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微專題2　平面向量、復數
命 題 者 說
考 題 統 計 考 情 點 擊
2018·全國卷Ⅰ·T1·復數的運算 2018·全國卷Ⅰ·T6·平面向量的線性運算 2018·全國卷Ⅱ·T1·復數的運算 2018·全國卷Ⅱ·T4·平面向量的數量積運算 2018·全國卷Ⅲ·T2·復數的運算 2018·全國卷Ⅲ·T13·平面向量的坐標運算 　　高考對本部分內容的考查主要有以下幾方面：①平面向量的運算。包括向量的線性運算及幾何意義，坐標運算，利用數量積運算解決模、夾角、垂直的問題，常與函數、不等式、三角函數、解析幾何等知識進行簡單的結合；②復數的運算。包括復數的概念、幾何意義及四則運算。以上考點難度不高，屬送分題，只要掌握基礎知識就能得滿分。


考向一 平面向量
微考向1：平面向量的線性運算
【例1】　(1)(2018·全國卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則＝(　　)
A.－ B.－
C.＋ D.＋
(2)(2018·重慶調研)已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，I是△ABC的內心，P是△IBC內部(不含邊界)的動點，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D．(2,3)
解析　(1)解法一：如圖所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故選A。

解法二：＝－＝－＝－××(＋)＝－，故選A。
(2)以B為原點，BA，BC所在直線分別為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則B(0,0)，A(3,0)，C(0,4)。設△ABC的內切圓的半徑為r，因為I是△ABC的內心，所以(5＋3＋4)×r＝4×3，解得r＝1，所以I(1,1)。設P(x，y)，因為點P在△IBC內部(不含邊界)，所以0
所以λ＋μ＝1－x，又0答案　(1)A　(2)A


解決以平面圖形為載體的向量線性運算問題的方法
(1)充分利用平行四邊形法則與三角形法則，結合平面向量基本定理、共線定理等知識進行解答。
(2)如果圖形比較規則，向量比較明確，則可考慮建立平面直角坐標系，利用坐標運算來解決。
變|式|訓|練
1．(2018·陜西檢測)已知P為△ABC所在平面內一點，＋＋＝0，||＝||＝||＝2，則△ABC的面積等于(　　)
A. B．2
C．3 D．4
解析　由||＝||得，△PBC是等腰三角形，取BC的中點為D，則PD⊥BC，又＋＋＝0，所以＝－(＋)＝－2，所以PD＝AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由||＝2，|PD|＝1可得||＝，則||＝2，所以△ABC的面積為×2×2＝2。故選B。
答案　B
2．(2018·全國卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)。若c∥(2a＋b)，則λ＝________。
解析　由題可得2a＋b＝(4,2)。因為c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，所以4λ－2＝0，即λ＝。
答案　
微考向2：平面向量的數量積運算
【例2】　(1)(2018·全國卷Ⅱ)已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．0
(2)圓O為△ABC的外接圓，半徑為2，若＋＝2，且||＝||，則向量在向量方向上的投影為________。
(3)如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E為CD的中點。若·＝1，則AB的長為______。

解析　(1)因為a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3。故選B。
(2)因為＋＝2，所以O是BC的中點。所以△ABC為直角三角形。在△AOC中，有||＝||，所以∠B＝30°。由定義，得向量在向量方向上的投影為||cosB＝2×＝3。
(3)解法一：由題意可知＝＋，＝－＋。因為·＝1，所以(＋)·＝1，即2＋·－2＝1。　①
因為||＝1，∠BAD＝60°，所以·＝||。因此①式可化為1＋||－2＝1，解得||＝0(舍去)或||＝。所以AB的長為。
解法二：以A為原點，AB所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系，過點D作DM⊥AB于點M。由AD＝1，∠BAD＝60°，可知AM＝，DM＝。設|AB|＝m(m>0)，則B(m,0)，C，D。因為E是CD的中點，所以E。所以＝，＝。由·＝1可得＋＝1，即2m2－m＝0。所以m＝0(舍去)或m＝。故AB的長為。

答案　(1)B　(2)3　(3)


解決以平面圖形為載體的向量數量積問題的方法
(1)選擇平面圖形中的模與夾角確定的向量作為一組基底，用該基底表示構成數量積的兩個向量，結合向量數量積運算律求解。
(2)若已知圖形中有明顯的適合建立直角坐標系的條件，可建立直角坐標系將向量數量積運算轉化為代數運算來解決。
變|式|訓|練
1．平面向量a與b的夾角為45°，a＝(1,1)，|b|＝2，則|3a＋b|＝(　　)
A．13＋6 B．2
C. D.
解析　依題意得|a|＝，a·b＝×2×cos45°＝2，則|3a＋b|＝＝＝＝。故選D。
答案　D
2．已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，點E，F 分別在邊BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF 。若·＝1，則λ的值為________。
解析　解法一：如圖，由題意可得·＝||·||cos120°＝2×2×＝－2。在菱形ABCD中，易知＝，＝，所以＝＋＝＋，＝＋＝＋，·＝·＝＋－2＝1，解得λ＝2。

解法二：以A為原點建立直角坐標系如圖，則A(0,0)，B(2,0)，C(1，)，D(－1，)，E，設F (x0，)，則·＝·(x0，)＝1，則x0＋1＝1，則x0＝0，所以F 為DC中點，所以DC＝2DF ，即λ＝2。

答案　2
微考向3：平面向量的最值問題
【例3】　(2018·浙江高考)已知a，b，e是平面向量，e是單位向量。若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b2－4e·b＋3＝0，則|a－b|的最小值是(　　)
A．－1 B．＋1
C．2 D．2－
解析　解法一：設O為坐標原點，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1,0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以點B的軌跡是以C(2,0)為圓心，1為半徑的圓。因為a與e的夾角為，所以不妨令點A在射線y＝x(x>0)上，如圖，數形結合可知|a－b|min＝||－||＝－1。故選A。


解法二：由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0。設b＝，e＝，3e＝，所以b－e＝，b－3e＝，所以·＝0，取EF 的中點為C，則B在以C為圓心，EF 為直徑的圓上，如圖。設a＝，作射線OA，使得∠AOE＝，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝||－||≥－1。故選A。

答案　A

平面向量的最值問題的兩種解法
(1)坐標法：建立平面直角坐標系，計算有關向量的坐標，利用向量的坐標計算。
(2)幾何法：根據向量的幾何意義構造圖形，通過分析圖形得出結論。
變|式|訓|練
已知A，B，C是圓O：x2＋y2＝1上的動點，且AC⊥BC，若點M的坐標是(1,1)，則|＋＋|的最大值為(　　)
A．3 B．4
C．3－1 D．3＋1
解析　解法一：因為A，B，C是圓O：x2＋y2＝1上的動點，且AC⊥BC，所以設A(cosθ，sinθ)，B(－cosθ，－sinθ)，C(cosα，sinα)，其中0≤θ<2π，0≤α<2π，因為M(1,1)，所以＋＋＝(cosθ－1，sinθ－1)＋(－cosθ－1，－sinθ－1)＋(cosα－1，sinα－1)＝(cosα－3，sinα－3)，所以|＋＋|
＝
＝
＝，當且僅當sin＝－1時，|＋＋|取得最大值，最大值為＝3＋1。故選D。
解法二：連接AB，因為AC⊥BC，所以AB為圓O的直徑，所以＋＝2，所以|＋＋|＝|2＋|≤|2|＋||＝2＋||，易知點M與圓上動點C的距離的最大值為＋1，所以||≤＋1，所以|＋＋|≤3＋1。故選D。
答案　D
考向二 復數的運算
【例4】　(1)(2018·全國卷Ⅱ)＝(　　)
A．－－i B．－＋i
C．－－i D．－＋i
(2)(2018·北京高考)在復平面內，復數的共軛復數對應的點位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析　(1)因為＝＝＝－＋i。故選D。
(2)＝＝＋i，其共軛復數為－i，對應的點為。故選D。
答案　(1)D　(2)D


復數問題的解題思路
(1)以復數的基本概念、幾何意義、相等的條件為基礎，結合四則運算，利用復數的代數形式列方程或方程組解決問題。
(2)若與其他知識結合考查，則要借助其他的相關知識解決問題。
變|式|訓|練
1．設i是虛數單位，若復數a＋(a∈R)是純虛數，則a＝(　　)
A．－1 B．1
C．－2 D．2
解析　因為a＋＝a＋＝a－2＋i為純虛數，所以a－2＝0，得a＝2。故選D。
答案　D
2．復數z＝(i為虛數單位)在復平面內對應點的坐標為(　　)
A．(3,3) B．(－1,3)
C．(3，－1) D．(2,4)
解析　因為z＝＝＝＝－1＋3i，所以其在復平面內對應的點的坐標為(－1,3)。故選B。
答案　B
3．復數z滿足＝i(i為虛數單位)，則＝(　　)
A．1＋i　　　B．1－i C.　　　D.
解析　因為＝i，所以z＝(z－i)i＝zi＋1，z＝＝，＝，故選D。
答案　D

1．(考向一)(2018·河北、河南、山西聯考)如圖，在等邊△ABC中，O為△ABC的重心，點D為BC邊上靠近B點的四等分點，若＝x＋y，則x＋y＝(　　)

A. B.
C. D.
解析　設點E為BC的中點，連接AE，可知O在AE上，由＝＋＝＋＝(＋)＋(－)＝－，故x＝，y＝－，x＋y＝。故選B。
答案　B
2．(考向一)(2018·天津高考)如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1。若點E為邊CD上的動點，則·的最小值為(　　)

A． B．
C． D．3
解析　解法一：如圖，以D為原點DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，則A(1,0)，B，C(0，)，令E(0，t)，t∈[0，]，所以·＝(－1，t)·＝t2－t＋，因為t∈[0，]，所以當t＝－＝時，·取得最小值，(·)min＝－×＋＝。故選A。

解法二：令＝λ(0≤λ≤1)，由已知可得DC＝，因為＝＋λ，所以＝＋＝＋＋λ，所以·＝(＋λ)·(＋＋λ)＝·＋2＋λ·＋2＝3λ2－λ＋。當λ＝－＝時，·取得最小值。故選A。
答案　A
3．(考向二)(2018·株洲二模)設i為虛數單位，1－i＝，則實數a＝(　　)
A．2 B．1
C．0 D．－1
解析　因為1－i＝，所以2＋ai＝(1－i)(1＋i)＝2，所以a＝0。故選C。
答案　C
4．(考向二)已知復數z的共軛復數為，若(1－2i)＝5－i(i為虛數單位)，則在復平面內，復數z對應的點位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析　依題意，設z＝a＋bi(a，b∈R)，則＋＝2a＋bi，故2a＋bi＝＝1＋i，故a＝，b＝，則在復平面內，復數z對應的點為，位于第一象限。故選A。
答案　A

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