資源簡介

【鞏固練習】
1．函數的圖象( )
A．關于原點對稱 B．關于軸對稱 C．關于軸對稱 D．不具有對稱軸
2．已知函數為偶函數，則的值是( )
A. B. C. D.
3．設函數，且則等于（ ）
A.-3 B.3 C.-5 D. 5
4．如果奇函數在區間 上是增函數且最大值為，那么在區間上是( )
A．增函數且最小值是 B．增函數且最大值是
C．減函數且最大值是 D．減函數且最小值是
5．設是定義在上的一個函數，則函數，在上一定是( )
A．奇函數 B．偶函數
C．既是奇函數又是偶函數 D．非奇非偶函數.
6．定義在R上的偶函數，滿足，且在區間上為遞增，則( )
A． B．
C． D．
7．若是偶函數，其定義域為，且在上是減函數，則的大小關系是( )
A．> B．<
C． D．
8．若定義在上的函數滿足：對任意有+1，則下列說法一定正確的是（ ）．
A．為奇函數 B． 為偶函數 C．為奇函數 D．為偶函數
9．已知定義在上的奇函數，當時，，那么時， .
10．若函數在上是奇函數，則的解析式為 .
11．奇函數在區間上是增函數，在區間上的最大值為8，最小值為-1，則 .
12．已知函數為偶函數，其定義域為，則的值域 ．
13．判斷下列函數的奇偶性，并加以證明．
(1)； (2)
14．已知奇函數在（-1，1）上是減函數，求滿足的實數的取值范圍．
15．已知是定義在上的不恒為零的函數，且對任意的都滿足．
（1）求的值；
（2）判斷的奇偶性，并證明你的結論．
16．設奇函數是定義在上的增函數，若不等式對于任意都成立，求實數的取值范圍．
【答案與解析】
1. 【答案】B.
【解析】因為，所以是偶函數，其圖象關于軸對稱.
2. 【答案】B.
【解析】 奇次項系數為
3. 【答案】C.
【解析】因為是奇函數，所以，所以
.
4. 【答案】A.
【解析】 奇函數關于原點對稱，左右兩邊有相同的單調性
5. 【答案】A.
【解析】
6. 【答案】A.
【解析】，函數的周期2，又函數是偶函數，在上是增函數，則在上減，在上增，故選A.
7. 【答案】C.
【解析】 ，
8. 【答案】C.
【解析】解法一：（特殊函數法）由條件可取，所以是奇函數.
解法二：令，則，
令，則，
，為奇函數，故選C.
9. 【答案】
【解析】 設，則，，
∵∴，
10. 【答案】
【解析】 ∵∴
即
11. 【答案】
【解析】 在區間上也為遞增函數，即

12．【答案】
【解析】因為函數為上的偶函數，所以即即，所以在上的值域為．
13．【解析】(1)定義域為，，所以是奇函數．
(2)函數的定義域為，當時，，此時，．
當時，，此時，．
當時，．
綜上可知對任意都有，所以為偶函數．
14．【解析】由已知，由為奇函數，所以，
又在上是減函數，
解得

15．【解析】（1）
，．
（2），
．
=
故為奇函數．
16．【解析】由得
為奇函數，．
又在上為增函數，原問題等價于對都成立，即對都成立．
令，問題又轉化為：在上，
或或
解得．
綜上，．





















函數的奇偶性
　
【學習目標】
1.理解函數的奇偶性定義；
2.會利用圖象和定義判斷函數的奇偶性；
3.掌握利用函數性質在解決有關綜合問題方面的應用.
【要點梳理】
要點一、函數的奇偶性概念及判斷步驟
1．函數奇偶性的概念
偶函數：若對于定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)稱為偶函數.
奇函數：若對于定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)稱為奇函數.
要點詮釋：
（1）奇偶性是整體性質；
（2）x在定義域中，那么-x在定義域中嗎？----具有奇偶性的函數，其定義域必定是關于原點對稱的；
（3）f(-x)=f(x)的等價形式為：，
f(-x)=-f(x)的等價形式為：；
（4）由定義不難得出若一個函數是奇函數且在原點有定義，則必有f(0)=0；
（5）若f(x)既是奇函數又是偶函數，則必有f(x)=0.
2.奇偶函數的圖象與性質
（1）如果一個函數是奇函數，則這個函數的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數是奇函數.
（2）如果一個函數為偶函數，則它的圖象關于軸對稱；反之，如果一個函數的圖像關于軸對稱，則這個函數是偶函數.
3.用定義判斷函數奇偶性的步驟
（1）求函數的定義域，判斷函數的定義域是否關于原點對稱，若不關于原點對稱，則該函數既不是奇函數，也不是偶函數，若關于原點對稱，則進行下一步；
（2）結合函數的定義域，化簡函數的解析式；
（3）求，可根據與之間的關系，判斷函數的奇偶性.
若=-，則是奇函數；
若=，則是偶函數；
若，則既不是奇函數，也不是偶函數；
若且=-，則既是奇函數，又是偶函數
要點二、判斷函數奇偶性的常用方法
（1）定義法：若函數的定義域不是關于原點對稱，則立即可判斷該函數既不是奇函數也不是偶函數；若函數的定義域是關于原點對稱的，再判斷與之一是否相等.
（2）驗證法：在判斷與的關系時，只需驗證=0及是否成立即可.
（3）圖象法：奇（偶）函數等價于它的圖象關于原點（軸）對稱.
（4）性質法：兩個奇函數的和仍為奇函數；兩個偶函數的和仍為偶函數；兩個奇函數的積是偶函數；兩個偶函數的積是偶函數；一個奇函數與一個偶函數的積是奇函數.
（5）分段函數奇偶性的判斷
判斷分段函數的奇偶性時，通常利用定義法判斷.在函數定義域內，對自變量的不同取值范圍，有著不同的對應關系，這樣的函數叫做分段函數.分段函數不是幾個函數，而是一個函數.因此其判斷方法也是先考查函數的定義域是否關于原點對稱，然后判斷與的關系.首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應段的函數表達式中，與對應不同的表達式，而它們的結果按奇偶函數的定義進行比較.
要點三、關于函數奇偶性的常見結論
奇函數在其對稱區間[a,b]和[-b，-a]上具有相同的單調性，即已知是奇函數，它在區間[a,b]上是增函數（減函數），則在區間[-b，-a]上也是增函數（減函數）；偶函數在其對稱區間[a,b]和[-b，-a]上具有相反的單調性，即已知是偶函數且在區間[a,b]上是增函數（減函數），則在區間[-b，-a]上也是減函數（增函數）.
【典型例題】
類型一、判斷函數的奇偶性
例1. 判斷下列函數的奇偶性：
(1)； (2)f(x)=x2-4|x|+3 ；
(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)；
(5)； (6)
【思路點撥】利用函數奇偶性的定義進行判斷.
【答案】（1）非奇非偶函數；（2）偶函數；（3）奇函數；（4）奇函數；（5）奇函數；（6）奇函數．
【解析】(1)∵f(x)的定義域為，不關于原點對稱，因此f(x)為非奇非偶函數；
(2)對任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，則f(x)=x2-4|x|+3為偶函數 ；
(3)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)為奇函數；
(4)

，∴f(x)為奇函數；
(5)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)為奇函數；
(6)，∴f(x)為奇函數.
【總結升華】判定函數奇偶性容易失誤是由于沒有考慮到函數的定義域.函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的前提條件，因此研究函數的奇偶性必須“堅持定義域優先”的原則，即優先研究函數的定義域，否則就會做無用功.如在本例（5）中若不研究定義域，在去掉的絕對值符號時就十分麻煩.
舉一反三：
【變式1】判斷下列函數的奇偶性：
(1)； (2)； (3)；
(4).
【答案】（1）奇函數；（2）偶函數；（3）非奇非偶函數；（4）奇函數．
【解析】(1)的定義域是，
又，是奇函數．
（2）的定義域是，
又，是偶函數．
（3）
，∴為非奇非偶函數．
（4）任取x>0則-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)
任取x<0，則-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)
x=0時，f(0)=-f(0) ∴x∈R時，f(-x)=-f(x) ∴f(x)為奇函數.
【高清課堂：函數的奇偶性356732例2（1）】
【變式2】已知f(x)，g(x)均為奇函數，且定義域相同，求證：f(x)+g(x)為奇函數，f(x)·g(x)為偶函數.
證明：設F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)則
F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)
G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)
∴f(x)+g(x)為奇函數，f(x)·g(x)為偶函數.
【高清課堂：函數的奇偶性356732例2（2）】
【變式3】設函數和g(x)分別是R上的偶函數和奇函數，則下列結論
恒成立的是 （ ）.
A．+|g(x)|是偶函數 B．-|g(x)|是奇函數
C．|| +g(x)是偶函數 D．||- g(x)是奇函數
【答案】A
例2.已知函數，若對于任意實數都有，判斷的奇偶性.
【答案】奇函數
【解析】因為對于任何實數，都有，可以令為某些特殊值，得出.
設則，.
又設，則，
，是奇函數.
【總結升華】判斷抽象函數的單調性，可用特殊值賦值法來求解.在這里，由于需要判斷與之間的關系，因此需要先求出的值才行.
舉一反三：
【變式1】 已知函數，若對于任意實數，都有，判斷函數的奇偶性.
【答案】偶函數
【解析】令得，令得
由上兩式得：，即
是偶函數.
類型二、函數奇偶性的應用(求值，求解析式，與單調性結合)
例3. f(x)，g(x)均為奇函數，在上的最大值為5，則在（-）上的最小值為 ．
【答案】 -1
【解析】考慮到均為奇函數，聯想到奇函數的定義，不妨尋求與的關系．
+=
，
．
當時，，
而，，
在上的最小值為-1．
【總結升華】本例很好地利用了奇函數的定義，其實如果仔細觀察還可以發現也是奇函數，從這個思路出發，也可以很好地解決本題．過程如下：時，的最大值為5，時的最大值為3，時的最小值為-3，時，的最小值為-3+2=-1．
舉一反三：
【變式1】已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).
【答案】-26
【解析】法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10
∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26
法二：令g(x)=f(x)+8易證g(x)為奇函數
∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8
∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.
【總結升華】本題要會對已知式進行變形，得出f(x)+8= x5+ax3-bx為奇函數，這是本題的關鍵之處，從而問題便能迎刃而解.
例4. 已知是定義在R上的奇函數，當時，，求的解析式．
【答案】
【解析】是定義在R上的奇函數，
，當時，，

=
又奇函數在原點有定義，．

【總結升華】若奇函數在處有意義，則必有，即它的圖象必過原點（0，0）．
舉一反三：
【高清課堂：函數的奇偶性 356732 例3】
【變式1】（1）已知偶函數的定義域是R，當時，
求的解析式.
（2）已知奇函數的定義域是R，當時，
求的解析式.
【答案】（1）；（2）
例5. 定義域在區間[－2，2]上的偶函數，當x≥0時，是單調遞減的，若成立，求m的取值范圍．
【思路點撥】根據定義域知1－m，m∈[―1，2]，但是1―m，m在[―2，0]，[0，2]的哪個區間內尚不明確，若展開討論，將十分復雜，若注意到偶函數的性質：，可避免討論．
【答案】．
【解析】
由于為偶函數，所以，．因為x≥0時，是單調遞減的，故，所以，解得．
故m的取值范圍是．
【總結升華】在解題過程中抓住偶函數的性質，將1―m，m轉化到同一單調區間上，避免了對由于單調性不同導致1―m與m大小不明確的討論，從而使解題過程得以優化．另外，需注意的是不要忘記定義域．
類型三、函數奇偶性的綜合問題
例6. 已知是偶函數，且在[0，+∞）上是減函數，求函數的單調遞增區間．
【思路點撥】本題考查復合函數單調性的求法。復合函數的單調性由內層函數和外層函數的單調性共同決定，即“同增異減”。
【答案】[0，1]和（―∞，―1]
【解析】 ∵是偶函數，且在[0，+∞）上是減函數，∴在（－∞，0]上是增函數．
設u=1―x2，則函數是函數與函數u=1―x2的復合函數．
∵當0≤x≤1時，u是減函數，且u≥0，而u≥0時，是減函數，根據復合函數的性質，可得是增函數．
∵當x≤－1時，u是增函數，且u≤0，而u≤0時，是增函數，根據復合函數的性質，可得是增函數．
同理可得當－1≤x≤0或x≥1時，是減函數．
∴所求的遞增區間為[0，1]和（―∞，―1]．
【總結升華】（1）函數的奇偶性與單調性的綜合問題主要有兩類：一類是兩個性質交融在一起（如本例），此時要充分利用奇偶函數的圖象的對稱性，從而得到其對稱區間上的單調性；另一類是兩個性質簡單組合，此時只需分別利用函數的這兩個性質解題．
（2）確定復合函數的單調性比較困難，也比較容易出錯．確定x的取值范圍時，必須考慮相應的u的取值范圍．本例中，x≥1時，u仍是減函數，但此時u≤0，不屬于的減區間，所以不能取x≥1，這是應當特別注意的．
例7. 設a為實數，函數f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，試討論f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.
【思路點撥】對a進行討論，把絕對值去掉，然后把f(x)轉化成二次函數求最值問題。
【答案】當a=0時，函數為偶函數；當a≠0時，函數為非奇非偶函數.
當.
【解析】當a=0時，f(x)=x2+|x|+1，此時函數為偶函數；
當a≠0時，f(x)=x2+|x-a|+1，為非奇非偶函數.
(1)當時，
①
且
②上單調遞增，
上的最小值為f(a)=a2+1.
(2)當時，
①上單調遞減，
上的最小值為
②上的最小值為
綜上：
.
舉一反三：
【變式1】 判斷的奇偶性．
【答案】當時，函數既是奇函數，又是偶函數；當時，函數是奇函數．
【解析】對進行分類討論．
若，則．
，定義域關于原點對稱，函數既是奇函數，又是偶函數．
當時，，是奇函數．
綜上，當時，函數既是奇函數，又是偶函數；
當時，函數是奇函數．
例8. 對于函數，若存在x0∈R，使成立，則稱點（x0，x0）為函數的不動點．
（1）已知函數有不動點（1，1），（―3，―3），求a，b的值；
（2）若對于任意的實數b，函數總有兩個相異的不動點，求實數a的取值范圍；
（3）若定義在實數集R上的奇函數存在（有限）n個不動點，求證：n必為奇數．
【答案】（1）a=1，b=3；（2）（0，1）；（3）略．
【解析】 （1）由已知得x=1和x=―3是方程ax2+bx―b=x的根，
由違達定理a=1，b=3．
（2）由已知得：ax2+bx―b=x（a≠0）有兩個不相等的實數根，
∴Δ1=(b－1)2+4ab＞0對于任意的實數b恒成立．
即b2+(4a－2)b+1＞0對于任意的實數b恒成立．
也就是函數的圖象與橫軸無交點．
又二次函數的圖象是開口向上的拋物線，
從而Δ2=(4a―2)2―4＜0，即|4a―2|＜2，∴0＜a＜1．
∴滿足題意的實數a的取值范圍為（0，1）．
（3）∵是R上的奇函數，∴.
令x=0，得，∴．∴（0，0）是的一個不動點．
設（x0，x0）（x0≠0）是的一個不動點，則．
又，∴（―x0，―x0）也是的一個不動點．
又∵x0≠－x0，∴的非零不動點是成對出現的．
又（0，0）也是的一個不動點，∴若存在n個不動點，則n必為奇數．
【總結升華】本例是一個信息遷移問題，解這類問題關鍵在于準確理解新定義，充分利用新定義分析解決問題．本例的“不動點”實質是關于x的方程的解的問題．本例（3）的解決主要是結合奇函數關于原點的對稱性從而得到有關的結論．





4



【鞏固練習】
1． 函數是( )
A．奇函數 B．偶函數
C．既是奇函數又是偶函數 D．既不是奇函數又不是偶函數
2．若函數是偶函數，則有 ( )
A. B. C. D.
3．設函數，且則等于（ ）
A.-3 B.3 C.-5 D. 5
4．若偶函數在上是增函數，則下列關系式中成立的是( )
A．　　　B．
C．　　　D．
5．如果奇函數在區間 上是增函數且最大值為，那么在區間上是( )
A．增函數且最小值是 B．增函數且最大值是
C．減函數且最大值是 D．減函數且最小值是
6．設是定義在上的一個函數，則函數，在上一定是( )
A．奇函數 B．偶函數
C．既是奇函數又是偶函數 D．非奇非偶函數.
7．設函數的圖象關于軸對稱，且，則 .
8．如果函數為奇函數，那么= .
9．設函數是定義在R上的奇函數，且，在上單調遞減，在上單調遞減，則不等式的解集為 ．
10．若函數是偶函數，則的遞減區間是____________.
11．函數在R上為奇函數，且，則當，____________.
12．已知函數，，試判斷的奇偶性.
13．設函數是偶函數，且在上是增函數，判斷在上的單調性，并加以證明.
14．定義在上的偶函數滿足：對任意 ，有成立，試比較的大小.

【答案與解析】
1. 【答案】A.
2. 【答案】D.
【解析】 因為函數是偶函數，所以，即，整理得，故選D.
3. 【答案】C.
【解析】 因為是奇函數，所以，所以
.
4. 【答案】D.
【解析】
5. 【答案】A.
【解析】奇函數關于原點對稱，左右兩邊有相同的單調性
6. 【答案】 A.
【解析】
7. 【答案】
【解析】因為是偶函數，所以，所以.
8. 【答案】0
【解析】因為為奇函數，所以，所以，所以.
9. 【答案】
【解析】 奇函數關于原點對稱，補足左邊的圖象，可知的解集．
10. 【答案】
【解析】
11. 【答案】.
12．【解析】 ，
畫出的圖象可觀察到它關于原點對稱或當時，，
則
當時，，則

都是奇函數.
13．【解析】結論：在上是減函數.
證明：任取，且.
由是偶函數，所以.
，且在上是增函數，.
，故在上是減函數.
14．【解析】，，
當時，，
在為單調減函數，.
又偶函數，.
故.





















函數的奇偶性
　
【學習目標】
1.理解函數的奇偶性定義；
2.會利用圖象和定義判斷函數的奇偶性；
3.掌握利用函數性質在解決有關綜合問題方面的應用.
【要點梳理】
要點一、函數的奇偶性概念及判斷步驟
1．函數奇偶性的概念
偶函數：若對于定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)稱為偶函數.
奇函數：若對于定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)稱為奇函數.
要點詮釋：
（1）奇偶性是整體性質；
（2）x在定義域中，那么-x在定義域中嗎？----具有奇偶性的函數，其定義域必定是關于原點對稱的；
（3）f(-x)=f(x)的等價形式為：，
f(-x)=-f(x)的等價形式為：；
（4）由定義不難得出若一個函數是奇函數且在原點有定義，則必有f(0)=0；
（5）若f(x)既是奇函數又是偶函數，則必有f(x)=0.
2.奇偶函數的圖象與性質
（1）如果一個函數是奇函數，則這個函數的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數是奇函數.
（2）如果一個函數為偶函數，則它的圖象關于軸對稱；反之，如果一個函數的圖像關于軸對稱，則這個函數是偶函數.
3.用定義判斷函數奇偶性的步驟
（1）求函數的定義域，判斷函數的定義域是否關于原點對稱，若不關于原點對稱，則該函數既不是奇函數，也不是偶函數，若關于原點對稱，則進行下一步；
（2）結合函數的定義域，化簡函數的解析式；
（3）求，可根據與之間的關系，判斷函數的奇偶性.
若=-，則是奇函數；
若=，則是偶函數；
若，則既不是奇函數，也不是偶函數；
若且=-，則既是奇函數，又是偶函數
要點二、判斷函數奇偶性的常用方法
（1）定義法：若函數的定義域不是關于原點對稱，則立即可判斷該函數既不是奇函數也不是偶函數；若函數的定義域是關于原點對稱的，再判斷與之一是否相等.
（2）驗證法：在判斷與的關系時，只需驗證=0及是否成立即可.
（3）圖象法：奇（偶）函數等價于它的圖象關于原點（軸）對稱.
（4）性質法：兩個奇函數的和仍為奇函數；兩個偶函數的和仍為偶函數；兩個奇函數的積是偶函數；兩個偶函數的積是偶函數；一個奇函數與一個偶函數的積是奇函數.
（5）分段函數奇偶性的判斷
判斷分段函數的奇偶性時，通常利用定義法判斷.在函數定義域內，對自變量的不同取值范圍，有著不同的對應關系，這樣的函數叫做分段函數.分段函數不是幾個函數，而是一個函數.因此其判斷方法也是先考查函數的定義域是否關于原點對稱，然后判斷與的關系.首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應段的函數表達式中，與對應不同的表達式，而它們的結果按奇偶函數的定義進行比較.
要點三、關于函數奇偶性的常見結論
奇函數在其對稱區間[a,b]和[-b，-a]上具有相同的單調性，即已知是奇函數，它在區間[a,b]上是增函數（減函數），則在區間[-b，-a]上也是增函數（減函數）；偶函數在其對稱區間[a,b]和[-b，-a]上具有相反的單調性，即已知是偶函數且在區間[a,b]上是增函數（減函數），則在區間[-b，-a]上也是減函數（增函數）.
【典型例題】
類型一、判斷函數的奇偶性
例1. 判斷下列函數的奇偶性：
(1)； (2)f(x)=x2-4|x|+3 ；
(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)；
(5)； (6)．
【思路點撥】利用函數奇偶性的定義進行判斷.
【答案】（1）非奇非偶函數；（2）偶函數；（3）奇函數；（4）奇函數；（5）奇函數；（6）奇函數．
【解析】(1)∵f(x)的定義域為，不關于原點對稱，因此f(x)為非奇非偶函數；
(2)對任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，則f(x)=x2-4|x|+3為偶函數 ；
(3)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)為奇函數；
(4)

，∴f(x)為奇函數；
(5)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)為奇函數；
(6)，∴f(x)為奇函數.
【總結升華】判定函數奇偶性容易失誤是由于沒有考慮到函數的定義域.函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的前提條件，因此研究函數的奇偶性必須“堅持定義域優先”的原則，即優先研究函數的定義域，否則就會做無用功.如在本例（4）中若不研究定義域，在去掉的絕對值符號時就十分麻煩.
舉一反三：
【變式1】判斷下列函數的奇偶性：
(1)； (2)； (3)；
(4).
【答案】（1）奇函數；（2）偶函數；（3）非奇非偶函數；（4）奇函數．
【解析】(1)的定義域是，
又，是奇函數．
（2）的定義域是，
又，是偶函數．
（3）函數定義域為，定義域不關于原點對稱，∴為非奇非偶函數．
（4）任取x>0則-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)
任取x<0，則-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)
x=0時，f(0)=-f(0) ∴x∈R時，f(-x)=-f(x) ∴f(x)為奇函數.
【高清課堂：函數的奇偶性356732例2（1）】
【變式2】已知f(x)，g(x)均為奇函數，且定義域相同，求證：f(x)+g(x)為奇函數，f(x)·g(x)為偶函數.
證明：設F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)則
F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)
G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)
∴f(x)+g(x)為奇函數，f(x)·g(x)為偶函數.
【高清課堂：函數的奇偶性 356732 例2（2）】
【變式3】設函數和g(x)分別是R上的偶函數和奇函數，則下列結論
恒成立的是 （ ）.
A．+|g(x)|是偶函數 B．-|g(x)|是奇函數
C．|| +g(x)是偶函數 D．||- g(x)是奇函數
【答案】A
類型二、函數奇偶性的應用(求值，求解析式，與單調性結合)
例2.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).
【答案】-26
【解析】法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10
∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26
法二：令g(x)=f(x)+8易證g(x)為奇函數
∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8
∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.
【總結升華】本題要會對已知式進行變形，得出f(x)+8= x5+ax3-bx為奇函數，這是本題的關鍵之處，從而問題便能迎刃而解.
舉一反三：
【變式1】已知為奇函數，，則為（ ）．
【答案】6
【解析】，又為奇函數，所以．
例3.已知是定義在R上的奇函數，當時，，求的解析式．
【答案】
【解析】是定義在R上的奇函數，
，當時，，

=
又奇函數在原點有定義，．

【總結升華】若奇函數在處有意義，則必有，即它的圖象必過原點（0，0）．
舉一反三：
【高清課堂：函數的奇偶性356732 例3】
【變式1】（1）已知偶函數的定義域是R，當時，求的解析式.
（2）已知奇函數的定義域是R，當時，，求的解析式.
【答案】（1）；（2）
例4.設定義在[-2，2]上的偶函數f(x)在[0，2]上是單調遞增，當時，求的取值范圍.
【答案】
【解析】∵f(a-1)而|a+1|，|a|∈[0，2]
.
【總結升華】若一個函數是偶函數，則一定有，這樣就減少了討論的麻煩．
類型三、函數奇偶性的綜合問題
例5．設a為實數，函數f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，試討論f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.
【思路點撥】對a進行討論，把絕對值去掉，然后把f(x)轉化成二次函數求最值問題。
【答案】當a=0時，函數為偶函數；當a≠0時，函數為非奇非偶函數. 當當.
【解析】當a=0時，f(x)=x2+|x|+1，此時函數為偶函數；
當a≠0時，f(x)=x2+|x-a|+1，為非奇非偶函數.
(1)當時，
① 且
②上單調遞增，
上的最小值為f(a)=a2+1.
(2)當時，
①上單調遞減，上的最小值為
②上的最小值為
綜上：
.
舉一反三：
【變式1】 判斷的奇偶性．
【答案】當時，函數既是奇函數，又是偶函數；
當時，函數是奇函數．
【解析】對進行分類討論．
若，則．
，定義域關于原點對稱，函數既是奇函數，又是偶函數．
當時，，是奇函數．
綜上，當時，函數既是奇函數，又是偶函數；
當時，函數是奇函數．
例6. 已知是偶函數，且在[0，+∞）上是減函數，求函數的單調遞增區間．
【思路點撥】本題考查復合函數單調性的求法。復合函數的單調性由內層函數和外層函數的單調性共同決定，即“同增異減”。
【答案】[0，1]和（―∞，―1]
【解析】 ∵是偶函數，且在[0，+∞）上是減函數，∴在（－∞，0]上是增函數．
設u=1―x2，則函數是函數與函數u=1―x2的復合函數．
∵當0≤x≤1時，u是減函數，且u≥0，而u≥0時，是減函數，根據復合函數的性質，可得是增函數．
∵當x≤－1時，u是增函數，且u≤0，而u≤0時，是增函數，根據復合函數的性質，可得是增函數．
同理可得當－1≤x≤0或x≥1時，是減函數．
∴所求的遞增區間為[0，1]和（―∞，―1]．
【總結升華】（1）函數的奇偶性與單調性的綜合問題主要有兩類：一類是兩個性質交融在一起（如本例），此時要充分利用奇偶函數的圖象的對稱性，從而得到其對稱區間上的單調性；另一類是兩個性質簡單組合，此時只需分別利用函數的這兩個性質解題．
（2）確定復合函數的單調性比較困難，也比較容易出錯．確定x的取值范圍時，必須考慮相應的u的取值范圍．本例中，x≥1時，u仍是減函數，但此時u≤0，不屬于的減區間，所以不能取x≥1，這是應當特別注意的．




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