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三角函數模塊專題復習 ——任意角的三角函數及誘導公式
二．要點精講
1．任意角的概念
旋轉開始時的射線叫做角的始邊，叫終邊，射線的端點叫做叫的頂點。
規定:按逆時針方向旋轉所形成的角叫正角,按順時針方向旋轉所形成的角叫負角。如果一條射線沒有做任何旋轉,我們稱它形成了一個零角。
2．終邊相同的角、區間角與象限角
3．弧度制
長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫)。角有正負零角之分，它的弧度數也應該有正負零之分.
角的弧度數的絕對值是：，其中，l是圓心角所對的弧長，是半徑。
角度制與弧度制的換算主要抓住。
弧度與角度互換公式：1rad＝° 1°＝（rad）。
弧長公式：（是圓心角的弧度數），
扇形面積公式：。
4．三角函數定義
利用單位圓定義任意角的三角函數，設是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點,那么:
(1)叫做的正弦,記做,即；
（2）叫做的余弦,記做,即；
（3）叫做的正切,記做,即。
5．三角函數線
6．同角三角函數關系式
（1）平方關系：
（2）倒數關系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,
（3）商數關系：
幾個常用關系式：sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；(三式之間可以互相表示)

7．誘導公式
可用十個字概括為“奇變偶不變，符號看象限”。
誘導公式一：，，其中 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
誘導公式二： ；
誘導公式三： ；
誘導公式四：； (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
誘導公式五：；
－
sin －sin sin －sin －sin sin cos
cos cos －cos －cos cos cos sin
（1）要化的角的形式為（為常整數）；
（2）記憶方法：“函數名不變，符號看象限”；
（3）sin(kπ+α)=(－1)ksinα；cos(kπ+α)=(－1)kcosα(k∈Z)；
（4）；。
三．思維總結
1．幾種終邊在特殊位置時對應角的集合為：
角的終邊所在位置 角的集合
X軸正半軸
Y軸正半軸
X軸負半軸
Y軸負半軸
X軸
Y軸
坐標軸
2．α、、2α之間的關系。
若α終邊在第一象限則終邊在第一或第三象限；2α終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。
若α終邊在第二象限則終邊在第一或第三象限；2α終邊在第三或第四象限或y軸負半軸。
若α終邊在第三象限則終邊在第二或第四象限；2α終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。
若α終邊在第四象限則終邊在第二或第四象限；2α終邊在第三或第四象限或y軸負半軸。
3．學習本節內容時要注意如下幾點：（1）熟練地掌握常用的方法與技巧，在使用三角代換求解有關問題時要注意有關范圍的限制；（2）要注意差異分析，又要活用公式，要善于瞄準解題目標進行有效的變形，其解題一般思維模式為：發現差異，尋找聯系，合理轉化。
三角函數的值與點在終邊上的位置無關，僅與角的大小有關.我們只需計算點到原點的距離,那么,,。
三角函數的圖象與性質
二．要點精講
1．正弦函數、余弦函數、正切函數的圖像



2．三角函數的單調區間：
的遞增區間是，
遞減區間是；
的遞增區間是，
遞減區間是，
的遞增區間是，
3．函數
最大值是，最小值是，周期是，頻率是，相位是，初相是；其圖象的對稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點都是該圖象的對稱中心。
4．由y＝sinx的圖象變換出y＝sin(ωx＋)的圖象一般有兩個途徑，只有區別開這兩個途徑，才能靈活進行圖象變換。
利用圖象的變換作圖象時，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經常出現 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)無論哪種變形，請切記每一個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。
途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)
先將y＝sinx的圖象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜個單位，再將圖象上各點的橫坐標變為原來的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的圖象。
途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換。
先將y＝sinx的圖象上各點的橫坐標變為原來的倍(ω＞0)，再沿x軸向左(＞0)或向右(＜0＝平移個單位，便得y＝sin(ωx＋)的圖象。
5．由y＝Asin(ωx＋)的圖象求其函數式：
給出圖象確定解析式y=Asin（ωx+）的題型，有時從尋找“五點”中的第一零點（－，0）作為突破口，要從圖象的升降情況找準第一個零點的位置。
6．對稱軸與對稱中心：
的對稱軸為，對稱中心為；
的對稱軸為，對稱中心為；
對于和來說，對稱中心與零點相聯系，對稱軸與最值點聯系。
7．求三角函數的單調區間：一般先將函數式化為基本三角函數的標準式，要特別注意A、的正負 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)利用單調性三角函數大小一般要化為同名函數,并且在同一單調區間；
8．求三角函數的周期的常用方法：
經過恒等變形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法。
9．五點法作y=Asin（ωx+）的簡圖：
五點取法是設x=ωx+，由x取0、、π、、2π來求相應的x值及對應的y值，再描點作圖。
三．思維總結
1．數形結合是數學中重要的思想方法，在中學階段，對各類函數的研究都離不開圖象，很多函數的性質都是通過觀察圖象而得到的。
2．作函數的圖象時，首先要確定函數的定義域 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)。
3．對于具有周期性的函數，應先求出周期，作圖象時只要作出一個周期的圖象，就可根據周期性作出整個函數的圖象。
4．求定義域時，若需先把式子化簡，一定要注意變形時x的取值范圍不能發生變化。
5．求三角函數式的最小正周期時，要盡可能地化為只含一個三角函數，且三角函數的次數為1的形式，否則很容易出現錯誤。
6．函數的單調性是在定義域或定義域的某個子區間上考慮的，要比較兩三角函數值的大小一般先將它們化歸為同一單調區間的同名函數再由該函數的單調性來比較大小。
7．判斷y=－Asin（ωx+）（ω＞0）的單調區間，只需求y=Asin（ωx+）的相反區間即可，一般常用數形結合 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)而求y=Asin（－ωx+）（－ω＜0＝單調區間時，則需要先將x的系數變為正的，再設法求之。
　三角恒等變形及應用
二．要點精講
1．兩角和與差的三角函數
；
；
。
2．二倍角公式
；
；
。
3．三角函數式的化簡
常用方法：①直接應用公式進行降次、消項；②切割化弦，異名化同名，異角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化簡要求：①能求出值的應求出值；②使三角函數種數盡量少；③使項數盡量少；④盡量使分母不含三角函數；⑤盡量使被開方數不含三角函數。
（1）降冪公式
；；。
（2）輔助角公式（萬能公式）
，
。
4．三角函數的求值類型有三類
（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關系，利用三角變換消去非特殊角，轉化為求特殊角的三角函數值問題；
（2）給值求值：給出某些角的三角函數式的值，求另外一些角的三角函數值，解題的關鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論；
（3）給值求角：實質上轉化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數值結合所求角的范圍及函數的單調性求得角。
5．三角等式的證明
（1）三角恒等式的證題思路是根據等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”；
（2）三角條件等式的證題思路是通過觀察，發現已知條件和待證等式間的關系，采用代入法、消參法或分析法進行證明。
三．思維總結
1．兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)在學習時應注意以下幾點：
（1）不僅對公式的正用逆用要熟悉，而且對公式的變形應用也要熟悉；
（2）善于拆角、拼角
如，等；
（3）對公式的逆用公式，變形式也要熟悉，如

（4）注意倍角的相對性
（5）要時時注意角的范圍
（6）化簡要求
熟悉常用的方法與技巧，如切化弦，異名化同名，異角化同角等。
2．證明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式進行化名，化角，改變運算結構，使等式兩邊化為同一形式。
（2）證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數的單調性，利用正、余弦函數的有界性，利用單位圓三角函數線及判別法等。
第三講：三角函數單元部分易錯題解析
（1）終邊與終邊共線(的終邊在終邊所在直線上) .
（2）終邊與終邊關于軸對稱.
（3）終邊與終邊關于軸對稱.
（4）終邊與終邊關于原點對稱.
（5）終邊在軸上的角可表示為：；終邊在軸上的角可表示為：；終邊在坐標軸上的角可表示為：.如的終邊與的終邊關于直線對稱，則＝
1.特殊角的三角函數值：
30° 45° 60° 0° 90° 180° 270° 15° 75°
0 1 0 －1
1 0 －1 0
1 0 0 2- 2+
1 0 0 2+ 2-
2. 同角三角函數的基本關系式：
（1）平方關系：
（2）倒數關系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,
（3）商數關系：
3、正切函數的圖象和性質：
（1）定義域：。遇到有關正切函數問題時，你注意到正切函數的定義域了嗎？
（2）值域是R，在上面定義域上無最大值也無最小值；
（3）周期性：是周期函數且周期是，它與直線的兩個相鄰交點之間的距離是一個周期。絕對值或平方對三角函數周期性的影響：一般說來，某一周期函數解析式加絕對值或平方，其周期性是：弦減半、切不變．既為周期函數又是偶函數的函數自變量加絕對值，其周期性不變，其它不定。 如的周期都是, 但的周期為，而，的周期不變；
（4）奇偶性與對稱性：是奇函數，對稱中心是，特別提醒：正(余)切型函數的對稱中心有兩類：一類是圖象與軸的交點，另一類是漸近線與軸的交點，但無對稱軸，這是與正弦、余弦函數的不同之處。
（5）單調性：正切函數在開區間內都是增函數。但要注意在整個4.定義域上不具有單調性。如下圖：









5. 三角形中的有關公式：
(1)內角和定理：三角形三角和為，這是三角形中三角函數問題的特殊性，解題可不能忘記！任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余.銳角三角形三內角都是銳角三內角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.
(2)正弦定理：(R為三角形外接圓的半徑).注意：①正弦定理的一些變式：；
；；②已知三角形兩邊一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，則務必注意可能有兩解.
(3)余弦定理：等，常選用余弦定理鑒定三角形的形狀.
(4)面積公式：（其中為三角形內切圓半徑）.如中，若，判斷的形狀（答：直角三角形）。
特別提醒：（1）求解三角形中的問題時，一定要注意這個特殊性：；（2）求解三角形中含有邊角混合關系的問題時，常運用正弦定理、余弦定理實現邊角互化。

a的終邊

P(x,y))

O

x

y











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