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第五講　概率與統計
微專題1　統計與統計案例
命 題 者 說
考 題 統 計 考 情 點 擊
2018·全國卷Ⅰ·T3·統計圖表的應用 2018·江蘇高考·T3·莖葉圖的應用 2017·全國卷Ⅲ·T3·折線圖的識別與應用 　　統計與統計案例的選擇題、填空題涉及的內容較為簡單，主要有抽樣方法、統計圖表的應用、用樣本的數字特征估計總體、線性回歸及統計案例。涉及的分值一般為5分。


考向一 抽樣方法
【例1】　(1)從編號為01,02，…，49,50的50個個體中利用下面的隨機數表選取5個個體，選取方法從隨機數表第1行第5列的數開始由左到右依次抽取，則選出來的第5個個體的編號為(　　)
7816 6572 0812 1463 0782 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．14 B．07
C．32 D．43
(2)某班50名學生中有女生20名，按男女比例用分層抽樣的方法，從全班學生中抽取部分學生進行調查，已知抽到的女生有4名，則本次調查抽取的人數是(　　)
A．8 B．10
C．12 D．15
解析　(1)由題意知選定的第一個數為65(第1行的第5列和第6列)，按由左到右選取兩位數(大于50的跳過、重復的不選取)，前5個個體編號為08,12,14,07,43。故選出來的第5個個體的編號為43。故選D。
(2)因為50名學生中有女生20名，按男女比例用分層抽樣的方法，抽到的女生有4名，所以本次調查抽取的人數是50×＝10。故選B。
答案　(1)D　(2)B

(1)解決此類題目的關鍵是深刻理解各種抽樣方法的特點和適用范圍。但無論哪種抽樣方法，每一個個體被抽到的概率都是相等的，都等于樣本容量與總體容量的比值。
(2)在系統抽樣的過程中，要注意分段間隔，需要抽取n個個體，樣本就需要分成n個組，則分段間隔即為(N為樣本容量)，首先確定在第一組中抽取的個體的號碼數，再從后面的每組中按規則抽取每個個體。
變|式|訓|練
1．某班有學生60人，將這60名學生隨機編號為1～60號，用系統抽樣的方法從中抽出4名學生，已知3號、33號、48號學生在樣本中，則樣本中另一個學生的編號為(　　)
A．28 B．23
C．18 D．13
解析　抽樣間隔為＝15，故另一個學生的編號為3＋15＝18。故選C。
答案　C
2．某校有高級教師90人，一級教師120人，二級教師75人，現按職稱用分層抽樣的方法抽取38人參加一項調查，則抽取的一級教師人數為(　　)
A．10 B．12
C．16 D．18
解析　根據分層抽樣性質，設抽取的一級教師人數為m，則＝，解得m＝16。故選C。
答案　C
考向二 用樣本估計總體
微考向1：統計圖表的應用
【例2】　(1)(2018·全國卷Ⅰ)某地區經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍，實現翻番。為更好地了解該地區農村的經濟收入變化情況，統計了該地區新農村建設前后農村的經濟收入構成比例，得到如圖所示的餅圖：

則下面結論中不正確的是(　　)
A．新農村建設后，種植收入減少
B．新農村建設后，其他收入增加了一倍以上
C．新農村建設后，養殖收入增加了一倍
D．新農村建設后，養殖收入與第三產業收入的總和超過了經濟收入的一半
(2)(2018·湖北部分重點中學模擬)某商場對某一商品搞活動，已知該商品每一個的進價為3元，銷售價為8元，每天售出的第20個及之后的半價出售。該商場統計了近10天這種商品的銷量，如圖所示，設x(個)為每天商品的銷量，y(元)為該商場每天銷售這種商品的利潤。從日利潤不少于96元的幾天里任選2天，則選出的這2天日利潤都是97元的概率為(　　)

A． B．
C． D．
解析　(1)設新農村建設前的經濟收入為M，而新農村建設后的經濟收入為2M，則新農村建設前種植收入為0.6M，而新農村建設后的種植收入為0.74M，所以種植收入增加了，所以A項不正確；新農村建設前其他收入為0.04M，新農村建設后其他收入為0.1M，故增加了一倍以上，所以B項正確；新農村建設前養殖收入為0.3M，新農村建設后為0.6M，所以增加了一倍，所以C項正確；新農村建設后養殖收入與第三產業收入的總和占經濟收入的30%＋28%＝58%>50%，所以超過了經濟收入的一半，所以D正確。故選A。
(2)由題意知y＝即y＝當日銷量不少于20個時，日利潤不少于96元。當日銷量為20個時，日利潤為96元，當日銷量為21個時，日利潤為97元，日利潤為96元的有3天，日利潤為97元的有2天，故所求概率為＝。故選B。
答案　(1)A　(2)B

(1)餅圖顯示了各種不同成份所占的比例，但要注意本題的兩個餅圖總量是不同的，應分別計算出兩個餅圖的各組成部分的量的大小，才能進行比較。
(2)頻率分布直方圖中橫坐標表示組距，縱坐標表示，頻率＝組距×。頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1。
變|式|訓|練
1．(2018·南寧摸底聯考)已知某地區中小學生人數和近視情況分別如圖①和圖②所示。為了了解該地區中小學生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學生進行調查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數分別為(　　)

A．100,20 B．200,20
C．200,10 D．100,10
解析　由題圖①可知學生總人數是10 000，樣本容量為10 000×2%＝200，抽取的高中生人數是2 000×2%＝40，由題圖②可知高中生的近視率為50%，所以高中生的近視人數為40×50%＝20。故選B。
答案　B
2．(2018·貴陽監測考試)在某中學舉行的環保知識競賽中，將三個年級參賽學生的成績進行整理后分為5組，繪制如圖所示的頻率分布直方圖，圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第四、第五小組，已知第二小組的頻數是40，則成績在80～100分的學生人數是(　　)

A．15　　　　B．18
C．20　　　　D．25
解析　根據頻率分布直方圖，得第二小組的頻率是0.04×10＝0.4，因為頻數是40，所以樣本容量是＝100，又成績在80～100分的頻率是(0.010＋0.005)×10＝0.15，所以成績在80～100分的學生人數是100×0.15＝15。故選A。
答案　A
微考向2：用樣本的數字特征估計總體
【例3】　某班男女生各10名同學最近一周平均每天的鍛煉時間(單位：分鐘)用莖葉圖記錄如下：

假設每名同學最近一周平均每天的鍛煉時間是互相獨立的。
①男生每天鍛煉的時間差別小，女生每天鍛煉的時間差別大；
②從平均值分析，男生每天鍛煉的時間比女生多；
③男生平均每天鍛煉時間的標準差大于女生平均每天鍛煉時間的標準差；
④從10個男生中任選一人，平均每天的鍛煉時間超過65分鐘的概率比同樣條件下女生鍛煉時間超過65分鐘的概率大。
其中符合莖葉圖所給數據的結論是(　　)
A．①②③ B．②③④
C．①②④ D．①③④
解析　由莖葉圖知，男生每天鍛煉時間差別小，女生差別大，①正確。男生平均每天鍛煉時間超過65分鐘的概率P1＝＝，女生平均每天鍛煉時間超過65分鐘的概率P2＝＝，P1>P2，因此④正確。設男生、女生兩組數據的平均數分別為甲，乙，標準差分別為s甲，s乙。易求甲＝65.2，乙＝61.8，知甲>乙，②正確。又根據莖葉圖，男生鍛煉時間較集中，女生鍛煉時間較分散，所以s甲答案　C

平均數與方差都是重要的數字特征，是對數據的一種簡明描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義。平均數、中位數、眾數描述數據的集中趨勢，方差和標準差描述數據的波動大小。
變|式|訓|練
1.(2018·江蘇高考)已知5位裁判給某運動員打出的分數的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的分數的平均數為________。

解析　由莖葉圖可得分數的平均數為
＝90。
答案　90
2．(2018·茂名五大聯盟學校聯考)甲，乙兩組數的數據如莖葉圖所示，則甲、乙的平均數、方差、極差及中位數相同的是(　　)

A．極差 B．方差
C．平均數 D．中位數
解析　由題中莖葉圖中數據的分布，可知方差不同，極差不同，甲的中位數為＝18.5，乙的中位數為＝16，甲＝＝，乙＝＝，所以甲、乙的平均數相同。故選C。
答案　C
考向三 統計案例
【例4】　(1)(2018·福州四校聯考)某汽車的使用年數x與所支出的維修總費用y的統計數據如表：
使用年數x/年 1 2 3 4 5
維修總費用y/萬元 0.5 1.2 2.2 3.3 4.5
根據上表可得y關于x的線性回歸方程＝x－0.69，若該汽車維修總費用超過10萬元就不再維修，直接報廢，據此模型預測該汽車最多可使用(不足1年按1年計算)(　　)
A．8年 B．9年
C．10年 D．11年
(2)為大力提倡“厲行節約，反對浪費”，某市通過隨機詢問100名性別不同的居民是否能做到“光盤”行動，得到如下的列聯表：
做不到“光盤” 能做到“光盤”
男 45 10
女 30 15
附：
P(K2≥k) 0.10 0.05 0.025
k 2.706 3.841 5.024
K2＝。
參照附表，得到的正確結論是(　　)
A．在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為“該市居民能否做到‘光盤’與性別有關”
B．在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為“該市居民能否做到‘光盤’與性別無關”
C．有90%以上的把握認為“該市居民能否做到‘光盤’與性別有關”
D．有90%以上的把握認為“該市居民能否做到‘光盤’與性別無關”
解析　(1)由y關于x的線性回歸直線＝x－0.69過樣本點的中心(3,2.34)，得＝1.01，即線性回歸方程為＝1.01x－0.69，由＝1.01x－0.69＝10，得x≈10.6，所以預測該汽車最多可使用11年。故選D。
(2)由題設知，a＝45，b＝10，c＝30，d＝15，所以K2＝≈3.030。2.706<3.030<3.841。由附表可知，有90%以上的把握認為“該市居民能否做到‘光盤’與性別有關”，故選C。
答案　(1)D　(2)C


(1)在分析兩個變量的相關關系時，可根據樣本數據作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關關系，若具有線性相關關系，則可通過線性回歸方程估計和預測變量的值；回歸直線過樣本點的中心(，)，應引起關注。
(2)獨立性檢驗問題，要確定2×2列聯表中的對應數據，然后代入K2求解即可。
變|式|訓|練
1．隨機采訪50名觀眾對某電視節目的滿意度，得到如下列聯表：
單位：人
滿意 不滿意 總計
男 10 20 30
女 15 5 20
總計 25 25 50
附表和公式如下：
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量。
根據以上數據可知(　　)
A．有95%的把握認為對電視節目的滿意度與性別無關
B．有99%的把握認為對電視節目的滿意度與性別無關
C．有99%的把握認為對電視節目的滿意度與性別有關
D．有95%的把握認為對電視節目的滿意度與性別有關
解析　由于K2＝≈8.333>6.635，所以有99%的把握認為對電視節目的滿意度與性別有關，故選C。
答案　C
2．設某市現代中學的男生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關關系，根據樣本數據(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為＝0.95x－99.88，給出下列結論：
①y與x具有正的線性相關關系；
②回歸直線過樣本點的中心(，)；
③若該中學某男生身高增加1 cm，則其體重約增加0.95 kg；
④若該中學某男生身高為180 cm，則可預測其體重約為71.12 kg。
其中正確的結論是________。
解析　依題意知②正確；因為＝0.95x－99.88，0.95>0，故①正確；若身高x增加1，則其體重約為＝0.95(x＋1)－99.88＝0.95x－99.88＋0.95，約增加0.95 kg，故③正確；若男生身高為180 cm，則其體重約為＝0.95×180－99.88＝71.12 kg，故④正確。
答案　①②③④

1．(考向一)(2018·福州質檢)為了解某地區的“微信健步走”活動情況，擬從該地區的人群中抽取部分人員進行調查，事先已了解到該地區老、中、青三個年齡段人員的“微信健步走”活動情況有較大差異，而男女“微信健步走”活動情況差異不大。在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是(　　)
A．簡單隨機抽樣 B．按性別分層抽樣
C．按年齡段分層抽樣 D．系統抽樣
答案　C
2．(考向二)(2018·新余二模)為了解戶籍、性別對生育二胎選擇傾向的影響，某地從育齡人群中隨機抽取了容量為100的樣本，其中城鎮戶籍與農村戶籍各50人；男性60人，女性40人，繪制不同群體中傾向選擇生育二胎與傾向選擇不生育二胎的人數比例圖(如圖所示)，其中陰影部分表示傾向選擇生育二胎的對應比例，則下列敘述中錯誤的是(　　)

A．是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關
B．是否傾向選擇生育二胎與性別無關
C．傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數與女性人數相同
D．傾向選擇不生育二胎的人員中，農村戶籍人數少于城鎮戶籍人數
解析　由題圖，可得是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關、性別無關，傾向選擇不生育二胎的人員中，農村戶籍人數少于城鎮戶籍人數，傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數為60×60%＝36，女性人數為40×60%＝24，不相同。故選C。
答案　C
3．(考向二)(2018·榆林模擬)某學校為了調查學生在學科教輔書方面的支出情況，抽出了一個容量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出的錢數在[30,40)的同學比支出的錢數在[10,20)的同學多26人，則n的值為________。

解析　由頻率分布直方圖可得支出的錢數在[30,40)的同學有0.038×10n＝0.38n個，支出的錢數在[10,20)的同學有0.012×10n＝0.12n個，又支出的錢數在[30,40)的同學比支出的錢數在[10,20)的同學多26人，所以0.38n－0.12n＝0.26n＝26，所以n＝100。
答案　100
4．(考向三)某車間為了規定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次試驗。根據收集到的數據(如下表)，由最小二乘法求得回歸方程為＝0.67x＋54.9。
零件數x(個) 10 20 30 40 50
加工時間y(min) 62 75 81 89
現發現表中有一個數據模糊看不清，則該數據為________。
解析　設表中那個模糊看不清的數據為m。由表中數據得＝30，＝，所以樣本點的中心為，因為樣本點的中心在回歸直線上，所以＝0.67×30＋54.9，解得m＝68。
答案　68
5．(考向三)假設有兩個分類變量X和Y的2×2列聯表如下：
Y X　　 y1 y2 總計
x1 a 10 a＋10
x2 c 30 c＋30
總計 60 40 100
對同一樣本，以下數據能說明X與Y有關系的可能性最大的一組為(　　)
A．a＝45，c＝15 B．a＝40，c＝20
C．a＝35，c＝25 D．a＝30，c＝30
解析　根據2×2列聯表與獨立性檢驗可知，當與相差越大時，X與Y有關系的可能性越大，即a、c相差越大，與相差越大。故選A。
答案　A






























































































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微專題2　排列組合與二項式定理、概率
命 題 者 說
考 題 統 計 考 情 點 擊
2018·全國卷Ⅰ·T10·幾何概型 2018·全國卷Ⅰ·T15·排列與組合 2018·全國卷Ⅱ·T8·古典概型 2018·全國卷Ⅲ·T5·二項式定理 2018·天津高考·T10·二項式定理 1.排列、組合在高中數學中占有特殊的位置，是高考的必考內容，很少單獨命題，主要考查利用排列、組合知識計算古典概型。2.二項式定理仍以求二項展開式的特定項、特定項的系數及二項式系數為主，題目難度一般。 3.概率、隨機變量及其分布列是高考命題的熱點之一，命題形式為“一小一大”，即一道選擇或填空題和一道解答題。


考向一 排列與組合
【例1】　(1)(2018·全國卷Ⅰ)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種。(用數字填寫答案)
(2)(2018·浙江高考)從1,3,5,7,9中任取2個數字，從0,2,4,6中任取2個數字，一共可以組成________個沒有重復數字的四位數。(用數字作答)
解析　(1)解法一：根據題意，沒有女生入選有C＝4(種)選法，從6名學生中任意選3人有C＝20(種)選法，故至少有1位女生入選，不同的選法共有20－4＝16(種)。
解法二：可分兩種情況：第一種情況，只有1位女生入選，不同的選法有CC＝12(種)；第二種情況，有2位女生入選，不同的選法有CC＝4(種)。根據分類加法計數原理知，至少有1位女生入選的不同的選法有16種。
(2)若取的4個數字不包括0，則可以組成的四位數的個數為CCA；若取的4個數字包括0，則可以組成的四位數的個數為CCCA。綜上，一共可以組成的沒有重復數字的四位數的個數為CCA＋CCCA＝720＋540＝1 260。
答案　(1)16　(2)1 260

求解排列、組合問題的思路：排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類相加，分步相乘。具體地說，解排列、組合的應用題，通常有以下途徑：
(1)以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素。
(2)以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置。
(3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數，再減去不符合要求的排列或組合數。
解答計數問題多利用分類整合思想。分類應在同一標準下進行，確保“不漏”“不重”。
變|式|訓|練
1．(2018·沈陽教學質量監測)若4個人按原來站的位置重新站成一排，恰有1個人站在自己原來的位置，則不同的站法共有(　　)
A．4種 B．8種
C．12種 D．24種
解析　將4個人重排，恰有1個人站在自己原來的位置，有C種站法，剩下3人不站原來位置有2種站法，所以共有C×2＝8(種)站法。故選B。
答案　B
2．(2018·開封高三定位考試)某地實行高考改革，考生除參加語文、數學、英語統一考試外，還需從物理、化學、生物、政治、歷史、地理六科中選考三科。學生甲要想報考某高校的法學專業，就必須要從物理、政治、歷史三科中至少選考一科，則學生甲的選考方法種數為(　　)
A．6 B．12
C．18 D．19
解析　解法一：在物理、政治、歷史中選一科的選法有CC＝9(種)；在物理、政治、歷史中選兩科的選法有CC＝9(種)；物理、政治、歷史三科都選的選法有1種。所以學生甲的選考方法共有9＋9＋1＝19(種)。故選D。
解法二：從六科中選考三科的選法有C種，其中包括了沒選物理、政治、歷史中任意一科，這種選法有1種，因此學生甲的選考方法共有C－1＝19(種)。故選D。
答案　D
考向二 二項式定理
【例2】　(1)(2018·全國卷Ⅲ)5的展開式中x4的系數為(　　)
A．10 B．20
C．40 D．80
(2)5的展開式中整理后的常數項為________。
解析　(1)由題可得Tr＋1＝C(x2)5－rr＝C·2r·x10－3r。令10－3r＝4，則r＝2，所以C·2r＝C×22＝40。故選C。
(2)不妨設x>0，5＝10的通項公式：Tr＋1＝C()10－rr＝Cx5－r，令5－r＝0，解得r＝5。所以常數項＝C＝252。
答案　(1)C　(2)252

與二項式定理有關的題型及解法
題型 解法
求特定項或其系數 常采用二項展開式的通項分析求解
系數的和或差 常用賦值法
近似值問題 利用展開式截取部分項求解
整除(或余數)問題 利用展開式求解
變|式|訓|練
1．已知(x2＋2x＋3y)5的展開式中x5y2的系數為(　　)
A．60 B．180
C．520 D．540
解析　(x2＋2x＋3y)5可看作5個(x2＋2x＋3y)相乘，從中選2個y，有C種選法；再從剩余的三個括號里邊選出2個x2，最后一個括號選出x，有C·C種選法；所以x5y2的系數為32C·C·2·C＝540。故選D。
答案　D
2．(ax＋)5的展開式中x3項的系數為20，則實數a＝________。
解析　展開式的通項為Tr＋1＝C(ax)5－r()r＝a5－rCx eq \s\up15(5－) ，令5－＝3得r＝4，所以a·C＝20，解得a＝4。
答案　4
考向三 古典概型與幾何概型
【例3】　(1)(2018·全國卷Ⅱ)我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果。哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”，如30＝7＋23。在不超過30的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于30的概率是(　　)
A．　　　 B．
C．　　　 D．
(2)正六邊形ABCDEF的邊長為1，在正六邊形內隨機取點M，則使△MAB的面積大于的概率為________。
解析　(1)不超過30的素數有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10個，從中隨機選取兩個不同的數，共有C＝45(種)取法，因為7＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以隨機選取兩個不同的數，其和等于30的有3種取法，故概率為＝。故選C。

(2)如圖所示，作出正六邊形ABCDEF，其中心為O，過點O作OG⊥AB，垂足為G，則OG的長為中心O到AB邊的距離。易知∠AOB＝＝60°，且OA＝OB，所以△AOB是等邊三角形，所以OA＝OB＝AB＝1，OG＝OA·sin60°＝1×＝，即對角線CF上的點到AB的距離都為。設△MAB中AB邊上的高為h，則由S△MAB＝×1×h>，解得h>。所以要使△MAB的面積大于，只需滿足h>，即需使M位于CF的上方。故由幾何概型得，△MAB的面積大于的概率P＝＝。
答案　(1)C　(2)

(1)解答有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數和所求事件包含的基本事件數，這常用到計數原理與排列、組合的相關知識。
(2)當構成試驗的結果的區域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時，應考慮使用幾何概型求解。
變|式|訓|練
1．(2018·四川綿陽二診)將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數，將第一次向上的點數記為m，第二次向上的點數記為n，曲線C：＋＝1，則曲線C的焦點在x軸上且離心率e≤的概率等于(　　)
A． B．
C． D．
解析　因為離心率e≤，所以 ≤，解得≥，由列舉法，得當m＝6時，n＝5,4,3；當m＝5時，n＝4,3；當m＝4時，n＝3,2；當m＝3時，n＝2；當m＝2時，n＝1，共9種情況，故其概率為＝。故選D。
答案　D
2．(2018·衡水金卷模擬)我國數學家鄒元治利用如圖證明了勾股定理，該圖中用勾(a)和股(b)分別表示直角三角形的兩條直角邊，用弦(c)來表示斜邊，現已知該圖中勾為3，股為4，若從圖中隨機取一點，則此點不落在中間小正方形中的概率是(　　)

A． B．
C． D．
解析　a＝3，b＝4，由題意得c＝5，因為大正方形的邊長為a＋b＝3＋4＝7，小正方形的邊長為c＝5，則大正方形的面積為49，小正方形的面積為25，所以滿足題意的概率值為1－＝。故選B。
答案　B
考向四 條件概率與相互獨立事件的概率
【例4】　(1)如圖，ABCD是以O為圓心、半徑為2的圓的內接正方形，EFGH是正方形ABCD的內接正方形，且E，F，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點。將一枚針隨機擲到圓O內，用M表示事件“針落在正方形ABCD內”，N表示事件“針落在正方形EFGH內”，則P(N|M)等于(　　)

A． B．
C． D．
(2)如圖所示，某快遞公司送貨員從公司A處準備開車送貨到某單位B處，有A→C→D→B，A→E→F→B兩條路線。若該地各路段發生堵車與否是相互獨立的，且各路段發生堵車事件的概率如圖所示(例如A→C→D算作兩個路段，路段AC發生堵車事件的概率為，路段CD發生堵車事件的概率為)。若使途中發生堵車事件的概率較小，則由A到B應選擇的路線是________。

解析　(1)由題意得，圓O的半徑為2，所以內接正方形ABCD的邊長為AB＝2，則正方形ABCD的面積為S1＝(2)2＝8，因為E，F，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點，所以EF＝×2R＝2，所以正方形EFGH的面積為S2＝22＝4，所以P(N|M)＝＝。故選C。
(2)路線A→C→D→B途中發生堵車事件的概率P1＝1－××＝，路線A→E→F→B途中發生堵車事件的概率P2＝1－××＝。因為<，所以應選擇路線A→E→F→B。
答案　(1)C　(2)A→E→F→B

求相互獨立事件和獨立重復試驗的概率的注意點
(1)求復雜事件的概率，要正確分析復雜事件的構成，分析復雜事件能轉化為幾個彼此互斥事件的和事件還是能轉化為幾個相互獨立事件同時發生的積事件，然后用概率公式求解。
(2)注意辨別獨立重復試驗的基本特征：①在每次試驗中，試驗結果只有發生與不發生兩種情況；②在每次試驗中，事件發生的概率相同。
變|式|訓|練
1．(2018·汕頭模擬)甲、乙兩人參加“社會主義核心價值觀”知識競賽，甲、乙兩人能榮獲一等獎的概率分別為和，甲、乙兩人是否獲得一等獎相互獨立，則這兩個人中恰有一人獲得一等獎的概率為(　　)
A． B．
C． D．
解析　根據題意，恰有一人獲得一等獎就是甲獲得乙沒有獲得或甲沒有獲得乙獲得，則所求概率是×＋×＝。故選D。
答案　D
2．(2018·廈門二模)袋中裝有2個紅球，3個黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，則3次中恰有2次抽到黃球的概率是(　　)
A． B．
C． D．
解析　袋中裝有2個紅球，3個黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黃球的概率P1＝，所以3次中恰有2次抽到黃球的概率是P＝C2＝。故選D。
答案　D
3．(2018·南昌模擬)口袋中裝有大小形狀相同的紅球2個，白球3個，黃球1個，甲從中不放回地逐一取球，已知第一次取得紅球，則第二次取得白球的概率為________。
解析　口袋中裝有大小形狀相同的紅球2個，白球3個，黃球1個，甲從中不放回地逐一取球，設事件A表示“第一次取得紅球”，事件B表示“第二次取得白球”，則P(A)＝＝，P(AB)＝×＝，所以第一次取得紅球后，第二次取得白球的概率為P(B|A)＝＝＝。
答案　

1．(考向一)(2018·南昌調研)某校畢業典禮上有6個節目，考慮整體效果，對節目演出順序有如下要求：節目甲必須排在前三位，且節目丙、丁必須排在一起。則該校畢業典禮節目演出順序的編排方案共有(　　)
A．120種 B．156種
C．188種 D．240種
解析　解法一：記演出順序為1～6號，對丙、丁的排序進行分類，丙、丁占1和2號，2和3號，3和4號，4和5號，5和6號，其排法分別為AA，AA，CAA，CAA，CAA，故總編排方案有AA＋AA＋CAA＋CAA＋CAA＝120(種)。故選A。
解法二：記演出順序為1～6號，按甲的編排進行分類，①當甲在1號位置時，丙、丁相鄰的情況有4種，則有CAA＝48(種)；②當甲在2號位置時，丙、丁相鄰的情況有3種，共有CAA＝36(種)；③當甲在3號位置時，丙、丁相鄰的情況有3種，共有CAA＝36(種)。所以編排方案共有48＋36＋36＝120(種)。故選A。
答案　A
2．(考向二)(2018·湖南湘東聯考)若(x＋a)(1＋2x)5的展開式中x3的系數為20，則a＝________。
解析　(x＋a)(1＋2x)5的展開式中x3的系數為C·22＋a·C·23＝20，所以40＋80a＝20，解得a＝－。
答案　－
3．(考向三)(2018·漳州二模)甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加“《論語》知識大賽”，決出第1名到第5名的名次。甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說“雖然你的成績比乙好，但是你倆都沒得到第一名”；對乙說“你當然不會是最差的”。從上述回答分析，丙是第一名的概率是(　　)
A． B．
C． D．
解析　因為甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊，又考慮到所有的限制條件對丙、丁、戊都沒有影響，所以這三個人獲得第一名是等概率事件，所以丙是第一名的概率是。故選B。
答案　B
4．(考向三)已知定義在區間[－3,3]上的單調函數f(x)滿足：對任意的x∈[－3,3]，都有f(f(x)－2x)＝6，則在[－3,3]上隨機取一個實數x，使得f(x)的值不小于4的概率為(　　)
A．　　　 　 B．
C．　　　 　 D．
解析　由題意設對任意的x∈[－3,3]，都有f(x)－2x＝a，其中a為常數，且a∈[－3,3]，則f(a)＝6，f(a)－2a＝a，所以6－2a＝a，得a＝2，故f(x)＝2x＋2，由f(x)≥4得x≥1，因此所求概率為＝。故選C。
答案　C
5．(考向四)(2018·珠海一模)夏秋兩季，生活在長江口外淺海域的中華魚洄游到長江，歷經三千多公里的溯流搏擊，回到金沙江一帶產卵繁殖，產后待幼魚長大到15厘米左右，又攜帶它們旅居外海。一個環保組織曾在金沙江中放生一批中華魚魚苗，該批魚苗中的雌性個體能長成熟的概率為0.15，雌性個體長成熟又能成功溯流產卵繁殖的概率為0.05，若該批魚苗中的一個雌性個體在長江口外淺海域已長成熟，則其能成功溯流產卵繁殖的概率為(　　)
A．0.05 B．0.007 5
C． D．
解析　設事件A為魚苗中的一個雌性個體在長江口外淺海域長成熟，事件B為該雌性個體成功溯流產卵繁殖，由題意可知P(A)＝0.15，P(AB)＝0.05，所以P(B|A)＝＝＝。故選C。
答案　C
6．(考向四)(2018·全國卷Ⅲ)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立。設X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數，D(X)＝2.4，P(X＝4)A．0.7 B．0.6
C．0.4 D．0.3
解析　依題意X～B(10，p)，因為DX＝np(1－p)，所以p＝0.4或p＝0.6，因為P(X＝4)＝Cp4(1－p)60.5。所以p＝0.6，故選B。
答案　B

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