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第一部分 二輪復習提綱挈領
　引領一　命題有綱——數學核心素養與高考命題　
教育部考試中心在2018年高考考試大綱中，著重明確了高考“考什么”，即：必備知識、關鍵能力、學科素養、核心價值。
教育部發布了《普通高中課程方案和各科課程標準》，此次課程標準的修訂力度較大，并首次提出凝練“學科核心素養”。
可以預見，對學科核心素養的考查，將是今后高考的重要內容。那么，高考數學科目的核心素養是什么？它們在高考試題中怎樣呈現和考查？對復習備考有哪些要求？這是我們關注的重點內容
一、數學核心素養是什么
數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學建模、數學運算、數據分析。主要表現在用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言表達現實世界。
1．數學抽象
舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程。
主要包括從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并且用數學符號或者數學術語予以表征。具體表現：①形成數學概念與規則；②形成數學命題與模型；③形成數學方法與思想；④形成數學結構與體系。
2．邏輯推理
從一些事實和命題出發，依據邏輯規則推出一個命題的思維過程。
主要包括兩類，一類是從小范圍成立的命題推斷更大范圍內成立的命題的推理，推理形式主要有歸納推理、類比推理；一類是從大范圍成立的命題推斷小范圍內成立的命題的推理，推理形式主要有演繹推理。具體表現：①發現和提出命題；②掌握推理的基本形式和規則；③探索和表述論證的過程；④構建命題體系；⑤表達與交流。
3．直觀想象
借助空間想象感知事物的形態與變化，利用幾何圖形理解和解決數學問題。
主要包括利用圖形描述數學問題，建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。具體表現：①利用圖形描述數學問題；②利用圖形理解數學問題；③利用圖形探索和解決數學問題；④構建數學問題的直觀模型。
4．數學建模
對現實問題進行抽象，用數學語言表達和解決問題的過程。
主要包括在實際情境中，從數學的視角提出問題、分析問題、表達問題、構建模型、求解結論、驗證結果、改進模型，最終得到符合實際的結果。具體表現：①發現和提出問題；②建立模型；③求解模型；④檢驗結果和完善模型。
5．數學運算
在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題。
主要包括理解運算對象、掌握運算法則、探究運算方向、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果。具體表現：①理解運算對象；②掌握運算法則；③探索運算思想；④設計運算程序。
6．數據分析
從數據中獲得有用信息，形成知識。
主要包括收集數據提取信息，利用圖表展示數據，構建模型分析數據，解釋數據獲取知識。具體表現：①數據獲取；②數據分析；③知識構建。
二、數學核心素養怎么考
1．數學抽象
通過由具體的實例概括一般性結論，看我們能否在綜合的情境中學會抽象出數學問題，并在得到數學結論的基礎上形成新的命題，以此考查數學抽象素養。
【例1】　(2018·全國卷Ⅱ)已知f (x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數，滿足f (1－x)＝f (1＋x)。若f (1)＝2，則f (1)＋ f (2)＋ f (3)＋…＋f (50)＝(　　)
A．－50 B．0
C．2 D．50
【命題立意】　本題主要考查函數的奇偶性和周期性，旨在考查學生探究數學本質的能力。
【解題思路】　解法一：因為f (x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數，且f (1－x)＝f (1＋x)，所以f (1＋x)＝－f (x－1)，所以f (3＋x)＝－f (x＋1)＝f (x－1)，所以T＝4，因此f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)，因為f (3)＝－f (1)，f (4)＝－f (2)，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，因為f (2)＝f (－2)＝－f (2)，所以f (2)＝0，從而f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝f (1)＝2。故選C。

解法二：由題意可設f (x)＝2sin，作出f (x)的部分圖象如圖所示。由圖可知，f (x)的一個周期為4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2，故選C。
【答案】　C


(1)若函數f (x)的圖象有兩個不同的對稱中心，分別為(a,0)，(b,0)，則2|b－a|為函數f (x)的周期。
(2)若函數f (x)的圖象有兩條不同的對稱軸，分別為直線x＝a，直線x＝b，則2|b－a|為函數f (x)的周期。
(3)若函數f (x)的圖象有一個對稱中心(a,0)，一條對稱軸為直線x＝b，且a≠b，則4|b－a|為函數f (x)的周期。
2.邏輯推理
通過提出問題和論證命題的過程，看我們能否選擇合適的論證方法和途徑予以證明，并能用準確、嚴謹的數學語言表述論證過程，以此考查邏輯推理素養。
【例2】　(2018·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－y2＝1，O為坐標原點，F 為C的右焦點，過F 的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N。若△OMN為直角三角形，則|MN|＝(　　)
A． B．3
C．2 D．4
【命題立意】　本題主要考查雙曲線的幾何性質、直線與直線的位置關系，考查考生的化歸與轉化能力、運算求解能力，考查的核心素養是邏輯推理、數學運算。
【解題思路】　因為雙曲線－y2＝1的漸近線方程為y＝±x，所以∠MON＝60°。不妨設過點F 的直線與直線y＝x交于點M，由△OMN為直角三角形，不妨設∠OMN＝90°，則∠MF O＝60°，又直線MN過點F (2,0)，所以直線MN的方程為y＝－(x－2)，由得所以M，所以|OM|＝＝，所以|MN|＝|OM|＝3，故選B。

【答案】　B


破解此類題的關鍵：一是會“用圖”，即根據圖形的特征，尋找轉化的橋梁，如本題，觀察圖形，快速尋找直角三角形中直角的位置；二是運算準確，求解圓錐曲線試題運算要準確。
3．直觀想象
通過空間圖形與平面圖形的觀察以及圖形與數量關系的分析，通過想象對復雜的數學問題進行直觀表達，看我們能否運用圖形和空間想象思考問題，感悟事物的本質，形成解決問題的思路，以此考查直觀想象素養。
【例3】　(2018·全國卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖所示。圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B，則在此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為(　　)

A．2 B．2
C．3 D．2
【命題立意】　本題主要考查三視圖及最短路徑問題，考查考生的運算求解能力與空間想象能力，考查的數學核心素養是直觀想象。
【解題思路】　由三視圖可知，該幾何體為如圖①所示的圓柱，該圓柱的高為2，底面周長為16。畫出該圓柱的側面展開圖，如圖②所示，連接MN，則MS＝2，SN＝4，則從M到N的路徑中，最短路徑的長度為＝＝2。故選B。

【答案】　B
4.數學建模
通過實際應用問題的處理，看我們是否能夠運用數學語言，清晰、準確地表達數學建模的過程和結果，以此考查數學建模素養。
【例4】　(2018·北京高考)“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例，為這個理論的發展做出了重要貢獻。十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于。若第一個單音的頻率為f ，則第八個單音的頻率為(　　)
A．f B.f
C.f D.f
【命題立意】　本題以音律體系中的“十二平均律”為背景，有機的將我國古代音律方面的成就與數學中的等比數列結合在一起，考查考生的閱讀理解能力、運算求解能力和分析問題、解決問題的能力，考查的核心素養是數學建模。
【解題思路】　從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于，第一個單音的頻率為f ，由等比數列的概念可知，這十三個單音的頻率構成一個首項為f ，公比為的等比數列，記為{an}，則第八個單音頻率為
a8＝f ·()8－1＝f ，故選D。
【答案】　D
5．數學運算
通過各類數學問題特別是綜合性問題的處理，看我們能否做到明確運算對象，分析運算條件，選擇運算法則，把握運算方向，設計運算程序，獲取運算結果，以此考查數學運算素養。
【例5】　(2018·全國卷Ⅲ)設a＝log0.20.3，b＝log20.3，則(　　)
A．a＋bC．a＋b<0【命題立意】　本題主要考查對數運算以及不等式的性質，考查考生的化歸與轉化能力、運算求解能力，考查的核心素養是數學運算。
【解題思路】　因為a＝log0.20.3，b＝log20.3，所以＝log0.30.2，＝log0.32，所以＋＝log0.30.4，所以0<＋<1，即0<<1，又因為a>0，b<0，所以ab<0，即ab【答案】　B
6．數據分析
通過對概率與統計問題中大量數據的分析和加工，看我們能否獲得數據提供的信息及其所呈現的規律，進而分析隨機現象的本質特征，發現隨機現象的統計規律，以此考查數據分析素養。
【例6】　(2018·全國卷Ⅱ)如圖是某地區2000年至2016年環境基礎設施投資額y(單位：億元)的折線圖。

為了預測該地區2018年的環境基礎設施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型。根據2000年至2016年的數據(時間變量t的值依次為1,2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根據2010年至2016年的數據(時間變量t的值依次為1,2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t。
(1)分別利用這兩個模型，求該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值；
(2)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由。
【命題立意】　本題主要考查線性回歸模型、折線統計圖，意在考查數據處理能力、運算求解能力、圖形的識別能力。考查的核心素養是數據分析。
【解題思路】　(1)利用模型①，該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值為＝－30.4＋13.5×19＝226.1(億元)。
利用模型②，該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值為＝99＋17.5×9＝256.5(億元)。
(2)利用模型②得到的預測值更可靠。
理由如下：
a．從折線圖可以看出，2000年至2016年的數據對應的點沒有隨機散布在直線＝－30.4＋13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數據建立的線性模型①不能很好地描述環境基礎設施投資額的變化趨勢。2010年相對2009年的環境基礎設施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數據對應的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環境基礎設施投資額的變化規律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數據建立的線性模型＝99＋17.5t可以較好地描述2010年以后的環境基礎設施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預測值更可靠。
b．從計算結果看，相對于2016年的環境基礎設施投資額220億元，由模型①得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預測值更可靠。
以上2種理由，答出其中一種或其他合理理由均可。
三、復習備考有哪些要求
1．要重視基本概念的復習
從概念的定義出發，由表及里，去偽存真，掌握概念的本質屬性，這是提升數學素養的必要條件。在概念復習中要避免模式化，避免機械套用有關結論。
2．要重視基本定理、公式的復習
很多學生存在重應用輕推導的現象，就是只重視定理公式的應用，而忽視公式的推導、定理的證明。事實上，重視公式的推導、定理的證明，不僅有利于理解與掌握定理和公式，理解公式之間的相互關系，而且還可以進一步挖掘公式中蘊含的數學思想，從而成為我們解決有關問題的敲門磚。
3．要重視基本技能的復習
基本技能是數學基礎知識的重要組成部分，在數學建模、數學運算以及數據分析等核心素養中都有它的影子，也是歷年高考考查的重點。對基本技能的復習，主要包括掌握入手點、了解隱藏點與熟悉易錯點。
4．要重視數學本質
數學核心素養中的數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，貫穿在數學知識的產生、發展、應用的全過程中。
導數既是函數的一個重要概念，同時也是研究函數性質，解決函數有關問題的一個重要工具。復習中不僅僅要重視導數的概念、運算以及應用，還要突出導數的工具性，突出導數在研究函數的有關性質、解決函數有關問題時的工具作用。
5．要重視中國古代數學文化
近幾年的高考試題增加了對中國傳統文化進行考查的內容，將中國古代文明作為試題背景材料，體現中國傳統文化對人類發展和社會進步的貢獻。
這類題目雖然難度不大，但是立意新穎，富有創新精神，特別是巧妙地利用我國優秀的傳統文化設計試題，不僅使學生對我國的傳統文化有所了解，同時也考查了學生的各種能力，如閱讀能力、思維能力、運算能力、數據處理能力等，很好地滲透了數學的核心素養。

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