資源簡介

集合與函數綜合

【鞏固練習】
1. 已知集合，則集合等于( )
A. {2} B. {3} C. {-2,3} D. {-3,2}
2.已知{a，b}，則滿足條件的集合A的個數為( )
A. 8 B. 7 C. 4 D. 3
3. 已知集合M={x|-1≤x＜2}，N={x|x≤a}，若，那么實數a的取值范圍是( )
A. {a|a＜2} B. {a|a＞-1} C. {a|-1≤a≤1} D. {a|a≥-1}
4.函數的定義域為（ ）
A. B. Ｃ. 　　　Ｄ.
5.設集合，則從A到B的對應法則是映射的是（ ）
A. B. C. D.
6.設為常數，函數．若為偶函數，則等于( )
A.-2 B. 2 C. -1 D. 1
7.若偶函數在上是增函數，則下列關系式中成立的是( )
A. B.
C. D.
8. 設函數 若，則的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
9.已知集合A={x||2x-3|≤7}，B=，若AB=B，則實數的取值范圍為 .
10.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，則f(2)= .
11.設，則 ， .
12.函數在區間上是增函數，則的取值范圍是 .
13. 設A={x|4ax2+(a+3)x+1=0}，B={x|x>0}，若，求實數a的取值范圍．
14．已知函數.
① 當時，求函數的最大值和最小值；
② 求實數的取值范圍，使在區間上是單調函數．
【答案與解析】
1. 【答案】A
【解析】化簡集合，故
2. 【答案】B
【解析】集合A中一定有元素，所以含有三個元素的A有三個，含有四個元素的A也有三個，含有五個元素的A有一個，所以共有7個．
3. 【答案】D
【解析】 如右圖所示，欲使，，故選D

4. 【答案】D
【解析】要使式子有意義，則解之得或，故選D．
5. 【答案】D
【解析】 由映射的定義知D正確．
6. 【答案】B
【解析】因為為偶函數，即=為偶函數，所以，解得．
7. 【答案】D
【解析】因為偶函數，所以．又因為在上是增函數，所以在上是減函數，所以，故選D．
8. 【答案】B
【解析】若，解得或，即；若，解得，故選B．
9. 【答案】(5，+∞)
【解析】因為AB=B，所以,化簡集合，故．
10. 【答案】-26
【解析】把代入，比較兩個式子，即可求得．
11. 【答案】 ，
【解析】分段代入求值即得．
12. 【答案】
【解析】據區間定義中有：①；又，時，是區間上的增函數②；由①②得．
13.【解析】 (1)a=0時，，符合題意；
(2)a≠0且△<0時，1(3)；
綜上，a≥0.
14．【解析】對稱軸
∴
（2）對稱軸當或時，在上單調
∴或．










集合與函數綜合

【學習目標】
1.集合
（1）理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；
（2）理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；
（3）理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；
（4）能使用Venn圖表達集合的關系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.
2.函數
(1)會用集合與對應的語言刻畫函數；會求一些簡單函數的定義域和值域，初步掌握換元法的簡單運用.
(2)能正確認識和使用函數的三種表示法：解析法，列表法和圖象法．了解每種方法的優點．在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數；
(3)求簡單分段函數的解析式；了解分段函數及其簡單應用；
（4）理解函數的單調性、最大（小）值及其幾何意義；集合具體函數了解奇偶性的含義；
（5）能運用函數的圖象理解和研究函數的性質.
【知識網絡】

【要點梳理】
一、集合
1．集合含義與表示
（1）某些指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集．其中每個對象叫做元素．集合中的元素具有確定性、互異性和無序性．
（2）集合常用的表示方法有：列舉法、描述法、圖示法．它們各有優點，要根據具體需要選擇恰當的方法．
2．集合間的關系
（1）若集合中A的任何元素都是集合B的元素，則稱集合A是集合B的子集，記為“AB”或“BA”．
（2）若AB，且B中至少存在一個元素不是A的元素，則A是B的真子集，記為“AB”或“BA”．
（3）若兩個集合的元素完全一樣，則這兩個集合相等，記為“A=B”．判斷集合相等還可以用下面兩種方法：且A=B；．
要點詮釋：
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．換言之，任何集合至少有一個子集．
3．集合的基本運算
（1）由所有屬于集合A或屬于集合B的元素構成的集合，叫A與B的并集，記作“A∪B”．用數學語言表示為A∪B={x|x∈A，且x∈B}．
（2）由所有屬于集合A且屬于集合B的元素構成的集合，叫A與B的交集，記作“A∩B”．用數學語言表示為A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
（3）若已知全集U，A是U的子集，則由所有U中不屬于A的元素構成的集合稱為集合A在U中的補集．記作“”．用數學語言表示為．
要點詮釋：
；．
二、函數及其表示
1．兩個函數相等的條件
用集合與對應的語言刻畫函數，與初中的“用變量的觀點描述函數”實質上是一致的．函數有三要素——定義域、值域、對應關系，它們是不可分割的一個整體．當且僅當兩個函數的三要素完全相同時，這兩個函數相等．
2．函數的常用表示方法
函數的常用表示方法有：圖象法、列表法、解析法．注意領會在實際情境中根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數．
3．映射
設A、B是兩個非空集合，如果按某一個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x（原象），在集合B中都有唯一確定的元素（象）與之對應，那么就稱對應f：A→B為從集合A到集合B的一個映射．由映射定義知，函數是一種特殊的映射，即函數是兩個非空的數集間的映射．
三、函數的性質
1．函數的單調性
（1）如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量x1，x2，當x1＜x2時，都有，那么就說函數在區間D上是增函數．
（2）如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量x1，x2，當x1＜x2時，都有，那么就說函數在區間D上是減函數．
（3）若函數在某個區間上總是遞增（或遞減）的，則該區間是函數的一個單調增（或減）區間．若函數在整個定義域上總是遞增（或遞減）的，則稱該函數為單調增（或減）函數．
2．函數的奇偶性
（1）若一個函數具有奇偶性，則它的定義域一定關于原點對稱，如果一個函數的定義域不關于原點對稱，那么它就失去了是奇函數或是偶函數的條件，即這個函數既不是奇函數也不是偶函數．
（2）若奇函數的定義域內有零，則由奇函數定義知，即，所以．
（3）奇、偶性圖象的特點
如果一個函數是奇函數，則這個函數的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數是奇函數．
如果一個函數是偶函數，則它的圖象是以y軸為對稱軸的對稱圖形；反之，如果一個函數的圖象是y軸為對稱軸的軸對稱圖形，則這個函數是偶函數．
【典型例題】
類型一：集合的關系及運算
例1．已知全集U=R，集合M={x|－2≤x－1≤2}和N={x|x=2k－1，k=1，2，…}的關系的韋恩（Venn）圖如下圖所示，則陰影部分所示的集合的元素區有（ ）

A．3個 B．2個 C．1個 D．無窮多個
【答案】B
【解析】 ∵陰影部分為M∩N={x|－2≤x－1≤2}∩{x|x=2k―1，k=1，2，…}={x|―1≤x≤3}∩{x|x=2k－1，k=1，2，…}={1，3}，∴陰影部分所示的集合的元素區有2個，故選B項．
【總結升華】具體集合（給出或可以求得元素的集合）的交、并、補運算，以及集合間關系的判定、子集的個數問題是每年高考重點考查的對象，因而也是高考命題的熱點．
舉一反三：
【高清課堂：集合與函數性質綜合377492例4】
【變式1】設全集為，，，
求及．
【答案】=；=.
例2．設非空集合滿足：當x∈S時，有x2∈S.給出如下三個命題：
①若m=1，則S={1}；②若，則≤l≤1；③，則．
其中正確命題的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路點撥】根據題中條件：“當x∈S時，有x2∈S”對三個命題一一進行驗證即可：對于①m=1，得，對于②，則，對于③若，則，最后解出不等式，根據解出的結果與四個命題的結論對照，即可得出正確結果有幾個．
【答案】D
【解析】 若m=1，則x=x2，可得x=1或x=0（舍去），則S={1}，因此命題①正確；若，當時，，故，當時，，則，可得或（舍去），故，∴，因此命題②正確；若，則，得，因此命題③正確．
類型二：映射
例3．設集合，f是A到B的映射，并滿足．
（1）求B中元素（3，－4）在A中的原象；
（2）試探索B中有哪些元素在A中存在原象；
（3）求B中元素（a，b）在A中有且只有一個原象時，a，b所滿足的關系式．
【思路點撥】本例是一道與方程綜合的題目，關鍵是將題目轉化為我們所熟悉的映射的知識．
【解析】
（1）設（x，y）是（3，－4）在A中的原象，
于是，解得或，
∴（―3，4）在A中的原象是（―1，3）或（―3，1）．
（2）設任意（a，b）∈B在A中有原象（x，y），
應滿足
由②可得y=x―b，代入①得x2―bx+a=0． ③
當且僅當Δ=b2―4a≥0時，方程③有實根．
∴只有當B中元素滿足b2－4a≥0時，才在A中有原象．
（3）由以上（2）的解題過程知，只有當B中元素滿足b2=4a時，它在A中有且只有一個原象．
【總結升華】高考對映射考查較少，考查時只涉及映射的概念，因此我們必須準確地把握映射的概念，并靈活地運用它解決有關問題．
舉一反三：
【變式1】 已知a，b為兩個不相等的實數，集合，，表示把M中的元素x映射到集合N中仍為x，則a+b等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 D
【解析】 由已知可得M=N，故，a、b是方程x2－4x+2=0的兩根，故a+b=4．
類型三：函數的概念及性質
【高清課堂：集合與函數性質綜合377492 例2】例4．設定義在R上的函數y= f（x）是偶函數,且f（x）在（－∞，0）為增函數．若對于，且，則有 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因為，且，所以，畫出y= f（x）的圖象，數形結合知，只有選項D正確．
【總結升華】對函數性質的綜合考查是高考命題熱點問題．這類問題往往涉及函數單調性、奇偶性、函數圖象的對稱性，以及題目中給出的函數性質．解決這類問題的關鍵在于“各個擊破”，也就是涉及哪個性質，就利用該性質來分析解決問題．
舉一反三：
【變式1】 定義在R上的偶函數f (x)，對任意x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題知，為偶函數，故，又知x∈[0，+∞）時，為減函數，且3＞2＞1，∴，即．故選A．
例5．設偶函數滿足，則（ ）
A．{x|x＜－2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4}
C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜－2或x＞2}
【答案】 B
【解析】 當x＜0時，－x＞0，
∴，
又是偶函數，
∴，
∴，
∴，
或．
解得x＞4或x＜0，故選B．
例6．設函數的定義域為，若所有點 構成一個正方形區域，則的值為（ ）
A．－2 B．－4 C．－8 D．不能確定
【答案】 B
【解析】 依題意，設關于x的不等式ax2+bx+c≥0（a＜0）的解集是[x1，x2]（x1＜x2），且，，的最大值是．依題意，當s∈[x1，x2]的取值一定時，取遍中的每一個組，相應的圖形是一條線段；當s取遍[x1，x2]中的每一個值時，所形成的圖形是一個正方形區域（即相當于將前面所得到的線段在坐標平面內平移所得），因此有，．又a＜0，因此a=－4，選B項．
舉一反三：
【變式1】若函數的定義域是[0，2]，則函數的定義域是（ ）
A．[0，1] B．[0，1） C．[0，1）∪（1，4] D．（0，1）
【答案】 B
【解析】 要使有意義，則，解得0≤x＜1，故定義域為[0，1），選B．
例7．已知函數的最大值為M，最小值為m，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】 C
【解析】 函數的定義域為[－3，1]．
又．
而，∴4≤y2≤8．
又y＞0，∴．∴，m=2．
∴．故選C項．
舉一反三：
【變式1】（1）函數（x∈R）的值域是________．
【答案】[0，1）
【解析】（1）注意到x2≥0，故可以先解出x2，再利用函數的有界性求出函數值域．由，得，∴，解之得0≤y＜1．故填[0，1）．
例8．設函數．
（1）畫出函數的圖象；
（2）若不等式的解集非空，求a的取值范圍．
【解析】 （1）由于，則函數的圖象如圖所示．
（2）由函數與函數y=ax的圖象可知，當且僅當或a＜―2時，函數與函數y=ax的圖象有交點．故不等式的解集非空時，a的取值范圍為．
舉一反三：
【變式1】 直線y=1與曲線y=x2－|x|+a有四個交點，則a的取值范圍是________．
【答案】
【解析】 如圖，作出y=x2－|x|+a的圖象，若要使y=1與其有四個交點，則需滿足，解得．




例9. 已知函數（x≠0，常數a∈R）．
（1）討論函數的奇偶性，并說明理由；
（2）若函數在x∈[2，+∞）上為增函數，求a的取值范圍．
【思路點撥】（1）對進行分類討論，然后利用奇函數的定義去證明即可。（2）由題意知，任取2≤x1＜x2，則有恒成立，即可得的取值范圍。
【解析】 （1）當a=0時，，對任意x∈（－∞，0）∪（0，+∞），，∴為偶函數．
當a≠0時，（a≠0，x≠0），
取x=±1，得，
∴，，
∴函數既不是奇函數，也不是偶函數．
（2）解法一：設2≤x1＜x2，
，要使函數在x∈[2，+∞）上為增函數，必須恒成立．
∵x1－x2＜0，x1 x2＞4，即a＜x1 x2 (x1+ x2)恒成立．
又∵x1+ x2＞4，∴x1x2(x1+ x2)＞16．
∴a的取值范圍是（－∞，16]．
解法二：當a=0時，，顯然在[2，+∞）上為增函數．
當a＜0時，反比例函數在[2，+∞）上為增函數，
∴在[2，+∞）上為增函數．
當a＞0時，同解法一．
【總結升華】 函數的奇偶性與單調性是函數的重要性質，因而也是高考命題的熱點．應運用研究函數的奇偶性與單調性的基本方法，來分析解決問題．
舉一反三：
【高清課堂：集合與函數性質綜合377492 例5】
【變式1】已知函數，且f（1）=1．
（1）求實數k的值及函數的定義域；
（2）判斷函數在（0，+∞）上的單調性，并用定義加以證明．
【解析】（1），，定義域為：．
（2）在（0，+∞）上任取，則

=


所以函數在上單調遞增．


















集合與函數綜合

【鞏固練習】
1．設全集,，則集合等于（ ）．
A. B. C. D.
2.已知{a，b}，則滿足條件的集合A的個數為( )
A. 8 B. 7 C. 4 D. 3
3. 已知集合M={x|-1≤x＜2}，N={x|x≤a}，若，那么實數的取值范圍是( )
A. {a|a<2} B. {a|a>-1} C. {a|-1≤a≤1} D. {a|a≥-1}
4.函數的定義域為（ ）
A. B. Ｃ. 　　　Ｄ.
5.函數的單調遞減區間是（ ）
A. B. C. D.
6.設是上的任意函數，則下列敘述正確的是( )
A. 是奇函數 B. 是奇函數
C. 是偶函數 D. 是偶函數
7. 已知函數，則不等式的解集是（ ）
A． B．{x|x≤1}
C． D．
8.實數滿足，則的最大值是（ ）
A．23 B．21 C．19 D． 17．
9.設，則函數的值域是 .
10.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，則f(2)= .
11.函數是定義在上的偶函數，且則的解析式可以是 .（寫出一個符合條件的函數即可）
12.關于函數，有下列四個結論：
①當時，函數在區間上單調遞增；
②當時，函數在區間上單調遞減；
③對于任意，必有成立；
④對于任意，必有成立．
其中正確的論斷序號是 ．（將全部正確結論的序號都填上）
13. 已知函數f(x)=-x2+2ax-a2+1
(1)若函數f(x)在區間[0，2]上是單調的，求實數a取值范圍；
(2)當x[-1，1]時，求函數f(x)的最大值g(a)，并畫出最大值函數y=g(a)的圖象．
14. 已知實數，將函數f(x)=ax2-2x+1在區間[1，3]上的最大值和最小值分別表示為a的函數M(a)，N(a)，令g(a)=M(a)-N(a).
(1)求g(a)的表達式；
(2)判斷函數g(a)在區間上的單調性，并求出g(a)的最小值．
15．已知函數的定義域是，且滿足,,如果對于,都有．
（1）求；
（2）解不等式．

【答案與解析】
1. 【答案】B
【解析】 由補集的概念知B正確．
2. 【答案】B
【解析】集合A中一定有元素，所以含有三個元素的A有三個，含有四個元素的A也有三個，含有五個元素的A有一個，所以共有7個．
3. 【答案】D
【解析】如右圖所示，欲使，，故選D．
4. 【答案】A
【解析】要使式子有意義，須，解得或．
5. 【答案】C
【解析】先畫出的圖象，然后把軸下方的部分關于軸翻折上去，就得的圖象，由圖象知單調遞減區間是．
6. 【答案】D
【解析】令，則，所以它不是奇函數，故A選項不對；同理選項B、C都不對，只有選項D正確．
7. 【答案】C
【解析】由題意得不等式等價于（1）或（2），解不等式組（1）得x＜－1；解不等式組（2）得．因此原不等式的解集是，選C項．
8. 【答案】C
【解析】 C ．．故當時，取得最大值19．
9. 【答案】
10. 【答案】-26
【解析】 把代入，比較兩個式子，即可求得．
11. 【答案】答案不唯一，如等
12. 【答案】 ②③④
13.【解析】 (1)
(2)當a≤-1時，f(x)的最大值為f(-1)=-a2-2a
當-1當a≥1時，f(x)的最大值為f(1)=-a2+2a
所以

14.【解析】(1)f(x)的對稱軸為：，分以下兩種情況討論；
①當M(a)=f(3)=9a-5，

②當，M(a)=f(1)=a-1，

綜上，
(2)當單調遞減，
當單調遞增

15.【解析】 （1）令，則
（2）

，
則．












集合與函數綜合
【學習目標】
1.集合
（1）理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；
（2）理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；
（3）理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；
（4）能使用Venn圖表達集合的關系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.
2.函數
(1)會用集合與對應的語言刻畫函數；會求一些簡單函數的定義域和值域，初步掌握換元法的簡單運用；
(2)能正確認識和使用函數的三種表示法：解析法，列表法和圖象法．了解每種方法的優點．在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數；
(3)求簡單分段函數的解析式；了解分段函數及其簡單應用；
（4）理解函數的單調性、最大（小）值及其幾何意義；集合具體函數了解奇偶性的含義；
（5）能運用函數的圖象理解和研究函數的性質．
【知識網絡】

【要點梳理】
一、集合
1．集合含義與表示
（1）某些指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集．其中每個對象叫做元素．集合中的元素具有確定性、互異性和無序性．
（2）集合常用的表示方法有：列舉法、描述法、圖示法．它們各有優點，要根據具體需要選擇恰當的方法．
2．集合間的關系
（1）若集合中A的任何元素都是集合B的元素，則稱集合A是集合B的子集，記為“AB”或“BA”．
（2）若AB，且B中至少存在一個元素不是A的元素，則A是B的真子集，記為“AB”或“BA”．
（3）若兩個集合的元素完全一樣，則這兩個集合相等，記為“A=B”．判斷集合相等還可以用下面兩種方法：且A=B；．
要點詮釋：
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．換言之，任何集合至少有一個子集．
3．集合的基本運算
（1）由所有屬于集合A或屬于集合B的元素構成的集合，叫A與B的并集，記作“A∪B”．用數學語言表示為A∪B={x|x∈A，且x∈B}．
（2）由所有屬于集合A且屬于集合B的元素構成的集合，叫A與B的交集，記作“A∩B”．用數學語言表示為A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
（3）若已知全集U，A是U的子集，則由所有U中不屬于A的元素構成的集合稱為集合A在U中的補集．記作“”．用數學語言表示為．
要點詮釋：
；．
二、函數及其表示
1．兩個函數相等的條件
用集合與對應的語言刻畫函數，與初中的“用變量的觀點描述函數”實質上是一致的．函數有三要素——定義域、值域、對應關系，它們是不可分割的一個整體．當且僅當兩個函數的三要素完全相同時，這兩個函數相等．
2．函數的常用表示方法
函數的常用表示方法有：圖象法、列表法、解析法．注意領會在實際情境中根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數．
3．映射
設A、B是兩個非空集合，如果按某一個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x（原象），在集合B中都有唯一確定的元素（象）與之對應，那么就稱對應f：A→B為從集合A到集合B的一個映射．由映射定義知，函數是一種特殊的映射，即函數是兩個非空的數集間的映射．
三、函數的性質
1．函數的單調性
（1）如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量x1，x2，當x1＜x2時，都有，那么就說函數在區間D上是增函數．
（2）如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量x1，x2，當x1＜x2時，都有，那么就說函數在區間D上是減函數．
（3）若函數在某個區間上總是遞增（或遞減）的，則該區間是函數的一個單調增（或減）區間．若函數在整個定義域上總是遞增（或遞減）的，則稱該函數為單調增（或減）函數．
2．函數的奇偶性
（1）若一個函數具有奇偶性，則它的定義域一定關于原點對稱，如果一個函數的定義域不關于原點對稱，那么它就失去了是奇函數或是偶函數的條件，即這個函數既不是奇函數也不是偶函數．
（2）若奇函數的定義域內有零，則由奇函數定義知，即，所以．
（3）奇、偶性圖象的特點
如果一個函數是奇函數，則這個函數的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數是奇函數．
如果一個函數是偶函數，則它的圖象是以y軸為對稱軸的對稱圖形；反之，如果一個函數的圖象是y軸為對稱軸的軸對稱圖形，則這個函數是偶函數．
【典型例題】
類型一：集合的關系及運算
例1．已知全集U=R，集合M={x|－2≤x－1≤2}和N={x|x=2k－1，k=1，2，…}的關系的韋恩（Venn）圖如下圖所示，則陰影部分所示的集合的元素區有（ ）

A．3個 B．2個 C．1個 D．無窮多個
【答案】B
【解析】 ∵陰影部分為M∩N={x|－2≤x－1≤2}∩{x|x=2k―1，k=1，2，…}={x|―1≤x≤3}∩{x|x=2k－1，k=1，2，…}={1，3}，∴陰影部分所示的集合的元素區有2個，故選B項．
【總結升華】具體集合（給出或可以求得元素的集合）的交、并、補運算，以及集合間關系的判定、子集的個數問題是每年高考重點考查的對象，因而也是高考命題的熱點．
舉一反三：
【高清課堂：集合與函數性質綜合377492 例4】
【變式1】設全集為，，，
求及．
【答案】=；=.
例2．設非空集合滿足：當x∈S時，有x2∈S.給出如下三個命題：
①若m=1，則S={1}；②若，則≤l≤1；③，則．
其中正確命題的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路點撥】根據題中條件：“當x∈S時，有x2∈S”對三個命題一一進行驗證即可：對于①m=1，得，對于②，則，對于③若，則，最后解出不等式，根據解出的結果與四個命題的結論對照，即可得出正確結果有幾個．
【答案】D
【解析】 若m=1，則x=x2，可得x=1或x=0（舍去），則S={1}，因此命題①正確；若，當時，，故，當時，，則，可得或（舍去），故，∴，因此命題②正確；若，則，得，因此命題③正確．
類型二：映射
例3．設集合，f是A到B的映射，并滿足．
（1）求B中元素（3，－4）在A中的原象；
（2）試探索B中有哪些元素在A中存在原象；
（3）求B中元素（a，b）在A中有且只有一個原象時，a，b所滿足的關系式．
【思路點撥】本例是一道與方程綜合的題目，關鍵是將題目轉化為我們所熟悉的映射的知識．
【答案】（1）（―1，3）或（―3，1）；（2）b2－4a≥0；（3）b2=4a
【解析】
（1）設（x，y）是（3，－4）在A中的原象，
于是，解得或，
∴（―3，4）在A中的原象是（―1，3）或（―3，1）．
（2）設任意（a，b）∈B在A中有原象（x，y），
應滿足
由②可得y=x―b，代入①得x2―bx+a=0． ③
當且僅當Δ=b2―4a≥0時，方程③有實根．
∴只有當B中元素滿足b2－4a≥0時，才在A中有原象．
（3）由以上（2）的解題過程知，只有當B中元素滿足b2=4a時，它在A中有且只有一個原象．
【總結升華】高考對映射考查較少，考查時只涉及映射的概念，因此我們必須準確地把握映射的概念，并靈活地運用它解決有關問題．
舉一反三：
【變式1】 已知a，b為兩個不相等的實數，集合，，表示把M中的元素x映射到集合N中仍為x，則a+b等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 D
【解析】 由已知可得M=N，故，a、b是方程x2－4x+2=0的兩根，故a+b=4．
類型三：函數的概念及性質
【高清課堂：集合與函數性質綜合377492 例2】例4．設定義在R上的函數y= f（x）是偶函數,且f（x）在（－∞，0）為增函數．若對于，且，則有 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因為，且，所以，畫出y= f（x）的圖象，數形結合知，只有選項D正確．
【總結升華】對函數性質的綜合考查是高考命題熱點問題．這類問題往往涉及函數單調性、奇偶性、函數圖象的對稱性，以及題目中給出的函數性質．解決這類問題的關鍵在于“各個擊破”，也就是涉及哪個性質，就利用該性質來分析解決問題．
舉一反三：
【變式1】（1）已知定義在R上的奇函數滿足，且在區間[0，2]上是增函數，則（ ）
A． B．
C． D．
（2）定義在R上的偶函數f (x)，對任意x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】（1）D （2）A
【解析】（1）由函數是奇函數且在[0，2]上是增函數可以推知在[－2，2]上遞增，又，故函數以8為周期，，，，故．故選D．
（2）由題知，為偶函數，故，又知x∈[0，+∞）時，為減函數，且3＞2＞1，∴，即．故選A．
例5．設偶函數滿足，則（ ）
A．{x|x＜－2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4}
C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜－2或x＞2}
【思路點撥】先求的解析式，即，然后再去解這個不等式。
【答案】 B
【解析】 當x＜0時，－x＞0，
∴，
又是偶函數，
∴，
∴，
∴，
或．
解得x＞4或x＜0，故選B．
例6．設函數的定義域為，若所有點 構成一個正方形區域，則的值為（ ）
A．－2 B．－4 C．－8 D．不能確定
【答案】 B
【解析】 依題意，設關于x的不等式ax2+bx+c≥0（a＜0）的解集是[x1，x2]（x1＜x2），且，，的最大值是．依題意，當s∈[x1，x2]的取值一定時，取遍中的每一個組，相應的圖形是一條線段；當s取遍[x1，x2]中的每一個值時，所形成的圖形是一個正方形區域（即相當于將前面所得到的線段在坐標平面內平移所得），因此有，．又a＜0，因此a=－4，選B項．
舉一反三：
【變式1】若函數的定義域是[0，2]，則函數的定義域是（ ）
A．[0，1] B．[0，1） C．[0，1）∪（1，4] D．（0，1）
【答案】 B
【解析】 要使有意義，則，解得0≤x＜1，故定義域為[0，1），選B．
例7．設函數．
（1）畫出函數的圖象；
（2）若不等式的解集非空，求a的取值范圍．
【答案】（1）右圖；（2）．
【解析】 （1）由于，則函數的圖象如圖所示．
（2）由函數與函數y=ax的圖象可知，當且僅當或a＜―2時，函數與函數y=ax的圖象有交點．故不等式的解集非空時，a的取值范圍為．
舉一反三：
【變式1】 直線y=1與曲線y=x2－|x|+a有四個交點，則a的取值范圍是________．
【答案】
【解析】 如圖，作出y=x2－|x|+a的圖象，若要使y=1與其有四個交點，則需滿足，解得．




例8． 已知函數（x≠0，常數a∈R）．
（1）討論函數的奇偶性，并說明理由；
（2）若函數在x∈[2，+∞）上為增函數，求a的取值范圍．
【思路點撥】（1）對進行分類討論，然后利用奇函數的定義去證明即可。（2）由題意知，任取2≤x1＜x2，則有恒成立，即可得的取值范圍。
【答案】（1）當a=0時，為偶函數；當a≠0時，既不是奇函數，也不是偶函數．
（2）（－∞，16]．
【解析】 （1）當a=0時，，對任意x∈（－∞，0）∪（0，+∞），，∴為偶函數．
當a≠0時，（a≠0，x≠0），
取x=±1，得，
∴，，
∴函數既不是奇函數，也不是偶函數．
（2）解法一：設2≤x1＜x2，
，要使函數在x∈[2，+∞）上為增函數，必須恒成立．
∵x1－x2＜0，x1 x2＞4，即a＜x1 x2 (x1+ x2)恒成立．
又∵x1+ x2＞4，∴x1x2(x1+ x2)＞16．
∴a的取值范圍是（－∞，16]．
解法二：當a=0時，，顯然在[2，+∞）上為增函數．
當a＜0時，反比例函數在[2，+∞）上為增函數，
∴在[2，+∞）上為增函數．
當a＞0時，同解法一．
【總結升華】 函數的奇偶性與單調性是函數的重要性質，因而也是高考命題的熱點．應運用研究函數的奇偶性與單調性的基本方法，來分析解決問題．
舉一反三：
【高清課堂：集合與函數性質綜合377492 例5】
【變式1】已知函數，且f（1）=1．
（1）求實數k的值及函數的定義域；
（2）判斷函數在（0，+∞）上的單調性，并用定義加以證明．
【答案】（1）2 ；（2）單調遞增
【解析】（1），，定義域為：．
（2）在（0，+∞）上任取，則

=


所以函數在上單調遞增．
例9．請先閱讀下列材料，然后回答問題．
對于問題“已知函數，問函數是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，說明理由．”
一個同學給出了如下解答：
解：令u=3+2x―x2，則u=―(x―1)2+4，當x=1時，u有最大值，umax=4，顯然u沒有最小值．∴當x=1時，有最小值，沒有最大值．
（1）你認為上述解答正確嗎？若不正確，說明理由，并給出正確的解答；
（2）對于函數，試研究其最值情況．
【答案】（1）不正確；（2）當Δ≥0時，既無最大值，也無最小值；當Δ＜0時，有最大值，此時，沒有最小值．
【解析】（1）不正確．沒有考慮到u還可以小于0．
正確解答如下：令u=3+2x―x2，則u=―(x―1)2+4≤4，
當0＜u≤4時，，即；當u＜0時，，即．
∴或，即既無最大值，也無最小值．
（2）對于函數，令u=ax2+bx+c（a＞0）．
①當Δ＞0時，u有最小值，，
當時，，即；當u＞0時，即．
∴或，即既無最大值，也無最小值．
②當Δ=0時，u有最小值，，
此時，u≥0，∴＜，即，既無最大值，也無最小值．
③當Δ＜0時，u有最小值，，
即．
∴，即．
∴當時，有最大值，沒有最小值．
綜上，當Δ≥0時，既無最大值，也無最小值．
當Δ＜0時，有最大值，此時，沒有最小值．
【總結升華】研究性學習是新課標所倡導的教學理念，是培養創新能力的重要途徑，因而也是新課標高考的重點考查對象．解決像本例這樣的研究性問題，關鍵是透徹理解題目中所提供的材料，準確地把握題意，靈活地運用所學的基本知識和基本方法分析解決問題．
舉一反三：
【變式1】（1）已知函數的最大值為M，最小值為m，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】 C
【解析】 函數的定義域為[－3，1]．
又．
而，∴4≤y2≤8．
又y＞0，∴．∴，m=2．
∴．故選C項．
（2）設，是二次函數，若的值域是[0，+∞），則的值域是（ ）
A．（－∞，－1]∪[1，+∞） B．（－∞，－1]∪[0，+∞）
C．[0，+∞） D．[1，+∞）
【答案】C
【解析】要使的值域是[0，+∞），則可取（－∞，－1]∪[0，+∞）．又是二次函數，定義域連續，故不可能同時取（－∞，－1]和[0，+∞）．結合選項只能選C項．
【總結升華】 函數的值域問題每年高考必考，而且既有常規題型[如本例（1）]，也有創新題[如本例（2）]．解答這類問題，既要熟練掌握求函數值域的基本方法，更要根據具體問題情景，靈活地處理．如本例（2）中，其背景函數屬常規函數（分段函數、二次函數、復合函數），但給出的值域，要求的值域，就在常規題型基礎上有所創新，解答這類問題，應利用基本方法、基本知識來分析解決問題．
類型四：函數的綜合問題
例10．（1）已知函數在區間[－1，2]上最大值為4，求實數a的值；
（2）已知函數，x∈[－1，1]，求函數的最小值．
【思路點撥】第（1）小題中應對二次項系數進行全面討論，即按a=0，a＞0，a＜0三種情況分析；
第（2）小題中的拋物線開口方向確定，對稱軸不穩定．
【答案】（1）－3或；（2）略
【解析】
（1）．
①當a=0時，函數在區間[－1，2]上的值為常數1，不合題意；
②當a＞0時，函數在區間[－1，2]上是增函數，最大值為，；
③當a＜0時，函數在區間[―1，2]上是減函數，最大值為，a=―3．
綜上，a的值為－3或．
（2），對稱軸為直線x=a，且拋物線的開口向上，如下圖所示：

當a≥1時，函數在區間[―1，1]上是減函數，最小值為；
當―1＜a＜1時，函數在區間[－1，1]上是先減后增，最小值為；
當a≤―1時，函數在區間[―1，1]上是增函數，最小值為．
【總結升華】 求二次函數在閉區間上的最值的方法是：一看拋物線的開口方向；二看對稱軸與已知閉區間的相對位置，作出二次函數相關部分的簡圖，利用數形結合方法就可得到問題的解．對于“定區間、動對稱軸”這一類型，依對稱軸在定區間左側、右側和在區間內三種情況，運用函數的單調性進行討論，即可得到函數的最值．
舉一反三：
【變式1】設函數，x∈[t，t+1]，t∈R，求函數的最小值．
【答案】
【解析】 二次函數是確定的，但定義域是變化的，依t的大小情況作出對應的圖象（拋物線的一段），從中發現規律．
，x∈[t，t+1]，t∈R，對稱軸為x=1，作出其圖象如下圖所示：

當t+1＜1，即t＜0時，如上圖①，函數在區間[t，t+1]上為減函數，所以最小值為；
當1≤t+1≤2，即0≤t≤1時，如上圖②，最小值為；
當t＞1時，如上圖③，函數在區間[t，t+1]上為增函數，所以最小值為．
綜上有
【總結升華】這里區間是變化的，但整個區間長度為1個單位長度，用運動觀點來看，讓區間從左向右沿x軸正方向移動，看移動到不同位置時對最值有什么影響．借助圖形，可使問題的解決顯得直觀、清晰．
例11．設a為實數，函數．
（1）若，求a的取值范圍；
（2）求的最小值；
（3）設函數，x∈（a，+∞），直接寫出（不需要給出演算步驟）不等式的解集．
【答案】（1）（―∞，－1]；（2）；（3）略．
【解析】（1）因為，所以－a＞0，即a＜0．
由a2≥1知a≤―1．因此a的取值范圍為（―∞，－1]．
（2）記的最小值為，我們有

（i）當a≥0時，，由①②知，此時．
（ii）當a＜0時，．若x＞a，則由①知；若x≤a，則x+a≤2a＜0，由②知．此時．
綜上得．
（3）（i）當時，解集為（a，+∞）；
（ii）當時，解集為；
（iii）當時，解集為．

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