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第六講　解析幾何
微專題1　直線與圓
命 題 者 說
考 題 統 計 考 情 點 擊
2018·全國卷Ⅲ·T6·直線與圓位置關系的應用 2018·北京高考·T7·點到直線距離的最值 2017·全國卷Ⅲ·T10·直線與圓的位置關系 2016·全國卷Ⅱ·T4·圓的方程、點到直線的距離 　1.圓的方程近兩年為高考全國課標卷命題的熱點，需重點關注。此類試題難度中等偏下，多以選擇題或填空題形式呈現。2.直線與圓的方程偶爾單獨命題，單獨命題時有一定的深度，對直線與圓的方程(特別是直線)的考查主要體現在圓錐曲線的綜合問題上。


考向一 直線的方程
【例1】　(1)已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與直線l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，則k的值是(　　)
A．1或3 B．1或5
C．3或5 D．1或2
(2)在△ABC中，A(1,1)，B(m，)(1A． B．
C． D．
解析　(1)當k＝4時，直線l1的斜率不存在，直線l2的斜率存在，所以兩直線不平行；當k≠4時，兩直線平行的一個必要條件是＝k－3，解得k＝3或k＝5；但必須滿足≠(截距不等)才是充要條件，經檢驗知滿足這個條件。故選C。
(2)由兩點間距離公式可得|AC|＝，直線AC的方程為x－3y＋2＝0，所以點B到直線AC的距離d＝，從而△ABC的面積S＝|AC|d＝|m－3＋2|＝，又1答案　(1)C　(2)B

直線方程應用的兩個關注點
(1)求解兩條直線平行的問題時，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出參數的值后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的情況。
(2)求直線方程時應根據條件選擇合適的方程形式，同時要考慮直線斜率不存在的情況是否符合題意。
變|式|訓|練
1．(2018·江門模擬)已知三條直線l1：4x＋y＝1，l2：x－y＝0，l3：2x－my＝3，若l1關于l2對稱的直線與l3垂直，則實數m的值是(　　)
A．－8　　　 B．－
C．8　　　 　 D．
解析　易知直線l1：4x＋y＝1關于直線l2：x－y＝0對稱的直線方程為x＋4y＝1，又l3：2x－my＝3。故由題意得1×2＋4×(－m)＝0，所以m＝。故選D。
答案　D
2．(2018·河南名校聯考)已知m，n，a，b∈R，且滿足3m＋4n＝6,3a＋4b＝1，則的最小值為(　　)
A．　　　　 B．
C．1　　　 　 D．
解析　此題可理解為點A(m，n)和點B(a，b)分別在直線l1：3x＋4y＝6與l2：3x＋4y＝1上，求A、B兩點距離的最小值，|AB|＝，因為l1∥l2，所以|AB|min＝＝1。故選C。
答案　C
考向二 圓的方程
【例2】　(1)(2018·珠海聯考)已知圓C與直線x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的標準方程為(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
(2)(2018·貴陽摸底)過點M(2,2)的直線l與坐標軸的正方向分別相交于A，B兩點，O為坐標原點，若△OAB的面積為8，則△OAB外接圓的標準方程是________。
解析　(1)由題意設圓心坐標為(a，－a)，則有＝，即|a|＝|a－2|，解得a＝1。故圓心坐標為(1，－1)，半徑r＝＝，所以圓C的標準方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2。故選B。
(2)解法一：設直線l的方程為＋＝1(a>0，b>0)，由直線l過點M(2,2)，得＋＝1，又S△OAB＝ab＝8，所以a＝4，b＝4，不妨設A(4,0)，B(0,4)，△OAB外接圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則將O，A，B的坐標分別代入得解得所以△OAB外接圓的方程為x2＋y2－4x－4y＝0，標準方程為(x－2)2＋(y－2)2＝8。
解法二：設直線l的方程為＋＝1(a>0，b>0)，由直線l過點M(2,2)，得＋＝1。又S△OAB＝ab＝8，所以a＝4，b＝4，所以△OAB是等腰直角三角形，且M是斜邊AB的中點，則△OAB外接圓的圓心是點M(2,2)，半徑|OM|＝2，所以△OAB外接圓的標準方程是(x－2)2＋(y－2)2＝8。
答案　(1)B　(2)(x－2)2＋(y－2)2＝8

求圓的方程的兩種方法
(1)幾何法：通過已知條件，利用相應的幾何知識求圓的圓心，半徑。
(2)代數法：用待定系數法先設出圓的方程，再由條件求得各系數。
變|式|訓|練
1．拋物線y2＝4x與過其焦點且垂直于x軸的直線相交于A，B兩點，其準線與x軸的交點為M，則過M，A，B三點的圓的標準方程為________。
解析　由題意知，A(1,2)，B(1，－2)，M(－1,0)，△AMB是以點M為直角頂點的直角三角形，則線段AB是所求圓的直徑，故所求圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝4。
答案　(x－1)2＋y2＝4
2．在平面直角坐標系xOy中，以點(1,0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為________。
解析　解法一：由題意得：半徑等于＝＝≤ ≤，當且僅當m＝1時取等號，所以半徑最大為r＝，所求圓為(x－1)2＋y2＝2。
解法二：直線mx－y－2m－1＝0，y＝m(x－2)－1恒過點M(2，－1)，如圖，設C(1,0)，則M為切點時半徑最大，且rmax＝|CM|＝＝，所以半徑最大的圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝2。

答案　(x－1)2＋y2＝2
考向三 直線與圓的位置關系
微考向1：直線與圓的相交弦
【例3】　(1)已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點，若|MN|＝，則直線l的方程為________。
(2)設直線x－y－a＝0與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點，O為坐標原點，若△AOB為等邊三角形，則實數a的值為(　　)
A．±　 　B．± C．±3　　 　D．±9
解析　(1)直線l的方程為y＝kx＋1，圓心C(2,3)到直線l的距離d＝＝，由R2＝d2＋2得1＝＋，解得k＝2或，所求直線l的方程為y＝2x＋1或y＝x＋1。
(2)由題意知：圓心坐標為(0,0)，半徑為2，則△AOB的邊長為2，所以△AOB的高為，即圓心到直線x－y－a＝0的距離為，所以＝，解得a＝±。故選B。
答案　(1)y＝2x＋1或y＝x＋1　(2)B

(1)直線(圓)與圓位置關系問題的求解思路
研究直線與圓的位置關系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實現，兩個圓的位置關系的判斷依據是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較。
(2)弦長的求解方法
①根據半徑，弦心距，半弦長構成的直角三角形，構成三者間的關系r2＝d2＋(其中l為弦長，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)，弦長l＝2。
②根據公式：l＝|x1－x2|求解(其中l為弦長，x1，x2為直線與圓相交所得交點的橫坐標，k為直線的斜率)，或根據l＝|y1－y2|求解。
③求出交點坐標，用兩點間距離公式求解。
變|式|訓|練
(2018·合肥一模)設圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)，且與圓C交于A，B兩點，若|AB|＝2，則直線l的方程為(　　)
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
解析　當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝0，圓心到直線l的距離為d＝1，所以|AB|＝2＝2，符合題意。當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝kx＋3，因為圓x2＋y2－2x－2y－2＝0即(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圓心為C(1,1)，圓的半徑r＝2，易知圓心C(1,1)到直線y＝kx＋3的距離d＝＝，因為d2＋2＝r2，所以＋3＝4，解得k＝－，所以直線l的方程為y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0。綜上，直線l的方程為3x＋4y－12＝0或x＝0。故選B。
答案　B
微考向2：直線與圓位置關系的應用
【例4】　(1)(2018·全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　)
A．[2,6] B．[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
(2)(2018·北京高考)在平面直角坐標系中，記d為點P(cosθ，sinθ)到直線x－my－2＝0的距離。當θ，m變化時，d的最大值為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析　(1)因為直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點。所以A(－2,0)，B(0，－2)，則|AB|＝2。因為點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，所以圓心為(2,0)，則圓心到直線的距離d1＝＝2。故點P到直線x＋y＋2＝0的距離d2的取值范圍為[，3]。則S△ABP＝|AB|d2＝d2∈[2,6]。故選A。

(2)解法一：因為cos2θ＋sin2θ＝1，所以P點的軌跡是以原點為圓心的單位圓，又x－my－2＝0表示過點(2,0)且斜率不為0的直線，如圖，可得點(－1,0)到直線x＝2的距離即為d的最大值。故選C。
解法二：由題意可得
d＝＝
＝
＝
，因為－1≤sin(θ－φ)≤1，所以≤d≤，＝1＋，所以當m＝0時，d取最大值3。故選C。
答案　(1)A　(2)C

利用圓的圖形特征求解有關距離的最值問題往往比一些常規的方法簡單、便捷。
變|式|訓|練
1．(2018·太原五中模擬)已知k∈R，點P(a，b)是直線x＋y＝2k與圓x2＋y2＝k2－2k＋3的公共點，則ab的最大值為(　　)
A．15 B．9
C．1 D．－
解析　由題意得，圓心到直線x＋y＝2k的距離d＝≤，且k2－2k＋3>0，解得－3≤k≤1，因為2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)＝4k2－(k2－2k＋3)＝3k2＋2k－3，所以當k＝－3時，ab取得最大值9。故選B。
答案　B
2．(2018·山西晉中二模)由直線y＝x＋1上的一點P向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長的最小值為______。
解析　設圓心M到直線y＝x＋1的距離為d，則d＝＝2，所以|PM|的最小值為2。所以切線長l＝≥＝。則切線長的最小值為。
答案　

1．(考向一)已知直線l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，其中a∈R，則“a＝－3”是“l1⊥l2”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析　直線l1⊥l2的充要條件是a＋(a＋2)a＝0，所以a(a＋3)＝0，所以a＝0或a＝－3。故選A。
答案　A
2．(考向二)(2018·安徽“江南十校”聯考)已知圓C的圓心在直線x＋y＝0上，圓C與直線x－y＝0相切，且在直線x－y－3＝0上截得的弦長為，則圓C的方程為________。
解析　因為所求圓的圓心在直線x＋y＝0上，所以設所求圓的圓心為(a，－a)。又因為所求圓與直線x－y＝0相切，所以半徑r＝＝|a|。又所求圓在直線x－y－3＝0上截得的弦長為，圓心(a，－a)到直線x－y－3＝0的距離d＝，所以d2＋2＝r2，即＋＝2a2，解得a＝1，所以圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2。
答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝2
3．(考向三)(2018·鄭州外國語中學調研)已知圓C1：(x＋2a)2＋y2＝4和圓C2：x2＋(y－b)2＝1只有一條公切線，若a，b∈R且ab≠0，則＋的最小值為(　　)
A．2　　　 　 B．4
C．8　　　 　 D．9
解析　由題意可知，圓C1的圓心為(－2a,0)，半徑為2，圓C2的圓心為(0，b)，半徑為1，因為兩圓只有一條公切線，所以兩圓內切，所以＝2－1，即4a2＋b2＝1。所以＋＝·(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋2＝9，當且僅當＝，且4a2＋b2＝1，即a2＝，b2＝時等號成立，所以＋的最小值為9。故選D。
答案　D
4．(考向三)(2018·南寧、柳州聯考)過點(，0)作直線l與曲線y＝相交于A，B兩點，O為坐標原點，當△AOB的面積取最大值時，直線l的斜率等于______。
解析　

令P(，0)，如圖，易知|OA|＝|OB|＝1，所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB≤，當∠AOB＝90°時，△AOB的面積取得最大值，此時過點O作OH⊥AB于點H，則|OH|＝，于是sin∠OPH＝＝＝，易知∠OPH為銳角，所以∠OPH＝30°，則直線AB的傾斜角為150°，故直線AB的斜率為tan150°＝－。
答案　－
5．(考向三)某學校有2 500名學生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人，為了了解學生的身體健康狀況，采用分層抽樣的方法，若從本校學生中抽取100人，從高一和高三抽取樣本數分別為a，b，且直線ax＋by＋8＝0與以A(1，－1)為圓心的圓交于B，C兩點，且∠BAC＝120°，則圓C的方程為________。
解析　由題意，＝＝，所以a＝40，b＝24，所以直線ax＋by＋8＝0，即5x＋3y＋1＝0，A(1，－1)到直線的距離為＝，因為直線ax＋by＋8＝0與以A(1，－1)為圓心的圓交于B，C兩點，且∠BAC＝120°，所以r＝，所以圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝。
答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝






























































































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微專題2　橢圓、雙曲線、拋物線
命 題 者 說
考 題 統 計 考 情 點 擊
2018·全國卷Ⅰ·T8·直線與拋物線位置關系 2018·全國卷Ⅰ·T11·雙曲線的幾何性質 2018·全國卷Ⅱ·T5·雙曲線的漸近線 2018·全國卷Ⅱ·T12·橢圓的離心率 2018·全國卷Ⅲ·T11·雙曲線的離心率 圓錐曲線的定義、方程與性質是每年高考必考的內容。以選擇、填空題的形式考查，常出現在第4～11或15～16題的位置，著重考查圓錐曲線的幾何性質與標準方程，難度中等。


考向一 圓錐曲線的定義與標準方程
【例1】　(1)(2018·衡水中學五調)設F1、F2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，P為橢圓上任意一點，點M的坐標為(6,4)，則|PM|－|PF1|的最小值為________。
(2)(2018·天津高考)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點。設A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析　(1)由橢圓的方程可知F2(3,0)，由橢圓的定義可得|PF1|＝2a－|PF2|。所以|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，當且僅當M，P，F2三點共線時取得等號，又|MF2|＝＝5,2a＝10，所以|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值為－5。
(2)由d1＋d2＝6，得雙曲線的右焦點到漸近線的距離為3，所以b＝3。因為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以雙曲線的方程為－＝1。故選C。
答案　(1)－5　(2)C

(1)準確把握圓錐曲線的定義和標準方程及其簡單幾何性質，注意當焦點在不同坐標軸上時，橢圓、雙曲線、拋物線方程的不同表示形式。
(2)求解圓錐曲線的標準方程的方法是“先定型，后計算”。所謂“定型”，就是指確定類型，所謂“計算”，就是指利用待定系數法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入寫出橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程。
變|式|訓|練
1．已知雙曲線－y2＝1的左、右焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線上，且滿足|PF1|＋|PF2|＝2，則△PF1F2的面積為(　　)
A．1 B．
C． D．
解析　在雙曲線－y2＝1中，a＝，b＝1，c＝2。不妨設P點在雙曲線的右支上，則有|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又|PF1|＋|PF2|＝2，所以|PF1|＝＋，|PF2|＝－。又|F1F2|＝2c＝4，而|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2，所以S△PF1F2＝×|PF1|×|PF2|＝×(＋)×(－)＝1。故選A。
答案　A
2．(2018·昆明調研)過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點，過線段AB的中點N且垂直于l的直線與C的準線交于點M，若|MN|＝|AB|，則l的傾斜角為(　　)
A．15° B．30°
C．45° D．60°
解析　分別過A，B，N作拋物線的準線的垂線，垂足分別為A′，B′，C，由拋物線的定義知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|NC|＝(|AA′|＋|BB′|)＝|AB|，因為|MN|＝|AB|，所以|NC|＝|MN|，所以∠MNC＝60°，即直線MN的傾斜角為120°，又直線MN與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角，所以直線l的傾斜角為30°。故選B。
答案　B
考向二 圓錐曲線的幾何性質
微考向1：圓錐曲線的簡單幾何性質
【例2】　(1)已知雙曲線C1：－y2＝1與雙曲線C2：－y2＝－1，給出下列說法，其中錯誤的是(　　)
A．它們的焦距相等
B．它們的焦點在同一個圓上
C．它們的漸近線方程相同
D．它們的離心率相等
(2)(2018·福州聯考)過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別作雙曲線的兩條漸近線的平行線，若這4條直線所圍成的四邊形的周長為8b，則該雙曲線的漸近線方程為(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
解析　(1)由題意知C2：y2－＝1，則兩雙曲線的焦距相等且2c＝2，焦點都在圓x2＋y2＝3上，其實為圓與坐標軸的交點。漸近線方程都為y＝±x。由于實軸長度不同，故離心率e＝不同。故選D。
(2)由雙曲線的對稱性得該四邊形為菱形，因為該四邊形的周長為8b，所以菱形的邊長為2b，由勾股定理得4條直線與y軸的交點到x軸的距離為＝，又4條直線分別與兩條漸近線平行，所以＝，解得a＝b，所以該雙曲線的漸近線的斜率為±1，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±x。故選A。
答案　(1)D　(2)A

(1)橢圓、雙曲線中a，b，c之間的關系
在橢圓中：a2＝b2＋c2，離心率為e＝＝ ；在雙曲線中：c2＝a2＋b2，離心率為e＝＝ 。
(2)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x。注意離心率e與漸近線的斜率的關系。
變|式|訓|練
1．已知雙曲線－x2＝1的兩條漸近線分別與拋物線y2＝2px(p>0)的準線交于A，B兩點，O為坐標原點。若△OAB的面積為1，則p的值為(　　)
A．1 B．
C．2 D．4
解析　雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±2x，拋物線的準線方程為x＝－，故A，B兩點的坐標為，|AB|＝2p，所以S△OAB＝·2p·＝＝1，因為p>0，解得p＝，故選B。
答案　B
2．(2018·武漢調研)已知雙曲線C：－＝1(m>0，n>0)的離心率與橢圓＋＝1的離心率互為倒數，則雙曲線C的漸近線方程為(　　)
A．4x±3y＝0
B．3x±4y＝0
C．4x±3y＝0或3x±4y＝0
D．4x±5y＝0或5x±4y＝0
解析　由題意知，橢圓中a＝5，b＝4，所以橢圓的離心率e＝＝，所以雙曲線的離心率為＝，所以＝，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x，即4x±3y＝0。故選A。
答案　A
微考向2：離心率問題
【例3】　(2018·全國卷Ⅱ)已知F1，F2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為(　　)
A． B．
C． D．
解析　

由題意可得橢圓的焦點在x軸上，如圖所示，設|F1F2|＝2c，因為△PF1F2為等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c。因為|OF2|＝c，所以點P坐標為(c＋2ccos60°，2csin60°)，即點P(2c，c)。因為點P在過A且斜率為的直線上，所以＝，解得＝，所以e＝，故選D。
答案　D

橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的求法
求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關鍵是根據已知條件確定a，b，c的等量關系或不等關系，然后把b用a，c代換，求的值。
變|式|訓|練
1．(2018·廣州調研)在直角坐標系xOy中，設F為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點，P為雙曲線C的右支上一點，且△OPF為正三角形，則雙曲線C的離心率為(　　)
A． B．
C．1＋ D．2＋
解析　解法一：設F′為雙曲線的左焦點，|F′F|＝2c，依題意可得|PO|＝|PF|＝c，連接PF′，由雙曲線的定義可得|PF′|－|PF|＝2a，故|PF′|＝2a＋c，在△PF′O中，∠POF′＝120°，由余弦定理可得cos120°＝，化簡可得c2－2ac－2a2＝0，即2－2×－2＝0，解得＝1＋或＝1－(不合題意，舍去)，故雙曲線的離心率e＝1＋。故選C。

解法二：依題意|OP|＝|OF′|＝c＝|PF|，又△OPF為正三角形，所以∠F′OP＝120°，所以|PF′|＝c，又|PF′|－|PF|＝2a＝c－c，所以e＝＝＝＋1。故選C。
答案　C
2．(2018·豫南九校聯考)已知兩定點A(－1,0)和B(1,0)，動點P(x，y)在直線l：y＝x＋3上移動，橢圓C以A，B為焦點且經過點P，則橢圓C的離心率的最大值為(　　)
A． B．
C． D．
解析　解法一：不妨設橢圓方程為＋＝1(a>1)，與直線l的方程聯立得消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，由題意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥，所以e＝＝≤，所以e的最大值為。故選A。

解法二：若求橢圓C的離心率的最大值，因為c＝1，e＝，所以只需求a的最小值。因為P在橢圓上，依定義得|PA|＋|PB|＝2a，而A(－1,0)關于直線l：y＝x＋3的對稱點為A′(－3,2)，所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|＝2，即2a≥2，所以a≥，所以emax＝＝。故選A。
答案　A
考向三 直線與圓錐曲線的位置關系
【例4】　(2018·全國卷Ⅲ)已知點M(－1,1)和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點。若∠AMB＝90°，則k＝________。
解析　解法一：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則所以y－y＝4(x1－x2)，所以k＝＝，取AB中點M′(x0，y0)，分別過點A，B作準線x＝－1的垂線，垂足分別為A′，B′。因為∠AMB＝90°，所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)。因為M′為AB的中點，所以MM′平行于x軸，因為M(－1,1)，所以y0＝1，則y1＋y2＝2，即k＝2。
解法二：由題意知拋物線的焦點為(1,0)，則過C的焦點且斜率為k的直線方程為y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝1。由消去x得y2＝4，即y2－y－4＝0，則y1＋y2＝，y1y2＝－4，由∠AMB＝90°，得·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，將x1＋x2＝，x1x2＝1與y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝2。
答案　2

將直線方程代入圓錐曲線方程得到一元二次方程，利用根與系數的關系可以解決有關相交問題、弦長問題、中點問題等，有時也可采用設而不求的方法即點差法。
變|式|訓|練
1．(2018·濰坊統考)已知拋物線y2＝4x與直線2x－y－3＝0相交于A，B兩點，O為坐標原點，設OA，OB的斜率分別為k1，k2，則＋的值為(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析　設A，B，易知y1y2≠0，則k1＝，k2＝，所以＋＝，將x＝代入y2＝4x，得y2－2y－6＝0，所以y1＋y2＝2，＋＝。故選D。
答案　D
2．(2018·常德一模)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F的直線l交拋物線C于A，B兩點，弦AB的中點M到拋物線C的準線的距離為5，則直線l的斜率為(　　)
A．± B．±1
C．± D．±
解析　由題意知直線l的斜率存在且不為零，設直線l的方程為y＝k(x－1)，點A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點為M(x0，y0)。由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，所以x1＋x2＝。又因為弦AB的中點M到拋物線C的準線的距離為5，所以＋＝＋1＝5，所以x1＋x2＝＝8，解得k2＝，所以k＝±。故選C。
答案　C

1．(考向一)(2018·惠州調研)設F1，F2為橢圓＋＝1的兩個焦點，點P在橢圓上，若線段PF1的中點在y軸上，則的值為(　　)
A．　　　　B． C．　　　　D．
解析　

如圖，設線段PF1的中點為M，因為O是F1F2的中點，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x軸，可求得|PF2|＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，＝。故選D。
答案　D
2．(考向一)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y＝x，且與橢圓＋＝1有公共焦點，則C的方程為(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析　由y＝x，可得＝。　①由橢圓＋＝1的焦點為(3,0)，(－3,0)，可得a2＋b2＝9。　②由①②可得a2＝4，b2＝5。所以C的方程為－＝1。故選B。
答案　B
3．(考向二)(2018·貴陽摸底)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點為A，右焦點為F，過點F且垂直于x軸的直線交C于P，Q兩點，若cos∠PAQ＝，則橢圓C的離心率e為(　　)
A．　　　　 B．
C．　　　　 D．
解析　解法一：根據題意可取P，Q，所以tan∠PAF＝＝＝＝＝1－e，cos∠PAQ＝cos2∠PAF＝cos2∠PAF－sin2∠PAF＝＝＝＝，故5－5(1－e)2＝3＋3(1－e)2?8(1－e)2＝2?(1－e)2＝。又橢圓的離心率e的取值范圍為(0,1)，所以1－e＝，e＝。故選A。
解法二：設∠PAF＝α，則cos∠PAQ＝cos2α＝，cos2α＝＝，cosα＝，所以sinα＝，所以tanα＝＝，所以a(a＋c)＝2b2＝2(a2－c2)，2c2＋ac－a2＝0,2e2＋e－1＝0，解得e＝。故選A。

答案　A
4．(考向二)(2018·洛陽統考)過橢圓＋＝1上一點H作圓x2＋y2＝2的兩條切線，A，B為切點。過A，B的直線l與x軸，y軸分別交于P，Q兩點，則△POQ(O為坐標原點)的面積的最小值為(　　)
A． B．
C．1 D．
解析　依題意，設H(3cosθ，2sinθ)(sinθcosθ≠0)，由題意知H，A，O，B四點共圓，故以OH為直徑的圓的方程為x(x－3cosθ)＋y(y－2sinθ)＝0，即x2＋y2－3xcosθ－2ysinθ＝0，所以兩圓方程相減得公共弦AB所在直線的方程為3xcosθ＋2ysinθ－2＝0，所以P，Q，所以S△POQ＝××＝×≥×1＝。故選B。
答案　B
5．(考向三)(2018·鄭州質檢)設拋物線y2＝4x的焦點為F，過點M(，0)的直線與拋物線相交于A，B兩點，與拋物線的準線相交于C點，|BF|＝3，則△BCF與△ACF的面積之比＝(　　)
A． B．
C． D．
解析　設點A在第一象限，點B在第四象限，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為x＝my＋。由y2＝4x得p＝2，因為|BF|＝3＝x2＋＝x2＋1，所以x2＝2，則y＝4x2＝4×2＝8，所以y2＝－2，由得y2－4my－4＝0，由根與系數的關系，得y1y2＝－4，所以y1＝，由y＝4x1，得x1＝。過點A作AA′垂直于準線x＝－1，垂足為A′，過點B作BB′垂直于準線x＝－1，垂足為B′，易知△CBB′∽△CAA′，所以＝＝。又|BB′|＝|BF|＝3，|AA′|＝x1＋＝＋1＝，所以＝＝。故選D。
答案　D

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