1，3）與點N（x，3）之間的距離是5，則x的值是 ．
16.在平面直角坐標系內，已知點A（1-2k，k-2）在第三象限，且k為整數，則 k的值為 ．
三、解答題
17．如圖所示，三角形ABC三個頂點的坐標分別是A(-2，3)，B(-2，-4)，C(2，2)．求三角形ABC的面積．

18．(1)在直角坐標系中，用線段依次連接點(1，0)，(1，3)，(7，3)，(7，0)，(1，0)和(0，3)，(8，3)，(4，5)，(0，3)，兩組圖形共同組成一個什么圖形?
(2)如果將上面各點的橫坐標都加上1，縱坐標不變，那么用同樣方式連接相應各點，所得的圖形發生了什么變化?
19.已知A(0，0)，B(9，O)，C(7，5)，D(2，7)，求四邊形ABCD的面積．


20.小杰與同學去游樂城游玩，他們準備根據游樂城平面示意圖安排游玩順序．

(1)如果用(8，5)表示入口處的位置，(6，1)表示高空纜車的位置，那么攀巖的位置如何表示？(4，6)表示哪個地點？
(2)你能找出哪個游樂設施離入口最近，哪個游樂設施離入口最遠嗎?
(3)請你幫小杰設計一條游玩路線，與同學交流，看誰設計的路線最短?
【答案與解析】
一.選擇題
1. 【答案】C；
【解析】橫坐標為0，說明點在y軸上，又縱坐標大于0，說明點在y軸的正半軸上.
2. 【答案】D；
【解析】看對應點的左邊變化即得答案.
3. 【答案】B.
4. 【答案】C；
【解析】關于x軸對稱的點的坐標特征是橫坐標相同，縱坐標互為相反數.
5. 【答案】D；
【解析】由題意得：，解得：或.
6. 【答案】B；
【解析】根據已知的坐標，可建立平面直角坐標系，如圖，由此可得答案.

7. 【答案】D；
【解析】第二象限的點橫坐標為負，縱坐標為正，所以m＜0且n＞0，所以|m|＞0，-n＜0，點B(|m|，-n)在第四象限，故選D．
8. 【答案】B；
【解析】在x軸上點的縱坐標為0，所以m+1＝0，可得m＝-1，m+3＝2，所以P點的坐標為(2，0)，故選B．
二.填空題
9. 【答案】(1 ，2)；
【解析】由圖可知，點G的橫坐標與點F的橫坐標相同，均為1，而縱坐標比點E的縱坐標大1，所以點點G的坐標為（1,2）．
10.【答案】4,5.
11.【答案】(－3 ，2).
12．【答案】四；
【解析】由點（a，b）在第二象限，可得a＜0，b＞0，即得點（b，a）的橫坐標大于0，而縱坐標小于0，所以點（b，a）在第四象限．
13.【答案】（2，－4）；
【解析】－1+3＝2，－2－2＝-4.
14.【答案】垂直.
15.【答案】-4或6；
【解析】點M、N的縱坐標相等，則直線MN在平行于x軸的直線上，根據兩點間的距離，可列出等式|x-1|=5，從而解得x的值．
16. 【答案】1．
【解析】∵點A（1-2k，k-2）在第三象限，∴1-2k＜0，k-2＜0，解得：0.5＜k＜2，
又∵k為整數，∴k=1．
三.解答題
17.【解析】
解：因為AB＝3-(-4)＝7．高h＝2-(-2)＝4，
所以三角形ABC的面積．
18.【解析】
解：如圖所示，(1)小房子．(2)形狀不變，位置沿水平方向向右平移了一個單位長度．

19.【解析】
解：過點C作CF⊥x軸于點F，過D作DE⊥x軸于點E
則AE=2，DE=7，BF=2，CF=5，EF=5
∴
．
20. 【解析】
解：（1）（-1，7），海底世界；
（2）天文館離入口最近，攀巖離入口最遠；
（3）略．













F

E

G



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《平面直角坐標系》全章復習與鞏固(基礎)知識講解

【學習目標】
1. 理解平面直角坐標系及象限的概念，并會在坐標系中根據點的坐標描出點的位置、由點的位置寫出它的坐標；
2. 掌握用坐標系表示物體位置的方法及在物體平移變化前后點坐標的變化；
3. 通過學習平面直角坐標系的基礎知識,逐步理解平面內的點與有序實數對之間的一一對應關系,進而培養數形結合的數學思想．
【知識網絡】

















【要點梳理】
要點一、有序數對
把一對數按某種特定意義，規定了順序并放在一起就形成了有序數對，人們在生產生活中經常以有序數對為工具表達一個確定的意思，如某人記錄某個月不確定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一數表示日期，后一數表示收入，但更多的人們還是用它來進行空間定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用來表示電影院的座位，其中前一數表示排數，后一數表示座位號.
要點二、平面直角坐標系
在平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數軸就組成平面直角坐標系，如下圖：

要點詮釋：
（1）坐標平面內的點可以劃分為六個區域：x軸，y軸、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，這六個區域中，除了x軸與y軸有一個公共點（原點）外，其他區域之間均沒有公共點.
（2）在平面上建立平面直角坐標系后，坐標平面上的點與有序數對（x，y）之間建立了一一對應關系，這樣就將‘形’與‘數’聯系起來，從而實現了代數問題與幾何問題的轉化.
（3）要熟記坐標系中一些特殊點的坐標及特征：
① x軸上的點縱坐標為零；y軸上的點橫坐標為零．
② 平行于x軸直線上的點橫坐標不相等，縱坐標相等；
平行于y軸直線上的點橫坐標相等，縱坐標不相等．
③ 關于x軸對稱的點橫坐標相等，縱坐標互為相反數；
關于y軸對稱的點縱坐標相等，橫坐標互為相反數；
關于原點對稱的點橫、縱坐標分別互為相反數．
④ 象限角平分線上的點的坐標特征：
一、三象限角平分線上的點橫、縱坐標相等；
二、四象限角平分線上的點橫、縱坐標互為相反數．
注：反之亦成立．
（4）理解坐標系中用坐標表示距離的方法和結論：
① 坐標平面內點P(x，y)到x軸的距離為|y|，到y軸的距離為|x|．
② x軸上兩點A(x1，0)、B(x2，0)的距離為AB=|x1 - x2|；
y軸上兩點C(0，y1)、D(0，y2)的距離為CD=|y1 - y2|．
③ 平行于x軸的直線上兩點A(x1，y)、B(x2，y)的距離為AB=|x1 - x2|；
平行于y軸的直線上兩點C(x，y1)、D(x，y2)的距離為CD=|y1 - y2|．
（5）利用坐標系求一些知道關鍵點坐標的幾何圖形的面積：切割、拼補.
要點三、坐標方法的簡單應用
1．用坐標表示地理位置
(1)建立坐標系，選擇一個適當的參照點為原點，確定x軸、y軸的正方向；
(2)根據具體問題確定適當的比例尺，在坐標軸上標出單位長度；
(3)在坐標平面內畫出這些點，寫出各點的坐標和各個地點的名稱．
要點詮釋：
(1)我們習慣選取向東、向北分別為x軸、y軸的正方向，建立坐標系的關鍵是確定原點的位置．
(2)確定比例尺是畫平面示意圖的重要環節，要結合比例尺來確定坐標軸上的單位長度．
2．用坐標表示平移
(1)點的平移
點的平移引起坐標的變化規律：在平面直角坐標中，將點(x，y)向右(或左)平移a個單位長度，可以得到對應點(x+a，y)(或(x-a，y))；將點(x，y)向上(或下)平移b個單位長度，可以得到對應點(x，y+b)(或(x，y-b))．
要點詮釋：
上述結論反之亦成立，即點的坐標的上述變化引起的點的平移變換．
(2)圖形的平移
在平面直角坐標系內，如果把一個圖形各個點的橫坐標都加(或減去)一個正數a，相應的新圖形就是把原圖形向右(或向左)平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加(或減去)一個正數a，相應的新圖形就是把原圖形向上(或向下)平移a個單位長度．
要點詮釋：
平移是圖形的整體運動，某一個點的坐標發生變化，其他點的坐標也進行了相應的變化，反過來點的坐標發生了相應的變化，也就意味著點的位置也發生了變化，其變化規律遵循：“右加左減，縱不變；上加下減，橫不變”．

【典型例題】
類型一、有序數對
1．數學家發明了一個魔術盒，當任意數對(a，b)進入其中時，會得到一個新的數：．例如把(3，-2)放入其中，就會有32 +(-2)+1＝8，現將數對(-2，3)放入其中得到數m，再將數對(m，1)放入其中，得到的數是________．
【思路點撥】解答本題的關鍵是正確理解如何由數對得到新的數，只要按照新定義的數的運算，把數對代入求值即可．
【答案】66 .
【解析】解：將(-2，3)代入，，得(-2)2+3+1＝8，
再將(8，1)代入，得82 +1+1＝66，
故填：66．
【總結升華】解答此題的關鍵是把實數對（-2，3）放入其中得到實數m，解出m的值，即可求出把（m，1）放入其中得到的數．
舉一反三：
【變式】我們規定向東和向北方向為正，如向東走4米，再向北走6米，記作(4，6)，則向西走5米，再向北走3米，記作________；數對(-2，-6)表示________．
【答案】 (-5，3)；向西走2米，向南走6米.
類型二、平面直角坐標系
2. (濱州)第三象限內的點P(x，y)，滿足|x|＝5，y2＝9，則點P的坐標為________．
【思路點撥】點在第三象限，橫坐標＜0，縱坐標＜0．再根據所給條件即可得到x，y的具體值．
【答案】(-5，-3).
【解析】因為|x|＝5，y2＝9．所以x＝±5，y＝±3，又點P(x，y)在第三象限，所以x＜0，y＜0，故點P的坐標為(-5，-3)．
【總結升華】解決本題的關鍵是記住各象限內點的坐標的符號，第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．

舉一反三：
【變式1】 在平面直角坐標系中，點P(-3，4)到x軸的距離為( ) ．
A．3 B．-3 C．4 D．-4
【答案】C.
【變式2】 如圖所示，小手蓋住的點的坐標可能為( ) ．

A．(5，2) B．(-6，3) C．(-4，-6) D．(3，-4)
【答案】D.
類型三、坐標方法的簡單應用
3.如圖所示，建立適當的直角坐標系，寫出圖中的各頂點的坐標．

【思路點撥】建立平面直角坐標系的關鍵是先確定原點，再確定x軸、y軸，建立不同的直角坐標系，各頂點的坐標也不同．
【答案與解析】
解：建立直角坐標系如圖所示，則各點的坐標為(-4，0)，(-3，0)，(-3，-4)，(3，-4)，(3，0)，(4，0)，(0，3)，再建立不同的平面直角坐標系，寫出各頂點的坐標．(讀者自己試試看)

【總結升華】選擇適當的直角坐標系可方便解題，一般盡可能使大多數的點的坐標為整數且易表示出來．

4.已知A（-1，0），B（5，0），C（-2，-4），求△ABC的面積.

【思路點撥】觀察圖形可知，三角形ABC的邊AB在x軸上，根據點A、B兩點橫坐標的差可計算出AB的長，AB邊上的高等于點C的縱坐標的絕對值，由此可計算出△ABC的面積．
【答案與解析】
解：由圖可知，AB＝5－（﹣1）＝6，高＝，
所以△ABC的面積＝.
答：△ABC的面積為12平方單位.
【總結升華】本例通過圖形的轉化，點的坐標與線段長度的轉化解決了求圖形面積的問題．點的坐標能體現它到坐標軸的距離，于是將點的坐標轉化為點到坐標軸的距離，這種應用十分廣泛．
5.△ABC三個頂點坐標分別是A(4，3)，B(3，1)，C(1，2)．
(1)將△ABC向右平移1個單位，再向下平移2個單位，所得△A1B1C1的三個頂點坐標分別是什么?
(2)將△ABC三個頂點的橫坐標都減去5，縱坐標不變，分別得到A2、B2、C2，依次連接A2、B2、C2各點，所得△A2B2C2與△ABC的大小、形狀和位置上有什么關系?
(3)將△ABC三個頂點的縱坐標都減去5，橫坐標不變，分別得到A3、B3、C3，依次連接A3、B3、C3各點，所得△A3B3C3與△ABC的大小、形狀和位置上有什么關系?
【答案與解析】
解：(1)A1(5，1)，B1(4，-1)，C1(2，0)．
(2)△A2B2C2與△ABC的大小、形狀完全相同，在位置上是把△ABC向左平移5個單位得到．
(3)△A3B3C3與△ABC的大小、形狀完全相同，在位置上是把△ABC向下移5個單位得到．
【總結升華】此題揭示了平移的整體性，以及平移前后的坐標關系是一一對應的，在平移中，橫坐標減小等價于向左平移；橫坐標增大等價于向右平移；縱坐標減小等價于向下平移；縱坐標增大等價于向上平移．
舉一反三：
【變式】
（1）將點P（,-5）向左平移個單位，再向上平移4個單位后得到的坐標為 .
（2）將點P向左平移個單位，再向上平移4個單位后得到(2，-1)，則點P的坐標為 .
（3）將點P(m-2，n+1)沿x軸負方向平移3個單位，得到 (1-m，2)，則點P坐標 .
(4)把點P1(2，-3)平移后得點P2(-2，3)，則平移過程是________________.
【答案】（1）（2，-1） （2）（,-5） （3）（1,2）
（4）先向左平移4個單位長度，再向上平移6個單位長度；
類型四、綜合應用
6. 三角形ABC三個頂點A、B、C的坐標分別為A（2，-1）、B（1，-3）、C（4，-3.5）．
（1）在直角坐標系中畫出三角形ABC；
（2）把三角形A1B1C1向右平移4個單位，再向下平移3個單位，恰好得到三角形ABC，試寫出三角形A1B1C1三個頂點的坐標，并在直角坐標系中描出這些點；
（3）求出三角形A1B1C1的面積．
【思路點撥】（1）建立平面直角坐標系，從中描出A、B、C三點，順次連接即可．
（2）把三角形A1B1C1向右平移4個單位，再向下平移3個單位，恰好得到三角形ABC，即三角形ABC向上平移3個單位，向左平移4個單位，得到三角形A1B1C1，按照平移中點的變化規律：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減．寫出三角形A1B1C1三個頂點的坐標，從坐標系中畫出圖形．
（3）把△A1B1C1補成矩形再把周邊的三角形面積減去，即可求得△A1B1C1的面積．
【答案與解析】
解：（1）如圖1，

（2）如圖2，A1（-2，2），B1（-3，0），C1（0，-0.5）；

（3）把△A1B1C1補成矩形再把周邊的三角形面積減去，
即可求得△A1B1C1的面積=3×2.5-1-2.5-0.75=3.25．
∴△A1B1C1的面積=3.25．
【總結升華】本題綜合考查了平面直角坐標系，及平移變換．注意平移時，要找到三角形各頂點的對應點是關鍵，然后割補法求出三角形ABC的面積。
舉一反三：
【變式】如果矩形ABCD的對角線的交點與平面直角坐標系的原點重合，且點A和點C的坐標分別為(-3，2)和(3，2)，則矩形的面積為( )．
A．32 B．24 C．6 D．8
【答案】B.











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《平面直角坐標系》全章復習與鞏固（提高）鞏固練習

【鞏固練習】
一、選擇題
1．（日照）若點P(m，1－2m)的橫坐標與縱坐標互為相反數，則點P一定在（ ）.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知點P(a，b)，ab＞0，a+b＜0，則點P在( )．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若點P(x，y)的坐標滿足xy＝0(x≠y)，則點P必在( )．
A．原點上 B．x軸上 C．y軸上 D．x軸上或y軸上(除原點)
4．線段MN在直角坐標系中的位置如圖所示，線段M1N1與MN關于y軸對稱，則點M的對應的點M1的坐標為（ ）.

A．(4，2) B．(－4，2) C．(－4，－2) D．(4，－2)
5．設平面直角坐標系的軸以1cm作為長度單位，△PQR的頂點坐標為P（0,3），Q（4,0），R（k，5），其中0A．1 B． C．2 D．
6．如果矩形ABCD的對角線的交點與平面直角坐標系的原點重合，且點A和點C的坐標分別為(-3，2)和(3，﹣2)，則矩形的面積為( )．
A．32 B．24 C．6 D．8
7. (湖北武漢)如圖所示，所有正方形的中心均在坐標原點，且各邊與x軸或y軸平行，從內到外，它們的邊長依次為2，4，6，8，…頂點依次用A1，A2，A3，A4…表示，則頂點A55的坐標為( ).

A．(13，13) B．(-13，-13) C．(14，14) D．(-14，-14)
8.（臺灣）如圖，坐標平面上有兩直線、，其方程式分別為y=9、y=-6．若上有一點P，上有一點Q，PQ與y軸平行，且PQ上有一點R，PR：RQ=1：2，則R點與x軸的距離為何（　　）.

A．1 B.4 C. 5 D.10
二、填空題
9．如圖，圖中O點用（0，0）表示，A點用（2，1）表示．若“A左一進二”表示將A向左平移一個單位，再向上平移兩個單位，此時A到達C點，則C點為（1，3）。若將A（2，1）“右二進三”到達D點，在圖中確定D的位置，可表示為 ．

10. 如果點M（a＋b，ab）在第二象限，那么點N（a，b）在第 象限．
11.對任意實數x，點P（x，x2－2x）一定不在第 象限．
12.已知點P（2，-3）與Q（x，y）在同一條平行y軸的直線上，且Q到x軸的距離為5，則點Q的坐標為 。
13．已知正方形的對角線的長為4 cm，取兩條對角線所在直線為坐標軸，則正方形的四個頂點的坐標分別為________．
14.將點A（1，－3）向右平移2個單位，再向下平移2個單位后得到點B（a，b），則ab＝ ．
15. 如圖，正方形ABCD的邊長為4，點A的坐標為（-1，1），AB平行于x軸，則點C的坐標為 ．

16.如圖，在平面直角坐標系上有點A（1，0），點A第一次跳動至點A1（-1，1），第四次向右跳動5個單位至點A4（3，2），…，依此規律跳動下去，點A第100次跳動至點A100的坐標是 ．

三、解答題
17．如圖，點A表示3街與3大道的十字路口，點B表示5街與5大道的十字路口，如果用（3，3）→（4，3）→（5，3）→（5，4）→（5，5）表示由A到B的一條路徑，那么請你用同樣的方法找出由A到B的其他三種路徑．

18．在平面直角坐標系中，點M的坐標為（a，-2a）．
（1）當a=-1時，點M在坐標系的第 象限；（直接填寫答案）
（2）將點M向左平移2個單位，再向上平移1個單位后得到點N，當點N在第三象限時，求a的取值范圍．
19.在如圖所示的直角坐標系中，多邊形ABCDEF的各頂點的坐標分別是A(1，0)，B(2，3)，C(5，6)，D(7，4)，E(6，2)，F(9，0)，確定這個多邊形的面積，你是怎樣做的?

20.已知一個直角三角形紙片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如圖，將該紙片放置在平面直角坐標系中，折疊該紙片，折痕與邊OB交于點C，與邊AB交于點D．
(1)若折疊后使點B與點A重合，求D點坐標；(*你還能求出點C的坐標?)

(2)若折疊后點B落在邊OA上的點為，且使，此時你能否判斷出與的位置關系?若能，給出證明，若不能試說出理由。(*你能求此時點C的坐標嗎？還能…？)

【答案與解析】
一、選擇題
1. 【答案】D.
2. 【答案】C；
【解析】由ab＞0可知a和b同號，由a+b＜0可知a和b同時為負，所以P(a，b)在第三象限，故選C．
3. 【答案】D；
【解析】由xy＝0，可得x＝0或y＝0，當x＝0時，點P在y軸，當y＝0時，點P在x 軸，故選D．
4. 【答案】D；
【解析】關于y軸對稱的點的坐標特征是縱坐標不變，橫坐標互為相反數.
5. 【答案】B；
【解析】如圖，，,
即，解得.

6. 【答案】B；
【解析】分析：因為以矩形ABCD的對角線的交點為原點，建立平面直角坐標系，則A、B兩點關于y軸對稱且距離為6，同樣B、C兩點關于x軸對稱且距離為4，所以矩形的面積為24，故選B．
7. 【答案】C；
【解析】觀察圖形可知，由從內到外的第2個正方形數起：
A5在第三象限，A6在第二象限，A7在第一象限，A8在第四象限，
A9在第三象限，A10在第二象限，A11在第一象限，A12在第四象限，
……
其一般規律是：由從內到外的第n(n為正整數，且n≥2)個正方形算起：
在第一象限，在第二象限，在第三象限，在第四象限．
那么，點A55在哪個象限呢?
因為55為奇數，所以點A55應該是在第一象限或者是第三象限．
具體地，由4n-1＝55，解得n＝14(由4n-3＝55，則n不是整數)
由此可知，A55在第一象限，且在從內到外的第14個正方形的頂點上．
觀察圖形，結合已知條件又知：
在第一象限的第1個正方形頂點坐標是(1，1)，
在第一象限的第2個正方形頂點坐標是(2，2)，
在第一象限的第3個正方形頂點坐標是(3，3)，
因此，在第一象限的第14個正方形頂點坐標是(14，14)．即A55(14，14)，故選C．
8. 【答案】B；
【解析】由已知直線L上所有點的縱坐標為9，M上所由點的坐標為-6，由PQ與y軸平行即于x軸垂直，可得出PN=9，QN=6，PQ=PN+QN=9+6=15，根據已知PR：PQ=1：2可求出PR，從而求出R點與x軸的距離．
二、填空題
9. 【答案】(4 ，4).
10.【答案】三；
【解析】先根據點M（a+b，ab）在第二象限確定出a+b＜0，ab＞0，再進一步確定a，b 的符號即可求出答案．
11.【答案】二；
【解析】時，則，，，不可能，所以橫坐標小于0，而縱坐標永遠不可能大于0，所以不可能在第二象限.
12．【答案】（2,5）或(2,-5)；
【解析】點P（2，-3）與Q（x，y）在同一條平行y軸的直線上，可得x＝2，
又且Q到x軸的距離為5，可得y＝±5．
13.【答案】(2，0)，(0，-2)，(-2，0)，(0，2)；
【解析】因為正方形的對角線互相垂直平分，所以取兩條對角線所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系，各點的坐標為(2，0)，(0，-2)，(-2，0)，(0，2)．
14.【答案】－15.
15.【答案】（3，5）；
【解析】用正方形的邊長減去點A的橫坐標的長度得到點C的橫坐標，加上點A的縱坐標的長度得到點C的縱坐標，從而得解．
16.【答案】（51，50）．
【解析】根據圖形觀察發現，第偶數次跳動至點的坐標，橫坐標是次數的一半加上1，縱坐標是次數的一半，然后寫出即可．
三、解答題
17.【解析】
解：（3，3）→（3，4）→（3，5）→（4，5）→（5，5）
（3，3）→（4，3）→（4，4）→（5，4）→（5，5）
（3，3）→（3，4）→（4，4）→（4，5）→（5，5）
18.【解析】
解：（1）二；
（2）由題意得，N（a-2,-2a+1）,又N在第三象限，
∴， 即
答：a的取值范圍為．
19.【解析】
解：如圖所示，多邊形ABCDEF的面積

．

點撥：求不規則圖形的面積時，通常轉化為規則的圖形面積的和與差．
20.【解析】
解：（1）D（1，2）


（2），理由：如圖，



因為，
所以∠CBB／=∠BB／D，
又因為折疊后點B落在邊OA上的點為，
所以∠CBB／=∠BB／C, ∠DBB／=∠BB／D，
所以∠BB／C=∠DBB／，
所以．








B

A



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《平面直角坐標系》全章復習與鞏固(提高)知識講解

【學習目標】
1. 理解平面直角坐標系及象限的概念，并會在坐標系中根據點的坐標描出點的位置、由點的位置寫出它的坐標；
2. 掌握用坐標系表示物體位置的方法及在物體平移變化前后點坐標的變化；
3. 通過學習平面直角坐標系的基礎知識,逐步理解平面內的點與有序實數對之間的一一對應關系,進而培養數形結合的數學思想．
【知識網絡】

















【要點梳理】
要點一、有序數對
把一對數按某種特定意義，規定了順序并放在一起就形成了有序數對，人們在生產生活中經常以有序數對為工具表達一個確定的意思，如某人記錄某個月不確定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一數表示日期，后一數表示收入，但更多的人們還是用它來進行空間定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用來表示電影院的座位，其中前一數表示排數，后一數表示座位號.
要點二、平面直角坐標系
在平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數軸就組成平面直角坐標系，如下圖：

要點詮釋：
（1）坐標平面內的點可以劃分為六個區域：x軸，y軸、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，這六個區域中，除了x軸與y軸有一個公共點（原點）外，其他區域之間均沒有公共點.
（2）在平面上建立平面直角坐標系后，坐標平面上的點與有序數對（x，y）之間建立了一一對應關系，這樣就將‘形’與‘數’聯系起來，從而實現了代數問題與幾何問題的轉化.
（3）要熟記坐標系中一些特殊點的坐標及特征：
① x軸上的點縱坐標為零；y軸上的點橫坐標為零．
② 平行于x軸直線上的點橫坐標不相等，縱坐標相等；
平行于y軸直線上的點橫坐標相等，縱坐標不相等．
③ 關于x軸對稱的點橫坐標相等，縱坐標互為相反數；
關于y軸對稱的點縱坐標相等，橫坐標互為相反數；
關于原點對稱的點橫、縱坐標分別互為相反數．
④ 象限角平分線上的點的坐標特征：
一、三象限角平分線上的點橫、縱坐標相等；
二、四象限角平分線上的點橫、縱坐標互為相反數．
注：反之亦成立．
（4）理解坐標系中用坐標表示距離的方法和結論：
① 坐標平面內點P(x，y)到x軸的距離為|y|，到y軸的距離為|x|．
② x軸上兩點A(x1，0)、B(x2，0)的距離為AB=|x1 - x2|；
y軸上兩點C(0，y1)、D(0，y2)的距離為CD=|y1 - y2|．
③ 平行于x軸的直線上兩點A(x1，y)、B(x2，y)的距離為AB=|x1 - x2|；
平行于y軸的直線上兩點C(x，y1)、D(x，y2)的距離為CD=|y1 - y2|．
（5）利用坐標系求一些知道關鍵點坐標的幾何圖形的面積：切割、拼補
要點三、坐標方法的簡單應用
1．用坐標表示地理位置
(1)建立坐標系，選擇一個適當的參照點為原點，確定x軸、y軸的正方向；
(2)根據具體問題確定適當的比例尺，在坐標軸上標出單位長度；
(3)在坐標平面內畫出這些點，寫出各點的坐標和各個地點的名稱．
要點詮釋：
(1)我們習慣選取向東、向北分別為x軸、y軸的正方向，建立坐標系的關鍵是確定原點的位置．
(2)確定比例尺是畫平面示意圖的重要環節，要結合比例尺來確定坐標軸上的單位長度．
2．用坐標表示平移
(1)點的平移
點的平移引起坐標的變化規律：在平面直角坐標中，將點(x，y)向右(或左)平移a個單位長度，可以得到對應點(x+a，y)(或(x-a，y))；將點(x，y)向上(或下)平移b個單位長度，可以得到對應點(x，y+b)(或(x，y-b))．
要點詮釋：
上述結論反之亦成立，即點的坐標的上述變化引起的點的平移變換．
(2)圖形的平移
在平面直角坐標系內，如果把一個圖形各個點的橫坐標都加(或減去)一個正數a，相應的新圖形就是把原圖形向右(或向左)平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加(或減去)一個正數a，相應的新圖形就是把原圖形向上(或向下)平移a個單位長度．
要點詮釋：
平移是圖形的整體運動，某一個點的坐標發生變化，其他點的坐標也進行了相應的變化，反過來點的坐標發生了相應的變化，也就意味著點的位置也發生了變化，其變化規律遵循：“右加左減，縱不變；上加下減，橫不變”．
【典型例題】
類型一、有序數對
1．(巴中)如圖所示，用點A(3，1)表示放置3個胡蘿卜、1棵青菜，用點B(2，3)表示放置2個胡蘿卜，3棵青菜．

(1)請你寫出點C、D、E、F所表示的意義；
(2)若一只兔子從點A到達點B(順著方格線走)，有以下幾條路線可以選擇：①A→C→D→B；②A→E→D→B；③A→E→F→B，問走哪條路吃到的胡蘿卜最多?走哪條路吃到的青菜最多?
【思路點撥】（1）根據問題的“約定”先寫出坐標，再回答其實際意義；(2)通過比較三條線路吃胡蘿卜、青菜的多少回答問題．
【答案與解析】
解：(1)因為點A(3，1)表示放置3個胡蘿卜、1棵青菜，點B(2，3)表示放置2個胡蘿卜、3棵青菜，可得：
點C的坐標是(2，1)，它表示放置2個胡蘿卜、1棵青菜；
點D的坐標是(2，2)，它表示放置2個胡蘿卜、2棵青菜；
點E的坐標是(3，2)，它表示放置3個胡蘿卜、2棵青菜；
點F的坐標是(3，3)，它表示放置3個胡蘿卜、3棵青菜．
(2)若兔子走路線①A→C→D→B，則可以吃到的胡蘿卜共有3+2+2+2＝9(個)，吃到的青菜共有1+1+2+3＝7(棵)；
走路線②A→E→D→B，則可以吃到的胡蘿卜共有3+3+2+2＝10(個)，吃到的青菜共有1+2+2+3＝8(棵)；
走路線③A→E→F→B，則可以吃到的胡蘿卜共有3+3+3+2＝11(個)，吃到的青菜共有1+2+3+3＝9(棵)；
由此可知，走第③條路線吃到的胡蘿卜和青菜都最多．
【總結升華】由點A（3，1），點B（2，3）表示的意義及已確定平面直角坐標系，可知坐標系中x軸表示胡蘿卜的數量，y軸表示青菜的數量．
類型二、平面直角坐標系
2. (1)若點(5-a，a-3)在第一、三象限的角平分線上，求a的值．
(2)已知兩點A(-3，m)，B(n，4)，若AB∥x軸，求m的值，并確定n的范圍．
(3)點P到x軸和y軸的距離分別是3和4，求P點的坐標．
【思路點撥】 (1)中在一、三象限的角平分線上的點的橫坐標與縱坐標相等；(2)與x軸平行的直線上的點的縱坐標相等；(3)中的點P有多個．
【答案與解析】
解：(1)因為點(5-a，a-3)在第一、三象限的角平分線上，所以5-a＝a-3，所以a＝4．
(2)因為AB∥x軸，所以m＝4，因為A、B兩點不重合，所以n≠-3．
(3)設P點的坐標為(x，y)，由已知條件得|y|＝3，|x|＝4，所以y＝±3，x＝±4，所以P點的坐標為(4，3)或(-4，3)或(4，-3)或(-4，-3)．
【總結升華】抓住平面直角坐標系中點的特征和點的特征的意義是解決此類問題的關鍵．

舉一反三：
【變式】已知，點P（-m，m-1），試根據下列條件：
（1）若點P在過A（2，-4），且與x軸平行的直線上，則m= ，點P的坐標為 ．
（2）若點P在過A（2，-4），且與y軸平行的直線上，則m= ，點P的坐標為 ．
【答案】（1）-3，（3,-4）; （2）-2，（2，-3）.
3. (德陽市)如圖所示，在平面直角坐標系中，有若干個整數點其順序按圖中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，2)，(3，1)，(3，0)…，根據這個規律探索可得，第100個點的坐標為________．

【答案】(14，8)
【解析】從特殊情形出發：橫坐標為1的整數點有1個，橫坐標為2的整數點有2個，橫坐標為3的整數點有3個，依次類似，橫坐標為n的整數總共有n個．故共有1+2+3+4+…+n＝n·(n+1)個，由題意分析推測：
當橫坐標為14即n＝14時，共有×14×(14+1)＝105；
當橫坐標為13即n＝13時，共有×13×(13+1)＝91；
故第100個點的橫坐標為14，而橫坐標為14的點共有14個，按“→”向上方向，故縱坐標13-5＝8．
【總結升華】當我們面臨的數學問題比較抽象而無法下手時，可以從個別的、特殊的情形入手，通過對特例的分析、思考尋找解題的途徑，這種思考問題的方法值得學習和借鑒．
舉一反三：
【變式】(杭州)某校數學課外小組，在坐標紙上為學校的一塊空地設計植樹方案如下：第k棵樹種植在處，其中x1＝1，y1＝1，
當k≥2時， [a]表示非負實數a的整數部分，例如[2.6]＝2，[0.2]＝0．按此方案，第2009棵樹種植點的坐標為( ).
A．(5，2009) B．(6，2010) C．(3，401) D．(4，402)
【答案】D.
類型三、坐標方法的簡單應用
4.如圖所示，三角形ABC三個頂點的坐標分別是A(2，-2)，B(1，2)，C(-2，-1)．求三角形ABC的面積．

【思路點撥】觀察三角形ABC的三邊都不與坐標軸平行，此時可構造一個過三角形三個頂點的正方形ADEF．用正方形ADEF的面積，減去三角形ABD，三角形BCE，三角形ACF的面積即得三角形ABC的面積．
【答案與解析】
解：過點A，C分別作平行于y軸的直線，過點A，B分別作平行于x軸的直線，它們的交點為D，E，F，得到正方形ADEF，則該正方形的面積為4×4＝16．
三角形ABD、三角形BCE、三角形ACF的面積分別是：，，．
所以三角形ABC的面積為16-2-4.5-2＝7.5．
【總結升華】本例通過圖形的轉化，點的坐標與線段長度的轉化解決了求圖形面積的問題．點的坐標能體現它到坐標軸的距離，于是將點的坐標轉化為點到坐標軸的距離，這種應用十分廣泛．

舉一反三：
【變式】如果點，，點C在y軸上，且△ABC的面積是4，求C點坐標．
【答案】
解：△ABC的底AB的長為：，
則高為：，即點C的縱坐標為±2，
又點C在y軸上，所以點C的坐標為（0，﹣2）或（0,2）．
5. (上海)如圖所示，在直角坐標平面內，線段AB垂直于y軸，垂足為B，且AB＝2，如果將線段AB沿y軸翻折，點A落在C處，那么C的橫坐標是_______．

【答案】-2.
【解析】將線段AB沿y軸翻折以后，點A與點C關于y軸對稱，則兩點的橫坐標互為相反數，點A的橫坐標為2，則點C的橫坐標為-2．
【總結升華】考查平面直角坐標系內圖形與坐標的關系以及軸對稱的性質．
類型四、綜合應用
6.（北京）（1）對數軸上的點進行如下操作：先把點表示的數乘以，再把所得數對應的點向右平移1個單位，得到點的對應點.點在數軸上，對線段上的每個點進行上述操作后得到線段，其中點的對應點分別為．如圖1，若點表示的數是，則點表示的數是 ；若點表示的數是2，則點表示的數是 ；已知線段上的點經過上述操作后得到的對應點與點重合，則點表示的數是 ；

（2）如圖2，在平面直角坐標系中，對正方形及其內部的每個點進行如下操作：把每個點的橫、縱坐標都乘以同一種實數，將得到的點先向右平移個單位，再向上平移個單位（），得到正方形及其內部的點，其中點的對應點分別為.已知正方形內部的一個點經過上述操作后得到的對應點與點重合，求點的坐標.

【思路點撥】（1）根據題目規定，以及數軸上的數向右平移用加計算即可求出點A′，設點B表示的數為a，根據題意列出方程求解即可得到點B表示的數，設點E表示的數為b，根據題意列出方程計算即可得解：
點A′：－3×+1=－1+1=0.
設點B表示的數為a，則a+1=2，解得a=3.
設點E表示的數為b，則b+1=b，解得b=.
（2）先根據向上平移橫坐標不變，縱坐標加，向右平移橫坐標加，縱坐標不變求出平移規律，然后設點F的坐標為（x，y），根據平移規律列出方程組求解即可.
【答案與解析】

【總結升華】根據題目規定，以及數軸上的數向右平移用加計算即可求出點A′，設點B表示的數為a，根據題意列出方程求解即可得到點B表示的數，設點E表示的數為b，根據題意列出方程計算即可得解.
舉一反三：
【變式】 把點P1(m，n)向右平移3個單位長度再向下平移2個單位長度到一個位置P2后坐標為P2 (a，b)，則m，n，a，b之間存在的關系是________________.
【答案】，.











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