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微專題1　集合與常用邏輯用語
命 題 者 說

考 題 統 計 考 情 點 擊
2018·全國卷Ⅰ·T2·集合的補集運算 2018·全國卷Ⅱ·T2·集合的元素個數 2018·全國卷Ⅲ·T1·集合的交集運算 2017·全國卷Ⅰ·T1·集合的交、并集運算 　　高考對本部分內容的考查主要是集合間的基本關系和運算，含有量詞的命題的真假判斷以及含有一個量詞的命題的否定，多數與函數、不等式、復數等知識相結合，難度一般，屬于送分題，故復習時不必做過多的探究，只要掌握以下知識點，就能保證不失分，得滿分。


考向一 集合及運算
【例1】　(1)(2018·全國卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，則?RA＝(　　)
A．{x|－1B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x<－1}∪{x|x>2}
D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
(2)(2018·遼寧五校聯考)已知集合A＝{－2，－1,0,2,3}，B＝{y|y＝x2－1，x∈A}，則A∩B中元素的個數是(　　)
A．2　　　　 B．3
C．4　　　　 D．5
(3)(2018·濟南一模)已知集合A＝{x|ax－6＝0}，B＝{x|1≤log2x<2，x∈N}，且A∪B＝B，則實數a的所有值構成的集合是(　　)
A．{2} B．{3}
C．{2,3} D．{0,2,3}
解析　(1)解法一：解不等式x2－x－2>0得x<－1或x>2，所以A＝{x|x<－1或x>2}，所以?RA＝{x|－1≤x≤2}。故選B。
解法二：因為A＝{x|x2－x－2>0}，所以?RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故選B。
(2)因為A＝{－2，－1,0,2,3}，B＝{y|y＝x2－1，x∈A}＝{3,0，－1,8}，所以A∩B＝{0,3，－1}，所以A∩B中的元素有3個。故選B。
(3)因為A∪B＝B，所以A?B，又B＝{x|1≤log2x<2，x∈N}＝{2,3}。當a＝0時，集合A為空集，符合題意；集合A不是空集時，A＝{x|ax－6＝0}＝，由＝2或＝3，可得a＝3或a＝2，所以實數a的所有值構成的集合是{0,2,3}。故選D。
答案　(1)B　(2)B　(3)D


(1)求解集合的運算中，要根據集合的表示把參與運算的各個集合求出，再根據交、并、補的定義進行運算。
(2)對于元素個數有限的集合一般可用列舉的方法求解，若集合涉及不等式的解集，則常借助數軸處理。


變|式|訓|練
1．設全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2－2}，B＝{x|y＝log2(3－x)}，則(?UA)∩B＝(　　)
A．{x|－2≤x<3} B．{x|x≤－2}
C．{x|x<－2} D．{x|x<3}
解析　全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2－2}＝{y|y≥－2}，所以?UA＝{x|x<－2}。又B＝{x|y＝log2(3－x)}＝{x|3－x>0}＝{x|x<3}，所以(?UA)∩B＝{x|x<－2}。故選C。
答案　C
2．已知集合A＝{x∈R|＝}，B＝{1，m}，若A?B，則m的值為(　　)
A．2或 B．－1或2
C．2 D．－1
解析　由＝，得x≥0，x2－2≥0，x＝x2－2，得x＝2，因為A?B，所以m＝2。故選C。
答案　C
3．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，則B中所含元素的個數為________。
解析　因為x∈A，y∈A，x－y∈A，所以當x＝5時，y可以是1,2,3,4；當x＝4時，y可以是1,2,3；當x＝3時，y可以是1,2；當x＝2時，y只能是1。綜上所述，B中所含元素的個數為10。
答案　10
考向二 命題及其真假判斷
【例2】　(1)(2018·鄭州預測)下列說法正確的是(　　)
A．“若a>1，則a2>1”的否命題是“若a>1，則a2≤1”
B．“若am2C．存在x0∈(0，＋∞)，使3x0>4 x0成立
D．“若sinα≠，則α≠”是真命題

(2)(2018·渭南質檢)已知命題p：?a，b∈R，a>b且>，命題q：?x∈R，sinx＋cosx<。下列命題是真命題的是(　　)
A．(綈p)∧q B．p∧q
C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)
解析　(1)對于A，“若a>1，則a2>1”的否命題是“若a≤1，則a2≤1”，故選項A錯誤；對于B，“若am23x，故選項C錯誤；對于D，“若sinα≠，則α≠”的逆否命題為“若α＝，則sinα＝”，且其逆否命題為真命題，所以原命題為真命題，故選D。
(2)命題p：當a>0，b<0時，表達式就成立；命題q：?x∈R，sinx＋cosx＝sin≤，故表達式成立。故兩個命題均為真命題。故選B。
答案　(1)D　(2)B





(1)命題真假的判定方法
①一般命題p的真假由涉及的相關知識辨別。
②四種命題真假的判斷：一個命題和它的逆否命題同真假，而其他兩個命題的真假無此規律，特別注意逆命題與否命題。
③形如p∨q，p∧q，綈p命題的真假根據p，q的真假與聯結詞的含義判定。
(2)全稱命題與特稱命題真假的判定
①全稱命題：要判定一個全稱命題是真命題，必須對限定集合M中的每一個元素x驗證p(x)成立，要判定其為假命題時，只需舉出一個反例即可。
②特稱命題：要判定一個特稱命題為真命題，只要在限定集合M中至少能找到一個元素x0，使得p(x0)成立即可；否則，這一特稱命題就是假命題。
變|式|訓|練
1．若命題p：對任意的x∈R，都有x3－x2＋1<0，則綈p為(　　)
A．不存在x∈R，使得x3－x2＋1<0
B．存在x∈R，使得x3－x2＋1<0
C．對任意的x∈R，都有x3－x2＋1≥0
D．存在x∈R，使得x3－x2＋1≥0
解析　命題p：對任意的x∈R，都有x3－x2＋1<0的否定為綈p；存在x∈R，使得x3－x2＋1≥0。故選D。
答案　D
2．已知命題p：?x>0，ln(x＋1)>0；命題q：若a>b，則a2>b2，下列命題為真命題的是(　　)
A．p∧q B．p∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)
解析　因為x>0，所以x＋1>1，所以ln(x＋1)>0，則命題p為真命題；因為1>－2，但12<(－2)2，所以命題q是假命題，則(綈q)是真命題，所以p∧(綈q)是真命題。故選B。
答案　B
考向三 充要條件
【例3】　(1)(2018·天津高考)設x∈R，則“<”是“x3<1”的(　　)
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
(2)(2018·北京高考)設a，b均為單位向量，則“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(　　)
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
解析　(1)解法一：由<，得0解法二：由<，得0，3＝－<1，所以必要性不成立。故選A。
(2)因為|a－3b|＝|3a＋b|，所以(a－3b)2＝(3a＋b)2，所以a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又因為|a|＝|b|＝1，所以a·b＝0，所以a⊥b；反之也成立。故選C。
答案　(1)A　(2)C


充分條件與必要條件的三種判定方法
(1)定義法：正、反方向推理，若p?q，則p是q的充分條件(或q是p的必要條件)；若p?q，且qDp，則p是q的充分不必要條件(或q是p的必要不充分條件)。
(2)集合法：利用集合間的包含關系。例如，若A?B，則A是B的充分條件(B是A的必要條件)；若A＝B，則A是B的充要條件。
(3)轉化法：若綈p是綈q的必要不充分條件，則p是q的充分不必要條件；若綈p是綈q的充要條件，則p是q的充要條件。
變|式|訓|練
1．設a，b∈R，則“log2a>log2b”是“2a－b>1”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
解析　因為log2a>log2b?a>b>0,2a－b>1?a>b，所以“log2a>log2b”是“2a－b>1”的充分不必要條件，故選A。
答案　A
2．(2018·福建聯考)設命題p：x2－(2a＋1)x＋a2＋a<0，命題q：lg(2x－1)≤1，若p是q的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
解析　命題p：a答案　A

1．(考向一)(2018·濟南聯考)已知集合A＝{x|y＝}，A∩B＝?，則集合B不可能是(　　)
A．{x|4x<2x＋1}
B．{(x，y)|y＝x－1}
C．{y
D．{y|y＝log2(－x2＋2x＋1)}
解析　集合A＝{x|y＝}＝{x|x≥1}，對于A，{x|4x<2x＋1}＝{x|x<1}，滿足A∩B＝?；對于B，集合為點集，滿足A∩B＝?；對于C，{y＝{y，滿足
A∩B＝?；對于D，{y|y＝log2(－x2＋2x＋1)}＝{y|log2[－(x－1)2＋2]}＝{y|y≤1}，A∩B＝{1}≠?。故選D。
答案　D
2．(考向一)(2018·西安聯考)從集合{(x，y)|x2＋y2≤4，x∈R，y∈R}中任選一個元素(x，y)，則滿足x＋y≥2的概率為________。
解析　如圖，先畫出圓x2＋y2＝4，再畫出不等式組對應的可行域，即圖中陰影部分，則所求概率P＝＝＝。

答案　
3．(考向二)(2018·西安質檢)已知命題p：?x∈R，不等式ax2＋2x＋1<0解集為空集，命題q：f (x)＝(2a－5)x在R上滿足f ′(x)<0，若命題p∧(綈q)是真命題，則實數a的取值范圍是(　　)
A． B．[3，＋∞)
C．[2,3] D．∪[3，＋∞)
解析　由題意命題p：?x∈R，不等式ax2＋2x＋1<0解集為空集。當a＝0時，不滿足題意。當a≠0時，必須滿足：解得a≥2；命題q：f (x)＝(2a－5)x在R上滿足f ′(x)<0可得函數f (x)在R上單調遞減，所以0<2a－5<1，解得答案　D
4．(考向三)(2018·西安聯考)在△ABC中，“·>0”是“△ABC是鈍角三角形”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析　解法一：設與的夾角為θ，因為·>0，即||·||cosθ>0，所以cosθ>0，θ<90°，又θ為△ABC內角B的補角，所以∠B>90°，△ABC是鈍角三角形；當△ABC為鈍角三角形時，∠B不一定是鈍角。所以“·>0”是“△ABC是鈍角三角形”的充分不必要條件。故選A。
解法二：由·>0，得·<0，即cosB<0，所以∠B>90°，△ABC是鈍角三角形；當△ABC為鈍角三角形時，∠B不一定是鈍角。所以“·>0”是“△ABC是鈍角三角形”的充分不必要條件。故選A。
答案　A
5．(考向三)(2018·遼師大附中模擬)“0A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
解析　因為當0答案　A

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