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橢圓與雙曲線常見題型歸納
一. “曲線方程+直線與圓錐曲線位置關(guān)系”的綜合型試題的分類求解
1.向量綜合型
例1.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和為4，設(shè)點(diǎn)的軌跡為,直線與交于兩點(diǎn)。
（Ⅰ）寫出的方程; （Ⅱ）若，求的值。
例1. 解:（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓．它的短半軸，
故曲線C的方程為．
（Ⅱ）設(shè)，其坐標(biāo)滿足
消去y并整理得，
故．
若，即．
而，
于是，
化簡(jiǎn)得，所以．
例2．設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).
（Ⅰ）若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值;
（Ⅱ）設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且∠為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍
例2．解：（Ⅰ）解法一：易知
所以，設(shè)，則

因?yàn)椋十?dāng)，即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值
當(dāng)，即點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值
解法二：易知，所以，設(shè)，則

（以下同解法一）
（Ⅱ）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，
聯(lián)立，消去，整理得：
∴
由得：或
又
∴
又
∵，即 ∴
故由①、②得或
例3． 設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，．
（Ⅰ）若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值;
（Ⅱ）若C為橢圓上異于B一點(diǎn)，且，求的值；
（Ⅲ）設(shè)P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的周長(zhǎng)的最大值.

例3．解：（Ⅰ）易知，所以,設(shè),則

因?yàn)椋十?dāng)，即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值
當(dāng)，即點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值
（Ⅱ）設(shè)C（）， 由得，又 所以有解得
（Ⅲ）因?yàn)閨P|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|∴周長(zhǎng)≤4＋|BF2|＋|B|≤8．
所以當(dāng)P點(diǎn)位于直線BF2與橢圓的交點(diǎn)處時(shí)，周長(zhǎng)最大，最大值為8．
例4．已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0)，右頂點(diǎn)為
(1) 求雙曲線C的方程；
(2) 若直線l：與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且(其中O為原點(diǎn))，求k的取值范圍。
例4．解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線方程為 由已知得故雙曲線C的方程為
（Ⅱ）將
由直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得
即 ① 設(shè)，則
而
于是 ②
由①、②得 故k的取值范圍為

例5．已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，過點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點(diǎn)的距離為．
（1）求橢圓的方程．
（2）已知定點(diǎn)E（-1，0），若直線y＝kx＋2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點(diǎn)．問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點(diǎn)?請(qǐng)說明理由．
例5．解析：（1）直線AB方程為：bx-ay-ab＝0．
　　依題意　解得　
∴　橢圓方程為　．…………………4分　　
（2）假若存在這樣的k值，由得．
　　∴　．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①
　　設(shè)，、，，則　　　　　　　　　　　　②
　　…………………………………………8分
而．
　　要使以CD為直徑的圓過點(diǎn)E（-1，0），當(dāng)且僅當(dāng)CE⊥DE時(shí)，則，即．…………………………………………10分
　　∴　．　　　　　　　　　　　　　　　③
　　將②式代入③整理解得．經(jīng)驗(yàn)證，，使①成立．
　　綜上可知，存在，使得以CD為直徑的圓過點(diǎn)E．………………………13分
2．“中點(diǎn)弦型”
例6.已知橢圓，試確定的值，使得在此橢圓上存在不同
兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱。
例6.解：設(shè)，的中點(diǎn)，
而相減得
即，
而在橢圓內(nèi)部，則即

例7.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率，焦距為
（I）求該雙曲線方程.
（II）是否定存在過點(diǎn)，）的直線與該雙曲線交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)是線段 的中點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出直線的方程，若不存在，說明理由.
例7.（1）
（2）設(shè)，直線：，代入方程得
（）
則，解得 ，此時(shí)方程為，
方程沒有實(shí)數(shù)根。所以直線不存在。
例8．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2（0，），且離心率。
（I）求橢圓的方程；
（II）直線l（與坐標(biāo)軸不平行）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，且線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求直線l傾斜角的取值范圍。
例8．解：（I）設(shè)橢圓方程為
解得 a=3，所以b=1，故所求方程為 …………………………4分
（II）設(shè)直線l的方程為代入橢圓方程整理得
………………………… 5分
由題意得 …………………………7分
解得 又直線l與坐標(biāo)軸不平行 ………………………
故直線l傾斜角的取值范圍是 …………………………12分
3．“弦長(zhǎng)型”
例9．直線y＝kx＋b與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，記△AOB的面積為S．
(I)求在k＝0，0＜b＜1的條件下，S的最大值；
（Ⅱ)當(dāng)｜AB｜＝2，S＝1時(shí)，求直線AB的方程．
例9(I)解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
由，解得
所以
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，．S取到最大值1．
（Ⅱ）解：由得

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①
｜AB｜＝ ②
又因?yàn)镺到AB的距離　　所以　　③
③代入②并整理，得
解得，，代入①式檢驗(yàn)，△＞0
故直線AB的方程是
或或或．
例10．已知向量 =（0，x），=（1，1）， =（x，0），=（y2，1）（其中x，y是實(shí)數(shù)），又設(shè)向量= +，=－，且//，點(diǎn)P（x，y）的軌跡為曲線C.
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)|MN|=時(shí)，求直線l的方程.
例10解：（I）由已知，
…………………………………4分
……………………………………5分
即所求曲線的方程是：……………………………7分
（Ⅱ）由
解得x1=0, x2=分別為M，N的橫坐標(biāo)）.………………9分
由
……………………………………………………11分
所以直線l的方程x－y+1=0或x+y－1=0.…………………………12分
二．“基本性質(zhì)型”
例11．設(shè)雙曲線的方程為，A、B為其左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，P是雙曲線上的任一點(diǎn)，引，AQ與BQ相交于點(diǎn)Q。
（1）求Q點(diǎn)的軌跡方程；
（2）設(shè)（1）中所求軌跡為，、的離心率分別為、，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍。
例11. 解：（1）設(shè)
∵
∴，∵，∴，
∴，化簡(jiǎn)得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)不合題意，∴點(diǎn)Q的軌跡方程為
（2） 由（1）得的方程為，
，
∵，∴，∴。
例12．P為橢圓上一點(diǎn)，、為左右焦點(diǎn)，若
（1）求△的面積；
（2）求P點(diǎn)的坐標(biāo)．
例12．[解析]：∵a＝5，b＝3c＝4 （1）設(shè)，，則 ①
②，由①2－②得

（2）設(shè)P，由得 4，將 代入橢圓方程解得，或或或

例13．已知雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)，且以為漸近線，求雙曲線方程．(12分)
例13 [解析]：由橢圓．
設(shè)雙曲線方程為，則 故所求雙曲線方程為
例14.代表實(shí)數(shù)，討論方程所表示的曲線.
例14 .解：當(dāng)時(shí)，曲線為焦點(diǎn)在軸的雙曲線；
當(dāng)時(shí)，曲線為兩條平行的垂直于軸的直線；
當(dāng)時(shí)，曲線為焦點(diǎn)在軸的橢圓；
當(dāng)時(shí)，曲線為一個(gè)圓；
當(dāng)時(shí)，曲線為焦點(diǎn)在軸的橢圓。

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