資源簡介

【鞏固練習】
1.有以下四個結論：①lg(lg10)=0；②ln(lne)=0；③若10=lgx，則x=10；④若e=lnx，則x=e2，其中正確的是( )
A.①③ B.②④ C.①② D.③④
2.下列等式成立的有( )
①；②；③；④；⑤；
A.①② B.①②③　　　　C.②③④ D.①②③④⑤
3.已知，那么用表示是( )
A. B. C. D.
4.已知，且等于( )
A. B. C. D.
5．若，則（ ）
A. B. C. D.
6．設a，b，c為正數，且3a=4b=6c，則有( )
A. B. C. D.
7．如果方程的兩根為、，則的值為（ ）
A. B. C. D. -6
8．已知函數滿足：當時，；當時，，則=（ ）
A. B. C. D.
9. 已知，則 ；
10. (1)= ；
(2)= ．
11．已知a=0.33，b=30.3， c=log30.3， d=log0.33，則a，b，c，d的大小關系是 .
12．已知，則的值等于 ．
13．計算：（1）；
（2）若，求．
14．設logac， logbc是方程x2-3x+1=0的兩根，求的值.
15．2010年我國國民生產總值為億元，如果平均每年增長8%，那么經過多少年后國民生產總值是2010年的2倍（，精確到1年）？
【答案與解析】
1. 【答案】C　
【解析】由知①②正確．
2. 【答案】B　
【解析】；
3. 【答案】A　
【解析】原式==，故選A．
4．【答案】D
【解析】因為，所以，所以．
5．【答案】B
【解析】，因為，所以，故選B．
6．【答案】B
【解析】設3a=4b=6c=k， 則a=log3k， b=log4k， c=log6k，
∴， 同理，，
而， ∴，即.
7．【答案】C
【解析】由題意、是關于的方程的兩根，，．
8．【答案】A
【解析】 由于，所以，則
==．
9．【答案】3
【解析】因為，所以，故．
10. 【答案】 (1)-3； (2)4．
11．【答案】b>a>d>c
【解析】 ∵0.3>0，3>0， ∴a=0.33>0， b=30.3>0.
∵3>1， 0<0.3<1， ∴c=log30.3<0， d=log0.33<0
又∵b=30.3>1， a=0.33<1， ∴ b>a
而， ， ∴d>c.
12．【答案】2008
【解析】2008 令，則，
，所以．
13．【答案】(1)(2)1
【解析】（1）原式=
=
=
（2）
=
=
即
=
14．【答案】
【解析】依題意得： 即 ， 即
∴.
∴.
故.
15．【答案】9
【解析】設經過年國民生產總值為2010年的2倍
經過1年，國民生產總值為，
經過2年，國民生產總值為，
…
經過年，國民生產總值為
，兩邊同取常用對數，得
即（年）
答：約經過9年，國民生產總值是2010年的2倍．



對數及對數運算
【學習目標】
1.理解對數的概念，能夠進行指數式與對數式的互化；
2.了解常用對數與自然對數的意義；
3．能夠熟練地運用對數的運算性質進行計算；
4．了解換底公式及其推論，能夠運用換底公式及其推論進行對數的計算、化簡與證明．
5．能將一般對數轉化成自然對數或常用對數、體會換底公式在解題中的作用．
【要點梳理】
要點一、對數概念
1.對數的概念
如果，那么數b叫做以a為底N的對數，記作:logaN=b.其中a叫做對數的底數，N叫做真數.
要點詮釋：
對數式logaN=b中各字母的取值范圍是：a>0 且a1， N>0， bR.
2.對數具有下列性質：
(1)0和負數沒有對數，即；
(2)1的對數為0，即；
(3)底的對數等于1，即.
3．兩種特殊的對數
通常將以10為底的對數叫做常用對數，.以e（e是一個無理數，）為底的對數叫做自然對數， .
4．對數式與指數式的關系
由定義可知:對數就是指數變換而來的，因此對數式與指數式聯系密切，且可以互相轉化.它們的關系可由下圖表示.

由此可見a，b，N三個字母在不同的式子中名稱可能發生變化.
要點二、對數的運算法則
已知
(1) 正因數的積的對數等于同一底數各個因數的對數的和；

推廣：
(2) 兩個正數的商的對數等于被乘數的對數減去除數的對數；

(3) 正數的冪的對數等于冪的底數的對數乘以冪指數；

要點詮釋：
（1）利用對數的運算法則時，要注意各個字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對數都存在時等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因為雖然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)與log2(-5)是不存在的.
（2）不能將和、差、積、商、冪的對數與對數的和、差、積、商、冪混淆起來，即下面的等式是錯誤的：
loga(MN)=logaMlogaN，
loga(M·N)=logaM·logaN，
loga.
要點三、對數公式
1．對數恒等式：

2．換底公式
同底對數才能運算，底數不同時可考慮進行換底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有:
(1)
令 logaM=b， 則有ab=M， (ab)n=Mn，即， 即，即:.
(2) ，令logaM=b， 則有ab=M， 則有
即， 即，即
當然，細心一些的同學會發現(1)可由(2)推出，但在解決某些問題(1)又有它的靈活性.而且由(2)還可以得到一個重要的結論:
.
【典型例題】
類型一、指數式與對數式互化及其應用
例1.將下列指數式與對數式互化：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
【解析】運用對數的定義進行互化.
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
【總結升華】對數的定義是對數形式和指數形式互化的依據，而對數形式和指數形式的互化又是解決問題的重要手段.
舉一反三：
【變式1】求下列各式中x的值：
(1) (2) (3)lg1000=x (4)
【答案】（1）；（2）；（3）3；（4）-4．
【解析】將對數式化為指數式，再利用指數冪的運算性質求出x.
(1)；
(2)；
(3)10x=1000=103，于是x=3；
(4)由.
高清課程：對數及對數運算 例1
【變式2】計算：并比較．
【答案】2 3 5
【解析】

．
類型二、利用對數恒等式化簡求值
例2．求值：
【答案】35
【解析】.
【總結升華】對數恒等式中要注意格式：①它們是同底的；②指數中含有對數形式；③其值為真數.
舉一反三：
【變式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)
【答案】
【解析】將冪指數中的乘積關系轉化為冪的冪，再進行運算.
.
類型三、積、商、冪的對數
高清課程：對數及對數運算例3
例3. 表示下列各式

【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）=．
【總結升華】利用對數恒等式、對數性質及其運算性質進行化簡是化簡對數式的重要途徑，因此我們必須準確地把握它們．在運用對數的運算性質時，一要注意真數必須大于零；二要注意積、商、冪的對數運算對應著對數的和、差、積得運算．
舉一反三：
【變式1】求值
(1) 　　(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2
【答案】（1）22；（2）1；（3）2．
【解析】(1)

(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1
(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2
=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.
【變式2】（1）設，求的值．
（2）已知，求．
【答案】（1）1；（2）
【解析】（1）由已知分別求出和，

，
由換底公式得：



=
=
（2），，又，故
故，又，從而，
故．
類型四、換底公式的運用
例4.已知，求．
【答案】
【解析】
解法一：，，
于是．
解法二：，，
于是
解法三：，，
．
解法四：，
又．
令，則，
即

．
【總結升華】（1）利用換底公式可以把題目中不同底的對數化成同底的對數，進一步應用對數運算的性質．
（2）題目中有指數式和對數式時，要注意指數式與對數式的互化，將它們統一成一種形式．
（3）解決這類問題要注意隱含條件“”的靈活運用．
舉一反三：
【變式1】求值：(1)；(2)；(3).
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】(1)
；
(2)；
(3)法一：
法二：.

類型五、對數運算法則的應用
例5.求值
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】（1）-10；（2）0；（3）3；（4）13

【解析】(1)原式=
(2) 原式=
=
(3)原式=
(4)原式
舉一反三：
【變式1】求值：
【答案】2
【解析】
另解：設 =m (m>0).∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ lg2=lgm， ∴ 2=m，即.
例6.若方程的兩根是a，b，求ab的值．
【答案】
【解析】設，則
是原方程的兩個根，


【總結升華】解決本題的關鍵是要分清楚a，b是哪個方程的根，所以首先利用換元法把方程化成一元二次方程，這樣就可以得到原方程的兩根是．
舉一反三：
【變式1】若是方程的兩個實根，求的值．
【答案】12
【解析】原方程可化為，設，則原方程化為．．
由已知是原方程的兩個根，
則，即，

=
=
=．
即．




【鞏固練習】
1.下列說法中錯誤的是( )
A.零和負數沒有對數　　　　　　　　　　B.任何一個指數式都可化為對數式
C.以10為底的對數叫做常用對數　　　　 D.以e為底的對數叫做自然對數
2.有以下四個結論：①lg(lg10)=0；②ln(lne)=0；③若10=lgx，則x=10；④若e=lnx，則x=e2，其中正確的是( )
A.①③ B.②④ C.①② D.③④
3.下列等式成立的有( )
①；②；③；④；⑤；
A.①② B.①②③　　　　C.②③④ D.①②③④⑤
4．對數式中，實數的取值范圍是（ ）
A. B.　　　C. D.
5．若，則下列說法正確的是（ ）
①若，則；②，則；
③，則；④若，則。
A.①③ B.②④ C. ② D. ①②③④
6.已知，那么用表示是( )
A. B. C. D.
7.已知，且等于( )
A. B. C. D.
8．若，則（ ）
A. B. C. D.
9.3的 次冪等于8.
10.若，則x= 。
11. 若 ；
12．若，則 。
13．（1）設，求；
（2）已知，用表示。
14．計算.

【答案與解析】
1. 【答案】 B
【解析】　由對數的概念知，指數式中，只有，且的指數式才可以化為對數式。
2. 【答案】C
【解析】　由知①②正確。
3. 【答案】B
【解析】　；
4. 【答案】C
【解析】 由對數的定義可知所以且，故選C。
5. 【答案】 C
【解析】 注意使成立的條件是M、N必須為正數，所以①③④不正確，而②是正確的，故選C。
　
6. 【答案】A
【解析】　原式==，故選A。
7．【答案】D
【解析】因為，所以，所以。
8．【答案】B
【解析】，因為，所以，故選B。
9. 【答案】
【解析】 由對數的恒等式可得；　
10. 【答案】 -13
【解析】 由指數式與對數式互化，可得，解得。　
11. 【答案】 12
【解析】 。
12. 【答案】1
【解析】 因為所以，又因為所以，所以原式=。
13．【答案】 (1)9 (2)
【解析】（1）利用換底公式得：，得。
（2）由對數換底公式得：
=2（）=。
14．【答案】1
【解析】原式=
=



對數及對數運算
【學習目標】
1.理解對數的概念，能夠進行指數式與對數式的互化；
2.了解常用對數與自然對數的意義；
3．能夠熟練地運用對數的運算性質進行計算；
4．了解換底公式及其推論，能夠運用換底公式及其推論進行對數的計算、化簡與證明．
5．能將一般對數轉化成自然對數或常用對數、體會換底公式在解題中的作用．
【要點梳理】
要點一、對數概念
1.對數的概念
如果，那么數b叫做以a為底N的對數，記作:logaN=b.其中a叫做對數的底數，N叫做真數.
要點詮釋：
對數式logaN=b中各字母的取值范圍是：a>0 且a1， N>0， bR.
2.對數具有下列性質：
(1)0和負數沒有對數，即；
(2)1的對數為0，即；
(3)底的對數等于1，即.
3．兩種特殊的對數
通常將以10為底的對數叫做常用對數，.以e（e是一個無理數，）為底的對數叫做自然對數， .
4．對數式與指數式的關系
由定義可知:對數就是指數變換而來的，因此對數式與指數式聯系密切，且可以互相轉化.它們的關系可由下圖表示.

由此可見a，b，N三個字母在不同的式子中名稱可能發生變化.
要點二、對數的運算法則
已知
(1) 正因數的積的對數等于同一底數各個因數的對數的和；

推廣：
(2) 兩個正數的商的對數等于被乘數的對數減去除數的對數；

(3) 正數的冪的對數等于冪的底數的對數乘以冪指數；

要點詮釋：
（1）利用對數的運算法則時，要注意各個字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對數都存在時等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因為雖然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)與log2(-5)是不存在的.
（2）不能將和、差、積、商、冪的對數與對數的和、差、積、商、冪混淆起來，即下面的等式是錯誤的：
loga(MN)=logaMlogaN，
loga(M·N)=logaM·logaN，
loga.
要點三、對數公式
1．對數恒等式：

2．換底公式
同底對數才能運算，底數不同時可考慮進行換底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有:
(1)
令 logaM=b， 則有ab=M， (ab)n=Mn，即， 即，即:.
(2) ，令logaM=b， 則有ab=M， 則有
即， 即，即
當然，細心一些的同學會發現(1)可由(2)推出，但在解決某些問題(1)又有它的靈活性.而且由(2)還可以得到一個重要的結論:
.
【典型例題】
類型一、對數的概念
例1.求下列各式中的取值范圍：
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）且
【解析】（1）由題意，，即為所求．
（2）由題意
即．
（3）由題意
解得且．
【總結升華】在解決與對數有關的問題時，一定要注意：對數真數大于零，對數的底數大于零且不等于1．
舉一反三：
【變式1】函數的定義域為 ．
【答案】
類型二、指數式與對數式互化及其應用
例2.將下列指數式與對數式互化：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
【解析】運用對數的定義進行互化.
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
【總結升華】對數的定義是對數形式和指數形式互化的依據，而對數形式和指數形式的互化又是解決問題的重要手段.
舉一反三：
【變式1】求下列各式中x的值：
(1) (2) (3)lg1000=x (4)
【答案】（1）；（2）；（3）3；（4）-4．
【解析】將對數式化為指數式，再利用指數冪的運算性質求出x.
(1)；
(2)；
(3)10x=1000=103，于是x=3；
(4)由.
高清課程：對數及對數運算 例1
【變式2】計算：并比較．
【解析】

．
類型三、利用對數恒等式化簡求值
例3．求值：
【答案】35
【解析】.
【總結升華】對數恒等式中要注意格式：①它們是同底的；②指數中含有對數形式；③其值為真數.
舉一反三：
【變式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)
【答案】
【解析】將冪指數中的乘積關系轉化為冪的冪，再進行運算.
.
類型四、積、商、冪的對數
高清課程：對數及對數運算例3
例4. 表示下列各式

【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）=．
【總結升華】利用對數恒等式、對數性質及其運算性質進行化簡是化簡對數式的重要途徑，因此我們必須準確地把握它們．在運用對數的運算性質時，一要注意真數必須大于零；二要注意積、商、冪的對數運算對應著對數的和、差、積得運算．
舉一反三：
【變式1】求值
(1) 　　(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2
【答案】（1）22；（2）1；（3）2．
【解析】(1)

(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1
(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2
=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.
類型五、換底公式的運用
例5.已知，求．
【答案】
【解析】
解法一：，，
于是．
解法二：，，
于是
解法三：，，
．
解法四：，
又．
令，則，
即

．
【總結升華】（1）利用換底公式可以把題目中不同底的對數化成同底的對數，進一步應用對數運算的性質．
（2）題目中有指數式和對數式時，要注意指數式與對數式的互化，將它們統一成一種形式．
（3）解決這類問題要注意隱含條件“”的靈活運用．
舉一反三：
【變式1】求值：(1)；(2)；(3).
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】(1)
；
(2)；
(3)法一：
法二：.
類型六、對數運算法則的應用
例6.求值
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】（1）-10；（2）0；（3）3；（4）13
【解析】(1)原式=
(2) 原式=
=
(3)原式=
(4)原式
舉一反三：
【變式1】計算下列各式的值
（1）；（2）．
【答案】（1）3；（2）1．
【解析】（1）原式==2=2+1=3；
（2）原式=+=
=．
【變式2】求值：
【答案】2
【解析】
另解：設 =m (m>0).∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ lg2=lgm， ∴ 2=m，即.

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