資源簡(jiǎn)介

【鞏固練習(xí)】
1．已知，那么a的取值范圍是( )
A. B. C. D.或a>1
2．函數(shù)的定義域是（ ）
A. B. C. D.
3.為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（ ）
A.向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度
B.向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度
C.向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度
D.向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度
4.函數(shù)的圖象關(guān)于( )
A.軸對(duì)稱(chēng) B.軸對(duì)稱(chēng) C.原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D.直線對(duì)稱(chēng)
5.函數(shù)的值域是( )
A. B. C. D.
6．下列區(qū)間中，函數(shù)在其上為增函數(shù)的是
A. B. C. D.
7．設(shè)方程2x+x-3=0的根為，方程log2x+x-3=0的根為，則的值是( 　)
A.1 B.2 C.3 D.6
8．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，若對(duì)于，都有，且當(dāng)時(shí)，=，則的值為（ ）
A.-2 B.-1 C.1 D.2
9．函數(shù)若則= ．
10．已知集合，定義在集合上的函數(shù)的最大值與最小值的和是2，則= ．
11．函數(shù)的反函數(shù)是 ．
12．已知函數(shù)y=loga(kx2+4kx+3)，若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則k的取值范圍是 ； 若函數(shù)的值域?yàn)镽，則k的取值范圍是 .

13.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋蟮闹?
14．已知函數(shù)（）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
（1）求的值；
（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性．
15．一片森林的面積為，計(jì)劃每年砍伐一批木材，每年砍伐面積的百分比相等，則砍伐到原面積的一半時(shí)，所用時(shí)間是50年．為了保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的．已知到今年為止，森林剩余面積為
（1）問(wèn)到今年為止，該片森林已砍伐了多少年？
（2）問(wèn)今后最多還能砍伐多少年？

【答案與解析】
1. 【答案】D
【解析】當(dāng)a>1時(shí)，由知，故a>1；當(dāng)01.
2. 【答案】C　
【解析】要使原題有意義，必須滿(mǎn)足：，解得．
3. 【答案】C　
【解析】函數(shù)=，由“左加右減”知，選C．
4. 【答案】C　
【解析】此函數(shù)是奇函數(shù)，奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。
5. 【答案】C　
【解析】令，的值域是，所以的值域是。
6. 【答案】D
【解析】用圖象法解決，將的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)得到，再向右平移兩個(gè)單位，得到，將得到的圖象在x軸下方的部分翻折上來(lái)，即得到的圖象.由圖象，選項(xiàng)中是增函數(shù)的顯然只有D.
7．【答案】C　
【解析】將方程整理得2x=-x+3，log2x=-x+3，如圖所示，可知是指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象與直線y=-x+3的交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)；是對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2x的圖象與直線y=-x+3的交點(diǎn)B的橫坐標(biāo).由于函數(shù)y=2x與函數(shù)y=log2x互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，所以A，B兩點(diǎn)也關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，所以，.注意到在直線y=-x+3上，所以有，即.
8．【答案】C
【解析】依題意得，
，于是，故選C．　
9. 【答案】-1或2；　
【解析】令，。
10. 【答案】；
【解析】因?yàn)樽畲笾岛妥钚≈抵褪牵裕浴?br/>11. 【答案】
【解析】由得，由得．因此原函數(shù)的反函數(shù)是　
12. 【答案】.
【解析】要使函數(shù)的定義域?yàn)镽，只需對(duì)一切實(shí)數(shù)x， kx2+4kx+3>0恒成立，其充要條件是k=0或解得k=0或，故k的取值范圍是.
要使函數(shù)的值域?yàn)镽，只需kx2+4kx+3能取遍一切正數(shù)，則，解得. 故k的取值范圍是.

13. 【答案】
【解析】由，得，即
∵，即
由，得，由根與系數(shù)的關(guān)系得，解得.
14．【答案】（1）1或-1 （2）當(dāng)時(shí)，，即在上遞減；
當(dāng)時(shí)，，即在上遞增．
【解析】（1）由已知，對(duì)于定義域內(nèi)的任意都有，即，
，即，所以，即，所以，解得或．
若，，無(wú)意義，舍去，所以
（2）設(shè)，由（1）知．因?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，即在上遞減；
當(dāng)時(shí)，，即在上遞增．
15．【答案】（1）25（2）75
【解析】（1）設(shè)每年砍伐面積的百分比為，經(jīng)過(guò)年后森林剩余面積為
則，所以，即．
又，所以，
所以，即到今年為止，一砍伐了25年．
（2）設(shè)從今年開(kāi)始，以后砍伐了年，
則砍伐了年后森林剩余面積為．
由題意，有，所以，
由（1）知，，即，因?yàn)椋?br/>所以，解得．
所以，今后最多還能砍伐75年．



對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類(lèi)很重要的函數(shù)模型；
2.探索對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)進(jìn)行同底對(duì)數(shù)和不同底對(duì)數(shù)大小的比較；
3．了解反函數(shù)的概念，知道指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)．
【要點(diǎn)梳理】
要點(diǎn)一、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念
1．函數(shù)y=logax(a>0，a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù).其中是自變量，函數(shù)的定義域是，值域?yàn)椋?br/>2．判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)是形如的形式，即必須滿(mǎn)足以下條件：
（1）系數(shù)為1；
（2）底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)；
（3）對(duì)數(shù)的真數(shù)僅有自變量．
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?br/>（1）只有形如y=logax(a>0，a≠1)的函數(shù)才叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，像等函數(shù)，它們是由對(duì)數(shù)函數(shù)變化得到的，都不是對(duì)數(shù)函數(shù)．
（2）求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域時(shí)應(yīng)注意：①對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)要求大于零，底數(shù)大于零且不等于1；②對(duì)含有字母的式子要注意分類(lèi)討論．
要點(diǎn)二、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
a＞0 0＜a＜1
圖象
性質(zhì) 定義域：（0，+∞）
值域：R
過(guò)定點(diǎn)（1，0），即x=1時(shí)，y=0
在（0，+∞）上增函數(shù) 在（0，+∞）上是減函數(shù)
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0， 當(dāng)x≥1時(shí)，y≥0 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＞0， 當(dāng)x≥1時(shí)，y≤0

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?br/>關(guān)于對(duì)數(shù)式logaN的符號(hào)問(wèn)題，既受a的制約又受N的制約，兩種因素交織在一起，應(yīng)用時(shí)經(jīng)常出錯(cuò).下面介紹一種簡(jiǎn)單記憶方法，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.
以1為分界點(diǎn)，當(dāng)a，N同側(cè)時(shí)，logaN>0；當(dāng)a，N異側(cè)時(shí)，logaN<0.
要點(diǎn)三、底數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的影響
1．底數(shù)制約著圖象的升降．
如圖

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?br/>由于底數(shù)的取值范圍制約著對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的升降（即函數(shù)的單調(diào)性），因此在解與對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，必須考慮底數(shù)是大于1還是小于1，不要忽略．
2．底數(shù)變化與圖象變化的規(guī)律
在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)a>1時(shí)，隨a的增大，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像愈靠近x軸；當(dāng)0
要點(diǎn)四、反函數(shù)
1．反函數(shù)的定義
設(shè)分別為函數(shù)的定義域和值域，如果由函數(shù)所解得的也是一個(gè)函數(shù)（即對(duì)任意的一個(gè)，都有唯一的與之對(duì)應(yīng)），那么就稱(chēng)函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，記作，在中，是自變量，是的函數(shù)，習(xí)慣上改寫(xiě)成（）的形式．函數(shù)（）與函數(shù)（）為同一函數(shù)，因?yàn)樽宰兞康娜≈捣秶炊x域都是B，對(duì)應(yīng)法則都為．
由定義可以看出，函數(shù)的定義域A正好是它的反函數(shù)的值域；函數(shù)的值域B正好是它的反函數(shù)的定義域．
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?
并不是每個(gè)函數(shù)都有反函數(shù)，有些函數(shù)沒(méi)有反函數(shù)，如．一般說(shuō)來(lái)，單調(diào)函數(shù)有反函數(shù)．
2．反函數(shù)的性質(zhì)
（1）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．
（2）若函數(shù)圖象上有一點(diǎn)，則必在其反函數(shù)圖象上，反之，若在反函數(shù)圖象上，則必在原函數(shù)圖象上．
【典型例題】
類(lèi)型一、函數(shù)的定義域
求含有對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域，其方法與一般函數(shù)的定義域、值域的求法類(lèi)似，但要注意對(duì)數(shù)函數(shù)本身的性質(zhì)（如定義域、值域及單調(diào)性）在解題中的重要作用.
例1. 求下列函數(shù)的定義域：
(1)； (2).
【答案】（1）；（2）．
【解析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義知：，，解出不等式就可求出定義域.
(1)因?yàn)椋矗院瘮?shù)；
(2)因?yàn)椋矗院瘮?shù).
【總結(jié)升華】與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域：求定義域時(shí)，要考慮到真數(shù)大于0，底數(shù)大于0，且不等于1．若底數(shù)和真數(shù)中都含有變量，或式子中含有分式、根式等，在解答問(wèn)題時(shí)需要保證各個(gè)方面都有意義．一般地，判斷類(lèi)似于的定義域時(shí)，應(yīng)首先保證．
舉一反三：
【變式1】求下列函數(shù)的定義域.
(1) y= (2) （且）.
【答案】（1）(1，)(，2)；（2）略
【解析】(1)因?yàn)椋? 所以，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?1，)(，2).
（2）因?yàn)?， 所以.
①當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋?br/>②當(dāng)時(shí)，
(i)若，則函數(shù)定義域?yàn)?，+∞)；
(ii)若，且，則函數(shù)定義域?yàn)?-∞，)；
(iii)若，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，此時(shí)不能構(gòu)成函數(shù)，否則定義域?yàn)?
【變式2】函數(shù)的定義域?yàn)閇-1，2]，求的定義域.
【答案】[，16].
【答案】由，可得的定義域?yàn)閇，4]，再由得的定義域?yàn)閇，16].
類(lèi)型二、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用
利用函數(shù)的單調(diào)性可以：①比較大小；②解不等式；③判斷單調(diào)性；④求單調(diào)區(qū)間；⑤求值域和最值.要求同學(xué)們：一是牢固掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；二是理解和掌握復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律；三是樹(shù)立定義域優(yōu)先的觀念.
例2. 比較下列各組數(shù)中的兩個(gè)值大小：
(1)；
(2)；
(3)與；
(4) 與．
(5)（）．
【思路點(diǎn)撥】利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小。
【答案】(1)< ；(2) <；(3) >；(4) >；(5) 略．
【解析】由數(shù)形結(jié)合的方法或利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)完成.
(1)解法1：畫(huà)出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，橫坐標(biāo)為3.6的點(diǎn)在橫坐標(biāo)為8.9的點(diǎn)的下方，所以，；
解法2：由函數(shù)在R+上是單調(diào)增函數(shù)，且3.6<8.9，所以；
(2)與第(1)小題類(lèi)似，在R+上是單調(diào)減函數(shù)，且1.9<3.5，所以；
(3)函數(shù)和的圖象如圖所示．當(dāng)時(shí)，的圖象在的圖象上方，這里，．
(4)

(5) 注：底數(shù)是常數(shù)，但要分類(lèi)討論a的范圍，再由函數(shù)單調(diào)性判斷大小.
解法1：當(dāng)時(shí)，在(0，+∞)上是增函數(shù)，且5.1<5.9，所以，
當(dāng)時(shí)，y=logax在(0，+∞)上是減函數(shù)，且4.2<4.8，所以，
解法2：轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小，
令，則，令，則
當(dāng)時(shí)，在R上是增函數(shù)，且4.2<4.8，
所以，b1當(dāng)時(shí)，在R上是減函數(shù)，且4.2<4.8
所以，b1>b2，即.
【總結(jié)升華】比較兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小的基本方法是：
（1）比較同底的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小，常利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．
（2）比較同真數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小，常有兩種方法：①先利用對(duì)數(shù)換底公式化為同底的對(duì)數(shù)，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和倒數(shù)關(guān)系比較大小；②利用對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的互相位置關(guān)系比較大小．
（3）若底數(shù)與真數(shù)都不同，則通過(guò)一個(gè)恰當(dāng)?shù)闹虚g量來(lái)比較大小．
【高清課堂：對(duì)數(shù)函數(shù) 369070 例3】
例3．比較其中01的大小.
【答案】
【解析】由01，得，
，

，即


【總結(jié)升華】若底數(shù)與真數(shù)都不同，則通過(guò)一個(gè)恰當(dāng)?shù)闹虚g量來(lái)比較大小，中間變量常常用“0”和“1”．用“0”和“1”把所給的數(shù)先分兩組，然后組內(nèi)再比較大小．
舉一反三：
【變式1】已知?jiǎng)t（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】另，，，在同一坐標(biāo)系下作出三個(gè)函數(shù)圖像，由圖像可得

又∵為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴
故選C.
【高清課堂：對(duì)數(shù)函數(shù)369070 例2】
【變式2】比較的大小．
【答案】
【解析】

例4．求函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間.
【思路點(diǎn)撥】先解不等式，保證原式有意義，然后再在定義域范圍內(nèi)求內(nèi)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性就是內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”來(lái)求解．

【答案】[-1，+∞；增區(qū)間為；減區(qū)間為．
【解析】設(shè)，則.∵ y=為減函數(shù)，且，
∴ ，即函數(shù)的值域?yàn)閇-1，+∞.再由：函數(shù)的定義域?yàn)椋?
∴ 在上遞增而在上遞減，而y=為減函數(shù).
∴ 函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.
【總結(jié)升華】對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)一般可分為兩類(lèi)：一類(lèi)是對(duì)數(shù)函數(shù)為外函數(shù)，即型；另一類(lèi)是內(nèi)函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，即型．對(duì)于型的函數(shù)的單調(diào)性，有以下結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)相同，當(dāng)時(shí)相反．
研究型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一般用復(fù)合法來(lái)判定即可．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性就是內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”．
研究對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一定要注意先研究函數(shù)的定義域，也就是要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”的原則．

舉一反三：
【變式1】求函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間．
【答案】；減區(qū)間為，增區(qū)間為．
【解析】設(shè)，則，∵ y=t為增函數(shù)，
的值域?yàn)椋?br/>再由：的定義域?yàn)?br/>在上是遞增而在上遞減，而y=t為增函數(shù)
∴ 函數(shù)y=的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
【變式2】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【答案】減區(qū)間是：和
【解析】①若則遞增，且遞減，而，即，
在上遞減．
② 若，則遞減，且遞增，而，即，
在上遞減．
綜上所述，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是：和．
類(lèi)型三、函數(shù)的奇偶性
例5. 判斷下列函數(shù)的奇偶性.
(1) (2).
【思路點(diǎn)撥】判斷函數(shù)奇偶性的步驟是：（1）先求函數(shù)的定義域，如果定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則進(jìn)行（2），如果定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)。（2）求，如果，則函數(shù)是偶函數(shù)，如果，則函數(shù)是奇函數(shù)。
【答案】（1）奇函數(shù)；（2）奇函數(shù)．
【解析】首先要注意定義域的考查，然后嚴(yán)格按照證明奇偶性基本步驟進(jìn)行.
(1)由
所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?-2，2)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
又
所以函數(shù)是奇函數(shù)；
【總結(jié)升華】此題確定定義域即解簡(jiǎn)單分式不等式，函數(shù)解析式恒等變形需利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).說(shuō)明判斷對(duì)數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)的奇偶性，不能輕易直接下結(jié)論，而應(yīng)注意對(duì)數(shù)式的恒等變形.
(2)【解析】由
所以函數(shù)的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
又
即f(-x)=-f(x)；所以函數(shù).
【總結(jié)升華】此題定義域的確定可能稍有困難，函數(shù)解析式的變形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.
類(lèi)型四、反函數(shù)
例6．求出下列函數(shù)的反函數(shù)
（1）；（2）。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）對(duì)數(shù)函數(shù)，它的底數(shù)為，所以它的反函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；
（2）指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)．
【總結(jié)升華】
反函數(shù)的定義域都由原函數(shù)的值域來(lái)確定的，特別是當(dāng)反函數(shù)的定義域與由反函數(shù)解析式有意義所確定的自變量的取值范圍不一致時(shí)，一定要注明反函數(shù)的定義域．
舉一反三：
【高清課堂：對(duì)數(shù)函數(shù)369070 例5】
【變式1】 若函數(shù)是函數(shù)且a≠1)的反函數(shù)，且，則（ ）
(A) (B) (C) (D)2
【答案】 A
【解析】解法1：函數(shù)是函數(shù)且a≠1)的反函數(shù)
，又
，，
故選A．
解法2：函數(shù)是函數(shù)且a≠1)的反函數(shù)，且
點(diǎn)（1，2）在函數(shù)的圖象上，
故選A．
類(lèi)型五、利用函數(shù)圖象解不等式
例7．若不等式，當(dāng)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【思路點(diǎn)撥】畫(huà)出函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象，然后借助圖象去求借。
【答案】
【答案】要使不等式在時(shí)恒成立，即函數(shù)的圖在內(nèi)恒在函數(shù)圖象的上方，而圖象過(guò)點(diǎn)．由右圖可知，，顯然這里0＜a＜1，∴函數(shù)遞減．又，∴，即．∴所求的a的取值范圍為．
【總結(jié)升華】“數(shù)”是數(shù)學(xué)的特征，它精確、量化，最有說(shuō)服力；而“形”則形象、直觀，能簡(jiǎn)化思維過(guò)程，降低題目的難度，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，把它們的優(yōu)點(diǎn)集中在一起就是最佳組合．本例中，利用圖形的形象直觀快速地得到答案，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程．正因?yàn)槿绱耍瑪?shù)形結(jié)合成為中學(xué)數(shù)學(xué)的四個(gè)最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一，因此我們必須熟練地掌握這一思想方法，并能靈活地運(yùn)用它來(lái)分析和解決問(wèn)題．
在涉及方程與不等式的問(wèn)題時(shí)，往往構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)與，則=的實(shí)數(shù)解等價(jià)于兩個(gè)函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；而的的解等價(jià)于函數(shù)的圖象在的圖象下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．利用圖象的形象性、直觀性，可使問(wèn)題得到順利地解決，而且分散了問(wèn)題解決的難度、簡(jiǎn)化了思維過(guò)程．因此，我們要善于用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解決方程與不等式的問(wèn)題．
舉一反三：
【變式1】 當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，不等式恒成立，求a的取值范圍．
【答案】1＜a≤2
【答案】設(shè)，，要使當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，不等式恒成立，只需在（1，2）上的圖象在的下方即可．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由圖象知顯然不成立．當(dāng)a＞1時(shí)，如圖2-2-5所示，要使在（1，2）上，的圖象在的下方，
只需，
即，，∴1＜a≤2．
類(lèi)型六、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
例8．（1）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍；
（2）已知函數(shù)的值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍；
（3）的定義域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍．
【思路點(diǎn)撥】與求函數(shù)定義域、值域的常規(guī)問(wèn)題相比，本題屬非常規(guī)問(wèn)題，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化成常規(guī)問(wèn)題.的定義域?yàn)镽，即關(guān)于的不等式的解集為R，這是不等式中的常規(guī)問(wèn)題.
的值域?yàn)镽與恒為正值是不等價(jià)的，因?yàn)檫@里要求取遍一切實(shí)數(shù)，即要求取遍一切正數(shù)，考察此函數(shù)的圖象的各種情況，如圖，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，使能取遍一切正數(shù)的條件是.
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
（1）的定義域?yàn)镽，
恒成立，，．
（2）的值域?yàn)镽，
取遍一切正數(shù)，，．
（3）由題意，問(wèn)題可等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式的解集為，記作圖形，如圖所示，只需過(guò)點(diǎn)，，即滿(mǎn)足，且即可，解得．
【總結(jié)升華】如果函數(shù)的定義域?yàn)槟硞€(gè)區(qū)間D，則函數(shù)在這個(gè)區(qū)間D的任何子集內(nèi)部都有意義；如果函數(shù)在區(qū)間E上有意義，而的定義域?yàn)镈，則必有．
舉一反三：
【變式1】 已知函數(shù).
(1)若函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）a>1；（2）0≤a≤1．
【解析】(1) 的定義域?yàn)镽，即：關(guān)于x的不等式的解集為R，
當(dāng)a=0時(shí)，此不等式變?yōu)?x+1>0，其解集不是R；
當(dāng)a≠0時(shí)，有 a>1.∴ a的取值范圍為a>1.
(2)f(x)的值域?yàn)镽，即u=ax2+2x+1能取遍一切正數(shù) a=0或0≤a≤1，
∴ a的取值范圍為0≤a≤1.
例9．已知函數(shù)（常數(shù)）．
（1）求的定義域；
（2）在函數(shù)的圖象上是否存在不同的兩點(diǎn)，使過(guò)此兩點(diǎn)的直線平行于軸；
（3）當(dāng)，滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí)，在上恒取正值．
【思路點(diǎn)撥】本題為對(duì)數(shù)指數(shù)問(wèn)題的綜合題，求定義域首先保證對(duì)數(shù)的真數(shù)為正，再利用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求出定義域．（2）中證明是否存在要由單調(diào)性來(lái)確定，若單調(diào)遞增或遞減，就不存在兩點(diǎn)兩線平行于軸．
【答案】（1）（2）不存在（3）
【解析】
（1）由，得，由，得，故，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>（2）設(shè)，

故

即，
在上為增函數(shù)．
假設(shè)函數(shù)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)，，使直線AB平行于軸，即，這與是增函數(shù)矛盾．
故函數(shù)的圖象上不存在不同的兩點(diǎn)，使過(guò)這兩點(diǎn)的直線平行于軸．
（3）由（2）知在上是增函數(shù)
在上也是增函數(shù)
當(dāng)時(shí)，
只需，即
當(dāng)時(shí)，在上恒取正值．
【總結(jié)升華】此題綜合性較強(qiáng)，綜合考查對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系，提問(wèn)方式靈活．靈活掌握轉(zhuǎn)化的思想，基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】已知，是否存在實(shí)數(shù)、，使同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：①在上是減函數(shù)，上是增函數(shù)；②的最小值是1．若存在，求出、的值，若不存在，說(shuō)明理由．
【答案】
【解析】設(shè)存在滿(mǎn)足條件的、
在上是減函數(shù)，上是增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，最小，從而
設(shè)，則，
恒成立，
即恒成立，
又因此恒成立，從而．
設(shè)，則恒成立，化簡(jiǎn)得
恒成立，
又所以恒成立，故．
綜上，．




【鞏固練習(xí)】
1．若，則的取值范圍是（ ）
A. B.或 C. D.或
2．函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A. B. C. D.
3．函數(shù)的圖象關(guān)于（ ）
A.軸對(duì)稱(chēng) B.軸對(duì)稱(chēng) C.原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D.直線對(duì)稱(chēng)
4．函數(shù)的大致圖象是（ ）

5.設(shè)，，，則（　　　）．
A. B. C. D.
6．圖中曲線是對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的圖象，已知a值取，則相應(yīng)于C1，C2，C3，C4的a值依次為( )
A. B.
C. D.
7.函數(shù)的值域?yàn)? )
A. B. C. D.
8.下列函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是( )
A. B.
C. D.
9．函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn) 。
10．已知，則、、0、1間的大小關(guān)系是 。
11.已知函數(shù)，則 .
12.函數(shù)是 (奇、偶)函數(shù).
13.已知函數(shù)，判斷的奇偶性和單調(diào)性.
14. 已知函數(shù)（）
（1）若函數(shù)的反函數(shù)是其本身，求的值；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值。
15．設(shè)
（1）判斷f(x)的單調(diào)性，并給出證明；
（2）若f(x)的反函數(shù)為f-1(x)，證明f-1(x)=0有唯一解；
（3）解關(guān)于x的不等式.

【答案與解析】
1. 【答案】D
【解析】由，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以，得；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，所以，得，故選D。
2. 【答案】C　
【解析】要使函數(shù)有意義，則解得，故選C。
3. 【答案】C
【解析】=，為奇函數(shù)，故其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。　
4. 【答案】D　
【解析】易知為奇函數(shù)，又時(shí)，，所以選D。
5. 【答案】D　
【解析】因?yàn)椋?br/>，所以，故選Ｄ．
6. 【答案】A
【解析】在第一象限內(nèi)，，從順時(shí)針?lè)较蚩磮D象，逐漸增大，；在第四象限內(nèi)，，從順時(shí)針?lè)较蚩磮D象，逐漸增大，；所以相應(yīng)于C1，C2，C3，C4的a值依次為.選A.
7. 【答案】A　
【解析】因?yàn)椋?，故選A。
8. 【答案】A　
【解析】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是由內(nèi)函數(shù)、外函數(shù)的單調(diào)性決定的，兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同，復(fù)合函數(shù)單調(diào)增；內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相反，復(fù)合函數(shù)單調(diào)減。
9．【答案】
【解析】函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)，函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)（-1,3）。
10．【答案】
【解析】 ，。又在（0,1）內(nèi)遞增且函數(shù)值小于0，。
11．【答案】1
【解析】由得，。
12. 【答案】奇
【解析】為奇函數(shù).
13. 【答案】奇函數(shù) 增函數(shù)
【解析】(1)，
∴是奇函數(shù)
(2)，且，
則，
∴為增函數(shù).
14. 【答案】（1）2 （2）
【解析】（1）函數(shù)的反函數(shù)，
由題意可得，。
（2）由題意可知，解得，則的定義域?yàn)椤?br/>=。
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。
。
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得最大值。
15．【解析】（1）由 得-1設(shè)-1 　　 ，
又因?yàn)?1-x1)(1+x2)-(1-x2)(1+x1)
=(1-x1+x2-x1x2)-(1+x1-x2-x1x2)=2(x2-x1)>0，
(1-x1)(1+x2)>0， (1+x1)(1-x2)>0，
所以
所以，又易知，
∴ f(x1)-f(x2)>0 ， 即f(x1)>f(x2). 故f(x)在(-1，1)上是減函數(shù).
（2）因?yàn)椋裕?即f-1(x)=0有一個(gè)根.
假設(shè)f-1(x)=0還有一個(gè)根，則f-1(x0)=0，
即，這與f(x)在(-1，1)內(nèi)單調(diào)遞減相矛盾.
故是方程f-1(x)=0的唯一解.
3)因?yàn)椋?
又f(x)在(-1，1)上單調(diào)遞減，所以.
解得.




對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類(lèi)很重要的函數(shù)模型；
2.探索對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)進(jìn)行同底對(duì)數(shù)和不同底對(duì)數(shù)大小的比較；
3．了解反函數(shù)的概念，知道指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)．
【要點(diǎn)梳理】
要點(diǎn)一、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念
1．函數(shù)y=logax(a>0，a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù).其中是自變量，函數(shù)的定義域是，值域?yàn)椋?br/>2．判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)是形如的形式，即必須滿(mǎn)足以下條件：
（1）系數(shù)為1；
（2）底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)；
（3）對(duì)數(shù)的真數(shù)僅有自變量．
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?br/>（1）只有形如y=logax(a>0，a≠1)的函數(shù)才叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，像等函數(shù)，它們是由對(duì)數(shù)函數(shù)變化得到的，都不是對(duì)數(shù)函數(shù)。
（2）求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域時(shí)應(yīng)注意：①對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)要求大于零，底數(shù)大于零且不等于1；②對(duì)含有字母的式子要注意分類(lèi)討論。
要點(diǎn)二、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
a＞0 0＜a＜1
圖象
性質(zhì) 定義域：（0，+∞）
值域：R
過(guò)定點(diǎn)（1，0），即x=1時(shí)，y=0
在（0，+∞）上增函數(shù) 在（0，+∞）上是減函數(shù)
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0， 當(dāng)x≥1時(shí)，y≥0 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＞0， 當(dāng)x≥1時(shí)，y≤0

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?br/>關(guān)于對(duì)數(shù)式logaN的符號(hào)問(wèn)題，既受a的制約又受N的制約，兩種因素交織在一起，應(yīng)用時(shí)經(jīng)常出錯(cuò).下面介紹一種簡(jiǎn)單記憶方法，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.
以1為分界點(diǎn)，當(dāng)a，N同側(cè)時(shí)，logaN>0；當(dāng)a，N異側(cè)時(shí)，logaN<0.
要點(diǎn)三、底數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的影響
1．底數(shù)制約著圖象的升降．
如圖

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?br/>由于底數(shù)的取值范圍制約著對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的升降（即函數(shù)的單調(diào)性），因此在解與對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，必須考慮底數(shù)是大于1還是小于1，不要忽略．
2．底數(shù)變化與圖象變化的規(guī)律
在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)a>1時(shí)，隨a的增大，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像愈靠近x軸；當(dāng)0
要點(diǎn)四、反函數(shù)
1．反函數(shù)的定義
設(shè)分別為函數(shù)的定義域和值域，如果由函數(shù)所解得的也是一個(gè)函數(shù)（即對(duì)任意的一個(gè)，都有唯一的與之對(duì)應(yīng)），那么就稱(chēng)函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，記作，在中，是自變量，是的函數(shù)，習(xí)慣上改寫(xiě)成（）的形式．函數(shù)（）與函數(shù)（）為同一函數(shù)，因?yàn)樽宰兞康娜≈捣秶炊x域都是B，對(duì)應(yīng)法則都為．
由定義可以看出，函數(shù)的定義域A正好是它的反函數(shù)的值域；函數(shù)的值域B正好是它的反函數(shù)的定義域．
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?
并不是每個(gè)函數(shù)都有反函數(shù)，有些函數(shù)沒(méi)有反函數(shù)，如．一般說(shuō)來(lái)，單調(diào)函數(shù)有反函數(shù)．
2．反函數(shù)的性質(zhì)
（1）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．
（2）若函數(shù)圖象上有一點(diǎn)，則必在其反函數(shù)圖象上，反之，若在反函數(shù)圖象上，則必在原函數(shù)圖象上．
【典型例題】
類(lèi)型一、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念
例1.下列函數(shù)中，哪些是對(duì)數(shù)函數(shù)？
（1）；
（2）
（3）；
（4）；
（5）．
【答案】（5）
【解析】（1）中真數(shù)不是自變量，不是對(duì)數(shù)函數(shù)．
（2）中對(duì)數(shù)式后加2，所以不是對(duì)數(shù)函數(shù)．
（3）中真數(shù)為，不是，系數(shù)不為1，故不是對(duì)數(shù)函數(shù)．
（4）中底數(shù)是自變量，二非常數(shù)，所以不是對(duì)數(shù)函數(shù)．
（5）中底數(shù)是6，真數(shù)為，符合對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，故是對(duì)數(shù)函數(shù)．
【總結(jié)升華】已知所給函數(shù)中有些形似對(duì)數(shù)函數(shù)，解答本題需根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義尋找滿(mǎn)足的條件．
類(lèi)型二、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域
求含有對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域，其方法與一般函數(shù)的定義域、值域的求法類(lèi)似，但要注意對(duì)數(shù)函數(shù)本身的性質(zhì)（如定義域、值域及單調(diào)性）在解題中的重要作用.
例2. 求下列函數(shù)的定義域：
(1)； (2).
【答案】（1）；（2）．
【解析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義知：，，解出不等式就可求出定義域.
(1)因?yàn)椋矗院瘮?shù)；
(2)因?yàn)椋矗院瘮?shù).
【總結(jié)升華】與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域：求定義域時(shí)，要考慮到真數(shù)大于0，底數(shù)大于0，且不等于1．若底數(shù)和真數(shù)中都含有變量，或式子中含有分式、根式等，在解答問(wèn)題時(shí)需要保證各個(gè)方面都有意義．一般地，判斷類(lèi)似于的定義域時(shí)，應(yīng)首先保證．
舉一反三：
【變式1】求下列函數(shù)的定義域.
(1) (2).
【答案】（1）(1，)(，2)；（2）．
【解析】(1)因?yàn)椋? 所以，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?1，)(，2).
（2）由得
故所求定義域?yàn)椋?br/>類(lèi)型三、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用
利用函數(shù)的單調(diào)性可以：①比較大小；②解不等式；③判斷單調(diào)性；④求單調(diào)區(qū)間；⑤求值域和最值.要求同學(xué)們：一是牢固掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；二是理解和掌握復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律；三是樹(shù)立定義域優(yōu)先的觀念.
例3. 比較下列各組數(shù)中的兩個(gè)值大小：
(1)；
(2)；
(3)與；
(4) 與．
(5)（）．
【思路點(diǎn)撥】利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小。
【答案】(1)< ；(2) <；(3) >；(4) >；(5) 略．
【解析】由數(shù)形結(jié)合的方法或利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)完成.
(1)解法1：畫(huà)出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，橫坐標(biāo)為3.6的點(diǎn)在橫坐標(biāo)為8.9的點(diǎn)的下方，所以，；
解法2：由函數(shù)在R+上是單調(diào)增函數(shù)，且3.6<8.9，所以；
(2)與第(1)小題類(lèi)似，在R+上是單調(diào)減函數(shù)，且1.9<3.5，所以；
(3)函數(shù)和的圖象如圖所示．當(dāng)時(shí)，的圖象在的圖象上方，這里，．
(4)

(5) 注：底數(shù)是常數(shù)，但要分類(lèi)討論a的范圍，再由函數(shù)單調(diào)性判斷大小.
解法1：當(dāng)時(shí)，在(0，+∞)上是增函數(shù)，且5.1<5.9，所以，
當(dāng)時(shí)，y=logax在(0，+∞)上是減函數(shù)，且4.2<4.8，所以，
解法2：轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小，
令，則，令，則
當(dāng)時(shí)，在R上是增函數(shù)，且4.2<4.8，
所以，b1當(dāng)時(shí)，在R上是減函數(shù)，且4.2<4.8
所以，b1>b2，即.
【總結(jié)升華】比較兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小的基本方法是：
（1）比較同底的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小，常利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．
（2）比較同真數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小，常有兩種方法：①先利用對(duì)數(shù)換底公式化為同底的對(duì)數(shù)，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和倒數(shù)關(guān)系比較大小；②利用對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的互相位置關(guān)系比較大小．
（3）若底數(shù)與真數(shù)都不同，則通過(guò)一個(gè)恰當(dāng)?shù)闹虚g量來(lái)比較大小．
【高清課堂：對(duì)數(shù)函數(shù)369070 例1】
例4．利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較、、的大小．
【答案】
【解析】，，，只需比較與的大小即可



【總結(jié)升華】本題也可以使用一個(gè)常用的結(jié)論：類(lèi)似于的一個(gè)結(jié)論，，得出三個(gè)數(shù)的大小．
舉一反三：
【變式1】 已知?jiǎng)t（ ）
A． B． C． D．
【答案】 C
【解析】另，，，在同一坐標(biāo)系下作出三個(gè)函數(shù)圖像，由圖像可得

又∵為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴
故選C.
例5．求函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間.
【思路點(diǎn)撥】先解不等式，保證原式有意義，然后再在定義域范圍內(nèi)求內(nèi)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性就是內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”來(lái)求解．
【答案】[-1，+∞；增區(qū)間為；減區(qū)間為．
【解析】設(shè)，則.∵ y=為減函數(shù)，且，
∴ ，即函數(shù)的值域?yàn)閇-1，+∞.再由：函數(shù)的定義域?yàn)椋?
∴ 在上遞增而在上遞減，而y=為減函數(shù).
∴ 函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.
【總結(jié)升華】對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)一般可分為兩類(lèi)：一類(lèi)是對(duì)數(shù)函數(shù)為外函數(shù)，即型；另一類(lèi)是內(nèi)函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，即型．對(duì)于型的函數(shù)的單調(diào)性，有以下結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)相同，當(dāng)時(shí)相反．
研究型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一般用復(fù)合法來(lái)判定即可．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性就是內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”．
研究對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一定要注意先研究函數(shù)的定義域，也就是要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”的原則．
舉一反三：
【變式1】求函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間．
【答案】；減區(qū)間為，增區(qū)間為．
【解析】設(shè)，則，∵ y=為增函數(shù)，
的值域?yàn)椋?br/>再由：的定義域?yàn)?br/>在上是遞增而在上遞減，而為增函數(shù)
∴ 函數(shù)y=的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
類(lèi)型四、函數(shù)的奇偶性
例6. 判斷下列函數(shù)的奇偶性.
(1) (2).
【思路點(diǎn)撥】判斷函數(shù)奇偶性的步驟是：（1）先求函數(shù)的定義域，如果定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則進(jìn)行（2），如果定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)。（2）求，如果，則函數(shù)是偶函數(shù)，如果，則函數(shù)是奇函數(shù)。
【答案】（1）奇函數(shù)；（2）奇函數(shù)．
【解析】首先要注意定義域的考查，然后嚴(yán)格按照證明奇偶性基本步驟進(jìn)行.
(1)由
所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?-2，2)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
又
所以函數(shù)是奇函數(shù)；
【總結(jié)升華】此題確定定義域即解簡(jiǎn)單分式不等式，函數(shù)解析式恒等變形需利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).說(shuō)明判斷對(duì)數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)的奇偶性，不能輕易直接下結(jié)論，而應(yīng)注意對(duì)數(shù)式的恒等變形.
(2)由
所以函數(shù)的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
又
即f(-x)=-f(x)；所以函數(shù).
【總結(jié)升華】此題定義域的確定可能稍有困難，函數(shù)解析式的變形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.
類(lèi)型五、反函數(shù)
例7．求出下列函數(shù)的反函數(shù)
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）對(duì)數(shù)函數(shù)，它的底數(shù)為，所以它的反函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；
（2）指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)。
【總結(jié)升華】
反函數(shù)的定義域都由原函數(shù)的值域來(lái)確定的，特別是當(dāng)反函數(shù)的定義域與由反函數(shù)解析式有意義所確定的自變量的取值范圍不一致時(shí)，一定要注明反函數(shù)的定義域．
舉一反三：
【高清課堂：對(duì)數(shù)函數(shù)369070 例5】
【變式1】 若函數(shù)是函數(shù)且a≠1)的反函數(shù)，且，則（ ）
(A) (B) (C) (D)2
【答案】 A
【解析】解法1：函數(shù)是函數(shù)且a≠1)的反函數(shù)
，又
，，
故選A．
解法2：函數(shù)是函數(shù)且a≠1)的反函數(shù)，且
點(diǎn)（1，2）在函數(shù)的圖象上，
故選A．
類(lèi)型六、利用函數(shù)圖象解不等式
例8．若不等式，當(dāng)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【思路點(diǎn)撥】畫(huà)出函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象，然后借助圖象去求借。
【答案】
【解析】 要使不等式在時(shí)恒成立，即函數(shù)的圖在內(nèi)恒在函數(shù)圖象的上方，而圖象過(guò)點(diǎn)．由右圖可知，，顯然這里0＜a＜1，∴函數(shù)遞減．又，∴，即．∴所求的a的取值范圍為．
【總結(jié)升華】“數(shù)”是數(shù)學(xué)的特征，它精確、量化，最有說(shuō)服力；而“形”則形象、直觀，能簡(jiǎn)化思維過(guò)程，降低題目的難度，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，把它們的優(yōu)點(diǎn)集中在一起就是最佳組合．本例中，利用圖形的形象直觀快速地得到答案，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程．正因?yàn)槿绱耍瑪?shù)形結(jié)合成為中學(xué)數(shù)學(xué)的四個(gè)最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一，因此我們必須熟練地掌握這一思想方法，并能靈活地運(yùn)用它來(lái)分析和解決問(wèn)題．
在涉及方程與不等式的問(wèn)題時(shí)，往往構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)與，則=的實(shí)數(shù)解等價(jià)于兩個(gè)函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；而的的解等價(jià)于函數(shù)的圖象在的圖象下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．利用圖象的形象性、直觀性，可使問(wèn)題得到順利地解決，而且分散了問(wèn)題解決的難度、簡(jiǎn)化了思維過(guò)程．因此，我們要善于用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解決方程與不等式的問(wèn)題．
舉一反三：
【變式1】 當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，不等式恒成立，求a的取值范圍．
【答案】1＜a≤2
【解析】設(shè)，，要使當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，不等式恒成立，只需在（1，2）上的圖象在的下方即可．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由圖象知顯然不成立．當(dāng)a＞1時(shí)，如圖2-2-5所示，要使在（1，2）上，的圖象在的下方，
只需，
即，，∴1＜a≤2．
類(lèi)型七、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
例9．（1）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍；
（2）已知函數(shù)的值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍；
（3）的定義域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍．
【思路點(diǎn)撥】與求函數(shù)定義域、值域的常規(guī)問(wèn)題相比，本題屬非常規(guī)問(wèn)題，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化成常規(guī)問(wèn)題.的定義域?yàn)镽，即關(guān)于的不等式的解集為R，這是不等式中的常規(guī)問(wèn)題.
的值域?yàn)镽與恒為正值是不等價(jià)的，因?yàn)檫@里要求取遍一切實(shí)數(shù)，即要求取遍一切正數(shù)，考察此函數(shù)的圖象的各種情況，如圖，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，使能取遍一切正數(shù)的條件是.
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】與求函數(shù)定義域、值域的常規(guī)問(wèn)題相比，本題屬非常規(guī)問(wèn)題，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化成常規(guī)問(wèn)題.的定義域?yàn)镽，即關(guān)于的不等式的解集為R，這是不等式中的常規(guī)問(wèn)題.
的值域?yàn)镽與恒為正值是不等價(jià)的，因?yàn)檫@里要求取遍一切實(shí)數(shù)，即要求取遍一切正數(shù)，考察此函數(shù)的圖象的各種情況，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，使能取遍一切正數(shù)的條件是.
（1）的定義域?yàn)镽，
恒成立，，．
（2）的值域?yàn)镽，
取遍一切正數(shù)，，．
（3）由題意，問(wèn)題可等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式的解集為，記作圖形，如圖所示，只需過(guò)點(diǎn)，，即滿(mǎn)足，且即可，解得．
【總結(jié)升華】如果函數(shù)的定義域?yàn)槟硞€(gè)區(qū)間D，則函數(shù)在這個(gè)區(qū)間D的任何子集內(nèi)部都有意義；如果函數(shù)在區(qū)間E上有意義，而的定義域?yàn)镈，則必有．
舉一反三：
【變式1】 已知函數(shù).
(1)若函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）a>1；（2）0≤a≤1．
【解析】(1) 的定義域?yàn)镽，即：關(guān)于x的不等式的解集為R，
當(dāng)a=0時(shí)，此不等式變?yōu)?x+1>0，其解集不是R；
當(dāng)a≠0時(shí)，有 a>1.∴ a的取值范圍為a>1.
(2)f(x)的值域?yàn)镽，即u=ax2+2x+1能取遍一切正數(shù) a=0或0≤a≤1，
∴ a的取值范圍為0≤a≤1.

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