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初中數學[最短路徑問題]典型題型及解題技巧

最短路徑問題中,關鍵在于，我們善于作定點關于動點所在直線的對稱點，或利用平移和展開圖來處理。這對于我們解決此類問題有事半功倍的作用。理論依據：“兩點之間線段最短”，“垂線段最短”，“點關于線對稱”，“線段的平移”“立體圖形展開圖”。教材中的例題“飲馬問題”，“造橋選址問題”“立體展開圖”。考的較多的還是“飲馬問題”。

知識點：“兩點之間線段最短”，“垂線段最短”，“點關于線對稱”，“線段的平移”。“飲馬問題”，“造橋選址問題”。考的較多的還是“飲馬問題”，出題背景變式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標軸、拋物線等。
解題總思路：找點關于線的對稱點實現“折”轉“直”，近兩年出現“三折線”轉“直”等變式問題考查。
一、兩點在一條直線異側
例：已知：如圖，A，B在直線L的兩側，在L上求一點P，使得PA+PB最小。
解：連接AB,線段AB與直線L的交點P ，就是所求。（根據：兩點之間線段最短.）
二、 兩點在一條直線同側
例：圖所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區A、B提供牛奶，奶站應建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短．


解：只有A、C、B在一直線上時，才能使AC+BC最小．作點A關于直線“街道”的對稱點A′，然后連接A′B，交“街道”于點C，則點C就是所求的點．

三、一點在兩相交直線內部
例：已知：如圖A是銳角∠MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小.



解：分別作點A關于OM，ON的對稱點A′，A″；連接A′，A″，分別交OM，ON于點B、點C，則點B、點C即為所求
分析：當AB、BC和AC三條邊的長度恰好能夠體現在一條直線上時，三角形的周長最小

例：如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）
解：1.將點B沿垂直與河岸的方向平移一個河寬到E，
2.連接AE交河對岸與點M,
則點M為建橋的位置，MN為所建的橋。
證明：由平移的性質，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,
所以A.B兩地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若橋的位置建在CD處，連接AC.CD.DB.CE,
則AB兩地的距離為：
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN
所以橋的位置建在CD處，AB兩地的路程最短。

例：如圖，A、B是兩個蓄水池，都在河流a的同側，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個抽水站，將河水送到A、B兩地，問該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點。
作法：作點B關于直線 a 的對稱點點C,連接AC交直線a于點D，則點D為建抽水站的位置。
證明：在直線 a 上另外任取一點E，連接AE.CE.BE.BD,
∵點B.C關于直線 a 對稱,點D.E
在直線 a上，∴DB=DC,EB=EC,
∴AD+DB=AD+DC=AC,
AE+EB=AE+EC
在△ACE中，AE+EC＞AC,
即 AE+EC＞AD+DB
所以抽水站應建在河邊的點D處，

例：某班舉行晚會，桌子擺成兩直條(如圖中的AO，BO)，AO桌面上擺滿了桔子，OB桌面上擺滿了糖果，坐在C處的學生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，請你幫助他設計一條行走路線，使其所走的總路程最短？
　
作法：1.作點C關于直線 OA的對稱點點D,
2. 作點C關于直線 OB的對稱點點E,
3.連接DE分別交直線OA.OB于點M.N，
則CM+MN+CN最短

例：如圖：C為馬廄，D為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫他確定這一天的最短路線。

作法：1.作點C關于直線 OA 的 對稱點點F,
2. 作點D關于直線 OB的對稱點點E,
3.連接EF分別交直線OA.OB于點G.H，
則CG+GH+DH最短

四、求圓上點，使這點與圓外點的距離最小的方案設計
在此問題中可根據圓上最遠點與最近點和點的關系可得最優設計方案。
?
例:一點到圓上的點的最大距離為9，最短距離為1，則圓的半徑為多少？
（5或4）

四、點在圓柱中可將其側面展開求出最短路程
將圓柱側面展成長方形，圓柱體展開的底面周長是長方形的長，圓柱的高是長方形的寬．可求出最短路程
例：如圖所示，是一個圓柱體，ABCD是它的一個橫截面，AB=，BC=3，一只螞蟻，要從A點爬行到C點，那么，最近的路程長為（　　）
A．7 B． C． D．5
分析：要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓柱的側面展開，進而根據“兩點之間線段最短”得出結果．
解：將圓柱體展開，連接A、C，
∵==?π?=4，BC=3，
根據兩點之間線段最短，AC==5． 故選D．

五、在長方體（正方體）中，求最短路程
1）將右側面展開與下底面在同一平面內，求得其路程
2）將前表面展開與上表面在同一平面內，求得其路程
3）將上表面展開與左側面在同一平面內，求得其路程了
?然后進行比較大小，即可得到最短路程.
?
例：有一長、寬、高分別是5cm，4cm，3cm的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體的一個頂點A處沿長方體的表面爬到長方體上和A相對的頂點B處，則需要爬行的最短路徑長為（　　）
A．5cm B．cm C．4cm D．3cm
分析：把此長方體的一面展開，在平面內，兩點之間線段最短．利用勾股定理求點A和B點間的線段長，即可得到螞蟻爬行的最短距離．在直角三角形中，一條直角邊長等于長方體的高，另一條直角邊長等于長方體的長寬之和，利用勾股定理可求得．
解：因為平面展開圖不唯一，
故分情況分別計算，進行大、小比較，再從各個路線中確定最短的路線．
（1）展開前面、右面，由勾股定理得AB2=（5+4）2+32=90；
（2）展開前面、上面，由勾股定理得AB2=（3+4）2+52=74；
（3）展開左面、上面，由勾股定理得AB2=（3+5）2+42=80；
所以最短路徑長為cm．

例：如圖是一個長4m，寬3m，高2m的有蓋倉庫，在其內壁的A處（長的四等分）有一只壁虎，B處（寬的三等分）有一只蚊子，則壁虎爬到蚊子處最短距離為（　　）
A．4.8 B． C．5 D．
分析：先將圖形展開，再根據兩點之間線段最短可知．
解：有兩種展開方法：
①將長方體展開成如圖所示，連接A、B，

根據兩點之間線段最短，AB==；
②將長方體展開成如圖所示，連接A、B，則AB==5＜；
所以最短距離 5

例：有一棵9米高的大樹，樹下有一個1米高的小孩，如果大樹在距地面4米處折斷（未完全折斷），則小孩至少離開大樹　　米之外才是安全的．
分析：根據題意構建直角三角形ABC，利用勾股定理解答．
解：如圖，BC即為大樹折斷處4m減去小孩的高1m，則BC=4﹣1=3m，AB=9﹣4=5m，
在Rt△ABC中，AC===4．
例：如圖，在一個長為2米，寬為1米的矩形草地上，如圖堆放著一根長方體的木塊，它的棱長和場地寬AD平行且＞AD，木塊的正視圖是邊長為0.2米的正方形，一只螞蟻從點A處，到達C處需要走的最短路程是　　米．（精確到0.01米）
分析：解答此題要將木塊展開，然后根據兩點之間線段最短解答．
解：由題意可知，將木塊展開，相當于是AB+2個正方形的寬，
∴長為2+0.2×2=2.4米；寬為1米．
于是最短路徑為：=2.60米．

例：如圖，AB為⊙O直徑，AB=2，OC為半徑，OC⊥AB,D為AC三等分點，點P為OC上的動點，求AP+PD的最小值。
分折：作D關于OC的對稱點D’，于是有PA+PD’≥AD’,
（當且僅當P運動到Po處，等號成立，易求AD’=。
六、在圓錐中，可將其側面展開求出最短路程
將圓錐側面展開，根據同一平面內的問題可求出最優設計方案
例：如圖，一直圓錐的母線長為QA=8，底面圓的半徑r=2，若一只小螞蟻從A點出發，繞圓錐的側面爬行一周后又回到A點，則螞蟻爬行的最短路線長是 （結果保留根式）
小蟲爬行的最短路線的長是圓錐的展開圖的扇形的弧所對的弦長，
根據題意可得出：2πr=n.π.OA,/180則，
n×π×8
180
則2×π×2=
，
解得：n=90°，


由勾股定理求得它的弦長AA

一、題中出現一個動點。
當題中只出現一個動點時,可作定點關于動點所在直線的對稱點,利用兩點之間線段最短,或三角形兩邊之和小于第三邊求出最值.
例：如圖，在正方形ABCD中，點E為AB上一定點，
且BE=10,CE=14,P為BD上一動點，求PE+PC最小值。

分析：作E關于BD對稱點E’，E’在AB上，
有PE+PC=PE’+PC≥E’C易求E’C=26。

二、題中出現兩個動點。
當題中出現兩個定點和兩個動點時,應作兩次定點關于動點所在直線的對稱點.利用兩點之間線段最短求出最值。
例：如圖，在直角坐標系中有四個點, A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),當四邊形ABCD周長最短時,求 。
分折:因AB長為定值,四邊形周長
最短時有BC+CD+DA最短,作B關于y軸對稱點B’,
A關于x軸對稱點A’,
DA+DC+BC=DA’+DC+B’C≥B’A’(當D,C運動到AB和x軸y軸的交點時等號成立),易求直線A’B’解折式y= +,C0(0,),D0(-,0),此時=-

三、題中出現三個動點時。
在求解時應注意兩點：
(1)作定點關于動點所在直線的對稱點,
(2)同時要考慮點點,點線,線線之間的最短問題.

例：如圖，在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60,E,F,P分別為AB,BC,AC上動點,求PE+PF最小值



分折:作E關于AC所直線的對稱點E’,于是有,
PE+PF=PF+PE’≥E’F,又因為E在AB上運動,故當EF和AD,BC垂直時，E0F最短,易求E0F=。
例：如圖，∠AOB=45，角內有一動點P ，PO=10，在AO，BO上有兩動點Q，R，求△PQR周長的最小值。
分折：作P關于OA，OB對稱點P1，P2 。
于是有PQ+QR+PR=QP1+QR+RP2≥P1P2，
由對稱性易知△P1OP2為等腰RT△,OP=OP1=OP2=10,P1P2=

總之，在這一類動點最值問題中,關鍵在于，我們善于作定點關于動點所在直線的對稱點，或動點關于動點所在直線的對稱點。這對于我們解決此類問題有事半功倍的作用。
1、運用軸對稱解決距離最短問題
運用軸對稱及兩點之間線段最短的性質，將所求線段之和轉化為一條線段的長，是解決距離之和最小問題的基本思路，不論題目如何變化，運用時要抓住直線同旁有兩點，這兩點到直線上某點的距離和最小這個核心，所有作法都相同．
注意：利用軸對稱解決最值問題應注意題目要求　根據軸對稱的性質、利用三角形的三邊關系，通過比較來說明最值問題是常用的一種方法．解決這類最值問題時，要認真審題，不要只注意圖形而忽略題意要求，審題不清導致答非所問．
2、利用平移確定最短路徑選址
選址問題的關鍵是把各條線段轉化到一條線段上．如果兩點在一條直線的同側時，過兩點的直線與原直線的交點處構成線段的差最大，如果兩點在一條直線的異側時，過兩點的直線與原直線的交點處構成的線段的和最小，都可以用三角形三邊關系來推理說明，通常根據最大值或最小值的情況取其中一個點的對稱點來解決．
解決連接河兩岸的兩個點的最短路徑問題時，可以通過平移河岸的方法使河的寬度變為零，轉化為求直線異側的兩點到直線上一點所連線段的和最小的問題．
在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換把不在一條直線上的兩條線段轉化到一條直線上，從而作出最短路徑的方法來解決問題．

H

G




E

N

M

B

A·

a

E

B

A

D

C



·

·



C

N

M

D

E

Ｃ. .

B

O

A









E ·

·C

D ·



B

O

A

F



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