資源簡介

高考數學（文科）公式大全
及重要基礎知識記憶檢查
目錄



第一章 集合與常用邏輯用語…………………………………………2

第二章 函數……………………………………………………………3

第三章 倒數及其應用…………………………………………………7

第四章 三角函數………………………………………………………8

第五章 平面向量………………………………………………………12

第六章 數列……………………………………………………………13

第七章 不等式…………………………………………………………15

第八章 立體幾何………………………………………………………17

第九章 平面解析幾何…………………………………………………19

第十章 概率、統計及統計案例………………………………24

第十一章 算法初步及框圖……………………………………………25

第十二章 推理與證明…………………………………………………26

第十三章 數系的擴充與復數的引入…………………………………26

第十四章 幾何證明選講………………………………………………26

第十五章 坐標系和參數方程…………………………………………27

第十六章 不等式選講…………………………………………………27


第一章 集 合 與 常 用 邏 輯 用 語


1. 集合的基本運算
；；

2. .集合的包含關系:；；
3. 識記重要結論： ;;
;
4．對常用集合的元素的認識
①中的元素是方程的解，即方程的解集；
②中的元素是不等式的解，即不等式的解集；
③中的元素是函數的函數值，即函數的值域；
④中的元素是函數的定義域，即函數的定義域；
⑤中的元素可看成是關于的方程的解集，也可看成以方程的解為坐標的點，為點的集合，是一條直線。
5. 集合的子集個數共有 個；真子集有–1個；非空子集有–1個；非空的真子集有–2個.
6. 方程在上有且只有一個實根,與不等價,前者是后者的一個必要而不是充分條件.
特別地, 方程有且只有一個實根在內,等價于,或且,或且.
7. 閉區間上的二次函數的最值問題：
二次函數在閉區間上的最值只能在處及區間的兩端點處取得，具體如下：
(1) 當a>0時，
①若，則有
；
②若，則有
，.
(2) 當a<0時，
①若，則有，
②若，則有，.
8. ；
9. 由不等導相等的有效方法：若且，則.
10. 真值表
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假






11. 常見結論的否定形式

原結論 反設詞 原結論 反設詞
是 不是 至少有一個 一個也沒有
都是 不都是 至多有一個 至少有兩個
大于 不大于 至少有個 至多有（）個
小于 不小于 至多有個 至少有（）個
對所有，成立 存在某，不成立 或 且
對任何，不成立 存在某，成立 且 或









12. 四種命題的相互關系
如右圖所示















13. 充要條件
（1）若，則說是的充分條件，同時是的必要條件
（2）充要條件：若，且，則是的充要條件.
另外：如果條件最終都可化為數字范圍，則可轉化為集合的包含關系來刻畫，二者邏輯關系一目了然。設，，①若，則是的充分不必要條件；②若,則是的必要不充分條件；③若，則是的充要條件。


第二章 函 數

14. 函數的單調性
(1)設那么
上是增函數；
上是減函數.
(2)設函數在某個區間內可導，如果，則為增函數；如果，則為減函數.
⑶單調性性質：
①增函數+增函數=增函數；②減函數+減函數=減函數；③增函數-減函數=增函數；④減函數-增函數=減函數；
注：上述結果中的函數的定義域一般情況下是要變的，是等號左邊兩個函數定義域的交集。
15. 復合函數單調性的判斷方法：
⑴如果函數和都是減函數（增函數）,則在公共定義域內,和函數也是減函數（增函數）;
⑵











16．函數的奇偶性（注：奇偶函數大前提：定義域必須關于原點對稱）
⑴若是偶函數，則；偶函數的圖象關于y軸對稱；偶函數在x>0和x<0上具有相反的單調區間。
⑵定義域含零的奇函數必過原點（可用于求參數）；奇函數的圖象關于原點對稱；奇函數在x>0和x<0上具有相同的單調區間。
⑶判斷函數奇偶性可用定義的等價形式：或者
⑷奇偶函數的圖象特征：奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱;反過來，如果一個函數的圖象關于原點對稱，那么這個函數是奇函數；如果一個函數的圖象關于y軸對稱，那么這個函數是偶函數．
⑸多項式函數的奇偶性
多項式函數是奇函數的偶次項(即奇數項)的系數全為零.
多項式函數是偶函數的奇次項(即偶數項)的系數全為零.
17. 函數的圖象的對稱性：函數的圖象關于直線對稱.
18. 兩個函數圖象的對稱性
(1)函數與函數的圖象關于直線(即軸)對稱.
(2)函數與函數的圖象關于直線(即軸)對稱.
(3)指數函數和的圖象關于直線y=x對稱.
19. 若將函數的圖象右移、上移個單位，得到函數的圖象；若將曲線的圖象右移、上移個單位，得到曲線的圖象.
20． 互為反函數的兩個函數的關系（指數函數和對數函數
）：.
21. 幾個常見抽象函數模型所對應的具體函數模型
(1)正比例函數,.
(2)指數函數,.
(3)對數函數,
.
(4)冪函數,.
(5)余弦函數,正弦函數，，.
22. 對于，，，，的圖象，了解它們的變化情況．
如圖：





23. 幾個函數方程的周期
⑴對時，，則的周期為的周期函數
⑵或恒成立，則是周期為的周期函數
⑶若是偶函數，其圖像又關于直線對稱，則是周期為的周期函數
⑷若是奇函數，其圖像又關于直線對稱，則是周期為的周期函數
⑸對時，，或,則的周期的周期函數
24. 函數圖像變換











25. 分數指數冪
(1)（，且）;(2)（，且）.
26． 根式的性質
（1）;（2）當為奇數時，；當為偶數時，.
27． 有理指數冪的運算性質
(1);(2);
(3).
28. 指數式與對數式的互化式
.
29. 對數的換底公式
(,且,,且, ).
推論 (,且,,且,, ).
30． 對數的四則運算法則：若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則
(1);(2) ;
(3)；
31. 對數有關性質：
⑴的符號有口訣“同正異負”記憶；⑵；⑶；
⑷對數恒等式：
⑸；
⑹設函數,記.若的定義域為,則，且;若的值域為,則，且.對于的情形,需要單獨檢驗.；
32. 對數函數的圖像和性質分析：
的符號
圖像
定義域
值域
單調性 在(0,+∞)上是增函數 在(0,+∞)上是減函數
過定點
函數值的分布情況 時，；時， 時，；時 ，

⑹指數函數的圖像和性質分析：
的符號
圖像
定義域
值域
單調性 在上是增函數 在上是減函數
過定點
函數值的分布情況 時，； 時， 時，；時，
33. 平均增長率的問題
如果原來產值的基礎數為N，平均增長率為，則對于時間的總產值，有.




第三章 導數及其應用

34．導數的定義：在處的導數記作
.
35. ⑴在的導數概念：.
⑵能根據導數概念求函數 (為常數)，，，，的導數.
36. 函數在點處的導數的幾何意義：
函數在點處的導數是曲線在處的切線的斜率，相應的切線方程是.
37. 幾種常見函數的導數
(1) （C為常數）；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；；
(6) .
38. 導數的運算法則
法則1 ：；
法則2 ：；
法則3 ：
39. 判別是極大（小）值的方法
當函數在點處連續時，
（1）如果在附近的左側，右側，則是極大值；
（2）如果在附近的左側，右側，則是極小值.





第四章 三角函數

40． ⑴終邊相同的角的集合：;
⑵角度與弧度的換算：；
⑶弧長與扇形的面積公式：弧長，扇形面積.
⑷常見恒成立的三角不等式（給定范圍條件下）
①若，則；②若，則；
③ .
41. 常用三角函數不等式及相關等式的解集：
⑴不含絕對值情況： ①的集合是
；
②的集合是
；
③的集合是。
⑵含絕對值情況：①的集合是
；
②的集合是
；
③的集合是。
42. ⑴對于“”這三個式子，已知其中一個式子的值，可以求出其余二式的值。
⑵三角函數的誘導公式
“奇變偶不變，符號看象限，看左邊，寫右邊”
形似角中的角不論多大，都看作銳角；形似角在原名稱、原象限中的符號；












43. ⑴同角三角函數的基本關系式：，=
推論：；
（正負號取決于所在的象限）
⑵和角與差角公式
;;
；
(正弦平方差公式);
(余弦平方差公式)；
=(輔助角所在象限由點的象限決定,其中 ).
⑶二倍角公式：
；；
萬能公式：；；
⑷半角公式（降冪公式）：
①；；
②
44. 三角函數的周期公式
函數，x∈R及函數，x∈R(A,ω,為常數，且A≠0，ω＞0)的周期；
函數，(A,ω,為常數，且A≠0，ω＞0)的周期.
45. ①類正弦函數的圖像的變換（兩種辦法殊途同歸）














②類正弦函數的參數計算：振幅，,
,求時，一般代入最高點或者最低點的坐標后，利用已知三角函數值求角，再根據給定的范圍進而分析得到值。
46. 正弦函數和余弦函數的圖像和性質
函數
圖像
定義域 R
值域
最值 時，時， 時，時，
單調性 時，減函數時，增函數
奇偶性 奇函數 偶函數
周期性 最小正周期為
對稱性 對稱軸： 對稱中心： 對稱軸： 對稱中心：

47. 正切函數的圖像和性質
函數
圖像
定義域
值域 R
單調性
奇偶性 奇函數
周期性 最小正周期為
對稱性 對稱中心：

48. ⑴正弦定理：
.（R為外接圓的半徑，也是外接圓半徑的一種算法。）.

①，，等；
②，，
等；
⑵余弦定理：
;
;
.
⑶正弦定理和余弦定理的應用解題常與三角形內角和定理相伴；解題時注意一種重要關系：在中，給定角的正弦或余弦值，則角的正弦或余弦有解（即存在）
49. 三角形內角和定理：在△ABC中，有

50. 面積定理
⑴（分別表示a、b、c邊上的高）.
⑵
⑶ (其中為的外接圓的半徑)
⑷（R為外接圓的半徑，也是外接圓半徑的一種算法。）
⑸(其中為的內切圓的半徑，也能導出內切圓半徑的一種算法。順便說下，直角三角形中內切圓的半徑，其中為兩條直角邊，為斜邊。)
⑹(其中，海倫公式)
⑺（注意：此時以坐標原點為一個頂點的三角形的面積公式）；設，則




第五章 平面向量


51. 向量的加減法的代數結構：

⑴ ⑵

52. 平面向量基本定理?
如果e1、e 2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．（不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．）
53． 向量平行與垂直的坐標表示：設=,=，且，
則∥ ()；.
54. a與b的數量積(或內積)：a·b=|a||b|cosθ．其幾何意義：數量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．
55. 平面向量的坐標運算
(1)設a=,b=，則a+b=；
(2)設a=,b=，則a-b=；
(3)設A，B,則；
(4)設a=，則a=；
(5)設a=,b=，則a·b=.
56. 兩向量的夾角公式：(a=,b=).
57. 平面兩點間的距離公式：=(A，B).
58. ①線段的定比分公式：
設，，是線段的分點,是實數，且，則
（）.
②中點的向量形式：平面內，設線段的中點為，為直線外任意一點，則有;
設此時，則中點的坐標公式：
59. 三角形的重心坐標公式：△ABC三個頂點的坐標分別為、、,則△ABC的重心的坐標是.
60. 三角形四“心”向量形式的充要條件
設為所在平面上一點，角所對邊長分別為，則
（1）為的外心.
（2）為的重心.
（3）為的垂心.
（4）為的內心.






第六章 數 列

61. ⑴自然數和公式：
①；
②；
③
⑵常見的拆項公式：
①；
②；
③；
④；⑤.
⑶數列的通項公式與前n項的和的關系
①
② （注：該公式對任意數列都適用）
③ （注：該公式對任意數列都適用）
62. ⑴ 等差數列的通項公式：
①一般式：；
②推廣形式： ；
③前項和形式（注：該公式對任意數列都適用）其前n項和公式為：
.
⑵ 數列為等差數列（為常數）

⑶ 常用性質：
①若m+n=p+q ，則有 ；特別地：若的等差中項，則有2n、m、p成等差數列；
②等差數列的“間隔相等的連續等長片斷和序列”（如，）仍是等差數列；
③為等差數列，為其前n項和，則，，．．．也成等差數列；
④；
⑤1+2+3+…+n=
63. 等比數列的通項公式：
⑴ ①一般形式：；
②推廣形式：，
③其前n項的和公式為：，或.
⑵數列為等比數列

⑶ 常用性質：
1 若m+n=p+q ，則有 ；特別地：若的等比中項，則有 n、m、p成等比數列;
2 等比數列的“間隔相等的連續等長片斷和序列”（如，）仍是等比數列；
③為等比數列，為其前n項和，則，，．．．也成等比數列（僅當當或者且不是偶數時候成立）；
④設等比數列的前項積為，則，，成等比數列．









第七章 不 等 式

64. 常用不等式：
⑴(當且僅當a＝b時取“=”號)；
⑵(當且僅當a＝b時取“=”號)；⑶.
65. 極值定理
已知都是正數，則有
（1）若積是定值，則當時和有最小值；
（2）若和是定值，則當時積有最大值.
推廣形式：已知，則有
（1）若積是定值,則當最大時,最大；當最小時,最小.
（2）若和是定值,則當最大時, 最小；當最小時, 最大.
66. ①一元二次不等式，如果與同號，則其解集在兩根之外；如果與異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.
；
.
②簡單的高次不等式的解法：數軸標根法（穿針引線法）。注意重因式的處理，奇次重根一次穿過，偶次重根穿而不過。
例如：，如圖
從圖中易知解集為

③一元二次方程的根的分布情況：設是實系數二次方程的兩個實根，則的分布范圍與二次方程系數之間的關系，如下表所示：
根的分布 圖像 充要條件




有且只有一個在內 或或
67. 含有絕對值的不等式，當a> 0時，有
.
或


68. （1）理解絕對值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號的條件：
，；
，.
（2）會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：
；；.
69. 無理不等式
（1） ；
（2）；
（3）
70. 指數不等式與對數不等式
(1)當時,
; .
(2)當時,
;








第八章 立體幾何

71. 常用公理和定理
公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內．
公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．
公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行．
定理：①空間中如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．
②平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行．
③一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行．
④一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直．
⑤一個平面過另一個平面的垂線，則兩個平面垂直．
⑥一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行．
⑦兩個平面平行，則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行．
⑧垂直于同一個平面的兩條直線平行．
⑨兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直．
72. 三余弦定理（最小角定理:立平斜公式）
設AB與平面α所成的角為,AC是α內的任一
條直線，且AC與AB的射影AB/所成的角
為，AB/與AC所成的角為．則
.如右圖⑴。
73. 空間兩點間的距離公式 若A，B，
則=.
74. 面積射影定理：.(平面多邊形及其射影的面積
分別是、，它們所在平面所成銳二面角的為).如圖⑵。
75． 已知：長方體的體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為
，因此有；若長方體的體對角線與過同一頂點的三側面所成的角分別為，則有。（線線面12）
76． 棱錐的平行截面的性質：
如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比（對應角相等，對應邊對應成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應邊的比的平方）；相應小棱錐與小棱錐的側面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比．）若每個頂點引出的棱數為，則：.
77. 球
①球的半徑是R，則其體積,其表面積；
②球的半徑（R），截面圓半徑（），球心到截面的距離為（）構成直角三角形，因而有關系：，它們是計算球的關鍵所在。
78. 球的組合體
(1)球與長方體的組合體: 長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.
(2)球與正方體的組合體:正方體的內切球的直徑是正方體的棱長, 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長, 正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.
(3) 球與正四面體的組合體: 棱長為的正四面體的內切球的半徑為,外接球的半徑為.
79． 柱體、錐體的體積
（是柱體的底面積、是柱體的高）;（是錐體的底面積、是錐體的高）.
80. 空間向量的直角坐標運算：設，則
；；；∥,或；
⊥
81. 二面角的平面角計算（夾角）公式：設為平面，的法向量。通常情況下，若已知，則
82. 空間兩點的距離公式：設，則.
83． 高中數學角的范圍：
① 向量夾角:[0°,180°]；
3 直線的傾斜角:[0°,180°)；
③ 共面直線的夾角:[0°,90°]；
④ 直線和平面夾角:[0°,90°]；
⑤ 異面直線夾角:(0°,90°]；
⑥ 二面角:[0°,180°]。








第九章 平面解析幾何

84. 斜率公式
①（、）.
②曲線在點處的切線的斜率，切線方程：.
③直線的一個方向向量為
85. 直線的五種方程﹙一般兩點斜截距﹚
（1）點斜式 (直線過點，且斜率為)．
（2）斜截式 (b為直線在y軸上的截距).
（3）兩點式 ()(、 ()).
(4)截距式 (分別為直線的橫、縱截距，)
（5）一般式 (其中A、B不同時為0).
86. 兩條直線的平行和垂直
(1)若，
①; ②.
(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不為零,
①；②；
（3）直線:中，若,
則垂直于軸；若,則垂直于軸。
87．四種常用直線系（具有共同特征的一族直線）方程
(1)定點直線系方程：經過定點的直線系方程為(除直線),其中是待定的系數; 經過定點的直線系方程為,其中是待定的系數．
(2)共點直線系方程：經過兩直線,的交點的直線系方程為(除)，其中λ是待定的系數．
(3)平行直線系方程：直線中當斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程．與直線平行的直線系方程是()，λ是參變量．
(4)垂直直線系方程：與直線 (A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是,λ是參變量．
88. 點到直線的距離
(點,直線：).
89. 或(其中A、B不同時為0).所表示的平面區域
設直線，則(或)所表示的平面區域是：
若,則用原點試，結果適合不等式，表示原點所在的平面區域就是。否則，邊界的另一區域才是；
若，則用點或者試，方法同上。
90. 圓的四種方程
（1）圓的標準方程 ；
（2）圓的一般方程 (＞0).
（3）圓的直徑式方程 (圓的直徑的端點是、).
91. 點與圓的位置關系
點與圓的位置關系有三種若，則點在圓外;點在圓上;點在圓內.
92. 直線與圓的位置關系
直線與圓的位置關系有三種:
①;
②;
③.其中.
93. 兩圓位置關系的判定方法
設兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，
①;
②
③;
④;
⑤.
94. 圓的切線方程：已知圓．過圓上的點的切線方程為;
95. 橢圓
①橢圓定義：；
②（即，注意）；
③設是橢圓上任意一點，且，則有.
④下表是橢圓的標準方程及幾何性質。
標準方程
圖形
范圍 |x|≤a,|y|≤b |x|≤b,|y|≤a
對稱性 關于x軸、y軸成軸對稱；關于原點成中心對稱
頂點坐標
焦點坐標
半長軸 長半軸橢長為，短半軸長為
焦距 焦距為
關系
離心率
⑴橢圓焦半徑公式：，；
⑵橢圓的的內外部：
①點在橢圓的內部；
②點在橢圓的外部；
⑶橢圓與直線相切的條件是.
96. 雙曲線
①雙曲線定義：；
②（即，注意，其中為同一象限內的實頂點、虛頂點，為坐標原點）；
③設是雙曲線上任意一點，且，則有.
④下表是其標準方程及幾何意義。
標準方程
圖形
范圍 或者 或者
對稱性 關于x軸、y軸成軸對稱；關于原點成中心對稱
頂點坐標
焦點坐標
半長軸 實半軸橢長為，虛半軸長為
焦距 焦距為
關系
離心率
漸近線

⑴ 雙曲線的焦半徑公式：，;
⑵ 雙曲線的內外部：
①點在雙曲線的內部；
②點在雙曲線的外部;
⑶ 雙曲線與直線相切的條件是.

97. 拋物線
⑴拋物線的焦點弦（過焦點的弦）為，，則有如下結論：
1 焦半徑公式：；
2 焦點弦長；
③，.
⑵拋物線的內外部：
1 點在拋物線的內部；
②點在拋物線的外部；
⑶拋物線上的動點可設為P，可簡化計算。
⑷ 拋物線的切線方程：
1 拋物線上一點處的切線方程是；
②拋物線與直線相切的條件是.
98. 拋物線：平面內到一個定點和一條定直線的距離相等的點軌跡。下表是其標準方程及圖形

方程 焦點 準線 圖形






99. ①直線與圓錐曲線相交的弦長公式 或

（弦端點A，由方程 消去y得到，,為直線的斜率）;
②中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓，雙曲線方程可設為；
③處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點問題常用代點相減法：設A為橢圓上不同兩點，是中點，則；對于雙曲線，類似可得：；對于拋物線有.
100. 圓錐曲線的兩類對稱問題
（1）曲線關于點成中心對稱的曲線是.
（2）曲線關于直線成軸對稱的曲線是
.





第十章 概率、統計及統計案例

101. 等可能性事件的概率：=
102. P（A）=.
103. 互斥事件A，B分別發生的概率的和:P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
104. 個互斥事件分別發生的概率的和:P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
105. 抽樣方法主要有：①簡單隨機抽樣(抽簽法、隨機樣數表法)常常用于總體個數較少時，它的主要特征是從總體中逐個抽取；②系統抽樣，常常用于總體個數較多時，它的主要特征就是均衡成若干部分，每一部分只取一個；③分層抽樣，主要特征分層按比例抽樣，主要使用于總體中有明顯差異。它們的共同特征是每個個體被抽到的概率相等。每層樣本數量與每層個體數量的比與樣本容量與總體容量的比相等或相近。即：
或者
106. 總體分布的估計：用樣本估計總體的方法就是把樣本的頻率作為總體的概率。一般地，樣本容量越大，這種估計就越精確，要求能畫出頻率分布表和頻率分布直方圖.
107. 樣本平均數：；
樣本方差：；
樣本標準差：。







第十一章 算 法 初 步 及 框 圖

108. ①畫出計算的程序框圖，如圖⑴；②對圖⑵，若輸入，則執行程序后輸出y的值為:____




























第十二章 推理與證明

109. ⑴歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個體數目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發現一般性規律的重要方法。；
⑵類比推理是從特殊到特殊的推理。通常是尋找事物之間的共同或相似性質，類比的性質相似性越多，相似的性質與推測的性質之間的關系就越相關，從而類比得出的結論就越可靠
110. 綜合法是“由因導果”；分析法是“執果索因”；反證法，往往用于“正難則反”，思路決定出路。








第十三章 數系的擴充與復數的引入

110. 復數的相等：.（）
111. 復數的模：==.
112. 復數的四則運算法則
(1);(2);
(3);
(4).
113. (其中和互為共軛復數)
114. ⑴；
⑵；
⑶虛數單位的冪的周期性：
，，，，
115. 設,則有: ①；②；③.








第十四章 幾何證明選講

116． ① 圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半。
推論：同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。
② 弦切角定理：弦切角等于它所夾弧所對的圓周角；弦切角的度數等于它所夾弧度數的一半。
③ 切割線定理：過圓外一點作圓的一條切線和一條割線，切線長是割線上從這點到兩個交點的線段長的比例中項。
推論（割線定理）：從圓外一點作圓的兩條割線，在一條割線上從這點到兩個交點的線段長的積，等于另一條割線上對應線段長的積。
④ 相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。
⑤ 直角三角形的射影定理：中，為斜邊上的高，如圖⑷。則有
⑴;⑵⑶;.





第十五章 坐標系和參數方程

117. 極坐標和直角坐標的互化
設為平面上的任一點，它的直角坐標為，極坐標為，如圖⑸，由圖可知下面的關系式成立：

或者
這就是極坐標和直角坐標之間的互化公式。





第十六章 不等式選講

118. ⑴函數的值域。（答案提示：，圖像如圖⑴所示）。函數的幾何意義；表示在數軸上，到定點1和2的距離之和。
⑵函數值域，（答案提示，其圖像如圖⑵所示）。函數的幾何意義：表示在數軸上，到定點1的距離與到定點2的距離的差。










⑶會根據絕對值的幾何意義，求不等式、的解集。
具體求解不等式的類型及具體的解法，見“第七章 不等式”。

二次函數在閉區間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向；二看對稱軸與所給區間的相對位置關系。

表1

同真為真
同假為假
真假相對

表2

原命題
“”

逆命題
“”

否命題
“”

逆否命題
“”

互逆

互逆

互
否

互
否

為

互

逆

否

互

為

逆

否

一個命題
一種形式
兩種方法











































增函數

增函數

增函數

增函數

增函數

增函數

減函數

減函數

減函數

減函數

減函數

減函數







小結：同增異減。研究函數的單調性，定義域優先考慮，且復合函數的單調區間是它的定義域的某個子區間。




圖象

圖象

圖象

圖象

向左(φ>0)或向右(φ<0)移︱φ︱單位

點的橫坐標變為原來的1/ω倍
縱坐標不變

點的縱坐標變為原來的A倍
橫坐標不變

向上(b>0)或向下(b<0)移︱b︱單位

圖象



1

x

y

o
1

1

y

x

o
1

o
1

x

1

y

左正右負
極大值
左負右正
極小值


半個月亮爬上來



所謂伊人 在水一方

注意：總共兩套誘導公式（一套是函數名不變；另一套是函數名必須改變）；對于余弦函數和正切函數的誘導公式規律記憶同正弦函數。

作y=sinx（長度為2的某閉區間）的圖像

得y=sin(x+φ)的圖像

得y=sinωx的圖像

得y=sin(ωx+φ)的圖像

得y=sin(ωx+φ)的圖像

得的圖象，先在一個周期閉區間上再擴充到R上。

沿x軸平移|φ| 個單位（左加右減）

橫坐標伸長或 縮短到原來的 倍

橫坐標伸長或縮 短到原來的 倍

沿x軸平移||個單位（左加右減）

縱坐標伸長或縮 短到原來的A倍

縱坐標伸長或縮 短到原來的A倍





時，增函數

時，減函數

時，增函數

地位相同
等號兩邊


首首接 尾尾聯 指向被減向量

尾首接 首尾聯

“一定二正三相等”

積定和最小
和定積最大

對于 EMBED
qu



n.DSMT4 的情形“大射線小線段”

-3

-1

1

5

-

-

-

大射線 小線段

圖⑴

圖⑵

有誰垂（吹）誰

是0，（0，1）、（1，0）試
非0，（0、0）試

x

y

F1

F2

O

A1

A21

B21

B1





F1

F2

y

x

O

B1





F

y

x

O

F

y

x

O

F

y

x

O

F

y

x

O

四大方程四條規律：
⑴一次項是誰，焦點在誰軸上；
⑵一次項系數的正負，代表開口方向的上下或右左；
⑶焦點坐標一個是0，另一非0，且剛好是 一次項系數的；
⑷準線方程的數值剛好是焦點的非0坐標的相反數。




開始

S1=0,i=1



i<=4

輸出S

結束

是

否

圖⑶

輸入

S1=S1+xi

i=i+1

③某城市缺水問題比較突出，為了制定節水管理辦法，對全市居民某年的月均用水量進行了抽樣調查，其中4位居民的月均用水量分別為:(單位：噸)。根據如圖所示的程序框圖，若分別為1，1.5，1.5，2，則輸出的結果s為______________.

④如果執行下面的程序框圖，如圖⑷，輸入N=5,則輸出的數等于__________；⑤閱讀下面的程序框圖⑸，運行相應的程序后，則輸出S的值為_________.

開始

y=x2

y=1

x>1

輸出y

結束

N

輸入y

Y

y=4x

x<1

N

Y

圖⑵

開始

s=0

i=2

s=s+i2

i=i+2

i<=100

輸出s

結束

是

否

圖⑴

開始

S=0,k=1



k
輸出S

結束

是

否

圖⑷

輸入N

k=k+1

開始

s=0

i=1





s>11

輸出s

結束

是

否

圖⑸



一、二、三、四
負一，相反數

圖⑷

圖⑸

y

y

x

o

3

2

1

2

1

3





1

o

x

2

1

-1

圖⑵

圖⑴

展開更多......

收起↑