資源簡介

【鞏固練習(xí)】
1．定義域上的函數(shù)對任意兩個不相等的實數(shù)，總有，則必有( )
A．函數(shù)先增后減
B．函數(shù)先減后增
C．函數(shù)是上的增函數(shù)
D．函數(shù)是上的減函數(shù)
2．在區(qū)間上為增函數(shù)的是( )
A． B．
C． D．
3．函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間可以是（ ）
A.[-2，0] B.[0，2] C.[1，3] D. [0，+∞）
4．若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
5．函數(shù)的值域為( )
A． B．
C． D．
6．設(shè)，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則之間的大小關(guān)系是（ ）
A. B.
C. D.
7．已知函數(shù)若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）.
A． B． C． D．
8．在函數(shù)的圖象上任取兩點，稱為函數(shù)從到之間的平均變化率.設(shè)函數(shù)，則此函數(shù)從到之間的平均變化率為（ ）.
A． B． C． D．
9．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是____________________.
10．函數(shù)的值域是____________.
11．若函數(shù)在上是減函數(shù)，是增函數(shù)，則 .
12．函數(shù)的定義域為A，若且時總有，則稱為單函數(shù)．例如，函數(shù)是單函數(shù)．下列命題：
① 函數(shù)是單函數(shù)；
② 若為單函數(shù)，且，則；
③ 若f：A→B為單函數(shù)，則對于任意，它至多有一個原象；
④ 函數(shù)在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則一定是單函數(shù)．
其中的真命題是_________．（寫出所有真命題的編號）
13．函數(shù)的定義域為，若對于任意，當(dāng)時，都有，則稱函數(shù)在上為非減函數(shù).
設(shè)函數(shù)在[0，1]上為非減函數(shù)，且滿足以下三個條件：
①；②；③.
則= .
14．已知函數(shù)的定義域為，且同時滿足下列條件：(1)是奇函數(shù)；(2)在定義域上單調(diào)遞減；(3)求的取值范圍.
15．已知函數(shù).
① 當(dāng)時，求函數(shù)的最大值和最小值；
② 求實數(shù)的取值范圍，使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù).
16．設(shè)，函數(shù)．
（1）解不等式；
（2）求在區(qū)間上的最小值．
17．對于區(qū)間，若函數(shù)同時滿足：①在上是單調(diào)函數(shù)；②函數(shù)的值域是，則稱區(qū)間為函數(shù)的“保值”區(qū)間．
（1）求函數(shù)的所有“保值”區(qū)間；
（2）函數(shù)是否存在“保值”區(qū)間？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．
【答案與解析】
1. 【答案】C.
【解析】由知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，故選C.
2. 【答案】B.

【解析】,故選B．
3. 【答案】C.
【解析】函數(shù)，圖象開口向下，對稱軸是，故選C.
4. 【答案】D.
【解析】 函數(shù)的對稱軸是，依題意，，解得．
5. 【答案】B.
【解析】 ，是的減函數(shù)，當(dāng)
6. 【答案】A.
【解析】 由于，且函數(shù)圖象的對稱軸為所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.因為，從而.
7．【答案】C.
【解析】在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增.又，
，推出得，解得，故選C.
8．【答案】B.
【解析】=（）（），
故選B.
9．【答案】
10. 【答案】
【解析】 是的增函數(shù)，當(dāng)時，.
11. 【答案】-4
【解析】依題意函數(shù)的對稱軸是，所以.
12. 【答案】②③
【解析】 對于①，若，則，不滿足；②實際上是單函數(shù)命題的逆否命題，故為真命題；對于③，若任意，若有兩個及以上的原象，也即當(dāng)時，不一定有，不滿足題設(shè)，故該命題為真；根據(jù)定義，命題④不滿足條件．
13. 【答案】
【解析】因為由③得，，
在②中令則.
在③中分別令則.
在②中令，得，.
因為，且函數(shù)為非減函數(shù)，
所以
則.
故.
14．【解析】，則，

15．【解析】對稱軸
∴
(2)對稱軸當(dāng)或時，在上單調(diào)
∴或.
16.【解析】（1），即，
化簡整理得解得．
（2）函數(shù)圖象的對稱軸方程是．
①當(dāng)，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以；
②當(dāng)，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；
③當(dāng)，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以．
綜上，
17．【解析】（1）因為函數(shù)的值域是，且在的值域是，
所以，所以，從而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故有解得
又，所以
所以函數(shù)的“保值”區(qū)間為．
（2）若函數(shù)存在“保值”區(qū)間，則有：
①若，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以消去得，整理得．
因為，所以，即．
又所以
因為，
所以．
②若此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以消去得，整理得．
因為，所以，即．
又所以．
因為
所以．
因為，所以
綜合①②得，函數(shù)存在“保值”區(qū)間，此時的取值范圍是．





















單調(diào)性與最大（小）值
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解函數(shù)的單調(diào)性定義；
2.會判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性．
【要點梳理】
要點一、函數(shù)的單調(diào)性
1．增函數(shù)、減函數(shù)的概念
一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為A，區(qū)間
如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值x1、x2，當(dāng)x1如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值x1、x2，當(dāng)x1f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間上是減函數(shù).
要點詮釋：
(1)屬于定義域A內(nèi)某個區(qū)間上；
(2)任意兩個自變量且；
(3)都有；
(4)圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的.
2．單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間
（1）單調(diào)區(qū)間的定義
如果函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱為函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì).
要點詮釋：
①單調(diào)區(qū)間與定義域的關(guān)系----單調(diào)區(qū)間可以是整個定義域，也可以是定義域的真子集；
②單調(diào)性是通過函數(shù)值變化與自變量的變化方向是否一致來描述函數(shù)性質(zhì)的；
③不能隨意合并兩個單調(diào)區(qū)間；
④有的函數(shù)不具有單調(diào)性.
(2)已知解析式，如何判斷一個函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性？
3．函數(shù)的最大（小）值
一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足：
①對于任意的，都有（或）；
②存在，使得，那么，我們稱是函數(shù)的最大值（或最小值）.
要點詮釋：
①最值首先是一個函數(shù)值，即存在一個自變量，使等于最值；
②對于定義域內(nèi)的任意元素，都有（或），“任意”兩字不可省；
③使函數(shù)取得最值的自變量的值有時可能不止一個；
④函數(shù)在其定義域（某個區(qū)間）內(nèi)的最大值的幾何意義是圖象上最高點的縱坐標(biāo)；最小值的幾何意義是圖象上最低點的縱坐標(biāo).
4.證明函數(shù)單調(diào)性的步驟
(1)取值.設(shè)是定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個量，且；
(2)變形.作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；
(3)定號.判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；
(4)得出結(jié)論.
5.函數(shù)單調(diào)性的判斷方法
(1)定義法；
(2)圖象法；
(3)對于復(fù)合函數(shù)，若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則在區(qū)間或者上是單調(diào)函數(shù)；若與單調(diào)性相同（同時為增或同時為減），則為增函數(shù)；若與單調(diào)性相反，則為減函數(shù).
要點二、基本初等函數(shù)的單調(diào)性
1．正比例函數(shù)
當(dāng)k>0時，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時，函數(shù)在定義域R是減函數(shù).
2．一次函數(shù)
當(dāng)k>0時，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時，函數(shù)在定義域R是減函數(shù).
3．反比例函數(shù)
當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，不存在單調(diào)增區(qū)間；
當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，不存在單調(diào)減區(qū)間.
4．二次函數(shù)
若a>0，在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；
若a<0，在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)．

要點三、一些常見結(jié)論
(1)若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；
(2)若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減)函數(shù)；
(3)若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)； 若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù).
【典型例題】
類型一、函數(shù)的單調(diào)性的證明
【高清課堂：函數(shù)的單調(diào)性 356705 例1】
例1．已知：函數(shù)
（1）討論的單調(diào)性.
（2）試作出的圖像.
【思路點撥】本題考查對單調(diào)性定義的理解，在現(xiàn)階段，定義是證明單調(diào)性的唯一途徑.
【解析】
（1）設(shè)x1，x2是實數(shù)集上的任意實數(shù)，且x1



①當(dāng)時，x1-x2<0，1，故，即f(x1)-f(x2)<0
∴x1上是增函數(shù).
②當(dāng)-1∵0故，即f(x1)-f(x2)>0
∴x1f(x2)
上是減函數(shù).
同理：函數(shù)是減函數(shù), 函數(shù)是增函數(shù).
（2）函數(shù)的圖象如下

【總結(jié)升華】
（1）證明函數(shù)單調(diào)性要求使用定義；
（2）如何比較兩個量的大小？(作差)
（3）如何判斷一個式子的符號？(對差適當(dāng)變形)
■
舉一反三：
【變式1】討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.
【解析】設(shè)，則，.
，即.
在上單調(diào)遞減.
同理可得在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.
故函數(shù)在和上單調(diào)遞增；在和上單調(diào)遞減.
類型二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
例2. 判斷下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(1)y=x2-3|x|+2； (2)
【思路點撥】 對進行討論，把絕對值和根號去掉，畫出函數(shù)圖象。
【答案】（1）f(x)在上遞減，在上遞減，在上遞增.
（2）f(x)在上遞增.
【解析】(1)由圖象對稱性，畫出草圖

∴f(x)在上遞減，在上遞減，在上遞增.
(2)
∴圖象為

∴f(x)在上遞增.
舉一反三：
【變式1】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
(1)y=|x+1|； (2)　(3)；（4）y=|x2-2x-3|.
【答案】（1）函數(shù)的減區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間為(-1，+∞)；
（2）上為減函數(shù)；
（3）單調(diào)增區(qū)間為：(-∞，0)，單調(diào)減區(qū)間為(0，+∞)；
（4）單調(diào)減區(qū)間是（-∞，-1），（1，3）；單調(diào)增區(qū)間是（-1，1），（3，+∞）.
【解析】(1)畫出函數(shù)圖象，
∴函數(shù)的減區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間為(-1，+∞)；
(2)定義域為，其中u=2x-1為增函數(shù)，在(-∞，0)與(0，+∞)為減函數(shù)，則上為減函數(shù)；
(3)定義域為(-∞，0)∪(0，+∞)，單調(diào)增區(qū)間為：(-∞，0)，單調(diào)減區(qū)間為(0，+∞).
【高清課堂：函數(shù)的單調(diào)性356705 例3】
（4）先畫出y=x2-2x-3，然后把軸下方的部分關(guān)于軸對稱上去，就得到了所求函數(shù)的圖象，如下圖

所以y=|x2-2x-3|的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，-1），（1，3）；單調(diào)增區(qū)間是（-1，1），（3，+∞）.
【總結(jié)升華】
（1）數(shù)形結(jié)合利用圖象判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
（2）關(guān)于二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題，單調(diào)性變化的點與對稱軸相關(guān).
（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析：先求函數(shù)的定義域；再將復(fù)合函數(shù)分解為內(nèi)、外層函數(shù)；利用已知函數(shù)的單調(diào)性解決.關(guān)注：內(nèi)外層函數(shù)同向變化復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)外層函數(shù)反向變化復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).
例3.已知函數(shù)的定義域為，且對任意的、均有，且對任意的，都有.
（1）試說明：函數(shù)是上的單調(diào)遞減函數(shù)；
（2）試求函數(shù)在（且）上的值域.
【思路點撥】（1）可根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行論證，考慮證明過程中如何利用題設(shè)條件；（2）由（1）的結(jié)論可知、分別是函數(shù)在上的最大值與最小值，故求出與就可得所求的值域.
【答案】（1）證明略；（2）．
【解析】
（1）任取、，且，，于是由題設(shè)條件可知：
.
對任意的都有，
.
.
故函數(shù)是上的單調(diào)遞減函數(shù).
（2）由于函數(shù)是上的單調(diào)遞減函數(shù)，
在[m,n]上也為單調(diào)遞減函數(shù)，
在[m,n]上的最大值為，最小值為.
由于，同理...
因此函數(shù)在上的值域為.
【總結(jié)升華】像本例這樣不知道解析式的函數(shù)，我們稱為抽樣函數(shù).研究抽象函數(shù)的單調(diào)性是依據(jù)定義和題設(shè)來進行論證的.一般地，在高中數(shù)學(xué)中，主要有兩種類型的抽象函數(shù)，一是“”型[即給出所具有的性質(zhì)，如本例]，二是“”型.對于型的函數(shù)，只需構(gòu)造，再利用題設(shè)條件將它用與表示出來，然后利用題設(shè)條件確定的范圍，從而確定與的大小關(guān)系；對型的函數(shù)，則只需構(gòu)造即可.
舉一反三：
【變式1】已知的定義域為，且當(dāng)時.若對于任意兩個正數(shù)和都有，試判斷的單調(diào)性.
【答案】單調(diào)遞增
【解析】設(shè)，則.
.
在上單調(diào)遞增.
【變式2】已知函數(shù)f(x)在定義域(0，+∞)上為增函數(shù)，f(2)=1，且定義域上任意x、y都滿足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.
【答案】
【解析】令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2
再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3
∴f(x)+f(x-2)≤3可轉(zhuǎn)化為：f[x(x-2)]≤f(8)
.
類型三、單調(diào)性的應(yīng)用(比較函數(shù)值的大小，求函數(shù)值域，求函數(shù)的最大值或最小值)
例4. 已知函數(shù)是定義域為的單調(diào)增函數(shù)．
（1）比較與的大小；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍．
【思路點撥】抽象函數(shù)求字母取值范圍的題目，最終一定要變形成的形式，再依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把符號脫掉得到關(guān)于字母的不等式再求解。
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）因為，所以，由已知，是單調(diào)增函數(shù)，所以．
（2）因為是單調(diào)增函數(shù)，且，所以，解得或．
例5. 求下列函數(shù)的值域：
(1)； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；
(2) ；
(3) ；
(4).
【答案】（1）1），2）；（2）；（3）；（4）．
【解析】(1)可應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性；(2)中函數(shù)為二次函數(shù)開方，可先求出二次函數(shù)值域；(3)由單調(diào)性求值域，此題也可換元解決；(4)單調(diào)性無法確定，經(jīng)換元后將之轉(zhuǎn)化為熟悉二次函數(shù)情形，問題得到解決，需注意此時t的范圍.

(1)2個單位，再上移2個單位得到，如圖

1)f(x)在[5，10]上單增，；
2)；
(2) ；
(3)經(jīng)觀察知，，；
(4)令.
舉一反三：
【變式1】已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)x∈[1，3]時，求函數(shù)f(x)的值域.
【思路點撥】這個函數(shù)直接觀察恐怕不容易看出它的單調(diào)區(qū)間，但對解析式稍作處理，即可得到我們相對熟悉的形式.，第二問即是利用單調(diào)性求函數(shù)值域.
【答案】（1）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；
（2）．
【解析】
(1)
上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；
(2)故函數(shù)f(x)在[1，3]上單調(diào)遞增
∴x=1時f(x)有最小值，f(1)=-2
x=3時f(x)有最大值
∴x∈[1，3]時f(x)的值域為.
例6. 已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+a2-1.
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上是單調(diào)的，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)當(dāng)x∈[-1，1]時，求函數(shù)f(x)的最小值g(a)，并畫出最小值函數(shù)y=g(a)的圖象.
【答案】（1）a≤0或a≥2；（2）．
【解析】(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a≤0或a≥2
(2)1°當(dāng)a<-1時，如圖1，g(a)=f(-1)=a2+2a

2°當(dāng)-1≤a≤1時，如圖2，g(a)=f(a)=-1

3°當(dāng)a>1時，如圖3，g(a)=f(1)=a2-2a

，如圖

【總結(jié)升華】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題由它的單調(diào)性來確定，而它的單調(diào)性又由二次函數(shù)的開口方向和對稱軸的位置（在區(qū)間上，還是在區(qū)間左邊，還是在區(qū)間右邊）來確定，當(dāng)開口方向和對稱軸的位置不確定時，則需要進行分類討論.
舉一反三：
【變式1】 求在區(qū)間[0，2]上的最大值和最小值.
【解析】，對稱軸為．

（1）當(dāng)時，由上圖①可知，，
（2）當(dāng)時，由上圖②可知，，
（3）當(dāng)時，由上圖③可知，，
（4）當(dāng)時，由上圖④可知，，




PAGE



【鞏固練習(xí)】
1．定義域上的函數(shù)對任意兩個不相等的實數(shù)，總有，則必有( )
A．函數(shù)先增后減
B．函數(shù)先減后增
C．函數(shù)是上的增函數(shù)
D．函數(shù)是上的減函數(shù)
2．在區(qū)間上為增函數(shù)的是( )
A． B．
C． D．
3．函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間可以是（ ）
A.[-2，0] B.[0，2] C.[1，3] D. [0，+∞）
4．若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
5．函數(shù)的值域為( )
A． B．
C． D．
6．設(shè)，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則之間的大小關(guān)系是（ ）
A. B.
C. D.
7．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是____________________.
8．函數(shù)的值域是____________.
9．若函數(shù)在上是減函數(shù)，是增函數(shù)，則 .
10．已知一次函數(shù)在上是在增函數(shù)，且其圖象與軸的正半軸相交，則的取值范圍是 .
11．已知函數(shù)是上的減函數(shù)，且的最小值為正數(shù)，則的解析式可以為 .（只要寫出一個符合題意的解析式即可，不必考慮所有可能情形）
12．設(shè)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并寫出單調(diào)區(qū)間.
13．已知函數(shù)的定義域為，且同時滿足下列條件：(1)是奇函數(shù)；(2)在定義域上單調(diào)遞減；(3)求的取值范圍.
14．已知函數(shù).
① 當(dāng)時，求函數(shù)的最大值和最小值；
② 求實數(shù)的取值范圍，使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù).
【答案與解析】
1. 【答案】C.
【解析】由知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，故選C.
2. 【答案】B.
【解析】,故選B．
3. 【答案】C.
【解析】函數(shù)，圖象開口向下，對稱軸是，故選C.
4. 【答案】D.
【解析】 函數(shù)的對稱軸是，依題意，，解得．
5. 【答案】B.
【解析】 ，是的減函數(shù)，當(dāng)
6. 【答案】A.
【解析】 由于，且函數(shù)圖象的對稱軸為所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.因為，從而.
7．【答案】
【解析】 函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向右平移1個單位得到的，故把的單調(diào)區(qū)間向右平移1個單位即可．
8. 【答案】
【解析】 是的增函數(shù)，當(dāng)時，.
9. 【答案】-4
【解析】依題意函數(shù)的對稱軸是，所以.
10. 【答案】
【解析】 依題意 ，解得.
11. 【答案】答案不唯一，如等.
12．【答案】
【解析】當(dāng)時，此函數(shù)為上的增函數(shù)；
當(dāng)時，函數(shù)（即為）為常數(shù)函數(shù)，不具有單調(diào)性；
當(dāng)時，此函數(shù)為上的減函數(shù)．
13．【解析】，則，

14．【解析】對稱軸
∴
(2)對稱軸當(dāng)或時，在上單調(diào)
∴或.





















單調(diào)性與最大（小）值

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解函數(shù)的單調(diào)性定義；
2.會判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性．
【要點梳理】
要點一、函數(shù)的單調(diào)性
1．增函數(shù)、減函數(shù)的概念
一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為A，區(qū)間
如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值x1、x2，當(dāng)x1如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值x1、x2，當(dāng)x1f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間上是減函數(shù).
要點詮釋：
（1）屬于定義域A內(nèi)某個區(qū)間上；
（2）任意兩個自變量且；
（3）都有；
（4）圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的.
2．單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間
（1）單調(diào)區(qū)間的定義
如果函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱為函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì).
要點詮釋：
①單調(diào)區(qū)間與定義域的關(guān)系----單調(diào)區(qū)間可以是整個定義域，也可以是定義域的真子集；
②單調(diào)性是通過函數(shù)值變化與自變量的變化方向是否一致來描述函數(shù)性質(zhì)的；
③不能隨意合并兩個單調(diào)區(qū)間；
④有的函數(shù)不具有單調(diào)性.
(2)已知解析式，如何判斷一個函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性？
基本方法：觀察圖形或依據(jù)定義.
3．函數(shù)的最大（小）值
一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足：
(1)對于任意的，都有（或）；
(2) 存在，使得，那么，我們稱是函數(shù)的最大值（或最小值）.
要點詮釋：
①最值首先是一個函數(shù)值，即存在一個自變量，使等于最值；
②對于定義域內(nèi)的任意元素，都有（或），“任意”兩字不可省；
③使函數(shù)取得最值的自變量的值有時可能不止一個；
④函數(shù)在其定義域（某個區(qū)間）內(nèi)的最大值的幾何意義是圖象上最高點的縱坐標(biāo)；最小值的幾何意義是圖象上最低點的縱坐標(biāo).
4.證明函數(shù)單調(diào)性的步驟
(1)取值.設(shè)是定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個量，且；
(2)變形.作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；
(3)定號.判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；
(4)得出結(jié)論.
5.函數(shù)單調(diào)性的判斷方法
(1)定義法；
(2)圖象法；
(3)對于復(fù)合函數(shù)，若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則在區(qū)間或者上是單調(diào)函數(shù)；若與單調(diào)性相同（同時為增或同時為減），則為增函數(shù)；若與單調(diào)性相反，則為減函數(shù)．
要點二、基本初等函數(shù)的單調(diào)性
1．正比例函數(shù)
當(dāng)k>0時，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時，函數(shù)在定義域R是減函數(shù).
2．一次函數(shù)
當(dāng)k>0時，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時，函數(shù)在定義域R是減函數(shù).
3．反比例函數(shù)
當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，不存在單調(diào)增區(qū)間；
當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，不存在單調(diào)減區(qū)間.
4．二次函數(shù)
若a>0，在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；
若a<0，在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)．
要點三、一些常見結(jié)論
(1)若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；
(2)若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減)函數(shù)；
(3)若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)； 若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù).
【典型例題】
類型一、函數(shù)的單調(diào)性的證明
【高清課堂：函數(shù)的單調(diào)性 356705 例1】
例1.已知：函數(shù)
（1）討論的單調(diào)性.
（2）試作出的圖象.
【思路點撥】本題考查對單調(diào)性定義的理解，在現(xiàn)階段，定義是證明單調(diào)性的唯一途徑.
【解析】
（1）設(shè)x1，x2是實數(shù)集上的任意實數(shù)，且x1



①當(dāng)時，x1-x2<0，1，故，即f(x1)-f(x2)<0
∴x1上是增函數(shù).
②當(dāng)-1∵0故，即f(x1)-f(x2)>0
∴x1f(x2)
上是減函數(shù).
同理：函數(shù)是減函數(shù), 函數(shù)是增函數(shù).
（2）函數(shù)的圖象如下

【總結(jié)升華】
（1）證明函數(shù)單調(diào)性要求使用定義；
（2）如何比較兩個量的大小？(作差)
（3）如何判斷一個式子的符號？(對差適當(dāng)變形)
舉一反三：
【變式1】 證明函數(shù)在上是增函數(shù).
【解析】本題考查對單調(diào)性定義的理解，在現(xiàn)階段，定義是證明單調(diào)性的唯一途徑.
證明：設(shè)x1，x2是區(qū)間上的任意實數(shù)，且x1



=
=
∵ ∴．
，即
在上是增函數(shù)．
類型二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
例2. 判斷下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(1)y=x2-3|x|+2； (2)
【思路點撥】 對進行討論，把絕對值和根號去掉，畫出函數(shù)圖象。
【答案】（1）f(x)在上遞減，在上遞減，在上遞增.
（2）f(x)在上遞增.
【解析】(1)由圖象對稱性，畫出草圖

∴f(x)在上遞減，在上遞減，在上遞增.
(2)
∴圖象為

∴f(x)在上遞增.
舉一反三：
【變式1】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
(1)y=|x+1|； (2)　　　　(3) ；（4）y=|x2-2x-3|.
【答案】（1）函數(shù)的減區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間為(-1，+∞)；（2）上為減函數(shù)；（3）單調(diào)增區(qū)間為：(-∞，0)，單調(diào)減區(qū)間為(0，+∞)；單調(diào)減區(qū)間是（-∞，-1），（1，3）；單調(diào)增區(qū)間是（-1，1），（3，+∞）．
【解析】(1)畫出函數(shù)圖象，
∴函數(shù)的減區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間為(-1，+∞)；
(2)定義域為，其中u=2x-1為增函數(shù)，在(-∞，0)與(0，+∞)為減函數(shù)，則上為減函數(shù)；
(3)定義域為(-∞，0)∪(0，+∞)，單調(diào)增區(qū)間為：(-∞，0)，單調(diào)減區(qū)間為(0，+∞)；
【高清課堂：函數(shù)的單調(diào)性 356705 例3】
（4）先畫出y=x2-2x-3，然后把軸下方的部分關(guān)于軸對稱上去，就得到了所求函數(shù)的圖象，如下圖

所以y=|x2-2x-3|的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，-1），（1，3）；單調(diào)增區(qū)間是（-1，1），（3，+∞）.■

【總結(jié)升華】
（1）數(shù)形結(jié)合利用圖象判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
（2）關(guān)于二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題，單調(diào)性變化的點與對稱軸相關(guān).
（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析：先求函數(shù)的定義域；再將復(fù)合函數(shù)分解為內(nèi)、外層函數(shù)；利用已知函數(shù)的單調(diào)性解決.關(guān)注：內(nèi)外層函數(shù)同向變化復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)外層函數(shù)反向變化復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).
類型三、單調(diào)性的應(yīng)用(比較函數(shù)值的大小，求函數(shù)值域，求函數(shù)的最大值或最小值)
例3. 已知函數(shù)是定義域為的單調(diào)增函數(shù)．
（1）比較與的大小；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍．
【思路點撥】抽象函數(shù)求字母取值范圍的題目，最終一定要變形成的形式，再依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把符號脫掉得到關(guān)于字母的不等式再求解。
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）因為，所以，由已知，是單調(diào)增函數(shù)，所以．
（2）因為是單調(diào)增函數(shù)，且，所以，解得或．
例4. 求下列函數(shù)的值域：
(1)； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；
(2) ；
(3) ；
(4).
【思路點撥】(1)可應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性；(2)中函數(shù)為二次函數(shù)開方，可先求出二次函數(shù)值域；(3)由單調(diào)性求值域，此題也可換元解決；(4)單調(diào)性無法確定，經(jīng)換元后將之轉(zhuǎn)化為熟悉二次函數(shù)情形，問題得到解決，需注意此時t的范圍.
【答案】（1）1），2）；（2）；（3）；（4）．
【解析】
(1)2個單位，再上移2個單位得到，如圖

1)f(x)在[5，10]上單增，；
2)；
(2) ；
(3)經(jīng)觀察知，，；
(4)令.
舉一反三：
【變式1】已知當(dāng)?shù)亩x域為下列區(qū)間時，求函數(shù)的最大值和最小值.
（1）[0，3]；（2）[-1，1]；（3）[3，+∞）.
【答案】（1）在區(qū)間[0，3]上，當(dāng)時，；當(dāng)時，.
（2）在區(qū)間[-1，1]上，當(dāng)時，；當(dāng)時，.
（3）在區(qū)間[3，+∞）上，當(dāng)時，；在這個區(qū)間上無最大值.
【總結(jié)升華】由本例可知，作出二次函數(shù)的圖象后，利用圖象的形象直觀很容易確定二次函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性，由單調(diào)性不難求出二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.因此，確定二次函數(shù)在所給的閉區(qū)間上的單調(diào)性是求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大（小）值的關(guān)鍵.
例5. 已知函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，求及的取值范圍．
【答案】；．
【解析】∵ 對稱軸是決定單調(diào)性的關(guān)鍵，聯(lián)系圖象可知
只需．
又，∵，，即．
舉一反三：
【變式1】函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【變式2】函數(shù)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)，則（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D




PAGE

展開更多......

收起↑