資源簡介

《圓柱的體積》教材說明及教學建議
【教材說明】
這部分內容是在學生已經掌握了圓柱的特征、圓面積的推導方法，以及長方體、正方體的體積公式的基礎上，引導學生探索并掌握圓柱的體積公式。教材安排了一道例題和一個練習。
例4教學圓柱的體積計算方法。教材分兩個層次展開。第一層次，引導學生比較底面積相等、高也相等的長方體、正方體和圓柱的體積之間的關系，初步建立有關圓柱體積公式的猜想。在此之前，學生已經知道“長方體（或正方體）的體積=底面積×高”，這也是計算柱體體積的通用公式。因此，學生由底面積相等、高也相等的長方體和正方體的體積相等，不難想到：底面積相等、高也相等的圓柱、長方體、正方體，它們的體積也相等。進而得出“圓柱的體積也應該等于底面積乘高”的結論，初步建立圓柱體積計算方法的猜想。第二層次，引導學生把探索圓面積公式的方法遷移過來，通過操作，驗證前面所提出的猜想。教材通過把圓柱的底面平均分成16份，沿著高切開后拼成一個近似的長方體，啟發學生聯想：如果把圓柱的底面平均分成32份、64份……切開后拼成的物體會有什么變化，使學生認識到平均分的份數越多，切開后拼成的幾何體會越來越接近長方體。接著，引導學生進一步討論：拼成的長方體與原來的圓柱有什么關系？并在與同學交流的過程中推導出圓柱的體積公式。在此基礎上，揭示圓柱體積公式的字母表達式。同時引導學生回顧圓柱體積公式的探索過程，說說自己的體會，以幫助學生進一步明晰圓柱體積公式的推導過程，梳理活動過程中積累起來的經驗，感悟轉化的思想方法，加深對圓柱體積計算方法的認識。上述活動的設計，充分考慮到學生的認知水平，引導學生通過比較等底等高的長方體、正方體和圓柱體積之間的關系，提出猜想并通過實驗加以驗證，充分激活了學生已有的知識和經驗，使學生在有序的活動中充分體會圓柱體積公式推導過程的合理性，并不斷豐富對有關圖形轉化方法的感受。隨后的“試一試”讓學生應用圓柱體積公式解決簡單的實際問題，鞏固和加深對公式的理解。
第16頁的“練一練”安排了2道題。第1題是看直觀圖計算圓柱的體積，重在幫助學生鞏固圓柱體積的計算方法。第2題是用圓柱體積計算方法解決的實際問題，有利于學生進一步鞏固應用這一公式解決問題的方法，體會數學應用的廣泛性。
練習三安排了16道題。第1、2題是配合例4安排的。第1題讓學生直接根據圓柱的底面積和高計算體積，進一步鞏固圓柱的體積公式。第2題要求學生根據電飯煲里面的底面直徑和高，求電飯煲的容積。有利于學生進一步體會體積和容積的含義，鞏固圓柱的體積計算方法。
第3～16題是這部分內容的綜合練習。第4題讓學生比較三個杯里飲料的多少，既可以鞏固圓柱體積的計算方法，又能培養學生的估計能力，發展空間觀念。第5～9題都是和圓柱體積計算有關的實際問題。通過練習，可以幫助學生進一步理解和掌握圓柱的體積計算公式，體會圓柱的體積公式在日常生活中的廣泛應用，感受數學知識的應用價值。其中，第5題是計算圓柱形容器容積的實際問題，有利于學生進一步體會容積與體積的聯系與區別。第6題讓學生計算由50枚1元硬幣組成的圓柱形的體積，并推算1枚1元硬幣的體積，有利于學生體會靈活運用圓柱體積公式解決實際問題的過程，加深對圓柱體積計算方法的理解。第7題是把一張長5厘米、寬4厘米的長方形分別繞它的長和寬旋轉一周，形成兩個圓柱，要求學生先估計哪個圓柱的體積大，再計算。通過練習，既有利于學生初步體會將一個長方形通過旋轉得到圓柱的過程，豐富對圓柱特征的認識，又有利于培養學生初步的空間想象能力。第9題讓學生自己動手，先量出一個圓柱形茶杯的有關數據，再計算這個茶杯可以盛水多少克，有利于學生進一步積累應用圓柱體積公式解決問題的經驗，體會數學知識和方法的實際價值。第10題以填表的方式，引導學生對圓柱表面積和體積計算的各種情況進行整理，進一步鞏固圓柱表面積和體積的計算方法，形成必要的技能。第11～16題，要求學生靈活運用圓柱的底面積、側面積、表面積和體積等有關知識解決實際問題，幫助學生進一步鞏固有關的計算方法，感受所學知識在不同情境中的應用，發展解決問題策略，提高運用所學知識解決問題的能力，發展空間觀念。其中，第11、12題都是應用圓柱表面積和體積計算方法解決的實際問題，有利于學生進一步積累解決問題的經驗，增強應用意識；第13題的（2）題，要求學生根據圓柱形蛋糕盒的底面半徑和高，計算捆扎蛋糕盒所需要的彩帶，有利于學生進一步加深對圓柱特征的認識，培養靈活運用所學知識解決問題的能力；第14題要求學生計算搭建一個橫截面是半圓形的塑料大棚所需要的塑料薄膜以及大棚內的空間，既可以進一步提升學生對圓柱體積計算方法的認識，又有利于發展學生的分析、比較和推理能力；第15題創設了把一塊長方體橡皮泥捏成一個圓柱的問題情境，引導學生運用等積變換的思想解決問題，有利于學生積累更豐富的解決問題的經驗，發展數學思考；第16題引導學生先根據圓柱形水杯的容積和從里面量得的底面積，求出玻璃杯的深，再應用分數乘法解決問題，有利于培養學生綜合運用所學知識解決問題的能力。
思考題讓學生根據把一段圓鋼全部浸沒在水中和豎著拉出水面8厘米后水位的升降情況，計算鋼材的體積。有利于培養學生初步的推理能力，發展空間觀念和綜合運用所學知識解決問題的能力。
最后的“動手做”是一個測量不規則物體體積的活動。教材通過把一個土豆全部浸沒在裝有一些水的圓柱形容器里的實驗，引導學生根據土豆放入水中水面上升的高度，以及圓柱形容器的底面積，算出土豆的體積。通過活動，可以幫助學生積累更豐富的數學活動經驗，感受轉化的思想方法，提高解決問題的能力，激發對數學學習的興趣。
【教學建議】
1．這部分內容可以用3課時進行教學。第一課時教學第15～16頁例4、“試一試”和“練一練”，完成練習三第1～2題；第二課時完成練習三第3～9題；第三課時完成練習三第10～16題。
2．教學例4時，要抓住兩個關鍵環節：一是引導學生在比較底面積相等、高也相等的長方體、正方體和圓柱體積之間關系的過程中，初步提出有關圓柱體積計算方法的猜想；二是啟發學生利用探索圓面積公式的經驗找到驗證猜想的方法，并推導出圓柱的體積計算公式。對于第一個環節，可以分兩步組織教學。第一步，呈現例題中底面積相等、高也相等的長方體、正方體和圓柱的直觀圖，引導學生通過比較和交流，明確：長方體和正方體的體積相等，都等于“底面積×高”。第二步，引導學生由圓柱和長方體、正方體也是等底等高的，想到圓柱的體積和長方體、正方體的體積也應該相等，進而提出“圓柱體積=底面積×高”的猜想。同時指出：這一猜想是否正確呢？還需要我們進一步進行驗證。對于第二個環節，要把握好三點。一是通過討論：圓可以轉化成長方形計算面積，圓柱可以轉化成長方體計算體積嗎？并啟發學生回憶推導圓面積公式的基本思路，把推導圓面積公式的方法遷移過來，想到可以把圓柱轉化成長方體。二是通過把一個圓柱的底面平均分成16份，切開后拼成一個近似的長方體的操作，使學生初步認識到可以把計算圓柱體積的問題轉化成計算長方體體積的問題，進而獲得圓柱體積的計算方法。在此基礎上，引導學生想象：如果把圓柱的底面平均分成32份、64份……切開后拼成的幾何體會有什么變化？再通過適當的演示，幫助學生體會到分的份數越多，拼成的幾何體就越接近長方體的趨勢。三是引導學生觀察把圓柱轉化成長方體過程的示意圖，并通過比較和交流，發現：拼成的長方體的底面積等于圓柱的底面積，高等于圓柱的高，體積等于圓柱的體積，并由此推導出圓柱的體積公式。同時，向學生介紹用字母表示圓柱體積公式的方法。最后，引導學生回顧探索和發現圓柱體積公式的過程，說一說是怎樣發現并歸納出圓柱體積的計算方法的，自己有哪些收獲和體會。隨后的“試一試”要提醒學生應用圓柱的體積公式進行計算。
第16頁的“練一練”，第1題可以先讓學生看圖說說兩道題的已知條件，再獨立完成計算，并交流計算的過程和結果。第2題可以讓學生獨立完成，再交流解決問題的過程和結果。
3．練習三的第1題，一要讓學生說說圓柱體積的計算方法，二要鼓勵學生通過口算完成填表。第2題可以先讓學生說說計算圓柱形電飯煲的容積，為什么要從里面量直徑和高，再獨立完成解答。
第4題可以先讓學生看圖估一估，再根據圖中的條件列式算出結果，并比較估計和列式計算的結果，說說自己估計得怎么樣。第5題可以先引導學生根據題中的條件進行估計，再通過計算解決，并交流解決問題的思考過程。第6題可以啟發學生用不同的方法算出1枚1元硬幣的體積。例如，先算出這卷硬幣的體積，再算1枚硬幣的體積；或先算1枚硬幣的厚度，再算一枚硬幣的體積。第7題可以先引導學生想象將一張長方形紙繞它的長或寬旋轉一周，形成的是什么形狀，再通過操作和演示，使學生明確：將一個長方形繞它的一條邊旋轉一周，可以形成一個圓柱，旋轉時所繞的軸是圓柱的高，與旋轉軸相鄰的另一條邊是圓柱的底面半徑。再讓學生看圖說說所形成的兩個圓柱的底面半徑和高各是多少，并估一估哪個圓柱的體積大，說一說估計時的思考過程。在此基礎上，讓學生獨立完成計算，并說說為什么繞長方形的長旋轉，得到的圓柱的體積比較大。第8題，一要讓學生說說怎樣根據圓柱的底面周長求出圓柱的底面積；二要通過交流，使學生體會到：在容器的制作材料很薄或對計算精確度要求不高時，可以忽略容器的厚度，直接用它的體積表示容積。第9題可以先讓學生按要求進行實際測量，再根據測量獲得的數據完成計算。要注意測量方法的指導。例如，從里面量茶杯的高時，由于直尺的O刻度線不在最左端，要在讀數時加上左端沒有刻度的那一部分的長。
第10題，要通過填表和計算，幫助學生整理圓柱的表面積和體積計算方法，明確怎樣根據圓柱的底面半徑、直徑或底面周長，以及圓柱的高，求它的表面積和體積。11、12題都要注意引導學生認真審題，弄清題中每個問題表示的意思，以及解決問題的思路，再獨立完成解答。例如，第12題的第（1）題求水池里最多能蓄水的噸數，要先算出水池的容積；第（2）題求抹水泥部分的面積，就是求圓柱形水池的側面積與一個底面積的和。第13題的第（1）題要引導學生聯系生活實際理解求做這個蛋糕盒所需要的硬紙板。根據生活實際，本題既可以求出蛋糕盒的兩個底面和側面面積的和，也可以求蛋糕盒頂面和側面面積的和，只要說清楚計算的方法和依據，都應給予肯定。第（2）題要啟發學生借助示意圖展開想象；弄清所需彩帶的長度應包括圓柱的幾條直徑和幾條高，并注意提醒學生算出結果后，還要加上打結處彩帶的長度。第14題，要充分利用塑料大棚的直觀圖幫助學生理解題意，并啟發他們靈活運用圓柱表面積和體積計算方法解決問題。對學生中出現的不同算法，要通過比較和交流，幫助學生體會它們之間的聯系，體會比較簡便的解題方法。第15題可以先引導學生思考：把長方體橡皮泥捏成圓柱后，什么變了？什么沒有變？求捏成的圓柱的底面積，要先算出什么？再獨立完成解答。第16題可以先讓學生說一說怎樣根據水杯的容積和底面積求水杯的高，再獨立完成解答。要鼓勵學生用不同的思路解決問題，并通過交流，體會不同解題思路的聯系與區別。
4．思考題要鼓勵學生獨立完成，并在大多數學生完成后組織交流。如果學生有困難，可以啟發他們畫示意圖表示題中的條件和問題，以正確把握水面的升降變化和圓鋼體積之間的關系，進而找到正確的解題思路。解答這一問題的關鍵是根據“把圓鋼豎著拉出水面8厘米，水面下降4厘米”的條件，想到每拉出2厘米的圓鋼，水位就下降1厘米，進而推出：長2厘米圓鋼的體積正好等于深1厘米的水的體積。
5．“動手做”的活動，課前要讓學生分小組準備圓柱形的容器和土豆各1個。組織活動時，可以引導學生討論有什么辦法能求出這個土豆的體積，并通過交流，明確實驗方法與步驟：第一，在圓柱形容器中倒入適量的水，并量出水面的高度（或在水面處做上記號）；第二，把土豆完全浸入圓柱形容器的水里，量出水面上升的高度。在此基礎上，組織學生分小組進行實驗，測量并記錄有關數據，算出土豆的體積。最后，要讓學生說說用這樣的方法測量土豆的體積時，要注意的問題以及參與活動的收獲和體會。

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