資源簡介

【鞏固練習】
1．已知集合則集合等于（ ）
A． B． C． D．
2．若集合，，且，則的值為（ ）
A． B． C．或 D．或或
3．若集合，則有（ ）
A． B． C． D．
4．若全集，則集合的真子集共有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個

5．表示圖形中的陰影部分( )

A．
B．
C．
D．
6. 已知全集U=A∪B中有m個元素，中有n個元素。若A∩B非空，則A∩B的元素個數為（ ）
A．mn B．m+n C．n―m D．m―n
7．已知集合若∩B的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
8．設S是整數集Z的非空子集，如果，有，則稱S關于數的乘法是封閉的．若T,V是Z的兩個不相交的非空子集，，且，有有，則下列結論恒成立的是
A．中至少有一個關于乘法是封閉的
B．中至多有一個關于乘法是封閉的
C．中有且只有一個關于乘法是封閉的
D．中每一個關于乘法都是封閉的
9．設,則。
10．50名學生參加甲、乙兩項體育活動，每人至少參加了一項，參加甲項的學生有30名，參加乙項的學生有25名，則僅參加了一項活動的學生人數為 。
11．若且，則 。
12．已知集合至多有一個元素，則的取值范圍 ；
若至少有一個元素，則的取值范圍 。
13．設，集合，；
若，求的值。
14．設，其中，同時滿足①；②。求的值。
15．設集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}.
(1)若A∩B＝{2}，求實數a的值；
(2)若A∪B＝A，求實數a的取值范圍.

【答案與解析】
1. 【答案】 A
2. 【答案】 D
【解析】當時，滿足，即；當時，
而，∴；∴；
3. 【答案】 A
【解析】，；
4. 【答案】C
【解析】，真子集有。
5. 【答案】A
6．【答案】D
【解析】 ∵中有n個元素，如下圖所示陰影部分，又∵U=A∪B中有m個元素，故A∩B中有（m－n）個元素。


7．【答案】A
【解析】利用數軸去解
8．【答案】A
【解析】若按照整數集的范圍考慮，則不妨令T＝N，V為負整數集，滿足題意，但x，y∈V時，，排除D；若從整數特征考慮，令T為偶數集，V為奇數集，均關于數的乘法是封閉的，排除B、C，故選A。

9. 【答案】
【解析】
10. 【答案】 45
【解析】 畫出Venn圖如下圖所示。

11. 【答案】
【解析】由，則，且。
12. 【答案】，
【解析】當中僅有一個元素時，，或；
當中有個元素時，；
當中有兩個元素時，；
13. 【解析】，由，
當時，，符合；
當時，，而，∴，即
∴或。
14．【解析】，所以兩個方程至少有一個共同解且—2是方程前者的解，
設兩方程的共同解為，
15．【解析】由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，
故集合A＝{1,2}.
(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，
得a2＋4a＋3＝0?a＝－1或a＝－3；
當a＝－1時，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，滿足條件；
當a＝－3時，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，滿足條件；
綜上，a的值為－1或－3；
(2)對于集合B，
Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3).
∵A∪B＝A，∴B?A，
①當Δ<0，即a<－3時，B＝?滿足條件；
②當Δ＝0，即a＝－3時，B＝{2}，滿足條件；
③當Δ>0，即a>－3時，B＝A＝{1,2}才能滿足條件，
則由根與系數的關系得
矛盾；
綜上，a的取值范圍是a≤－3.



C

B

A





《集合》全章復習鞏固

【學習目標】
1．理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；
2．理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；
3．理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；
4．能使用Venn圖表達集合的關系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.
【知識網絡】

【要點梳理】
要點一：集合的基本概念
1．集合的概念
一般地，我們把研究對象統稱為元素，如1～10內的所有質數，包括2，3，5，7，則3是我們所要研究的對象，它是其中的一個元素，把一些元素組成的總體叫做集合，如上述2，3，5，7就組成了一個集合。
2．元素與集合的關系
（1）屬于： 如果是集合A的元素，就說屬于A，記作∈A。要注意“∈”的方向，不能把∈A顛倒過來寫.
（2）不屬于：如果不是集合A的元素，就說不屬于集合A，記作。
3．集合中元素的特征
（1）確定性：集合中的元素必須是確定的。任何一個對象都能明確判斷出它是否為某個集合的元素；
（2）互異性：集合中的任意兩個元素都是不同的，也就是同一個元素在集合中不能重復出現。
（3）無序性：集合與組成它的元素的順序無關。如集合{1，2，3}與{3，1，2}是同一個集合。
4．集合的分類
集合可根據它含有的元素個數的多少分為兩類：
有限集：含有有限個元素的集合。
無限集：含有無限個元素的集合。
要點詮釋：
把不含有任何元素的集合叫做空集，記作，空集歸入有限集。
要點二：集合間的關系
1．子集：對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，記作AB，對于任何集合A規定。
兩個集合A與B之間的關系如下：

其中記號（或）表示集合A不包含于集合B（或集合B不包含集合A）。
2．子集具有以下性質：
（1）AA，即任何一個集合都這是它本身的子集。
（2）如果，，那么A=B。
（3）如果，，那么。
（4）如果，，那么。
3．包含的定義也可以表述成：如果由任一x∈A，可以推出x∈B，那么（或）。
不包含的定義也可以表述成：兩個集合A與B，如果集合A中存在至少一個元素不是集合B的元素，那么（或）。
4．有限集合的子集個數：
（1）n個元素的集合有2n個子集。
（2）n個元素的集合有2n－1個真子集。
（3）n個元素的集合有2n－1個非空子集。
（4）n個元素的集合有2n－2個非空真子集。
要點詮釋：
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．換言之，任何集合至少有一個子集．
要點三：集合的基本運算
1．用定義求兩個集合的交集與并集時，要注意“或”“且”的意義，“或”是兩個皆可的意思，“且”是兩者都有的意思，在使用時不要混淆。
2．用維恩圖表示交集與并集。
已知集合A與B，用陰影部分表示A∩B，A∪B，如下圖所示。

3．關于交集、并集的有關性質及結論歸結如下：
（1）A∩A=A，A∩=，A∩B=(B∩A)A（或B）；
A∪A=A，A∪=A，A∪B=(B∪A)A（或B）。
（2）；。
（3）德摩根定律：；。；
（4）；。
4．全集與補集
（1）它們是相互依存不可分離的兩個概念。把我們所研究的各個集合的全部元素看成是一個集合，則稱之為全集。而補集則是在時，由所有不屬于A但屬于U的元素組成的集合，記作。數學表達式：若，則U中子集A的補集為。
（2）補集與全集的性質
①
②，。
③，。
5．空集的性質
空集的特殊屬性，即空集雖空，但空有所用。對任意集合A，有，；；；。
【典型例題】
類型一：集合的含義與表示
例1．選擇恰當的方法表示下列集合。
（1）“mathematics”中字母構成的集合；
（2）不等式的解集；
（3）函數的自變量的取值范圍。
【思路點撥】集合的表示有兩種形式，我們必須了解每種方法的特點，選擇最佳的表達形式。
【解析】（1）；
（2）或
（3）或
【總結升華】正確選擇、運用列舉法或描述法表示集合，關鍵是確定集合中的元素。然后根據元素的數量和特性來選用恰當的表示形式。
舉一反三：
【變式1】將集合表示成列舉法，正確的是（ ）
A.{2，3} 　 B.{（2，3）} 　 C.{x=2，y=3} 　 D.（2，3）
【答案】B
【變式2】已知集合?∣為實數，且，為實數，且，則的元素個數為 （ ）
Ａ．0　　　　Ｂ．1　　　　Ｃ．2　　　　　Ｄ．3
【答案】Ｃ
例2．若含有三個元素的集合可表示為，也可以表示為，求的值。
【思路點撥】由集合中元素的確定性和互異性可解得。
【答案】
【解析】
由，可得且，
則有或解得或（舍去）
故
【總結升華】利用集合中元素特性來解題，既要用元素的確定性，又要利用互異性檢驗解的正確與否，初學者在解題時容易忽視元素的互異性。必須在學習中高度重視。另外，本類問題往往涉及分類討論的數學思想。
舉一反三：
【變式1】若。求實數的值。
【答案】
【解析】
由，可知或或，且。
（1）若，則，此時，
與集合中元素的互異性相矛盾，故舍去。
（2）若，則，此時，符合集合的特性。
（3）若，則方程無解。
綜上可得的值為。
例3．已知集合
（1）若A是空集，求的取值范圍。
（2）若A中只有一個元素，求的值。
（3）若A中至多只有一個元素，求的取值范圍。
【答案】（1） （2）0， （3）或者m=0
【解析】
（1）當時，，A不為空集，則不滿足題意。
當m≠0時，若A為空集，則一元二次方程實數范圍內無解，
即,。
綜上若A為空集，則。
（2）由集合中只含有一個元素可得，方程有一解，由于本方程并沒有注明是一個二次方程，故也可以是一次方程，應分類討論：
當時，可得是一次方程，故滿足題意.
當m≠0時，則為一元二次方程，所以有一根的含義是該方程有兩個相等的實根，即判別式為0時的值，可求得為.故的取值為0，.
（3）∵A中元素至多只有一個 ，∴有以下兩種情況存在：
集合A是空集；集合A是只有一個元素．
綜合(1)(2)知,若A中元素至多只有一個, 或者m=0.
【總結升華】 集合A是方程mx2-2x+3=0在實數范圍內的解集，所以本題實際上是討論方程mx2-2x+3=0解的個數問題。
類型二：集合的基本關系
例4．設集合A={x｜1≤x≤3}，B={x｜x－a≥0}，或AB，則a的取值范圍是________。
【思路點撥】 此題考查判斷兩個集合的包含關系。由于題中所給集合為含不等式的描述法形式，可以借助數軸進行直觀的分析。
【解析】AB={x｜x≥a}，利用數軸作圖如下：

由此可知：a≤1。
【總結升華】 要確定一個集合的方法之一是：明確集合中元素的范圍及其滿足的性質，借助Venn圖來分析，直觀性強。集合是由元素構成的，要確定一個集合的方法之二是：把集合中的元素一一找出來，用列舉法表示。要確定一個集合的方法之三是：明確集合中元素的范圍及其滿足的性質。用特征性質描述法表示的集合，可借助數軸來分析，直觀性強。
舉一反三：
【變式1】 已知集合A={x｜x≥1或x＜－1}，B={x｜2a＜x＜a+1}，若BA，求a的取值范圍。
【解析】
（1）當B是空集，需要2a≥a+1，得到a≥1
（2）當B不是空集且B的上限小于等于-1，即a＜1且a+1≤-1，得到a≤-2
（3）當B不是空集且B的下限大于等于1，即a＜1且2a≥1，得到1/2≤a＜1
綜上，a≤-2或a≥1/2
【變式2】若集合B={1，2，3，4，5}，C={小于10的正奇數}，且集合A滿足AB，AC，則集合A的個數是________。
【思路點撥】 由題設，C={1，3，5，7，9}。因為AB，AC，可用Venn圖發現集合B與C的公共元素為1，3，5，則集合A可能含有1，3，5三個數中的0個，1個，2個，或3個。故集合A的個數即為{1，3，5}的子集的個數。
【解析】由已知作Venn圖

{1，3，5}的子集中含0個元素的有1個：；
{1，3，5}的子集中含1個元素的有3個：{1}，{3}，{5}；
{1，3，5}的子集中含2個元素的有3個：{1，3}，{1，5}，{3，5}；
{1，3，5}的子集中含3個元素的有1個：{1，3，5}。
由上述分析知集合A的個數為{1，3，5}的子集的個數：1+3+3+1=8個。
例5．設集合,若，求實數的范圍。
【答案】或
【解析】

，或
當時，即，則是方程的兩根，代入解得
當時，分兩種情況：
（1）若，則，解得。
（2）若，則方程有兩個相等的實數根。
，解得，此時，滿足條件。
綜上可知，所求實數的范圍為或。
【總結升華】要解決此題，應明確的具體含義：一是，二是。而時還應考慮能否是的情況，因此解題過程中必須分類討論，另外還要熟練掌握一元二次方程根的討論問題。

類型三：集合的基本運算
例6．已知全集U=R，集合M={x|－2≤x－1≤2}和N={x|x=2k－1，k=1，2，…}的關系的韋恩（Venn）圖如下圖所示，則陰影部分所示的集合的元素區有（ ）

A．3個 B．2個 C．1個 D．無窮多個
【答案】B
【解析】 ∵陰影部分為M∩N={x|－2≤x－1≤2}∩{x|x=2k―1，k=1，2，…}={x|―1≤x≤3}∩{x|x=2k－1，k=1，2，…}={1，3}，∴陰影部分所示的集合的元素區有2個，故選B項．
【總結升華】具體集合（給出或可以求得元素的集合）的交、并、補運算，以及集合間關系的判定、子集的個數問題是每年高考重點考查的對象，因而也是高考命題的熱點．
舉一反三：
【變式1】已知全集U=R，則正確表示集合M=｛—1，0，1｝和N=｛x關系的韋恩圖是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【高清課堂：集合與函數性質綜合377492例4】
【變式2】設全集為，，，
求及．
【答案】=；=.
例7．若集合A={x｜x2―ax+a2―19=0}，B={2，3}，C={2，―4}，滿足A∩B，且A∩C=，則實數a的值是________。
【思路點撥】 由題設，A∩B且A∩C=知，2，3與集合A的關系，再進行解答。
【解析】 由已知：3∈A，2A，則32―3a+a2―19=0，即a=5或a=―2。
當a=5時，A={2，3}，與題意矛盾；
當a=―2時，A={―5，3}，符合題意。
由上述分析知a=―2。
【總結升華】 集合是由元素構成的，要確定一個集合首先明確集合中元素的范圍及其滿足的性質，再把集合中的元素一一找出來。
例8．設集合A={x｜a―4＜x＜a+4}，B={x｜x＜－1或x＞5}，若A∪B=R，則a的取值范圍是________。
【思路點撥】 此題考查兩個集合并集的運算。由于題中所給集合為含不等式的描述法形式，可以借助數軸進行直觀的分析。
【解析】 A∪B=R，利用數軸作圖如下：

因此可知：。 即 {a｜1＜a＜3}。
【總結升華】 明確集合中元素的范圍及其滿足的性質，用特征性質描述法表示的集合可借助數軸來分析，直觀性強。
舉一反三：
【變式1】 已知集合A={x｜－2≤x≤5}，B={x｜k+1≤x≤2k－1}，若A∩B=，求實數k的取值范圍。
【解析】
A∩B=，
當時，2k－1當時，k+1>5或2k－1<－2 ，即k>4或
綜上知。
例9．設集合A={x｜1＜x＜5}，B={x｜x＜a或x≥a+2}，若，則a的取值范圍是________。
【思路點撥】 此題考查兩個集合交集、補集的運算，由于題中所給集合為含不等式的描述法形式，可以借助數軸進行直觀的分析。
【解析】 ，先求出，利用數軸作圖如下，有兩種情況：
①

②

則a≥5，即{a｜a≤－1或a≥5}。
【總結升華】 用特征性質描述表示的集合可借助數軸來分析，直觀性強，但在求補集以及其他運算時要注意端點處“=”的取舍。
舉一反三：
【變式1】 已知集合A={x｜－2≤x＜7}，，若A∪B=R，求實數k的取值范圍。
【解析】在數軸上畫出集合A


要使A∪B=R，即且
解得。

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