資源簡(jiǎn)介

第 12 頁(yè) 共 12 頁(yè)


微專題3　不等式與線性規(guī)劃
命 題 者 說(shuō)
考 題 統(tǒng) 計(jì) 考 情 點(diǎn) 擊
2018·全國(guó)卷Ⅰ·T13·線性規(guī)劃求最值 2018·全國(guó)卷Ⅱ·T14·線性規(guī)劃求最值 2018·北京高考·T8·線性規(guī)劃區(qū)域問(wèn)題 2018·浙江高考·T15·不等式的解法 2017·全國(guó)卷Ⅰ·T14·線性規(guī)劃求最值 　　1.不等式作為高考命題熱點(diǎn)內(nèi)容之一，多年來(lái)命題較穩(wěn)定，多以選擇、填空題的形式進(jìn)行考查，題目多出現(xiàn)在第5～9或第13～15題的位置上，難度中等，直接考查時(shí)主要是簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，關(guān)于不等式性質(zhì)的應(yīng)用、不等式的解法以及基本不等式的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在其工具作用上。2.若不等式與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等其他知識(shí)交匯綜合命題，難度較大。



考向一 不等式的性質(zhì)與解法
【例1】　(1)已知a>b>0，則下列不等式中恒成立的是(　　)
A．a(chǎn)＋>b＋ B．a(chǎn)＋>b＋
C.> D.>ab
(2)已知函數(shù)f (x)＝(ax－1)(x＋b)，若不等式f (x)>0的解集是(－1,3)，則不等式f (－2x)<0的解集是(　　)
A.∪
B.
C.∪
D.
解析　(1)因?yàn)閍>b>0，所以<，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得a＋>b＋，故A正確；對(duì)于B，取a＝1，b＝，則a＋＝1＋＝2，b＋＝＋2＝，故a＋>b＋不成立，故B錯(cuò)誤；根據(jù)不等式的性質(zhì)可得<，故C錯(cuò)誤；取a＝2，b＝1，可知D錯(cuò)誤。故選A。
(2)由f (x)>0的解集是(－1,3)，所以a<0，且方程f (x)＝(ax－1)(x＋b)＝0的兩根為－1和3，所以所以a＝－1，b＝－3，所以f (x)＝－x2＋2x＋3，所以f (－2x)＝－4x2－4x＋3，由－4x2－4x＋3<0，得4x2＋4x－3>0，解得x>或x<－。故選A。
答案　(1)A　(2)A


解不等式的策略
(1)一元二次不等式：先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再結(jié)合相應(yīng)二次方程的根及二次函數(shù)圖象確定一元二次不等式的解集。
(2)含指數(shù)、對(duì)數(shù)的不等式：利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將其轉(zhuǎn)化為整式不等式求解。
變|式|訓(xùn)|練
1．(2018·北京高考)能說(shuō)明“若a>b，則<”為假命題的一組a，b的值依次為_(kāi)_______。(答案不唯一)
解析　由題意知，當(dāng)a＝1，b＝－1時(shí)，滿足a>b，但是>，故答案可以為1，－1。(答案不唯一，滿足a>0，b<0即可)
答案　1，－1(答案不唯一)
2．(2018·浙江高考)已知λ∈R，函數(shù)f (x)＝當(dāng)λ＝2時(shí)，不等式f (x)<0的解集是________。若函數(shù)f (x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則λ的取值范圍是________。
解析　若λ＝2，則當(dāng)x≥2時(shí)，令x－4<0，得2≤x<4；當(dāng)x<2時(shí)，令x2－4x＋3<0，得14。
答案　(1,4)　(1,3]∪(4，＋∞)
考向二 基本不等式及其應(yīng)用
【例2】　(1)(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，則2a＋的最小值為_(kāi)_______。
(2)已知a>b，且ab＝1，則的最小值是______。
解析　(1)由a－3b＋6＝0，得a＝3b－6，所以2a＋＝23b－6＋≥2＝2×2－3＝，當(dāng)且僅當(dāng)23b－6＝，即b＝1時(shí)等號(hào)成立。
(2)＝＝a－b＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝時(shí)取得等號(hào)。
答案　(1)　(2)2


在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)成立)的條件，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。
變|式|訓(xùn)|練
1．已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，則m的最大值為(　　)
A．4 B．16
C．9 D．3
解析　因?yàn)閍>0，b>0，所以由－－≤0恒成立得，m≤(3a＋b)＝10＋＋恒成立。因?yàn)椋?＝6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，所以10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值為16。故選B。
答案　B
2．已知函數(shù)f (x)＝ln(x＋)，若正實(shí)數(shù)a，b滿足f (2a)＋f (b－1)＝0，則＋的最小值是________。
解析　因?yàn)閒 (x)＝ln(x＋)，f (－x)＝ln(－x＋)，所以f (x)＋f (－x)＝ln[(x＋)·(－x＋)]＝ln1＝0，所以函數(shù)f (x)＝ln(x＋)為R上的奇函數(shù)，又y＝x＋在其定義域上是增函數(shù)，故f (x)＝ln(x＋)在其定義域上是增函數(shù)，因?yàn)閒 (2a)＋f (b－1)＝0，f (2a)＝－f (b－1)，f (2a)＝f (1－b)，所以2a＝1－b，故2a＋b＝1。故＋＝＋＝2＋＋＋1＝＋＋3≥2＋3。(當(dāng)且僅當(dāng)＝且2a＋b＝1，即a＝，b＝－1時(shí)，等號(hào)成立。)
答案　2＋3
考向三 線性規(guī)劃及其應(yīng)用
微考向1：求線性目標(biāo)函數(shù)的最值
【例3】　(2018·全國(guó)卷Ⅱ)若x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為_(kāi)_______。
解析　作可行域，則直線z＝x＋y過(guò)點(diǎn)A(5,4)時(shí)取最大值9。

答案　9


線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by最值的確定方法
(1)將目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by化成直線的斜截式方程(z看成常數(shù))。
(2)根據(jù)的幾何意義，確定的最值。
(3)得出z的最值。
變|式|訓(xùn)|練
(2018·天津高考)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋5y的最大值為(　　)
A．6 B．19
C．21 D．45
解析　不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，作出直線y＝－x，平移該直線，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，z取得最大值，由得即C(2,3)，所以zmax＝3×2＋5×3＝21。故選C。

答案　C
微考向2：線性規(guī)劃中的參數(shù)問(wèn)題
【例4】　(2018·山西八校聯(lián)考)若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組且3(x－a)＋2(y＋1)的最大值為5，則a＝________。
解析　設(shè)z＝3(x－a)＋2(y＋1)，作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由z＝3(x－a)＋2(y＋1)得y＝－x＋，作出直線y＝－x，平移該直線，易知當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A(1,3)時(shí)，z取得最大值，又目標(biāo)函數(shù)的最大值為5，所以3(1－a)＋2(3＋1)＝5，解得a＝2。

答案　2


解決這類問(wèn)題時(shí)，首先要注意對(duì)參數(shù)取值的討論，將各種情況下的可行域畫(huà)出來(lái)，以確定是否符合題意，然后在符合題意的可行域里，尋求最優(yōu)解，從而確定參數(shù)的值。
變|式|訓(xùn)|練
已知x，y滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)z＝2x－3y的最大值是2，則實(shí)數(shù)a＝(　　)
A． B．1
C． D．4
解析　作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分所示，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)z＝2x－3y的最大值是2，由圖象知z＝2x－3y經(jīng)過(guò)平面區(qū)域的點(diǎn)A時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值2。由解得A(4,2)，同時(shí)A(4,2)也在直線ax＋y－4＝0上，所以4a＝2，則a＝。故選A。

答案　A

1．(考向一)(2018·福建聯(lián)考)已知函數(shù)f (x)＝
若f (2－x2)>f (x)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－1,2)
D．(－2,1)
解析　易知f (x)在R上是增函數(shù)，因?yàn)閒 (2－x2)>f (x)，所以2－x2>x，解得－2答案　D
2．(考向一)(2018·南昌聯(lián)考)若a>1,0A．loga2 018>logb2 018 B．logbaC．(c－b)ca>(c－b)ba D．(a－c)ac>(a－c)ab
解析　因?yàn)閍>1,00，logb2 018<0，所以loga2 018>logb2 018，所以A正確；因?yàn)?>logab>logac，所以<，所以logba(c－b)ba，所以C正確；因?yàn)閍c0，所以(a－c)ac<(a－c)ab，所以D錯(cuò)誤。故選D。
答案　D
3．(考向二)(2018·河南聯(lián)考)已知直線ax－2by＝2(a>0，b>0)過(guò)圓x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圓心，則＋的最小值為_(kāi)_______。
解析　圓x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圓心坐標(biāo)為(2，－1)。由于直線ax－2by＝2(a>0，b>0)過(guò)圓x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圓心，故有a＋b＝1。所以＋＝(a＋2＋b＋1)＝≥＋×2＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝時(shí)，取等號(hào)，故＋的最小值為。
答案　
4．(考向三)(2018·南昌聯(lián)考)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镸，若直線y＝kx經(jīng)過(guò)區(qū)域M內(nèi)的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(　　)
A. B.
C. D.
解析　作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，易知當(dāng)直線y＝kx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,1)時(shí)，k取得最小值，當(dāng)直線y＝kx經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(1,2)時(shí)，k取得最大值2，可得實(shí)數(shù)k的取值范圍為。故選C。

答案　C
5．(考向三)(2018·廣州測(cè)試)若x，y滿足約束條件
則z＝x2＋2x＋y2的最小值為(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析　畫(huà)出約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1，其幾何意義是平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)到定點(diǎn)(－1,0)的距離的平方再減去1，觀察圖形可得，平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)(－1，0)的距離的最小值為，故z＝x2＋2x＋y2的最小值為zmin＝－1＝－。故選D。

答案　D

展開(kāi)更多......

收起↑