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微專題4　算法初步、推理與證明
命 題 者 說


考向一 程序框圖
【例1】　(1)(2018·天津高考)閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，若輸入N的值為20，則輸出T的值為(　　)

A．1　　　　B．2 C．3　　　　D．4
(2)(2018·全國卷Ⅱ)為計算S＝1－＋－＋…＋－，設計了如圖所示的程序框圖，則在空白框中應填入(　　)

A．i＝i＋1 B．i＝i＋2
C．i＝i＋3 D．i＝i＋4
解析　(1)N＝20，i＝2，T＝0，＝＝10，是整數；T＝0＋1＝1，i＝2＋1＝3,3<5，＝，不是整數；i＝3＋1＝4,4<5，＝＝5，是整數；T＝1＋1＝2，i＝4＋1＝5，結束循環。輸出的T＝2。故選B。
(2)由S＝1－＋－＋…＋－得程序框圖N先對奇數項累加，T再對偶數項累加，最后相減S＝N－T。因此在空白框中應填入i＝i＋2。故選B。
答案　(1)B　(2)B



程序框圖的解題策略
(1)要明確是當型循環結構，還是直到型循環結構，根據各自的特點執行循環體。
(2)要明確圖中的累計變量，明確每一次執行循環體前和執行循環體后，變量的值發生的變化。
(3)要明確循環體終止的條件是什么，會判斷什么 時候終止循環體。
變|式|訓|練
1．我國南宋時期的數學家秦九韶在他的著作《數書九章》中提出了計算多項式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的值的秦九韶算法，即將f(x)改寫成如下形式：f(x)＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，首先計算最內層一次多項式的值，然后由內向外逐層計算一次多項式的值。這種算法至今仍是比較先進的算法。將秦九韶算法用程序框圖表示，如圖所示，則在空白的執行框內應填入(　　)

A．v＝vx＋ai B．v＝v(x＋ai)
C．v＝aix＋v D．v＝ai(x＋v)
解析　秦九韶算法的過程是(k＝1,2，…，n)，這個過程用循環結構來實現，應在題圖中的空白執行框內填入v＝vx＋ai。故選A。
答案　A

2．執行如圖的程序框圖，若輸入k的值為3，則輸出S的值為________。

解析　執行如題干圖所示的程序框圖，過程如下：k＝3，n＝1，S＝1，滿足條件2S答案　
考向二 推理與證明
微考向1：歸納推理
【例2】　(2018·惠州二調)《周易》歷來被人們視作儒家群經之首，它表現了古代中華民族對萬事萬物深刻而又樸素的認識，是中華人文文化的基礎，它反映出中國古代的二進制計數的思想方法。我們用近代術語解釋為：把陽爻“”當作數字“1”，把陰爻“”當作數字“0”，則八卦所代表的數表示如下：

依次類推，則六十四卦中的“屯卦”，符號為“”，其表示的十進制數是(　　)
A．33 B．34
C．36 D．35
解析　由題意類推，可知六十四卦中的“屯卦”的符號“”表示的二進制數為100010，轉化為十進制數為0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34。故選B。
答案　B


歸納推理思想在解決問題時，從特殊情況入手，通過觀察、分析、概括，猜想出一般性結論，然后予以證明，這一數學思想方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數有關的命題時有著廣泛的應用。其思維模式是“觀察—歸納—猜想—證明”，解題的關鍵在于正確的歸納猜想。
變|式|訓|練
缺8數是一個非常神奇的數，觀察以下等式：
12 345 679×9＝111 111 111
12 345 679×18＝222 222 222
12 345 679×27＝333 333 333
12 345 679×36＝444 444 444
…
則第8個等式為________。
解析　由分析知，當乘數為9＝9×1時，結果為9位數，各個數位上的數字均是1；當乘數為18＝9×2時，結果為9位數，各個數位上的數字均是2，歸納推理易得結果。
答案　12 345 679×72＝888 888 888
微考向2：類比推理
【例3】　我們知道：“平面中到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓”。拓展至空間：“空間中到定點的距離等于定長的點的軌跡是球”，類似可得：已知A(－1,0,0)，B(1,0,0)，則點集{P(x，y，z)||PA|－|PB|＝1}在空間中的軌跡描述正確的是(　　)
A．以A，B為焦點的雙曲線繞軸旋轉而成的旋轉曲面
B．以A，B為焦點的橢球體
C．以A，B為焦點的雙曲線單支繞軸旋轉而成的旋轉曲面
D．以上都不對
解析　由特殊到特殊進行類比推理可得：點集{P(x，y，z)||PA|－|PB|＝1}在空間中的軌跡描述正確的是以A，B為焦點的雙曲線單支繞軸旋轉而成的旋轉曲面。故選C。
答案　C


類比推理是合情推理中的一類重要推理，強調的是兩類事物之間的相似性，有共同要素是產生類比遷移的客觀因素，類比可以由概念性質上的相似性引起，如等差數列與等比數列的類比，也可以由解題方法上的類似引起。當然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的類比。
變|式|訓|練
已知點A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函數y＝ax(a>1)的圖象上任意不同兩點，依據圖象可知，線段AB總是位于A，B兩點之間函數圖象的上方，因此有結論>a成立。運用類比思想方法可知，若點A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函數y＝sinx(x∈(0，π))的圖象上的不同兩點，則類似地有________成立。
解析　運用類比思想與數形結合思想，可知y＝sinx(x∈(0，π))的圖象是上凸的，因此線段AB的中點的縱坐標總是小于函數y＝sinx(x∈(0，π))圖象上的點的縱坐標，即答案　微考向3：演繹推理
【例4】　(2018·濰坊統考)“干支紀年法”是中國歷法上自古以來就一直使用的紀年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。“天干”以“甲”字開始，“地支”以“子”字開始，兩者按干支順序相配，組成了干支紀年法，其相配順序為甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳、…、癸亥，60個為一周，周而復始，循環記錄。2014年是“干支紀年法”中的甲午年，那么2020年是“干支紀年法”中的(　　)
A．己亥年 B．戊戌年
C．庚子年 D．辛丑年
解析　由題意知2014年是甲午年，則2015到2020年分別為乙未年、丙申年、丁酉年、戊戌年、己亥年、庚子年。故選C。
答案　C


演繹推理就是依照已知的定義、定理、公理推導我們所要的結論，它是一種從一般到特殊的推理。
變|式|訓|練
某參觀團根據下列約束條件從A，B，C，D，E五個鎮選擇參觀地點：
①若去A鎮，也必須去B鎮；
②D，E兩鎮至少去一鎮；
③B，C兩鎮只去一鎮；
④C，D兩鎮都去或者都不去；
⑤若去E鎮，則A，D兩鎮也必須去。
則該參觀團至多去了(　　)
A．B，D兩鎮 B．A，B兩鎮
C．C，D兩鎮 D．A，C兩鎮
解析　若去A鎮，根據①可知一定去B鎮，根據③可知不去C鎮，根據④可知不去D鎮，根據②可知去E鎮，與⑤矛盾，故不能去A鎮；若不去A鎮，根據⑤可知也不去E鎮，再根據②知去D鎮，再根據④知去C鎮，再根據③可知不去B鎮，再檢驗每個條件都成立，所以該參觀團至多去了C，D兩鎮。故選C。
答案　C


1．(考向一)(2018·北京高考)執行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為(　　)

A． B．
C． D．
解析　運行程序框圖，k＝1，s＝1；s＝1＋(－1)1×＝，k＝2；s＝＋(－1)2×＝，k＝3；滿足條件，跳出循環，輸出的s＝。故選B。
答案　B
2．(考向二)使用“□”和“○”按照如下規律從左到右進行排位：□，○，□，○，○，○，□，○，○，○，○，○，□，○，○，○，○，○，○，○，…，若每一個“□”或“○”占一個位置，如上述圖形中，第1位是“□”，第4位是“○”，第7位是“□”，則第2 017位之前(不含第2 017位)，共有________個“○”。
解析　記“□，○”為第1組，“□，○，○，○”為第2組，“□，○，○，○，○，○”為第3組，以此類推，第k組共有2k個圖形，故前k組共有2×1＋2×2＋2×3＋…＋2k＝2×(1＋2＋3＋…＋k)＝k(k＋1)個圖形，因為44×45＝1 980<2 016<45×46＝2 070，所以在這2 016個圖形中有45個“□”，1 971個“○”。
答案　1 971
3．(考向二)學校藝術節對A，B，C，D四件參賽作品只評一件一等獎，在評獎揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學對這四件參賽作品預測如下：甲說“C或D作品獲得一等獎”；乙說“B作品獲得一等獎”；丙說“A，D兩件作品未獲得一等獎”；丁說“C作品獲得一等獎”。
評獎揭曉后，發現這四位同學中只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是________。
解析　若A為一等獎，則甲，乙，丙，丁的說法均錯誤，故不滿足題意；若B獲得一等獎，則乙，丙說法正確，甲，丁的說法錯誤，故滿足題意；若C獲得一等獎，則甲，丙，丁的說法均正確，故不滿足題意；若D獲得一等獎，則只有甲的說法正確，故不合題意，所以若這四位同學中只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是B。
答案　B
4．(考向二)祖暅(公元前5～6世紀)是我國齊梁時代的數學家，是祖沖之的兒子。他提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異。”這里的“冪”指水平截面的面積，“勢”指高。這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體體積相等。設由橢圓＋＝1(a>b>0)所圍成的平面圖形繞y軸旋轉一周后，得一橄欖狀的幾何體(如圖)(稱為橢球體)，課本中介紹了應用祖暅原理求球體體積公式的做法，請類比此法，求出橢球體體積，其體積等于________。

解析　橢圓的長半軸為a，短半軸為b，現構造兩個底面半徑為b，高為a的圓柱，然后在圓柱內挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐，根據祖暅原理得出橢球體的體積V＝2(V圓柱－V圓錐)＝2＝πb2a。
答案　πb2a
5．(考向二)(2018·孝義模擬)有編號依次為1,2,3,4,5,6的6名學生參加數學競賽選拔賽，今有甲、乙、丙、丁四位老師在猜誰將得第一名，甲猜不是3號就是5號；乙猜6號不可能；丙猜2號，3號，4號都不可能；丁猜是1號，2號，4號中的某一個。若以上四位老師中只有一位老師猜對，則猜對者是(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析　若1號是第1名，則甲錯，乙對，丙對，丁對，不符合題意；若2號是第1名，則甲錯，乙對，丙錯，丁對，不符合題意；若3號是第1名，則甲對，乙對，丙錯，丁錯，不符合題意；若4號是第1名，則甲錯，乙對，丙錯，丁對，不符合題意；若5號是第1名，則甲對，乙對，丙對，丁錯，不符合題意；若6號是第1名，則甲錯，乙錯，丙對，丁錯，符合題意。故猜對者是丙。故選C。
答案　C

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