資源簡介

【鞏固練習】
1．1. 設(shè)A={(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0}，B={-1, 2}，則必有（ ）
　　A、 B、 C、A=B D、A∩B=
2. 集合M={y| y=x2-1, x∈R}， N={x| y=}，則M∩N等于（ ）
　 A、{(-, 1), (, 1)} B、
　 C、 D、
3．已知全集，則正確表示集合和關(guān)系的韋恩（Venn）圖是 （ ）

4．已知集合滿足,那么下列各式中一定成立的是（ ）
A． AB B． BA C． D．
5．若集合，，且，則的值為( )
A．1 B．-1 C．1或-1 D．1或-1或0
6．設(shè)集合，，則( )
A． B． C． D．
7．設(shè)，則.
8．某班有學生55人，其中體育愛好者43人，音樂愛好者34人，還有4人既不愛好體育也不愛好音樂，則該班既愛好體育又愛好音樂的人數(shù)為 人.
9．若且，則 .
10．若，則= .
11．設(shè)全集，集合，，那么等于________________.
12．設(shè)集合，都是的含兩個元素的子集，且滿足：對任意的，（），都有（表示兩個數(shù)中的較小者）則的最大值是 .
13．設(shè)，其中，如果，求實數(shù)的取值范圍.
14．設(shè)，集合，；若，求的值.
15．設(shè)，集合.滿足以下兩個條件：
（1）
（2）集合中的所有元素的和為124，其中.
求的值.
【答案與解析】
1.【答案】D
【解析】.學生易錯選C。錯因是未正確理解集合概念，誤以為A={-1，2}，
其實{(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0}={(-1, 2)}，A是點集而B是數(shù)集，故正確答案應選D。
2.【答案】C
【解析】 集合M中的元素是y，它表示函數(shù)y=x2-1的值域，
集合N中的元素是x，它表示函數(shù)y=的定義域。
由M={y| y≥-1}，N={x| -≤x≤}，知M∩N={t| -1≤t≤}，因此選C。
3．【答案】B
【解析】由，得，則,選B．
4．【答案】C
【解析】
5.【答案】D
【解析】當時，滿足，即；當時，
而，∴；∴.
6.【答案】 B
【解析】 ；，整數(shù)的范圍大于奇數(shù)的范圍.
7.【答案】
【解析】.
8.【答案】26
【解析】全班分類人：設(shè)既愛好體育又愛好音樂的人數(shù)為人；僅愛好體育的人數(shù)為()人；僅愛好音樂的人數(shù)為()人；既不愛好體育又不愛好音樂的人數(shù)為人 .∴，∴.
9.【答案】
【解析】由，則，且.
10.【答案】
【解析】，.
11.【答案】
【解析】，代表在直線上，但是挖掉的點，代表直線外，但是包含點的點；
代表直線外的點，代表直線上的點，∴.
12.【答案】11
【解析】含2個元素的子集有15個，但、、只能取1個；、只能取1個；、只能取1個，故滿足條件的兩個元素的集合有11個.
13.【答案】
【解析】由，而，
當，即時，，符合；
當，即時，，符合；
當，即時，中有兩個元素，而；
∴得
∴.
14.【答案】 或
【解析】，由，
當時，，符合；
當時，，而，∴，即
∴或.
15.【答案】
【解析】由得是完全平方數(shù)，又，
.，由可得，由可得.
設(shè)中另一元素為，
則.
又中所有元素之和為124，所以解得或（舍），
.








集合的基本關(guān)系及運算

【學習目標】
1.理解集合之間包含與相等的含義，能識別一些給定集合的子集．在具體情境中，了解空集和全集的含義．
2.理解兩個集合的交集和并集的含義，會求兩個簡單集合的交集與并集．理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集．
【要點梳理】
要點一、集合之間的關(guān)系
1.集合與集合之間的“包含”關(guān)系
集合A是集合B的部分元素構(gòu)成的集合，我們說集合B包含集合A；
子集：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集(subset).記作：，當集合A不包含于集合B時，記作AB，用Venn圖表示兩個集合間的“包含”關(guān)系：

要點詮釋：
（1）“是的子集”的含義是：的任何一個元素都是的元素，即由任意的，能推出．
（2）當不是的子集時，我們記作“(或)”，讀作：“不包含于”（或“不包含”）．
真子集：若集合，存在元素xB且，則稱集合A是集合B的真子集(proper subset).記作：AB(或BA)
規(guī)定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
2.集合與集合之間的“相等”關(guān)系
，則A與B中的元素是一樣的，因此A=B
要點詮釋：
任何一個集合是它本身的子集，記作．
要點二、集合的運算
1.并集
一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：A∪B讀作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}
Venn圖表示：

要點詮釋：
（1）“xA，或xB”包含三種情況：“”；“”；“”．
（2）兩個集合求并集，結(jié)果還是一個集合，是由集合A與B的所有元素組成的集合(重復元素只出現(xiàn)一次).
2.交集
一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集；記作：A∩B，讀作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn圖表示：

要點詮釋：
（1）并不是任何兩個集合都有公共元素，當集合A與B沒有公共元素時，不能說A與B沒有交集，而是．
（2）概念中的“所有”兩字的含義是，不僅“A∩B中的任意元素都是A與B的公共元素”，同時“A與B的公共元素都屬于A∩B”．
（3）兩個集合求交集，結(jié)果還是一個集合，是由集合A與B的所有公共元素組成的集合.
3.補集
全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U.
補集：對于全集U的一個子集A，由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集(complementary set)，簡稱為集合A的補集，記作：補集的Venn圖表示：

要點詮釋：
（1）理解補集概念時，應注意補集是對給定的集合和相對而言的一個概念，一個確定的集合，對于不同的集合U，補集不同．
（2）全集是相對于研究的問題而言的，如我們只在整數(shù)范圍內(nèi)研究問題，則為全集；而當問題擴展到實數(shù)集時，則為全集，這時就不是全集．
（3）表示U為全集時的補集，如果全集換成其他集合（如）時，則記號中“U”也必須換成相應的集合（即）．
4.集合基本運算的一些結(jié)論



若A∩B=A，則，反之也成立
若A∪B=B，則，反之也成立
若x(A∩B)，則xA且xB
若x(A∪B)，則xA，或xB
求集合的并、交、補是集合間的基本運算，運算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進而用集合語言表達，增強數(shù)形結(jié)合的思想方法.
【典型例題】
類型一、集合間的關(guān)系
例1. 集合，集合，那么間的關(guān)系是（ ）.
A. B. C. = D.以上都不對
【答案】B
【解析】先用列舉法表示集合、，再判斷它們之間的關(guān)系.由題意可知，集合是非負偶數(shù)集，即.集合中的元素.而（為正奇數(shù)時）表示0或正偶數(shù)，但不是表示所有的正偶數(shù)，即.由依次得0,2,6,12，，即.
綜上知，，應選.?
【總結(jié)升華】判斷兩個集合間的關(guān)系的關(guān)鍵在于：弄清兩個集合的元素的構(gòu)成，也就是弄清楚集合是由哪些元素組成的.這就需要把較為抽象的集合具體化（如用列舉法來表示集合）、形象化（用Venn圖，或數(shù)形集合表示）.
舉一反三：
【變式1】若集合，則（ ）.
A. B. C. = D.
【答案】C
例2. 寫出集合{a，b，c}的所有不同的子集.
【解析】不含任何元素子集為，只含1個元素的子集為{a}，{b}，{c}，含有2個元素的子集有{a，b}，{a，c}，{b，c}，含有3個元素的子集為{a，b，c}，即含有3個元素的集合共有23=8個不同的子集.如果集合增加第4個元素d，則以上8個子集仍是新集合的子集，再將第4個元素d放入這8個子集中，會得到新的8個子集，即含有4個元素的集合共有24=16個不同子集，由此可推測，含有n個元素的集合共有2n個不同的子集.
【總結(jié)升華】要寫出一個集合的所有子集，我們可以按子集的元素個數(shù)的多少來分別寫出.當元素個數(shù)相同時，應依次將每個元素考慮完后，再寫剩下的子集.如本例中要寫出2個元素的子集時，先從a起，a與每個元素搭配有{a，b}，{a，c}，然后不看a，再看b可與哪些元素搭配即可.同時還要注意兩個特殊的子集：和它本身.
舉一反三：
【變式1】已知，則這樣的集合有 個.
【答案】7個
【變式2】同時滿足：①；②，則的非空集合有（ ）
A. 16個 B. 15個 C. 7個 D. 6個
【答案】C
【解析】時，；時，；時，；時，；時，；非空集合可能是：，共7個.故選C.
例3．集合A={x|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，C={(x,y)|y=x2+1}，D={y=x2+1}是否表示同一集合？
【答案】以上四個集合都不相同
【解析】集合A={x|y=x2+1}的代表元素為x，故集合A表示的是函數(shù)y=x2+1中自變量x的取值范圍，即函數(shù)的定義域A=；
集合B={y|y=x2+1}的代表元素為y，故集合B表示的是函數(shù)y=x2+1中函數(shù)值y的取值范圍，即函數(shù)的值域B=；
集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素為點（x，y），故集合C表示的是拋物線y=x2+1上的所有點組成的集合；
集合D={y=x2+1}是用列舉法表示的集合，該集合中只有一個元素：方程y=x2+1．
【總結(jié)升華】認清集合的屬性，是突破此類題的關(guān)鍵.首先應當弄清楚集合的表示方法，是列舉法還是描述法；其次對于用描述法表示的集合一定要認準代表元素，準確理解對代表元素的限制條件．
舉一反三：
【變式1】 設(shè)集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】排除法：集合M、N都是點集，因此只能是點集，而選項A表示二元數(shù)集合，選項B表示二元等式集合，選項C表示區(qū)間（無窮數(shù)集合）或單獨的一個點的坐標（不是集合），因此可以判斷選D．
【變式2】 設(shè)集合，，則與的關(guān)系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】集合M表示函數(shù)的定義域，有；
集合N表示函數(shù)的值域，有，故選A.
【高清課堂：集合的概念、表示及關(guān)系 377430 例2】
【變式3】 設(shè)M={x|x=a2+1，aN+}，N={x|x=b2-4b+5，bN+}，則M與N滿足( )
A. M=N B. MN C. NM D. M∩N=
【答案】B
【解析】 當aN+時，元素x=a2+1，表示正整數(shù)的平方加1對應的整數(shù)，而當bN+時，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然數(shù)的平方加1對應的整數(shù)，即M中元素都在N中，但N中至少有一個元素x=1不在M中，即MN，故選B.
【高清課堂：集合的概念、表示及關(guān)系 377430 例3】
例4．已知若M=N，則= ．
A．－200 B．200 C．－100 D．0
【思路點撥】解答本題應從集合元素的三大特征入手，本題應側(cè)重考慮集合中元素的互異性．
【答案】D
【解析】由M=N，知M，N所含元素相同.由O{0，|x|，y}可知
若x=0，則xy=0，即x與xy是相同元素，破壞了M中元素互異性，所以x≠0.
若x·y=0，則x=0或y=0，其中x=0以上討論不成立，所以y=0，即N中元素0，y是相同元素，破壞了N中元素的互異性，故xy≠0
若，則x=y，M，N可寫為
M={x，x2，0}，N={0，|x|，x}
由M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|
∴|x|=0或|x|=1
若|x|=0即x=0，以上討論知不成立
若|x|=1即x=±1
當x=1時，M中元素|x|與x相同，破壞了M中元素互異性，故 x≠1
當x=-1時，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合題意，綜上可知，x=y=-1
=-2+2-2+2+…+2=0
【總結(jié)升華】解答本題易忽視集合的元素具有的“互異性”這一特征，而找不到題目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解決某些集合問題的切入點．
舉一反三：
【變式1】設(shè)a，bR，集合，則b-a=( )
【答案】2
【解析】由元素的三要素及兩集合相等的特征：

∴當b=1時，a=-1，
當時，∴b=a且a+b=0，∴a=b=0(舍)
∴綜上：a=-1，b=1，∴b-a=2.
類型二、集合的運算
例5. 設(shè)集合，，，求.
【答案】,
【解析】先將集合、、、轉(zhuǎn)化為文字語言敘述，以便弄清楚它們的構(gòu)成，再求其交集即可.
集合表示3的倍數(shù)所組成的集合；
集合表示除以3余1的整數(shù)所組成的集合；
集合表示除以3余2的整數(shù)所組成的集合；
集合表示除以6余1的整數(shù)所組成的集合；
,.
【總結(jié)升華】求兩個集合的交集或并集，關(guān)鍵在于弄清兩個集合由哪些元素所構(gòu)成的，因而有時需要對集合進行轉(zhuǎn)化，或具體化、形象化.如本例中轉(zhuǎn)化為用自然語言來描述這些集合，有利于弄清集合的元素的構(gòu)成.類似地，若一個集合元素的特征由不等式給出時，利用數(shù)軸就能使問題直觀形象起來.
舉一反三：
【變式1】已知集合M={y|y=x2-4x+3，xR}，N={y|y=-x2-2x+8，xR}，則M∩N等于( )
A. B. R C. {-1，9} D. [-1，9]
【答案】D
【解析】集合M、N均表示構(gòu)成相關(guān)函數(shù)的因變量取值范圍，故可知：M={y|y≥-1}，N={y|y≤9}，所以M∩N={y|-1≤y≤9}，選D.
例6. 設(shè)集合M={3，a}，N={x|x2-2x<0，xZ}，M∩N={1}，則M∪N為( )
A. {1，3，a} B. {1，2，3，a} C. {1，2，3} 　D. {1，3}
【思路點撥】先把集合N化簡，然后再利用集合中元素的互異性解題．
【答案】D
【解析】由N={x|x2-2x<0，xZ}可得：N={x|0舉一反三：
【變式1】（1）已知：M={x|x≥2}，P={x|x2-x-2=0}，求M∪P和M∩P；
（2）已知：A={y|y=3x2}， B={y|y=-x2+4}， 求：A∩B，A∪B；
（3）已知集合A={-3， a2 ，1+a}， B={a-3， a2+1， 2a-1}， 其中aR，若A∩B={-3}，求A∪B.
【答案】（1）{x|x≥2或x=-1}，{2}；（2）{y|0≤y≤4}，R；（3）{-4，-3，0，1，2}.
【解析】（1）P={2，-1}，M∪P={x|x≥2或x=-1}，M∩P={2}.
（2）∵A={y|y≥0}， B={y|y≤4}， A∩B={y|0≤y≤4}， A∪B=R.
（3）∵A∩B={-3}，-3B，則有：
①a-3=-3a=0， A={-3，0，1}， B={-3，1，-1}A∩B={-3，1}，與已知不符，∴a≠0；
②2a-1=-3a=-1， ∴ A={-3，1，0}， B={-4，2，-3}， 符合題設(shè)條件，∴A∪B={-4，-3，0，1，2}.
【總結(jié)升華】此例題既練習集合的運算，又考察了集合元素的互異性.其中（1）易錯點為求并集時，是否意識到要補上孤立點-1；而（2）中結(jié)合了二次函數(shù)的值域問題；（3）中根據(jù)集合元素的互異性，需要進行分類討論，當求出a的一個值時，又要檢驗是否符合題設(shè)條件.
【高清課堂：集合的運算 377474 例5】
【變式2】設(shè)集合A={2，a2-2a，6}，B={2，2a2，3a-6}，若A∩B={2，3}，求A∪B.
【答案】｛2，3，6，18｝
【解析】由A∩B={2，3}，知元素2，3是A，B兩個集合中所有的公共元素，所以3｛2，a2-2a，6｝，則必有a2-2a=3，解方程a2-2a-3=0得a=3或a=-1
當a=3時，A={2，3，6}，B={2，18，3}
∴A∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝
當a=-1時，A={2，3，6}，B={2，2，-9}
這既不滿足條件A∩B={2，3}，也不滿足B中元素具有互異性，故a=-1不合題意，應舍去.
綜上A∪B=｛2，3，6，18｝
例7.已知全集，求CuA.
【思路點撥】CuA隱含了，對于，注意不要忘記的情形.
【答案】 當時，CuA=；當時，CuA=；當時，CuA=.
【解析】
當時，方程無實數(shù)解.
此時.CuA=
當時，二次方程的兩個根，必須屬于.
因為，所以只可能有下述情形：
當時，，此時 CuA=；
當時，，此時 CuA=.
綜上所述，當時，CuA=；
當時，CuA=；
當時，CuA=.
【總結(jié)升華】求集合的補集，只需在全集中剔除集合的元素后組成一個集合即可.由于本題中集合的元素不確定，因此必須分類討論才行.
舉一反三：
【變式1】 設(shè)全集U={xN+|x≤8}，若A∩(CuB)={1，8}，(CuA)∩B={2，6}，(CuA)∩(CuB)={4，7}，求集合A，B.
【答案】{1，3，5，8}，{2，3，5，6}.
【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}
由A∩(CuB)={1，8}知，在A中且不在B中的元素有1，8；由(CuA)∩B={2，6}，知不在A中且在B中的元素有2，6；由(CuA)∩(CuB)={4，7}，知不在A中且不在B中的元素有4，7，則元素3，5必在A∩B中.
由集合的圖示可得
A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}.
類型三、集合運算綜合應用
例8．已知全集A={x|-2≤x≤4}， B={x|x>a}.
（1）若A∩B≠，求實數(shù) a的取值范圍；
（2）若A∩B≠A，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若A∩B≠且A∩B≠A，求實數(shù)a的取值范圍．
【思路點撥】（1）畫數(shù)軸；（2）注意是否包含端點.
【答案】（1）a<4；（2）a≥-2；（3）-2≤a<4．
【解析】
(1)∵A={x|-2≤x≤4}， B={x|x>a}，又A∩B≠，如圖，a<4；
(2)畫數(shù)軸同理可得：a≥-2；
(3)畫數(shù)軸同理可得：如圖，-2≤a<4.
【總結(jié)升華】此問題從題面上看是集合的運算，但其本質(zhì)是一個定區(qū)間，和一個動區(qū)間的問題.思路是，使動區(qū)間沿定區(qū)間滑動，數(shù)形結(jié)合解決問題.
舉一反三：
【變式1】已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,則a的取值范圍是（ ）
A．(-∞, -1] B．[1, +∞）
C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞）
【答案】C
【解析】｛︱｝又 ， ∴，∴
故選C．
例9. 設(shè)集合.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【思路點撥】明確、的含義，根據(jù)問題的需要，將其轉(zhuǎn)化為等價的關(guān)系式和，是解決本題的關(guān)鍵.同時，在包含關(guān)系式中，不要漏掉的情況.
【答案】（1）或；（1）2．
【解析】首先化簡集合，得.
（1）由，則有，可知集合為，或為、，或為.
①若時，，解得.
②若,代入得.
當時，符合題意；
當時，也符合題意.
③若，代入得，解得或.
當時，已討論，符合題意；
當時，，不符合題意.
由①②③，得或.
（2）.又，而至多只有兩個根，因此應有，由（1）知.
【總結(jié)升華】兩個等價轉(zhuǎn)化：非常重要，注意應用.另外，在解決有條件的集合問題時，不要忽視的情況.
舉一反三：
【變式1】已知集合，若,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】或
【解析】,.
①當時，此時方程無解，由，解得或.
②當時，此時方程有且僅有一個實數(shù)解-2，
，且，解得.
綜上，實數(shù)的取值范圍是或.
【變式2】設(shè)全集，集合，若CuA，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】
【解析】 CuA=，.
CuA，，即.實數(shù)的取值范圍是.



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【鞏固練習】
1．設(shè)，，，則（ ）A． B．
C． D．
2．已知全集，則正確表示集合和關(guān)系的韋恩（Venn）圖是 （ ）

3．若集合，，且，則的值為( )
A．1 B．-1 C．1或-1 D．1或-1或0
4．已知集合滿足,那么下列各式中一定成立的是（ ）
A． AB B． BA C． D．
5．若全集，則集合的真子集共有( )
A．3個 B．5個 C．7個 D．8個
6．設(shè)集合，，則( )
A． B． C． D．
7．用適當?shù)姆柼羁眨?br/>（1） ；（2） ；（3） .
8. 若集合，，，則的非空子集的個數(shù)為 .
9．若集合，，則_____________．
10．設(shè)集合，，且，則實數(shù)的取值范圍是 .
11．已知，則_________.
12．已知集合，若，請寫出滿足上述條件得集合.
13．已知，，，求的取值范圍.
14．已知集合，且,求實數(shù)的值．
15．設(shè)全集，，.

【答案與解析】
1．【答案】B
【解析】對于，因此．
2．【答案】B
【解析】由，得，則,選B．
3.【答案】D
【解析】當時，滿足，即；當時，而，∴；∴.
4.【答案】 C
【解析】
5.【答案】 C
【解析】 ，真子集有.
6.【答案】 B
【解析】 ；，整數(shù)的范圍大于奇數(shù)的范圍.
7.【答案】（1） ；（2） ；（3） .
8.【答案】15
【解析】 ，，非空子集有.
9.【答案】
【解析】 ，顯然.
10.【答案】
【解析】，則得.
11.【答案】
【解析】，，，.
12.【答案】滿足條件的集合是，，，，，，.
13.【答案】
【解析】當，即時，滿足，即；
當，即時，滿足，即；
當，即時，由，得，得，即；
∴綜上得.
14.【答案】
【解析】顯然又,，即0-0+=0，.
由解得或1
，可解得.于是，解得或1.
.
15.【答案】
【解析】當時，，即；
當時，即，且
∴，∴
而對于，即，∴
∴.








集合的基本關(guān)系及運算

【學習目標】
1.理解集合之間包含與相等的含義，能識別一些給定集合的子集．在具體情境中，了解空集和全集的含義．
2.理解兩個集合的交集和并集的含義，會求兩個簡單集合的交集與并集．理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集．
【要點梳理】
要點一、集合之間的關(guān)系
1.集合與集合之間的“包含”關(guān)系
集合A是集合B的部分元素構(gòu)成的集合，我們說集合B包含集合A；
子集：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集(subset).記作：，當集合A不包含于集合B時，記作AB，用Venn圖表示兩個集合間的“包含”關(guān)系：

要點詮釋：
（1）“是的子集”的含義是：的任何一個元素都是的元素，即由任意的，能推出．
（2）當不是的子集時，我們記作“(或)”，讀作：“不包含于”（或“不包含”）．
真子集：若集合，存在元素xB且，則稱集合A是集合B的真子集(proper subset).記作：AB(或BA)
規(guī)定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
2.集合與集合之間的“相等”關(guān)系
，則A與B中的元素是一樣的，因此A=B
要點詮釋：
任何一個集合是它本身的子集，記作．

要點二、集合的運算
1.并集
一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：A∪B讀作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}
Venn圖表示：

要點詮釋：
（1）“xA，或xB”包含三種情況：“”；“”；“”．
（2）兩個集合求并集，結(jié)果還是一個集合，是由集合A與B的所有元素組成的集合(重復元素只出現(xiàn)一次).
2.交集
一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集；記作：A∩B，讀作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn圖表示：

要點詮釋：
（1）并不是任何兩個集合都有公共元素，當集合A與B沒有公共元素時，不能說A與B沒有交集，而是．
（2）概念中的“所有”兩字的含義是，不僅“A∩B中的任意元素都是A與B的公共元素”，同時“A與B的公共元素都屬于A∩B”．
（3）兩個集合求交集，結(jié)果還是一個集合，是由集合A與B的所有公共元素組成的集合.
3.補集
全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U.
補集：對于全集U的一個子集A，由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集(complementary set)，簡稱為集合A的補集，記作：補集的Venn圖表示：

要點詮釋：
（1）理解補集概念時，應注意補集是對給定的集合和相對而言的一個概念，一個確定的集合，對于不同的集合U，補集不同．
（2）全集是相對于研究的問題而言的，如我們只在整數(shù)范圍內(nèi)研究問題，則為全集；而當問題擴展到實數(shù)集時，則為全集，這時就不是全集．
（3）表示U為全集時的補集，如果全集換成其他集合（如）時，則記號中“U”也必須換成相應的集合（即）．
4.集合基本運算的一些結(jié)論：



若A∩B=A，則，反之也成立
若A∪B=B，則，反之也成立
若x(A∩B)，則xA且xB
若x(A∪B)，則xA，或xB
求集合的并、交、補是集合間的基本運算，運算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進而用集合語言表達，增強數(shù)形結(jié)合的思想方法.
【典型例題】
類型一：集合間的關(guān)系
例1. 請判斷①0{0} ；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，正確的有哪些？
【答案】②③④⑧
【解析】①錯誤，因為0是集合中的元素，應是；②③中都是元素與集合的關(guān)系，正確；④⑧正確，因為是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，而④中的為非空集合；⑤⑥⑦錯誤，是沒有任何元素的集合．
【總結(jié)升華】集合的符號語言十分簡潔，因而被廣泛用于現(xiàn)代數(shù)學之中，但往往容易混淆，其障礙在于這些符號與具體意義之間沒有直接的聯(lián)系，突破方法是熟練地掌握這些符號的具體含義.
舉一反三：
【變式1】用適當?shù)姆柼羁眨?br/>(1) {x||x|≤1} {x|x2≤1}；
(2){y|y=2x2} {y|y=3x2-1}；
(3){x||x|>1} {x|x>1}；
(4){(x，y)|-2≤x≤2} {(x，y)|-1【答案】 (1)= (2) (3) (4)
【總結(jié)升華】區(qū)分元素與集合間的關(guān)系 ，集合與集合間的關(guān)系.
例2. 寫出集合{a，b，c}的所有不同的子集.
【解析】不含任何元素子集為，只含1個元素的子集為{a}，{b}，{c}，含有2個元素的子集有{a，b}，{a，c}，{b，c}，含有3個元素的子集為{a，b，c}，即含有3個元素的集合共有23=8個不同的子集.如果集合增加第4個元素d，則以上8個子集仍是新集合的子集，再將第4個元素d放入這8個子集中，會得到新的8個子集，即含有4個元素的集合共有24=16個不同子集，由此可推測，含有n個元素的集合共有2n個不同的子集.
【總結(jié)升華】要寫出一個集合的所有子集，我們可以按子集的元素個數(shù)的多少來分別寫出.當元素個數(shù)相同時，應依次將每個元素考慮完后，再寫剩下的子集.如本例中要寫出2個元素的子集時，先從a起，a與每個元素搭配有{a，b}，{a，c}，然后不看a，再看b可與哪些元素搭配即可.同時還要注意兩個特殊的子集：和它本身.
舉一反三：
【變式1】已知，則這樣的集合有 個.
【答案】7個
【變式2】同時滿足：①；②，則的非空集合有（ ）
A. 16個 B. 15個 C. 7個 D. 6個
【答案】C
【解析】時，；時，；時，；時，；時，；非空集合可能是：，共7個.故選C.
【變式3】已知集合A={1，3，a}， B={a2}，并且B是A的真子集，求實數(shù)a的取值.
【答案】 a=-1， a=或a=0
【解析】∵， ∴a2A，
則有：
（1）a2=1a=±1，當a=1時與元素的互異性不符，∴a=-1；
（2）a2=3a=
（3）a2=aa=0， a=1，舍去a=1，則a=0
綜上：a=-1， a=或a=0.
注意：根據(jù)集合元素的互異性，需分類討論.
【高清課堂：集合的概念、表示及關(guān)系377430 例2】
例3. 設(shè)M={x|x=a2+1，aN+}，N={x|x=b2-4b+5，bN+}，則M與N滿足( )
A. M=N B. MN C. NM D. M∩N=
【答案】B
【解析】當aN+時，元素x=a2+1，表示正整數(shù)的平方加1對應的整數(shù)，而當bN+時，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然數(shù)的平方加1對應的整數(shù)，即M中元素都在N中，但N中至少有一個元素x=1不在M中，即MN，故選B.
例4．已知若M=N，則= ．
A．－200 B．200 C．－100 D．0
【思路點撥】解答本題應從集合元素的三大特征入手，本題應側(cè)重考慮集合中元素的互異性．
【答案】D
【解析】由M=N，知M，N所含元素相同.由0{0，|x|，y}可知
若x=0，則xy=0，即x與xy是相同元素，破壞了M中元素互異性，所以x≠0.
若x·y=0，則x=0或y=0，其中x=0以上討論不成立，所以y=0，即N中元素0，y是相同元素，破壞了N中元素的互異性，故xy≠0
若，則x=y，M，N可寫為
M={x，x2，0}，N={0，|x|，x}
由M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|
∴|x|=0或|x|=1
若|x|=0即x=0，以上討論知不成立
若|x|=1即x=±1
當x=1時，M中元素|x|與x相同，破壞了M中元素互異性，故 x≠1
當x=-1時，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合題意，綜上可知，x=y=-1
=-2+2-2+2+…+2=0
【總結(jié)升華】解答本題易忽視集合的元素具有的“互異性”這一特征，而找不到題目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解決某些集合問題的切入點．
舉一反三：
【變式1】設(shè)a，bR，集合，則b-a=( )
【答案】2
【解析】由元素的三要素及兩集合相等的特征：

∴當b=1時，a=-1，
當時，∴b=a且a+b=0，∴a=b=0(舍)
∴綜上：a=-1，b=1，∴b-a=2.
類型二：集合的運算
例5. （1）已知集合M={y|y=x2-4x+3，xR}，N={y|y=-x2+2x+8，xR}，則M∩N等于( )．
A. B. R C. {-1，9} D. {y|-1≤y≤9}
（2）設(shè)集合M={3，a}，N={x|x2-2x<0，xZ}，M∩N={1}，則M∪N為( )．
A. {1，2，a} B. {1，2，3，a} C. {1，2，3} 　D. {1，3}
【思路點撥】（1）先把集合M、N進行化簡，在利用數(shù)軸進行相應的集合運算．（2）先把集合N化簡，然后再利用集合中元素的互異性解題．
【答案】（1）D （2）D
【解析】（1）集合M、N均表示構(gòu)成相關(guān)函數(shù)的因變量取值范圍，故可知：M={y|y≥-1}，N={y|y≤9}，所以M∩N={y|-1≤y≤9}，選D.
（2）由N={x|x2-2x<0，xZ}可得：N={x|0舉一反三：
【變式1】設(shè)A、B分別是一元二次方程2x2+px+q=0與6x2+(2-p)x+5+q=0的解集，且A∩B={}，求A∪B.
【答案】{， ，-4}
【解析】∵A∩B={}，
∴是方程2x2+px+q=0的解，則有：
(1)，同理有：6()2+(2-p)·+5+q=0(2)
聯(lián)立方程(1)(2)得到：
∴方程(1)為2x2+7x-4=0，
∴方程的解為：x1=， x2=-4， ∴ ，
由方程(2) 6x2-5x+1=0，解得：x3=， x4=，
∴B={， }，則A∪B={， ，-4}.
【高清課堂：集合的運算377474 例5】
【變式2】設(shè)集合A={2，a2-2a，6}，B={2，2a2，3a-6}，若A∩B={2，3}，求A∪B.
【答案】 ｛2，3，6，18｝
【解析】由A∩B={2，3}，知元素2，3是A，B兩個集合中所有的公共元素，所以3｛2，a2-2a，6｝，則必有a2-2a=3，解方程a2-2a-3=0得a=3或a=-1
當a=3時，A={2，3，6}，B={2，18，3}
∴A∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝
當a=-1時，A={2，3，6}，B={2，2，-9}
這既不滿足條件A∩B={2，3}，也不滿足B中元素具有互異性，故a=-1不合題意，應舍去.
綜上A∪B=｛2，3，6，18｝．
【高清課堂：集合的運算 377474 例6】
例6. 設(shè)全集U={xN+|x≤8}，若A∩(CuB)={1，8}，(CuA)∩B={2，6}，(CuA)∩(CuB)={4，7}，求集合A，B.
【答案】A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}
【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}
由A∩(CuB)={1，8}知，在A中且不在B中的元素有1，8；由(CuA)∩B={2，6}，知不在A中且在B中的元素有2，6；由(CuA)∩(CuB)={4，7}，知不在A中且不在B中的元素有4，7，則元素3，5必在A∩B中.
由集合的圖示可得
A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}.
類型三：集合運算綜合應用
例7．已知全集A={x|-2≤x≤4}， B={x|x>a}.
（1）若A∩B≠，求實數(shù) a的取值范圍；
（2）若A∩B≠A，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若A∩B≠且A∩B≠A，求實數(shù)a的取值范圍．
【思路點撥】（1）畫數(shù)軸；（2）注意是否包含端點.
【答案】（1）a<4 （2）a≥-2 （3）-2≤a<4
【解析】
(1)∵A={x|-2≤x≤4}， B={x|x>a}，又A∩B≠，如圖，a<4；
(2)畫數(shù)軸同理可得：a≥-2；
(3)畫數(shù)軸同理可得：如圖，-2≤a<4.
【總結(jié)升華】此問題從表面上看是集合的運算，但其本質(zhì)是一個定區(qū)間，和一個動區(qū)間的問題.思路是，使動區(qū)間沿定區(qū)間滑動，數(shù)形結(jié)合解決問題.
舉一反三：
【變式1】已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,則a的取值范圍是（ ）
A．(-∞, -1] B．[1, +∞）
C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞）
【答案】C
【解析】｛︱｝又 ， ∴，∴
故選C．
例8. 設(shè)集合.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【思路點撥】明確、的含義，根據(jù)的需要，將其轉(zhuǎn)化為等價的關(guān)系式和，是解決本題的關(guān)鍵.同時，在包含關(guān)系式中，不要漏掉的情況.
【答案】（1）或；（2）．
【解析】 首先化簡集合，得.
（1）由，則有，可知集合為，或為、，或為.
①若時，，解得.
②若,代入得.
當時，符合題意；
當時，也符合題意.
③若，代入得，解得或.
當時，已討論，符合題意；
當時，，不符合題意.
由①②③，得或.
（2）.又，而至多只有兩個根，因此應有，由（1）知.
【總結(jié)升華】兩個等價轉(zhuǎn)化：非常重要，注意應用.另外，在解決有條件的集合問題時，不要忽視的情況.
舉一反三：
【變式1】已知集合，若,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】或
【解析】,.
①當時，此時方程無解，由，解得或.
②當時，此時方程有且僅有一個實數(shù)解-2，
，且，解得.
綜上，實數(shù)的取值范圍是或.



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