資源簡介

第五章
相交線與平行線
一、相交線
相交線：如果兩條直線只有一個公共點,就說這兩條直線相交，該公共點叫做兩直線的交點。如直線AB、CD相交于點O。
A
D
C
O
B
對頂角：兩條直線相交出現對頂角。頂點相同，角的兩邊互為反向延長線.，滿足這種關系的角，互為對頂角，對頂角相等。對頂角是成對出現的。
鄰補角：有一條公共邊，角的另一邊互為反向延長線.滿足這種關系的兩個角，互為領補角。
鄰補角與補角的區別與聯系
1.鄰補角與補角都是針對兩個角而言的，而且數量關系都是兩角之和為180°
2.互為鄰補角的兩個角一定互補，但是互為補角的兩個角不一定是鄰補角即：互補的兩個角只注重數量關系而不談位置，而互為鄰補角的兩個角既要滿足數量關系又要滿足位置關系。
領補角與對頂角的比較
二、垂線
垂直：當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫另一條直線的垂線，它們的交點叫垂足。
從垂直的定義可知，判斷兩條直線互相垂直的關鍵：要找到兩條直線相交時四個交角中一個角是直角。
垂直的表示：用“⊥”和直線字母表示垂直
例如：如圖，a、b互相垂直,O叫垂足.a叫b的垂線，
b也叫a的垂線。則記為：a⊥b或b⊥a；
若要強調垂足，則記為：a⊥b,
垂足為O.
垂直的書寫形式：
如圖，當直線AB與CD相交于O點，∠AOD=90°時，AB⊥CD，垂足為O。
書寫形式：
∵∠AOD=90°（已知）
∴AB⊥CD（垂直的定義）
反之，若直線AB與CD垂直，垂足為O，那么，∠AOD=90°。
書寫形式：
∵
AB⊥CD
（已知）
∴
∠AOD=90°
（垂直的定義）
應用垂直的定義：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
垂線的畫法：
如圖，已知直線
l
和l上的一點A
,作l的垂線.
則所畫直線AB是過點A的直線l的垂線.
工具：直尺、三角板
1放:放直尺,直尺的一邊要與已知直線重合;
2靠:靠三角板,把三角板的一直角邊靠在直尺上;
3移:移動三角板到已知點;
4畫線:沿著三角板的另一直角邊畫出垂線.
垂線的性質：
1、同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.
2、連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短,或說成垂線段最短。直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。
三、同位角、內錯角、同旁內角（出現在一條直線與兩條直線分別相交的情形）
同位角：一邊都在截線上而且同向，另一邊
在截線同側的兩個角。
如∠1和∠5，∠4和∠8。
內錯角：一邊都在截線上而且反向，
另一邊在截線兩側的兩個角。
（兩個角在兩條截線內）
如∠3和∠5，∠4和∠6。
同旁內角：一邊都在截線上而且反向，
另一邊在截線同旁的兩個角。
（兩個角在兩條截線內）
如∠3和∠6，∠4和∠5。
同位角、內錯角、同旁內角的比較
四、平行線
平行線：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。
平行線的表示:
我們通常用符號“//”表示平行。
任意兩條直線，有兩種位置關系，一種是相交，另一種是平行。
平行線的畫法：
已知直線a和直線外的一個已知點P,經過點P畫一條直線與已知直線a平行。
一、帖(線）
二、靠(尺）
a
三、移(點)
四、畫(線）
平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。
平行公理推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。
∵
b∥a
b
∥
c
∴
a
∥c
a
b
平行線具有傳遞性。
c
五、平行線的判定
判定方法1：
兩條直線被第三條直線所截，如果
同位角相等，那么這兩條直線平行。
簡單說成：同位角相等,
兩直線平行
判定方法2：兩條直線被第三條直線所截，如果
內錯角相等，那么這兩條直線平行.
簡單說成：內錯角相等，兩直線平行.
判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，
如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行.
簡單說成：同旁內角互補，兩直線平行
在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行.
六、平行線的性質：
性質1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.
簡單地說:兩直線平行，同位角相等.
性質2：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等.
簡單地說:兩直線平行，內錯角相等.
性質3：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補.
簡單地說:兩直線平行，同旁內角互補.
七、命題、定理、證明
命題：判斷一件事情的語句，叫做命題。命題由題設和結論兩部分組成。題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項。數學中的命題常可以寫成“如果……那么……”的形式，“如果”后的部分是題設，“那么”后的部分是結論。
如果題設成立，那么結論一定成立，這樣的命題稱真命題。命題成立，而結論不一定成立，這樣的命題稱假命題。
定理：有些真命題是基本事實，它們的正確性是經過推理證實的，無需再次進行證明的，這樣的真命題叫定理。
證明：很多情況下，一個命題的正確性需要經過推理，才能作出判斷，這個推理的過程叫做證明。
九、平移
平移：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。
平移的性質：經過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等。
平移作圖：
將線段AB平移，使點A與點D對應。
1、連結AD
2、過點B作AD的平行線
3、在平行線上作線段BC，使BC=AD
4、連結CD
第六章
實數
一、平方根
算術平方根：如果一個正數x的平方等于a,即x2=a，那么這個正數x叫做a的算術平方根。a的算術平方根記為，讀作“根號a”，a叫做被開方數。0的算術平方根是0。
平方根:如果一個數x的平方等于a,即x2=a
（x可能為正數，也可能為負數），那么x就叫做a的平方根(二次方根).
開平方：求一個數a的平方根的運算,叫做開平方.
平方與開平方互為逆運算。
平方根的表示方法:
如果x2=a
(a≥0),
那么x
=
，讀作“正負根號a”。表示a的正的平方根。表示
a的負的平方根。
規定：正數a的正的平方根
叫做a的算數平方根；0的算數平方根是0.
歸納：
1、正數有兩個平方根，它們互為相反數；
2、0的平方根是0；
3、負數沒有平方根。
例題1：
方法:
1、把x2當作一個整體,求出x2=a;
2、再根據平方根的定義求x.
例題2：
(1)
81的平方根是
________
。
(2)
的平方根是
________
。
二、立方根
立方根：若一個數的立方（三次方）等于a,那么這個數叫做
a
的立方根（三次方根）
若x
是
a
的立方根，則說明x
3
=
a。a
的立方根記為：
,讀作“三次根號a”。
根指數
開立方：我們把求立方根的運算稱之為開立方，它與立方運算是互逆的。
（1）
8
的立方根：
（2）-
64
的立方根：
歸納：一個正數有一個正的立方根；一個負數有一個負的立方根；零的立方根是零。
平方根和立方根的異同點
三、實數
無理數：無限不循環小數稱為無理數。（開方開不盡的數；含有π的數；有規律但不循環的數。）
如，等
實數：有理數和無理數統稱實數。
實數與數軸：每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示；反過來，數軸上的每一點都表示一個實數。即實數和數軸上的點是一一對應的。
歸納：1、a是一個實數，它的相反數為
-a
2、一個正實數的絕對值是它本身；一個負實數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0。
（在實數范圍內，相反數、絕對值的意義和有理數范圍內的相反數、絕對值的意義完全一樣。）
第七章
平面直角坐標系
一、有序數對
有序數對:把有順序的兩個數a與b組成的數對叫做有序數對,記做（a，b）。
利用有序數對，能準確表示一個位置，這里兩個數的順序不能改變。
二、平面直角坐標系
平面直角坐標系：平面內兩條互相垂直、原點重合的數軸，組成平面直角坐標系。水平方向的數軸稱為x軸或橫軸，習慣取向右的方向為正方向；豎直方向上的數軸稱為y軸或縱軸，習慣取向上的方向為正方向；兩坐標軸的交點是平面直角坐標系的原點
.
條數軸　②互相垂直　③公共原點　滿足這三個條件才叫平面直角坐標系
注意:坐標軸上的點不屬于任何象限。
平面直角坐標系中兩條數軸特征：
（1）互相垂直
（2）原點重合
（3）通常取向上、向右為正方向
（4）單位長度一般取相同的
平面上點的表示：平面內任意一點P,過P點分別向x、y軸作垂線，垂足在x軸、y軸上對應的數a、b分別叫做點p的橫坐標、縱坐標，
則有序數對（a，b）叫做點P的坐標,記為P（a，b）
注意:橫坐標寫在前,縱坐標寫在后,中間用逗號隔開.
直角坐標系中點的坐標的特點:
三、用坐標表示平移
平移：把一個圖形整體沿某一方向移動一定的距離，圖形的這種移動，叫做平移。平移后圖形的位置改變，形狀、大小不變。
我們先試一試：
在坐標中描出點A（-2，-3）并進行如下平移：
（1）將點A向右平移5個單位長度得到點A1，則
點A1的坐標是________
（2）將點A向左平移3個單位長度得到點A2，則
點A2的坐標是________
（3）將點A向右平移a(a>o)個單位長度得到點An，則
點An的坐標是________
（4）將點A向左平移a(a>o)個單位長度得到點An ，則
點An
的坐標是_______
總結規律1:圖形平移與點的坐標變化的關系
(1)左、右平移：
原圖形上的點(x,y)
，向右平移a個單位，(x+a,y)
原圖形上的點(x,y)
，向左平移a個單位，(x-a,y)
(2)上、下平移：
原圖形上的點(x,y)
，向上平移b個單位，(x,y+b)　　　　　　　　　
原圖形上的點(x,y)
，向下平移b個單位，(x,y-b)
總結規律2：圖形上點的坐標變化與圖形平移間的關系
(1)橫坐標變化,縱坐標不變：
原圖形上的點(x,y)
，如果要得到(x+a,y)，要向右平移a個單位。　　　
原圖形上的點(x,y)
，如果要得到(x-a,y)，要向左平移a個單位。
(2)橫坐標不變,縱坐標變化：
原圖形上的點(x,y)
，如果要得到(x,y+b)，要向上平移b個單位。
原圖形上的點(x,y)
，如果要得到(x,y-b)，要向下平移b個單位。
(3)橫坐標、縱坐標都變化：
原圖形上的點(x,y)
，如果要得到(x+a,y+b),要向右平移a個單位,向上平移b個單位；
原圖形上的點(x,y)
，如果要得到(x+a,y-b),要向右平移a個單位,向下平移b個單位；
原圖形上的點(x,y)
，如果要得到(x-a,y+b),要向左平移a個單位,向上平移b個單位；
原圖形上的點(x,y)
，如果要得到(x-a,y-b),要向左平移a個單位,向下平移b個單位；
第八章
二元一次方程組
一、二元一次方程組
二元一次方程：含有兩個未知數,并且未知數的指數都是
1的方程叫做二元一次方程。
判斷下例方程是不是二元一次方程：
(1)
3
-
2xy
=1
（2）3y-2x
=z+5
(3)
2x=1-3y
二元一次方程的解：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值,叫做二元一次方程的解。二元一次方程的解有無數個，可以理解為在一條直線上的點的坐標。
二元一次方程組：把含有兩個未知數的兩個一次方程合在一起，就組成一個二元一次方程組。即兩個二元一次方程組成的方程組稱二元一次方程組。（兩個方程中的未知數相同）
二元一次方程組的特點：
1.有兩個未知數.(二元)
2.含未知數的指數都為1.(一次)
3.兩個一次方程組成.(方程組)
二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個方程的公共解,叫做二元一次方程組的解。二元一次方程組的解只有一個，可以理解為兩條直線相交點的坐標。
二、解二元一次方程組
代入消元法：將其中的一個方程中的某個未知數用含有另一個未知數的代數式表現出來，再代入另一個方程，從而消去一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程。這種解方程組的方法稱為代入消元法，簡稱代入法。
思路：“消元”，即把“二元”變為“一元”。
例：
用代入法解方程組
x－y=3
①
3x－8y=14
②
解:由①得,y=x－3
③
把③代入②得
3x－8(x－3)=14
,解這個方程得:x=2
把x=2代入③得:y=－1
所以這個方程組的解為:
加減消元法:
兩個二元一次方程中同一未知數的系數相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數，得到一個一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法.
基本思路:
加減消元:
二元
一元
主要步驟：
變形——同一個未知數的系數相同或互為相反數
加減——消去一個元
求解——分別求出兩個未知數的值
寫解——寫出方程組的解
三、實際問題與二元一次方程組
例題：探究2（p99）
綜合運用6（p102）
分析：題中的量很多，并且相互關聯，這時，我們可畫一張示意圖，把題中的條件在圖中標出來，這樣比較直，能幫助我們比較順利地找出題中的相等關系。
四、三元一次方程組的解法
三元一次方程：方程組含有三個未知數，每個方程中含有未知數的項的次數都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫三元一次方程組。
解三元一次方程組的基本思路：通過“代入”或“加減”進行消元，把“三元”化為“二元”，使三元一次方程組轉化為二元一次方程組，進而再轉化為一元一次方程。
例：解下面兩個三元一次方程組：
第九章
不等式與不等式組
一、不等式及其解集
不等式：用不等號表示不相等關系的式子叫做不等式
不等號包括：
≥、
≤、>、<
、≠
不等式的解：使不等式成立的未知數的值叫不等式的解.
不等式的解集：一個含有未知數的不等式的所有解組成這個不等式的解集。求不等式的解集的過程叫做解不等式。
不等式解集的表示方法：
第一種:用式子(如x>3),即用最簡形式的不等式(如x>a或x第二種:利用數軸表示不等式的解集.
用數軸表示不等式的解集,應記住下面的規律:
大于向右畫,小于向左畫;
有等號(≥
,≤)畫實心點,無等號(>,<)畫空心圓.
二、不等式的性質
性質1
：如果
a>b,
那么
a+c>b+c
或
a-c>b-c
即：不等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，不等號的方向不變.
性質2：如果a>b，c>0，那么ac>bc
(或
)
即：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變。
性質3：如果a>b，c<0，那么ac即：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。
試一試：
1.若-m>5，則m
____-5.
2.如果x/y>0,
那么xy
____0.
3.如果a>-1,那么a-b
_____-1-b.
4.-0.9＜-0.3,兩邊都除以(-0.3),得_______.
例　已知a<0
，試比較2a與a的大小。
解法一：∵2＞1，a＜0，
∴2a＜a（不等式的基本性質3）
解法二：　在數軸上分別表示2a和a的點（a＜0），如圖.2a位于a的左邊，所以2a＜a
∵
2a-a=a,
又∵
a＜0,
∴
2a-a＜0,
∴2a三、一元一次不等式
一元一次不等式：含有一個未知數，未知數的次數是1的不等式，叫做一元一次不等式。
例題：例1（p122）
綜合運用6（p126）
四、一元一次方程組
一元一次方程組：一般地,由幾個同一未知數的一元一次不等式所組成的一組不等式,叫做一元一次不等式組.
一元一次不等式組的解集：一般地，幾個一元一次不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的一元一次不等式組的解集(不等式組的解)
有公共部分
不等式組的解集
無公共部分
不等式組無解
解不等式組：求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。
規律：1.
兩大取大；
2.兩小取小；
3.大小小大中間找；
4.大大小小解不了。
例題：復習鞏固2（p130）要求：解不等式組并在數軸上表示出不等式組的解集。
第十章
數據的收集、整理與描述
一、統計調查
統計表和統計圖的區別：
統計表反映的數據準確且容易查找；
統計圖很直觀地表示出變化的情況，但往往不能看出準確數據。
在實際問題中常把統計表、統計圖結合起來描述數據，要能根據不同問題選擇適當的統計圖描述數據，以利于數據的分析，最終做出合理的決策。
全面調查：考察全體對象的調查叫做全面調查。
全面調查的步驟：1、明確調查問
2、確定調查對象
3、選擇調查方法
4、展開調查,收集數據
5、整理數據
6、描述數據
7、得出結論
抽樣調查:
采用調查部分對象的方式來收集數據,
根據部分來估計整體的情況,
叫做抽樣調查.
總體:
所要考察對象的全體叫做總體.
個體:
總體中每一個考察對象叫做個體。
樣本:
從總體中所抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本.
樣本容量:
樣本中個體的數目。
例：要調查下面幾個問題，你認為應該作全面調查還是抽樣調查
（1）檢測某城市的空氣質量
（2）調查一個村子所有家庭的收入
（3）調查一批重型導彈的殺傷半徑
全面調查與抽樣調查的比較
二、直方圖
組距：把所有數據分成若干組，每個小組的兩個端點之間的距離（組內數據的取值范圍）稱為組距。
組數：組數=（最大值—最小值）/組距
頻數：對落在各小組內的數據進行累計，得到各小組內的數據的個數，叫做頻數。
畫一組數據的頻率分布直方圖，可以按以下的步驟進行：
（1）求極差，即數據中最大值與最小值的差.
（2）決定組距與組數
：組距=極差/組數.
（3）分組，通常對組內數值所在區間，取左閉右開區間
，
最后一組取閉區間.
（4）登記頻數，計算頻率，列出頻率分布表.
（5）畫出頻率分布直方圖.（縱軸表示頻率／組距）
作頻率分布直方圖的方法：
（1）把橫軸分成若干段，每一線段對應一個組的組距；
（2）然后以此線段為底作一矩形，它的高等于該組的頻率/組距；
這樣得出一系列的矩形，每個矩形的面積恰好是該組上的頻率，這些矩形就構成了頻率分布直方圖．

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