資源簡介

人教版《義務教育課程標準實驗教科書數學（六年級下冊）》介紹
人民教育出版社小學數學室、課程教材研究所小學數學課程教材研究開發中心編寫的《義務教育課程標準實驗教科書 數學》六年級下冊，是以《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《標準》）的基本理念和所規定的教學內容為依據，在總結原通用九年義務教育小學數學教材研究和使用經驗的基礎上編寫的。編者一方面努力體現新的教材觀、教學觀和學習觀，同時注意所采用措施的可行性，使實驗教材具有創新、實用、開放的特點。另一方面注意處理好繼承傳統與發展創新之間的關系。既要反映當前數學教育改革的新理念，又注意保持我國數學教育的優良傳統，使教材具有基礎性、豐富性和發展性。
本冊教學內容的編排和處理，是以整套實驗教材的編寫思想、編寫原則等為指導，力求使教材的結構符合教育學、心理學的原理和學生的年齡特征，繼續體現前幾冊實驗教材中的風格與特點。本冊教材仍然具有內容豐富、關注學生的經驗與體驗、體現知識的形成過程、鼓勵算法及解決問題的策略多樣化、改變學生的學習方式，體現開放性的教學方法等特點。同時，由于教學內容的不同，本冊教材還具有下面幾個明顯的特點。
1．增加認識負數的教學，體現數學教學改革的新理念，加深學生對數概念知識的理解。
負數是小學階段數學教學新增加的內容。很久以來，負數的教學一般安排在中學教學的起始階段進行，現在考慮到負數在生活中的廣泛應用，學生在日常生活中已經接觸了一些負數，有了初步認識負數的基礎，《標準》將其提前到小學階段教學。認識負數，對于小學生來說是數概念的一次拓展。學生以往所認識的數——整數、分數、小數等都是算術范圍之內的數，建立負數的概念則使學生認數的范圍從算術的數拓展到有理數，從而豐富了小學生對數概念的認識。
“負數”概念對于小學生來說比較抽象，《標準》要求“在熟悉的生活情境中，了解負數的意義。”因此，本冊教材的編排，首先注意為學生的學習提供豐富多彩的素材，如氣溫的表示方法、收入與支出的記錄方法等，讓學生在實際生活背景中感受和體會負數產生的必要性、正負數的含義。這樣的編排不僅加深了學生對負數的理解，還有助于培養學生用數學眼光觀察現實，逐步形成數學應用的意識。在此基礎上，教材安排了兩個例題，通過生動有趣的活動和聯系實際的素材，讓學生學習在直線上表示所學過的數，初步滲透數軸的概念，形成數的比較完整的認識結構，以及初步體會負數、零和正數的大小關系，初步認識數軸上數的順序，加深學生對有關數的知識的理解。
2．改進比例的編排，突出比例的概念，豐富聯系實際的內容，培養實踐能力。
比例是傳統的教學內容之一，也是小學高年級學生需要學習和掌握的重要基礎知識。首先，它有著較大的實用價值，有一些實際問題需要用比例來解決。例如繪制地圖、圖形的擴大或縮小等；其次，它是學生進一步學習的基礎知識。第三，它是培養學生綜合運用知識解決問題能力和數學思維的重要領域。學生在此前學習過的有關數學知識在這里得到了綜合運用，如繪制簡易地圖要用到比例尺、解比例、作圖等多方面的知識和技能；學生此前了解的各種數量關系，在這里是從事物運動變化的角度概括成正比例關系和反比例關系，這不僅加深了學生對數量關系的認識，并可獲得初步的函數觀念，為中學的數學學習打下基礎。
與以往的教學大綱比較，《標準》對這部分內容的教學要求有所提高。不僅要求學生認識正比例關系的圖像，而且要求學生“能利用方格紙等形式按一定的比例將簡單圖形放大或縮小。”這部分教材的編排，既應體現《標準》的要求和提倡的新理念，又要突出比例在學生數學知識結構中的作用和地位。因此，與原通用義務教育教材相比有以下幾方面的改進。
（1）概念教學注意聯系實際，加強探索性。比例單元的概念教學分量較重，比例、正比例、反比例等基本概念是后續學習的重要基礎，本冊教材的編排，先用前兩小節集中進行概念教學。一方面注意引導學生通過觀察、比較、判斷、歸納等方法建立明晰的概念，另一方面注意聯系實際，由實際問題引入概念學習，增加學習的探索性。同時教材不再對研究的過程作詳細的引導和說明，只是提供研究的素材與數據，出示關鍵性的結論，充分發揮學生的主動性。
（2）“比例的應用”增加內容，提供豐富的學習素材。比例在實際生活中有著廣泛的應用，本冊教材一方面根據《標準》的要求增加了圖形的放大與縮小的內容，另一方面，將比例尺的教學移到這里，使得“比例的應用”由比例尺、圖形的放大與縮小、用比例解決問題三部分組成，豐富了教學內容。其中“比例尺”的教學內容也比原通用義務教育教材內容豐富，增加了將實際距離放大的比例尺如何表示的實例，安排了綜合運用比例尺知識進行實際作圖的例題。使這部分內容不僅對于前兩小節的概念學習起到鞏固的作用，而且對于學生體會比例在實際生活中的應用，發展應用意識、解決問題能力以及動手實踐能力都是很好的素材和機會。
（3）注意滲透函數思想。函數是近代數學的重要概念之一，在現代科學技術中有廣泛的應用。在小學階段，主要是通過一些知識的學習滲透函數思想。本單元中正比例和反比例的意義也是滲透函數思想的重要內容。本冊教材繼續使用原通用義務教育教材的編排方法，教學正比例概念之后接著教學反比例概念，便于對兩個概念含義進行對比；在實例的基礎上，用列表的形式體現變量之間的關系，接著用、的式子表示兩個變量之間的關系。同時，增加了認識正比例圖像的教學，還在“你知道嗎？”里介紹了反比例的圖像，這些內容都可使學生體會到成正、反比例的量的變化規律，使學生對對函數思想獲得初步的了解。
3．提供豐富的空間與圖形的教學內容，注重動手實踐與自主探索，促進學生空間觀念的發展。
小學階段空間與圖形教學的主要目標是發展學生的空間觀念，與前幾冊一樣，本冊教材的編排，繼續注意使學生在獲得有關空間與圖形知識的同時發展他們的空間觀念、自主探索和動手實踐能力。本冊教材所安排的教學內容是這一領域的最后一部分“圓柱與圓錐”。
圓柱與圓錐也是傳統的教學內容，對這部分內容的編排，在內容和要求方面沒有大的變化，但是，教材的面貌發生了較大的變化。具體來說，有這樣幾個變化：
（1）加強了所學知識與現實生活的聯系。對圓柱、圓錐的認識，教材均通過列舉大量現實生活中具有圓柱、圓椎體特征的實物直觀引入，讓學生觀察思考這些物體形狀的共同的特點，并從實物中抽象出它們的幾何圖形。當學生認識它們的主要特征后，又讓學生從生活中尋找更多的具有如此特征的實物，從而加深了學生對圓柱、圓錐的認識。
（2）加強了對圖形特征、求表面積和體積方法的探索過程。在以往的教學中，這些部分內容的編排更側重于理解和掌握圖形的特征和表面積、體積的計算方法，而對于促進學生空間觀念的發展在學習素材和實踐操作方面都顯不夠。實驗教材加強了動手實踐、自主探索，讓學生經歷知識的形成過程，使學生獲得較多的有關自主探索和空間觀念的訓練機會。例如，圓柱的特征，是讓學生動手實驗、自主探索得到的。在教學圓柱展開圖的特征時，教材也讓學生動手操作，探索并發現此長方形的長等于圓柱底面的周長，寬等于圓柱的高。加深了學生對圓柱特征的認識，鍛煉學生空間想象的能力。
（3）加強了學生在操作中對空間與圖形問題的思考。教材在編排圓柱和圓錐的認識時，增加了用長方形（或三角形）的硬紙貼在木棒上快速轉動轉出圓柱（圓錐）的活動。此項活動不僅可以激發學生的學習興趣，了解平面圖形與立體圖形之間的聯系和轉換關系；同時可以使學生在操作、觀察、想像、推理過程中，認識掌握圓柱、圓錐的特征，發展空間觀念。
（4）加強了學習方法的引導，鼓勵學生獨立思考，培養學生的學習能力。實驗教材注意鼓勵學生運用已有的知識對新學習的內容進行聯想和猜測，再通過實驗和推理驗證，培養學生良好的學習和思考習慣。例如，教材聯系長方體體積公式鼓勵學生估計圓柱體積的計算方法，聯系圓柱體積公式鼓勵學生猜測圓錐體積的計算方法。圓錐體積的教學是按照引出問題——聯想、猜測——實驗探究——導出公式的思路設計的，在猜測的基礎上進行實驗和推理，使學生受到研究方法和思維方式的訓練，發展和提高自主學習的能力。
4．安排對小學階段數學學習的整理和復習，使學生所學的數學知識系統化，做好中小學數學教學的銜接。
本學期是小學階段學習的最后一個學期，本冊教材的最后一個單元仍然安排了“整理和復習”，把小學階段所學的主要內容進行系統地梳理和提綱攜領地復習，使學生對所學的數學知識得到鞏固和加深理解，各種能力得到進一步提高，更好地達到小學數學教學的預定目標，為中學的數學學習做好必要的準備。
整理與復習是小學數學數學教學的一個重要環節。盡管《標準》為體現義務教育的整體性，將義務教育階段劃分為三個學段，使各學段之間數學課程的聯系更為密切了。但目前我國絕大多數地區的學校教育實際上仍然是小學和初中獨立建校，使得小學和初中的教學基本上是分開進行的。而從小學到初中，學生學習的數學知識、學生的學習方法都發生了較大的變化。因此，在小學生完成學業之前，對所有數學學習內容進行一次系統的、全面的回顧與整理，使原來分散學習的知識得以梳理，能夠幫助學生完善頭腦中的數學認知結構，增進持久的記憶，對于提高學生的數學能力也是十分有益的。因此，“整理和復習”單元不僅是本冊教材的重點教學內容之一，也是全套小學數學教材的一個重要組成部分。
與原通用九年義務教育教材相比，本冊教材對“整理與復習”的編排有以下幾點改進：
（1）依據《標準》劃分的學習領域，對小學數學的學習內容進行梳理歸類，依次進行整理和復習。《標準》將義務教育各學段的內容統一分為“數與代數”“空間與圖形”“統計與概率”“實踐與綜合應用”四個領域。根據這一分類框架，實驗教材在“整理和復習”單元也相應安排了四節的內容，并根據實際教學的需要作了一些適當的處理。例如，在“數與代數”中安排了“常見的量”小節，把小學階段出現于不同領域中的計量單位匯總在一起，通過列表整理和回憶改寫方法等途徑進行系統復習。
（2）精簡內容，突出整理和復習的重點，為學生主動參與知識的整理提供空間。與原通用九年義務教育教材比較，本冊教材在內容編排上作了較大幅度的精減。不求面面俱到，覆蓋已學知識的細節，給出所學概念的描述。而是突出重點，抓住主要內容、主要問題進行整理和復習。這一方面使教材擺脫了知識點羅列，概念、法則匯編的局面，另一方面也給學生提供了梳理知識的線索，留給學生參與知識的整理的空間。例如，“數的運算”關于四則運算的意義和方法的復習，教材先通過主題圖所創設問題情境，讓學生重溫四則運算在解決問題中的應用，然后讓學生小組討論交流四則運算的意義，對整數、小數、分數的計算方法進行比較，找出它們的共同點和不同點，進而達到對所學四則運算意義和方法的融會貫通。
（3）注重問題情境的創設，注重所學知識的應用，發展學生用數學解決問題的能力。本冊教材在這里盡可能通過問題情境，包括現實的情境與數學的情境，著力引導學生聯系實際或聯系數學實例，加深對已學知識的理解，加強對相關知識內在聯系的認識。同時注意所學知識的運用，特別是在實際問題情境中的應用，從而學以致用，在“用”的過程中，促進理解和鞏固。這對提高復習的有效性，提高學生的解決問題的能力非常有益的。例如，“數的認識”“數的運算”“圖形位置”等都是從實際問題情境引入整理和復習教學，而 “式與方程”“圖形的認識和測量”等則是在數學的情境中討論數學的應用。
（4）在基本練習的基礎上，提供具有綜合性、挑戰性的練習題，促進學生綜合應用能力的不斷提高。在練習中既注意基本的訓練，又注意加強靈活和綜合運用知識的練習，還適當提供具有挑戰性的練習題，以利于進一步提高學生綜合的數學能力。
5．有步驟地滲透數學思想方法，培養學生數學思維能力和解決問題的能力。
本套實驗教材總體設想之一是：系統而有步驟地滲透數學思想方法，嘗試把重要的數學思想方法通過學生可以理解的簡單形式，采用生動有趣的事例呈現出來。通過教學使學生受到數學思想方法的熏陶。據此，在“數學廣角”單元，安排了“抽屜原理”的教學。通過直觀和實際操作，使學生經歷“抽屜原理”的探究過程，對一些簡單的實際問題加以“模型化”，會用“抽屜原理”加以解決；通過“抽屜原理”的靈活應用，使學生感受數學的魅力，促進邏輯推理能力的發展，培養分析、推理、解決問題的能力以及探索數學問題的興趣。
與前面幾冊教材一樣，本冊教材仍然注意將解決問題的教學融合于各部分內容的教學中，通過各部分內容的教學培養學生用數學解決問題的能力。同時在“數學廣角”單元以及數學綜合運用活動中，加強了綜合運用知識解決問題和解決問題策略多樣化的教學，使學生逐步提高數學思維能力和解決問題的能力。本冊教材設計了“自行車里的數學”“節約用水”等5個數學綜合運用活動，讓學生綜合運用所學的數學知識和方法，動手實踐解決問題，增強學生應用數學的意識。教材在“整理與復習”單元的數與代數復習中設置了“數學思考”小節，滲透數學思想方法，使學生了解更多的解決問題的方法和策略，得到數學推理的訓練，進一步發展學生邏輯推理能力和解決問題能力。
6．情感、態度、價值觀的培養滲透于數學教學中，用數學的魅力和學習的收獲激發學生的學習興趣與內在動機。
本次數學課程改革強調了對學生情感、態度和價值觀的培養，全面提高學生的素質。小學高年級學生已經具有了一定的知識和生活經驗，對自然與社會現象有了一定的探求欲望，此時需要教育者進行有目的的啟發與引導。在數學教學中，就是要通過數學學習活動，使學生形成豐富的情感、積極的態度和正確的價值觀。本冊實驗教材不僅內容涉及數學教學內容的各個領域，為學生探索奇妙的數學世界提供了豐富素材，而且注意結合教學內容安排了許多體現數學文化的閱讀材料、數學史實等，使學生的數學學習活動豐富多彩。這些都有助于學生初步認識數學與人類生活的密切聯系，了解數學的價值，激發學生學習數學的欲望。
（1）提供豐富的培養學習數學興趣愛好的素材。
實驗教材注意選擇知識內容深刻、內涵更豐富的教學素材，使學生在學習數學的同時，受到情感、態度、價值觀的熏陶。例如，“綜合應用”內容的選擇，注意挑選高年級學生關心和理解的題材；數學廣角“抽屜原理”的教學，蘊涵了從紛繁蕪雜的現實素材中找出最本質的數學模型，讓學生經歷將具體問題“數學化”的過程，有助于提高學生的邏輯思維能力。“閱讀資料”里安排的“斐波那契數列”，讓學生了解它的由來及特點，尋找其規律，感受數學的內在魅力，增加數學學習的興趣。
（2）注意反映數學與人類生活的密切聯系以及數學的文化價值。
與前幾冊實驗教材一樣，本冊教材仍然注意采用閱讀材料的形式，結合教學內容編排一些有關的數學史料，豐富學生對數學發展的整體認識，培養學生探索數學、學習數學的興趣與欲望。如安排了多個“你知道嗎？”“生活中的數學”和“閱讀資料”等。這些內容不僅可以使學生對數學本身產生濃厚的興趣，激勵他們擴大知識面和進一步探索研究的欲望，而且對學生具有陶冶科學情操、培養科學精神的作用。
（3）通過自主探索的活動，讓學生獲得學習成功的體驗，增進學好數學的信心。
結合學生的年齡特點和教學內容，本冊教材設計了很多需要學生自主探索的活動，例如，探究圓錐體積的計算方法時，先讓學生聯想、猜測，再引導學生進行實驗、探究，得出圓錐體積的計算方法和公式。同樣，用比例尺作圖的教學，讓學生小組自主討論出解決問題的具體步驟——先確定比例尺，再根據比例尺確定操場在圖上的長和寬，最后作圖。讓學生有更多的機會應用數學知識，進行自主探索的實踐，增強了學好數學、會用數學的信心。
本冊實驗教材包括下面一些內容：負數，圓柱與圓錐，比例，統計，數學廣角和綜合應用等，并對小數階段學習的數學知識進行了整理與復習。
數與代數
第一單元 負數
第三單元 比例
（二）空間與圖形
第二單元 圓柱與圓錐
（三）統計與概率
第四單元 統計
（四）數學思想方法
第五單元 數學廣角
（五）綜合應用
自行車里的數學
節約用水
（六）整理與復習
第六單元 整理與復習
下面按教材的順序就每一單元的內容做一個簡要的介紹。
第一單元 負數
一、教學內容
1．負數地初步認識。
2．數的大小比較。
二、教學目標
1．在熟悉的生活情境中初步認識負數，能正確的讀、寫正數和負數，知道0既不是正數也不是負數。
2．初步學會用負數表示一些日常生活中的實際問題，體驗數學與生活的密切聯系。
3．能借助數軸初步學會比較正數、0和負數之間的大小。
三、編排特點
1．選取學生熟悉的生活素材，加深對負數意義的理解。
教材注意結合學生熟悉的生活情境，選取學生感興趣的素材，幫助學生更好的理解負數的意義，體會正數和負數可以表示兩種相反意義的量。
2．初步建立數軸的模型，滲透數形結合的思想。
在學生初步認識負數后，教材幫助學生進一步感受負數的意義，并初步建立數軸的模型，讓學生體會數軸上數的順序，完成對數的結構的初步構建。
四、具體編排
本單元的內容具體編排如下。
1．例1。
例1通過分別表示室內和室外觀測到的溫度的情境引入負數，教學負數的寫法和讀法，并引導學生初步理解正負數可以表示兩種相反意義的量。
教學時，如果當地氣溫條件允許，可以安排實地的觀測活動。也可以制作放大的溫度計教具，根據例1的情境在教具上撥出相應的溫度請學生表示，引導學生認識負數、體會生活中引入負數的必要性，學習負數的寫法和讀法，并結合實例幫助學生初步理解正負數是表示兩種相反意義的量。
2．例2。
教材通過存折明細中分別用正、負數表示存入和支出，讓學生進一步體會正負數表示兩種相反意義的量。
教學時，重點讓學生觀察存折中“支出（-）或存入（+）”一欄，結合具體的數據體會存入和支出的含義正好相反。
3．對例1、例2的小結及“做一做”。
對例1、例2進行小結，給出正負數的名稱，明確它們的寫法和讀法。
教學時，注意不要給正負數下嚴格的數學定義。關于0，可以在討論的基礎上，引導學生明確0既不是正數，也不是負數，并讓學生結合具體事例體會0是正負數的分界點。
“做一做”第2題，用正負數表示珠穆朗瑪峰和吐魯番盆地的海拔高度，豐富學生對正負數在生活中應用的感受。
4．例3。
例3教學在直線上表示正數、0和負數。通過在直線上描述學生和大樹的相對位置，借助數軸的直觀圖引導學生把數軸上的點和抽象的正負數對應起來，感受數軸上正負數的排列規律，初步滲透數軸的概念和數形結合的思想。
教學時，可以先讓學生回憶學習過的在直線上表示數的方法，然后出示例3的情境，適當引導學生確定好起點（原點）、方向和單位長度，以此引出對數軸的認識，并引導學生脫離具體的情境，把數軸的點和抽象的正負數對應起來。
5．例4。
例4教學數的大小比較。教材通過在數軸上表示出未來一周每天的最低氣溫，讓學生借助數軸比較數的大小，包括正數與正數、正數與0、正數與負數、0與負數以及負數與負數的比較。
教學時，先在數軸上表示出未來一周每天的最低氣溫，再讓學生比較數的大小。也可借助溫度計上溫度的排列來比較，即溫度從低到高的順序，對應數軸上的點是從左到右的順序，也就是數從小到大的順序。在此基礎上，引導學生總結正數、0和負數的大小關系。
五、教學建議
1．通過豐富多彩的生活情境，加深學生對負數的認識。
負數的出現，是生活中表示兩種相反意義的量的需要。教學時，應通過學生感興趣的素材激發學生學習的興趣，讓學生在具體情境中感受出現負數的必要，并通過兩種相反意義的量的對比，初步建立負數的概念。在引入負數以后，教師要鼓勵學生舉出用正負數表示兩種相反意義的量的例子，加深對負數的認識，讓學生感受數學在實際生活中的廣泛應用。
把握好教學要求。
對負數的教學要把握好要求。小學階段只要求學生初步認識負數，能在具體情境中理解負數的意義，初步建立負數的概念。這里不出現正負數的數學定義，而是描述什么樣的數是正數，什么樣的數是負數就可以了。數軸的認識也只是描述性的定義，讓學生借助已有的經驗，在直線上表示出正數、0和負數所對應的點。關于數的大小比較，特別是兩個負數的比較，這里還不是抽象的比較，只需要讓學生能借助數軸比較就可以了。
第二單元 圓柱與圓錐
一、教學內容
1．圓柱
2．圓錐
二、教學目標
1．認識圓柱和圓錐，掌握它們的基本特征。認識圓柱的底面、側面和高。認識圓錐的底面和高。
2．探索并掌握圓柱的側面積、表面積的計算方法，以及圓柱、圓錐體積的計算公式，會運用公式計算體積，解決有關的簡單實際問題。
3．通過觀察、設計和制作圓柱、圓錐體模型等活動，了解平面圖形與立體圖形之間的聯系，發展學生的空間觀念。
三、編排特點
1．教材加強了所學知識與現實生活的聯系。
2．加強了學生對圖形特征、計算方法的探索過程。
3．加強了學生在操作中對空間與圖形問題的思考，使學生在經歷觀察、操作、推理、想像過程中認識掌握圓柱、圓錐的特征以及體積的計算方法，進一步發展空間觀念。
四、具體編排
本單元的內容具體編排如下。
（一）圓柱
1．圓柱的認識。
（1）主題圖。
教材呈現了現實生活中具有圓柱特征的物體的圖片，然后從這些實物中抽象出圓柱的立體圖形，給出圖形的名稱，使學生對圓柱的認識經歷由形象——表象——抽象的過程。
（2）例1。
例1教學圓柱的組成及其特征。并通過快速轉動貼有長方形紙的小棒，使學生從旋轉的角度認識圓柱，感受平面圖形與立體圖形的轉換。
教學時，首先應引導學生從整體上把握圓柱的組成，再深入對各個部分的探究。
（3）例2及“做一做”。
例2教學圓柱側面、底面及其之間關系。
教學時，首先讓學生想像側面展開后的形狀，接著讓學生剪開側面，通過操作看到：圓柱的側面展開后是一個長方形或正方形。然后，再引導學生思考：圓柱展開得到的長方形的長、寬與圓柱的關系，使學生親歷立體圖形與其展開圖之間的轉化。
“做一做”通過讓學生制作圓柱，加深對圓柱特征以及圓柱側面與底面、側面與圓柱的高之間的關系的理解。
2．圓柱的表面積。
（1）例3。
例3教學圓柱表面積的概念，探索表面積的計算方法。
教學時，可將長方體表面積的知識進行遷移，使學生明確圓柱表面積的含義，再指導學生推出表面積的計算公式，其中重點指導如何計算側面積。
（2）例4。
例4教學圓柱表面積計算的實際應用。
教學時，讓學生想像廚師帽是由哪幾部分組成的？把實際問題轉化為數學問題，再獨立進行計算。教師要引導學生理解：根據具體情況，該題的結果用“進一法”取近似值。
3．圓柱的體積。
（1）例5。
例5教學圓柱體積公式的推導。教材先讓學生思考：圓柱能否轉化成已學過的立體圖形來計算體積。然后通過教具演示如何把圓柱轉化為一個近似的長方體，并通過觀察和推理得出圓柱的體積計算公式V＝Sh。
教學時，可先讓學生復習圓面積以及長方體體積的計算公式，再引導學生思考：能否將圓柱轉化成一種學過的圖形，再計算出它的體積。借助教具直觀演示圓柱如何轉化為近似的長方體，并引導學生通過想像發現：底面分成的扇形越多，拼起來的形狀就越接近長方體，從而導出圓柱體積的計算公式。
（2）例6。
例6教學利用圓柱體積的計算解決問題。
教學時，要引導學生明確：求杯子的容積就是求這個圓柱形杯子可容納東西的體積，計算方法跟圓柱體積的計算方法一樣。
（二）圓錐
1．圓錐的認識。
（1）主題圖。
教材先展示生活中常見的圓錐形實物圖，然后從實物圖中抽象出圓錐的幾何圖形，并給出圖形的名稱——圓錐，使學生經歷從具體到抽象的過程。
（2）例1。
例1教學圓錐的組成及其特征，并介紹測量圓錐的高的方法。然后，通過讓學生快速轉動貼有直角三角形紙的小棒，引導他們從旋轉的角度認識圓錐。
教學時，可先復習圓柱的各部分名稱及特征，以便通過對比，了解圓錐的組成及特征。圓錐的高的認識是教學難點，教學時要引導學生區分高和母線，并幫助學生了解測量圓錐的高的方法。做轉動三角形紙片活動時，可先讓學生猜測，再操作。
“做一做”是制作圓錐，加深對圓錐的認識。
2．圓錐的體積。
（1）例2。
例2教學圓錐體積公式的推導。教材主要按“引出問題——聯想、猜測——實驗探究——導出公式”四個層次編排。
教學時，在引出問題環節，讓學生體會推導圓錐體積公式的必要性。在猜想環節，引導學生將圓錐的體積與圓柱的體積聯系起來。實驗探究時，引導學生發現：用圓錐容器裝水（或沙土）倒入等底等高的圓柱容器中，剛好倒三次，反之則不存在這樣的關系。最后，幫助學生得出在等底等高條件下：圓錐的體積＝圓柱的體積＝底面積×高，即V＝Sh。
（2）例3。
例3教學圓錐體積公式的應用。教材給出了圓錐形沙堆的底面直徑和高，求沙堆的體積。
教學時，可先學生自己解決。反饋時，首先讓學生明確解決問題的步驟，再幫助學生進一步認識為什么乘，加深對圓錐體積公式的理解。
五、教學建議
1．加強數學知識與實際生活的聯系，提高運用所學知識解決實際問題的意識與能力。
這部分內容加強了與生活的聯系，也為教師組織教學提供了思路。如，在教學認識圓柱體和圓椎之前，可以讓學生收集、整理生活中應用圓柱、圓錐的實例和信息資料，以便在課堂中交流。認識圓柱、圓錐后，還可以讓學生根據需要創設和制作一個圓柱或圓錐形的物品，這樣，既可激發學生的學習興趣，又可提高學生運用數學的意識和能力。
2．讓學生經歷探索知識的過程，培養自主解決問題的能力。
本單元加強了對圖形特征、計算方法的探索。使學生在經歷觀察、操作、推理、想像過程中掌握知識、發展空間觀念。如圓椎體積的教學，教材創設“如何知道像鉛錘這樣的物體的體積？”的情境，引導學生通過實驗，探究圓錐和圓柱體積之間的關系。教學時，注意提供給學生積極思考，充分參與探索活動的時間和空間。其中圓錐的體積等于與它等底等高的圓柱的體積的，應讓學生在經歷試驗探究過程中獲取，改變只通過演示得出結論的做法。
第三單元 比　例
一、教學內容
1．比例的意義和基本性質
2．正比例和反比例的意義
3．比例的應用
二、教學目標
1．理解比例的意義和基本性質，會解比例。
2．理解正比例和反比例的意義，能找出生活中成正比例和成反比例量的實例，能運用比例知識解決簡單的實際問題。
3．認識正比例關系的圖像，能根據給出的有正比例關系的數據在有坐標系的方格紙上畫出圖像，會根據其中一個量在圖像中找出或估計出另一個量的值。
4．了解比例尺，會求平面圖的比例尺以及根據比例尺求圖上距離或實際距離。
5．認識放大與縮小現象，能利用方格紙等形式按一定的比例將簡單圖形放大或縮小，體會圖形的相似。
6．滲透函數思想，使學生受到辯證唯物主義觀點的啟蒙教育。
三、編排特點
1.體現比例在生產和生活中的廣泛應用。
首先知識由實際問題引入，例如由大小不同的國旗引入比例的意義，從“世界公園”的埃菲爾鐵塔模型引入解比例，從生活中的放大、縮小現象引入圖形的放大和縮小。其次練習中安排了較多的根據比例意義解比例的實際問題。第三安排了“比例的應用”一節內容，其中既有正、反比例的實際問題，還有比例尺和圖形的放大與縮小。通過這些內容的學習，使學生體會比例在生產生活中的應用，提高學生應用所學知識解決實際問題的能力。
2.滲透函數思想。
函數是數學的重要概念之一。在小學，主要是通過一些知識的學習，滲透函數思想。本單元中正比例和反比例的意義是滲透函數思想的重要內容。因為成正比例和反比例的量實際上反映的是兩個變量之間的依存關系。教材通過實例，用列表的形式，體會變量之間的關系，并用、的式子表示兩個變量之間的關系。在認識正比例關系時，教材通過圖像表示兩個變量的關系，加深學生對正比例關系的認識。
四、具體編排
本單元的內容具體編排如下。


（一）.比例的意義和基本性質
1．比例的意義。
例1教學比例的意義。教材提供了含有國旗的四個情境圖，由每面國旗長與寬的比值是相等的，引出比例意義的教學。
教學時，可先復習比的知識，然后出示國旗長與寬的具體數據，讓學生寫出它們的比。選取其中兩個比，讓學生求出它們的比值，由比值相等，將它們寫成一個等式，從而引出比例的意義。教師要注意適時引導，鼓勵學生從不同角度去找比組成比例。
2．比例的基本性質。
先介紹組成比例的各部分的名稱：項、內項、外項；分別計算比例中兩個內項之積與兩個外項之積，發現兩個乘積的關系；再把比例改寫為分數形式，把等號兩邊的分子與分母交叉相乘，發現積的關系。在此基礎上，總結出比例的基本性質。
教學時，可利用前面組成的比例，認識項、內項、外項。然后結合一個或幾個比例式，讓學生通過討論，逐步歸納出比例的基本性質。
3．解比例。
教材首先介紹什么叫解比例，解比例的依據是什么。
（1）例2。
例2教學解比例，讓學生體會解比例在生活中的應用。
教學時，引導學生經歷根據問題設、依據比例的意義列出比例式。然后，著重引導學生根據比例的基本性質，把比例轉化為方程，解方程可讓學生自行解答。
（2）例3。
例3是解用分數形式表示的比例。教材只根據比例的基本性質把比例轉化為方程，解方程則由學生自己完成。
（二）正比例和反比例的意義
1．例1。
例1教學正比例的意義。通過水的體積和高度的比值一定，引出正比例的意義，說明體積和高度成正比例關系，體積和高度叫做成正比例的量。接著把正比例的關系進一步抽象概括成（一定）。
教學時，教材提供的6組數據不必通過實驗得出。讓學生計算出每組數據相應的底面積后，教師可以出示幾個問題：（1）水的體積和高度有關系嗎？（2）水的體積是怎樣隨著高度變化的？（3）水的體積和高度的變化有什么規律？引導學生明確體積和高度成正比例關系，并用字母表示出正比例關系：（一定）。
2．例2。
例2教學正比例圖像。教材直接呈現例1中體積與高度的正比例關系圖像，再讓學生體會正比例圖像的特點和作用。
教學時，可先出示例1的數據表和坐標系，結合數據表中的數據說明：表中的每一組數據，都可以用一個點來表示。師生共同描點，并把描好的點連成一條直線，形成體積和高度的正比例關系圖像，引導學生認識該圖像。
3．例3。
例3教學反比例的意義。編排思路與例1類似。
教學時，引導學生發現成反比例的量之間的關系，并讓學生仿照正比例意義，嘗試歸納反比例的意義。
（三）比例的應用
1．比例尺。
（1）主題圖。
教材通過主題圖教學比例尺的認識。首先給出比例尺的概念，再結合兩幅地圖介紹數值比例尺和線段比例尺。然后，教材通過一張機器零件放大的圖紙，讓學生認識把實際距離放大的比例尺如何表示。
教學時，可由繪制地圖需要把實際距離按一定的比例縮小，引出比例尺，并結合地圖使學生認識數值比例尺和線段比例尺，理解比例尺的含義。然后，進一步說明：根據需要，有時要把實際距離按一定的比例擴大一定的倍數再畫到圖紙上。讓學生找出教材呈現的圖紙的比例尺，說一說它表示的意義，體會比例尺前項比后項大時，表示放大。
（2）例1。
例1是把線段比例尺改寫成數值比例尺。
教學時，引導學生學習把線段比例尺改寫成數值比例尺的方法，使學生明確比例尺是一個比，不帶單位名稱。
（3）例2。
例2是根據比例尺和圖上距離，應用方程求實際距離。
教學時，要引導學生明確：設時應使用哪個長度單位；比例尺可以看作是一個常數，即圖上距離和實際距離成正比例關系，有關比例尺的問題可以用正比例來解。
（4）例3。
例3是綜合運用比例尺的有關知識解決實際問題。要求學生根據學校操場的實際長度，畫出操場平面圖。
教學時，小組討論：確定的比例尺是多少？怎樣求長、寬的圖上距離？結果是多少？討論求長和寬的圖上距離的方法時，應讓學生理解教材中呈現的兩種算法以及它們不同的特點。然后，引導學生調整比例尺，畫出平面圖。
2．圖形的放大與縮小。
（1）主題圖。
教材呈現了照像、用放大鏡看書、投影儀放大圖表、人和影子等情境，使學生初步認識生活中的放大與縮小現象。
（2）例4。
例4是教學圖形放大與縮小的特點。
教學時，引導學生明確：按2∶1放大圖形也就是圖形的各邊放大到原來的2倍。然后讓學生對比原圖形和放大后的圖形，觀察它們發生的變化。之后，再要求學生將放大后的這組圖形的各邊再按1∶3縮小，并觀察圖形發生的變化。逐步引導學生歸納出“圖形按一定的比放大或縮小后，只是大小發生了變化，形狀沒變。”
3．用比例解決問題。
（1）例5。
例5教學應用正比例的意義解決問題。
教學時，要突出運用比例知識解答的思路，引導學生判斷：因為水價一定，所以水費和用水的噸數成正比例。然后根據正比例的意義列出方程，并求解。學生解答后，教材進一步改變例5的條件和問題，讓學生應用比例的知識解答。
（2）例6。
例6是用反比例的意義解決問題。編排思路與例5相似。
教學時注意啟發學生根據反比例的意義來列式，使學生進一步掌握兩種量成反比例的特點和解決含反比例關系的問題的方法。
五、教學建議
1.重視基本概念的教學。
比例、正比例、反比例是本單元學習的幾個基本概念，十分重要。學習比例的相關知識以及比例的應用都有賴于對這些概念的理解和掌握。如解答含正反比例關系的實際問題，首先要對兩個量成何比例做出判斷，然后依據正比例或反比例數量關系的特點解答教學中要通過觀察、比較、判斷、歸納等方法幫助學生建立明晰的概念，把握概念的內涵。同時通過應用，不斷加深對這些概念的理解和掌握。
2．提高學生綜合運用知識的能力。
本單元的知識綜合性比較強。所以學習中既要注意新舊知識的聯系，又要注意發展學生綜合運用知識的能力。教材的編寫也注意體現知識的綜合應用，例如比例尺的一些練習，不僅限于計算圖上距離和實際距離，而且涉及到測量、圖形、方向與位置的知識以及根據實際設計比例尺。
綜合應用：自行車里的數學
一、設計目的
“自行車里的數學”旨在讓學生運用所學的圓、排列組合、比例等知識解決實際問題。經歷“提出問題—分析問題—建立數學模型—求解—解釋與應用”的基本過程。
二、具體編排
（一）研究普通自行車的速度與內在結構的關系
1．提出問題。教材呈現兩種不同型號的自行車，直接提問“蹬一圈，能走多遠”，引出學生對自行車里的數學問題的研究。
2．分析問題。教材主要呈現了兩種方案：（1）直接測量，但該方法誤差較大。（2）通過車輪的周長乘上后齒輪轉的圈數來計算蹬一圈車子走的距離。教學時重點引導學生明確：后齒輪轉的圈數×后齒輪的齒數=前齒輪轉的圈數×前齒輪的齒數。
3．建立數學模型、收集數據并求解。引導學生根據分析問題得到解題思路：蹬一圈自行車走的距離＝車輪的周長×（前齒輪的齒數∶后齒輪的齒數）。
4．匯報交流。各小組展示并解釋各自的研究過程和結果。
（二）研究變速自行車的能變化出多少種速度
教材先介紹了一種變速自行車的主要結構：有2個前齒輪，6個后齒輪。接著提出問題“能變化出多少種速度”，再呈現學生“收集數據—建立數學模型—代入數據、求解—解決問題”的過程。最后通過“蹬同樣的圈數，哪種組合使自行車走的最遠”，引導學生對各種速度的產生進行深入地解釋。
三、教學建議
1．正式活動前，教師應充分準備課上需要用到的數據和圖片，也可以要求學生對自行車的結構和行進的基本道理進行了解。
2．正式教學時，應讓學生經歷“分析問題—建立數學模型—求解”的基本過程，如果學生課前沒有收集到所需要的數據，教師應及時為學生提供。此外，應引導學生對各組的研究方法和結果進行比較，以獲得運用數學解決實際問題的思考方法。
第四單元 統 計
一、教學內容
信息的誤導
二、教學目標
1．會綜合應用學過的統計知識，能從統計圖中準確提取統計信息，能正確解釋統計結果。
2．能根據統計圖提供的信息，做出正確的判斷或簡單預測。
三、具體編排
1．例1 。
例1說明從信息表達比較模糊的統計圖中無法得到準確客觀的結論。
教學時，引導學生分析圖中“其他”部分的具體含義，使學生明確：“其他”占彩電市場份額的47%，其中可能包含有比A牌更暢銷的彩電。從而使學生認識到：制作統計圖時，一定要客觀準確地反映信息；在分析統計圖時，不要被數據模糊的統計圖誤導。
2．例2。
例2說明利用統計圖進行統計分析時，不能僅僅關注統計圖的外在表象，還應了解統計圖所包含的具體的統計信息，才能避免做出錯誤的判斷。
教學時，可先呈現這兩幅統計圖，讓學生說說：“A、B兩人繪制的是同一個公司員工的月薪統計圖，為什么看起來不一樣呢？”引導學生分析原因并認識到：在運用統計圖進行比較和判斷時，一定要注意統一標準，才不致發生誤判。
四、教學建議
1．注重知識的前后聯系，培養學生綜合分析能力。
應引導學生在復習舊知的基礎上重點進行綜合分析，從而使學生學會從統計圖中準確提取統計信息，能對統計結果做出正確解釋，并能根據統計結果作出準確的判斷、預測。
2．把握好教學要求。
本單元教學時應注意向學生闡明以下兩點：（1）統計圖在表述統計結果時具有直觀、形象的特點，故統計活動中常用統計圖來描述統計信息，展示統計結果。（2）不要被統計圖表面的信息迷惑、誤導，要保證所得結論的真實性和客觀性。實際教學時可先讓學生觀察統計圖，談談直觀感受和看法，再引導學生分析統計圖表達和包含的數據信息，得出正確結論。
第五單元 數學廣角
一、教學內容
抽屜原理。
二、教學目標
1．經歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解決簡單的實際問題。
2．通過“抽屜原理”的靈活應用感受數學的魅力。
三、具體編排
1．例1及“做一做”。
例1借助把4枝鉛筆放進3個文具盒中，不管怎么放，總有一個文具盒里至少放進2枝鉛筆的情境，介紹了一類較簡單的“抽屜問題”。為解釋這一現象，教材呈現了兩種思考方法：“枚舉法“與“反證法”或“假設法”。
教學時，教師可適時引導學生對枚舉法和假設法進行比較，并通過逐步類推，使學生逐步理解“抽屜問題”的“一般化模型”。
“做一做”中安排了一個“鴿巢問題”，學生可利用例題中的方法遷移類推。
2．例2及“做一做”。
本例介紹了另一種類型的“抽屜問題”，即“把多于個的物體任意分放進個空抽屜（是正整數），那么一定有一個抽屜中放進了至少（+1）個物體。”教材提供了把5本書放進2個抽屜，不管怎么放，總有一個抽屜里至少放3本書的情境。仍用枚舉法及假設法探究該問題，并用有余數除法的形式5÷2=2……1表達出假設法的思路，并在此基礎上，讓學生類推解決“把7本書、9本書放進2個抽屜的問題”。
教學時，引導學生理解假設法最核心的思路是把書盡量多地“平均分”給各個抽屜。
“做一做”中“抽屜數”變成了3，要求學生在例2思考方法的基礎上進行遷移類推。
3．例3。
例3是“抽屜原理”的具體應用，也是運用“抽屜原理”進行逆向思維的一個典型例子。
教學時，先引導學生思考這個問題與“抽屜原理”有怎樣的聯系，可先讓學生自由猜測、再驗證。逐步將“摸球問題”與“抽屜問題”聯系起來，找出這里的“抽屜”是什么，“抽屜”有幾個，再應用前面所學的“抽屜原理”進行反向推理。
四、教學建議
應讓學生初步經歷“數學證明”的過程。
在小學階段，雖然并不需要學生對涉及到“抽屜原理”的相關現象給出嚴格的、形式化的證明，但仍可引導學生用直觀的方式進行“就事論事”式的解釋。教學時可以鼓勵學生借助學具、實物操作或畫草圖的方式進行“說理”。通過這樣的方式，有助于逐步提高學生的邏輯思維能力，為以后學習較嚴密的數學證明做準備。
應有意識地培養學生的“模型”思想。
“抽屜問題”的變式很多，應用更具靈活性。但能否將這個具體問題和“抽屜問題”聯系起來，能否找到問題中的具體情境和“抽屜問題”的“一般化模型”之間的內在關系是影響能否解決該問題的關鍵。教學時，要引導學生先判斷某個問題是否屬于用“抽屜原理”可以解決的范疇，如果可以，再思考如何尋找隱藏在其背后的“抽屜問題”的一般模型。
要適當把握教學要求。
“抽屜原理”的應用廣泛且靈活多變，因此，用“抽屜原理”來解決實際問題時，有時要找到實際問題與“抽屜問題”之間的聯系并不容易。因此，教學時，不必過于追求學生“說理”的嚴密性，只要能結合具體問題把大致意思說出來就可以了，更要允許學生借助實物操作等直觀方式進行猜測、驗證。
綜合應用：節約用水
一、設計說明
“節約用水”旨在通過測量等活動，讓學生經歷收集、整理、分析數據的過程，促使學生綜合運用所學的數學知識科學地認識日常生活中水資源浪費的問題，加強學生的環保意識。
二、具體編排
1．課前讓學生收集相關的信息：學校或家里漏水水龍頭的數量、一個漏水的水龍頭一定時間漏水的量以及節約用水的資料。
2．分析數據。小組合作對一定時間水龍頭漏水的量進行測量分析，計算出水龍頭每分鐘漏水的速度。安排學生討論，“怎樣表示全班同學調查到的水龍頭漏水的一般水平比較恰當”。
3．解決問題。解決教材75頁中提出的問題，幫助學生對生活中浪費水的現象有一個客觀而量化地認識。
4．提出方案。
三、教學建議
老師可在課前讓學生對我國水資源的情況進行了解，并收集一個漏水水龍頭在一定時間內漏水的數量。課堂上，小組合作測量并計算出漏水水龍頭每分鐘的漏水量，引導學生運用所學的統計學知識選擇恰當的統計量表示全班的調查結果。解決了75頁的問題之后，可讓大家充分討論有效的節水方案，對學生進行環保教育。
第六單元 整理和復習
一、教學內容
系統的、全面的回顧與整理小學數學的全部內容。
二、教學目標
1．比較系統地掌握有關整數、小數、分數和百分數、負數、比和比例、方程的基礎知識；能比較熟練地進行整數、小數、分數的四則運算，能進行整數、小數加、減、乘、除的估算，會使用學過的簡便算法，合理、靈活地進行計算；會解學過的方程；養成檢查和驗算的習慣。
2．鞏固常用計量單位的表象，掌握所學單位間的進率，能夠進行簡單的改寫。
3．掌握所學幾何形體的特征；能夠比較熟練地計算一些幾何形體的周長、面積和體積，并能應用；鞏固所學的簡單的畫圖、測量等技能；鞏固軸對稱圖形的認識，會畫一個圖形的對稱軸，鞏固圖形的平移、旋轉的認識；能用數對或根據方向和距離確定物體的位置，掌握有關比例尺的知識，并能應用。
4．掌握所學的統計初步知識，能夠看和繪制簡單的統計圖表，能夠根據數據作出簡單的判斷與預測，會求一些簡單事件的可能性，能夠解決一些計算平均數的實際問題。
5．進一步感受數學知識間的相互聯系，體會數學的作用；掌握所學的常見數量關系和解決問題的思考方法，能夠比較靈活地運用所學知識解決生活中一些簡單的實際問題。
三、編寫特點
1.依據《標準》對小學數學的學習內容進行梳理歸類。
本單元教材按《標準》劃分的領域編成相應的四節，并從實際情況出發，作了一些適當的處理。第1節是數與代數領域的內容，主要包括數的認識、數的運算、式與方程、常見的量、比和比例以及數學思考。第2節是空間與圖形領域的內容，教材將“圖形的認識”和“測量”兩部分內容整合起來進行復習，“圖形與變換”與“圖形與位置”兩部分則單列復習。第3節是統計與概率領域的內容，教材將“簡單數據統計過程”與“可能性”通過具體情境串聯起來復習。第4節是實踐與綜合應用領域，教材設計了三個主題鮮明的綜合應用活動。
2.精簡內容，突出整理和復習的重點，為學生主動參與知識的整理提供空間。
本單元不求面面俱到，覆蓋已學知識的細節，而是突出重點，抓住主要內容、主要問題進行整理和復習。這一方面使教材擺脫了知識點羅列，概念、法則匯編的局面，另一方面也給學生參與知識的整理留出了空間。
3．注重問題情境的創設，注重所學知識的應用，發展學生的能力。
本單元教材盡可能通過問題情境，引導學生聯系實際或聯系數學實例，加深對已學知識的理解，加強對相關知識內在聯系的認識。同時注意所學知識的運用，在“用”的過程中，促進理解和鞏固。
四、具體編排
本單元的內容編排如下。




（一）數與代數
1．整理與復習的內容
（1）數的認識，著重復習小學階段所學數的概念。這部分內容從縱向看，包括整數、小數、分數、百分數的有關概念，以及負數的初步認識；從橫向看，包括數的意義、數的讀法和寫法、數的大小比較、數的性質、數的改寫。
（2）數的運算，著重復習整數、小數、分數的四則運算，包括四則運算的意義、計算方法、運算定律及其應用。
（3）式與方程，著重復習用字母表示數、簡單的方程及其應用。
（4）常見的量，著重復習小學階段所學的量，包括長度、面積、體積、容積、質量、時間等計量單位的進率以及同一種量不同單位的改寫。
（5）比和比例，著重復習比和比例的基本知識及其應用以及正反比例的概念。
（6）數學思考，著重引導學生復習如何尋找規律以及借助畫圖或列表的方法解決問題。
2．具體編排
數的認識。
首先引導學生復習各類數的含義、實際應用以及它們的讀法和寫法。接著，教材對整數概念作了概括性的描述，指出了自然數與整數的關系以及自然數的單位，并對整數與自然數、正數、負數之間的關系進行了鞏固。復習時，可先讓學生說說學過了哪些數，并舉例說明每個數的具體含義。也可先讓學生讀出課本上的例子，說出每個數的名稱與具體含義，然后再讓學生自己舉例。教師應注意學生讀、寫數是否正確。
接著，教材通過5個問題，分別對十進制計數法，數的大小比較，分數與小數的基本性質，小數點移動引起小數大小變化的規律，數的整除的主要概念進行了比較系統地回顧。
（2）數的運算。
①復習四則運算的意義和計算的方法。教學時，利用教材提供的歡慶“六一”的情境圖，讓學生提出用計算解決的問題并解答。注意要求學生具體說明解決問題用到了哪種運算以及運算的含義，也可以讓學生把用加法、乘法計算的問題改編成用減法、除法計算的問題。通過改編，加深對加與減、乘與除之間關系的認識。
②復習運算意義，對整數、小數、分數的計算方法進行比較，找出它們的共同點和不同點，并對0與1在四則運算中的特性進行系統整理。
③復習混合運算順序、運算定律和簡便運算。教學時，教師可讓學生用語言敘述所學的五條運算定律，注意不要強求話語的統一。
④例1復習運用乘法分配律使運算簡便，兼帶復習四則混合運算的順序。
（3）式與方程。
①復習用字母表示數的作用。教學時，可讓學生思考：用字母表示數的作用、s=vt的含義、用字母怎樣表示分數乘法的算法等問題。
②復習方程的概念，并啟發學生回想解方程的依據，即等式的兩條基本性質。例2復習列方程解決實際問題。
（4）常見的量。
常見的量，主要復習“整理”與“改寫”。可先讓學生小組合作分類整理學習過的量與計量單位，再全班交流。復習不同計量單位的改寫時，引導學生系統整理改寫的方法。
（5）比和比例。
教材先讓學生回顧比和比例的基礎知識，并通過例3，讓學生在解決問題的過程中重溫比和比例的意義以及求比值和解比例的方法。然后，引導學生整理比和分數、除法的關系，比和比例基本性質的應用以及成正比例、反比例量的判斷方法。
復習時，可引導學生采用列表的方式對比和比例的意義、各部分名稱、基本性質及其應用等方面進行對比，明確有關概念。如果學生說到比和分數、除法的關系，比和比例基本性質的應用，正、反比例的判斷，就把例3后面的三個問題一并解決。
（6）數學思考。
該部分內容主要鞏固、發展學生找規律、分步枚舉組合以及列表推理的能力。
例4是一個比較典型的找出規律，以此類推的數學問題。教學時，可啟發學生從2個點、3個點開始尋找規律，以簡馭繁。注意引導學生明確算理。
例5以選送節目為題材，討論怎樣分兩步找出組合數，再求選送方案的總數，滲透了作為排列組合基礎之一的乘法原理。探究例5時，可以由學生自己嘗試，也可以將例題分解為兩步，讓學生先分別回答，再出示例題解答。注意提醒學生，無論采用何種方法，都應有順序地思考，以免重復或遺漏。
例6是一個比較復雜的邏輯推理問題，教材滲透了邏輯推理的常用方法“排除法”。探究例6時，引導學生理解：借助列表，比較容易逐步縮小范圍，找到答案。
3．整理與復習“數與代數”的建議
（1）注意概念的理解。
這部分復習內容概念比較集中，復習時可以通過讓學生自己舉出例證加以說明的方式幫助學生重溫概念的含義，并促進理解。這樣也能避免機械背誦概念條文的做法。有些容易混淆的概念可以通過對比、辨析，幫助學生搞清它們的異同點。
（2）重視計算能力的培養與提高。
小學階段所學的數值計算都集中在本節中，復習時要注意在理解算理，搞清算法之間內在聯系與區別的基礎上，合理安排練習。比如每天有計劃、有側重地練習一些口算和少量的混合運算，這樣的分布練習比集中練習效果更好。
（二）空間與圖形
1．整理與復習的內容
（1）圖形的認識與測量，著重復習小學階段所學習的各圖形的特點、關系以及部分形體的周長、面積、體積計算。這部分內容從縱向看，可按平面圖形——立體圖形的順序進行整理；從橫向看，可歸結為圖形特征的認識，圖形周長、面積、體積的測量與計算。
（2）圖形與變換，著重復習軸對稱、平移、旋轉三種基本的幾何變換形式。
（3）圖形與位置，著重復習確定物體的相對位置，辨認方向和使用路線圖（包括比例尺的應用）。
2．具體編排
（1）圖形的認識與測量。
例1梳理學過的平面圖形。引導學生按一條直線，到兩條直線，再到三角形，四邊形與圓的線索對平面圖形進行整理。
例2復習平面圖形的周長和面積。教材通過圖示，啟發學生回顧周長、面積計算公式的推導過程，填寫出各圖形的周長、面積公式，并運用這些公式計算圖形的周長和面積。教學時，引導學生思考這些公式是怎樣推導出的。
例3復習學習過的立體圖形的特征、各部分名稱，以及辨認從不同方向看到的形狀。教學時，可以先讓學生說說各立體圖形的特點、各部分名稱。然后讓學生從不同方向觀察各形體，并把自己從不同角度看到的形狀畫一畫，以促進學生空間觀念的發展。
例4復習四種立體圖形的表面積、體積的計算公式。教學時，應先讓學生明確表面積和體積的概念。然后，再引導學生復習怎樣求長方體、正方體和圓柱的表面積以及各種體積。
“做一做”復習如何測定不規則物體的體積。
（2）圖形與變換。
教材給出了利用圖形的變換設計圖案的情境圖，以幫助學生復習圖形變換的常用方法。其中有用軸對稱的方法剪圖案，用旋轉的方法設計圖案，用按比例放大（即圖形的相似變換）的方法把圖案擴大，并通過平移做出板報的花邊。
（3）圖形與位置。
教材給出了一幅帶有比例尺的街區平面圖，以幫助學生復習根據方向、距離確定物體位置以及看懂線路圖、描繪行走路線。復習時可以先讓學生說一說確定物體位置的方法。然后出示課本上的街區平面圖，再由學生自己提出問題，請同學看圖回答。還可以在學生說出街區圖的內容時，由回答“比例尺1:10000表示圖上1厘米相當于實際距離多少米”的提問，引出圖上測量的問題，幫助學生明確如何測量。
3．整理與復習“空間與圖形”的建議
（1） 重視形體知識內在關系的梳理與認識。
復習時可以先由學生回憶這部分中有關的知識，然后再注意引導學生通過分類、比較、辨析，認識圖形之間的聯系和區別，形成較清晰的知識網絡。
（2）重視空間觀念的培養與提升。
整理、復習時，應充分利用圖形的直觀呈現方式，將畫圖、觀察與思考結合起來。調動學生的相關表象，并注意組織必要的操作活動，促進思考、分析，借助直觀解決問題。
（三）統計與概率
1．整理與復習的內容
這部分內容集中整理了小學階段統計與概率的知識，主要有統計表、折線統計圖和扇形統計圖，平均數、中位數和眾數，可能性等。
2．具體編排
　 （１）主題圖。
　　教材首先概括地介紹了統計在生活中的重要作用，并根據同學們普遍關心的問題，設計調查表，進行調查統計。
　 （２）例１。
　　例１復習用學過的統計表和統計圖描述相關的數據。教學時，可以通過主題圖中設計的調查活動獲得數據，選擇各種統計圖表描述調查數據、進行數據分析。也可以直接利用教材中的數據，進行概念復習和數據分析。在此過程中，引導學生整理：從統計圖表中獲取的信息，數據收集的其他方法以及進行調查統計工作的方法和步驟。
（3）例２。
例2用統計表表示全班同學的身高和體重分布情況，復習平均數、中位數和眾數。教學時注意引導學生對這３個統計量的不同特征和適用范圍進行梳理。
　　（4）例３。
　　例３復習可能性的知識。教材通過３人看電視，由每個人想出一個公平的辦法來決定看什么節目，引出可能性的知識。教學時，先出示教材的情境，讓學生思考“什么規則是公平的”，了解學生掌握可能性知識的情況。然后，再引導學生系統總結有關可能性的知識。
3．整理與復習“統計與概率”的建議
　　（１）注重過程性目標，經歷數據的統計過程。
　　教師在教學中要采取啟發和互動式的教學方式幫助學生設計調查表，經歷數據的收集、整理、描述和分析的過程。設計調查表是一種比較規范的收集數據的方法，主要有以下幾項工作：根據同學們普遍關注的問題，確定調查哪些數據；調查的方法是什么；如何記錄數據，例如所調查的數據是寫出來還是給出選項進行選擇等。
　 （２）通過豐富的實例，系統復習有關的統計與概率知識。
　　結合調查表，教材呈現了兩個例題，系統復習統計表、統計圖和有關的統計量的知識；另外，安排了例３，復習可能性的知識。教學時要注意知識全面而重點突出，進一步認識每種統計圖表和不同統計量的特征和適用范圍，認識事件發生的等可能性和游戲規則的公平性，會求簡單事件發生的可能性并對事件發生的可能性做出預測等。
　　（３）重視培養統計觀念。
教師教學時要結合各種素材使學生認識到統計與概率知識的重要性，能根據數據的不同特點和解決問題的需要，選擇合適的統計圖表和統計量進行分析和決策，對現實世界中的各種隨機現象要有一個正確的認識和判斷，學會依據數據和事實分析和解決問題，做出判斷、預測和決策。
　　（四）綜合應用
1．有趣的平衡
（1）設計目的
“有趣的平衡”是在學生掌握了比例知識的基礎上設計的，其目的是初步感受杠桿原理，并加深對反比例關系的理解。
（2）具體編排
制作實驗用具。介紹如何制作本活動所需的實驗用具（簡單杠桿），強調制作的簡易杠桿要保持平衡。
②探索規律，體會杠桿原理。先探索特殊條件下竹竿保持平衡的規律；再探索一般條件下竹竿保持平衡的規律。通過由特殊到一般的實驗，逐步總結發現的規律：要使竹竿保持平衡，必須使“左邊的刻度數×棋子數＝右邊刻度數×棋子數”。
③應用規律，體會反比例關系。發現竹竿平衡的規律后，教材通過探究活動，引導學生思考并逐步發現：在“左邊的刻度數×棋子數的積保持不變”的條件下，右邊刻度數和所放棋子數成反比例關系。
（3）教學建議
在制作實驗用具部分，教師可提前布置學生準備相關材料，并提出具體要求。探索規律時，教師要注意在適當的時候引導學生從具體上升到抽象的概括。在發竹竿平衡的規律后，教師可以向學生說明這就是物理上的“杠桿原理”。教學發現反比例關系時，教師可以讓學生觀察記錄表，并根據以前所學的知識來描述表格中右邊刻度數和所放棋子數之間的關系，從而引導學生發現刻度數和所放棋子數之間的反比例關系。
2．設計運動場
（1）設計目的
“設計運動場”一方面復習鞏固所學的比例、面積、體積、周長等知識，另一方面培養學生運用所學知識解決實際問題的能力。
（2）具體編排
①提出設計任務。直接提出設計一個小型運動場的任務，并明確要求：共設4條跑道，最內側跑道的內沿長200m，每條跑道寬1m。
②確定跑道的有關數據，繪制平面圖。設計運動場需要考慮的因素很多，通過小組討論首先明確跑道的結構由一個長方形和兩個半圓組成。長方形的長即直線跑道的長定為50m，并計算出最內側跑道所在圓的半徑約為16m。根據確定的數據，按一定的比例繪制平面圖。
③確定建造運動場的有關問題。運動場設計好后，教材提出建造運動場需要考慮的細節和相關問題。
④完善運動場。運動場的主體部分設計好后，還可以考慮在其中加設一些其他體育設施。
（3）教學建議
教學時，教師可以直接提出設計任務，也可以創設一個征集設計方案的情境，調動學生的積極性。教師可以出示以下問題，提示設計思路：這個運動場設計成什么形狀，由哪些圖形組成；需要確定哪些數據。在此基礎上，按合適的比例繪制出平面圖。
3．郵票中的數學問題
（1）設計目的
本綜合應用選取與學生生活聯系密切的寄信活動為素材，通過探究如何確定郵資、如何根據信函質量支付郵資等活動，一方面鞏固所學的組合知識，另一方面培養歸納、推理能力。
（2）具體編排
①教材先讓學生了解郵票的有關知識，認識郵票的作用。接下來出示了國家郵政局關于信函郵資的規定，說明確定信函資費的兩大要素：信函的目的地是本埠還是外埠；信函質量。
②探究合理的郵資支付方式。教材安排了兩個探究活動：不超過100g的信函郵資，如何用不多于3張的郵票來支付；不超過400g的信函郵資，如何用不多于4張郵票來支付。兩個活動的分析思路和方法是一致的。
（3）教學建議
正式教學前，可安排學生調查一些關于郵票和郵政資費的信息。
課堂教學時，可依次分3個專題進行探討。①確定每封信函應付的郵資。教學時應先引導學生理解“國家郵政局關于信函郵資的收取標準”中“資費標準”和“計費單位”的具體含義。②解決“最多只用3張郵票，來支付不超過100g的信函郵資”的問題。可讓學生先確定100g以內的信函所需支付的各種郵資情況，再確定哪些資費可僅用80分和1.2元的郵票支付，哪些不能。然后就需要設計一張其他面值的郵票。③解決“最多只用4張郵票，來支付不超過400g的信函郵資”的問題，可參照上一活動進行。
五、本單元的教學建議
1.加強整理和復習的系統性。
我們知道，數學知識的特點之一就是具有嚴密的邏輯系統性。雖說在前面的學習過程中，每個單元、每個學期，都有整理和復習，但畢竟具有一定的局限性。本單元是在平時的基礎上，在更大范圍內引導學生對學過的知識進行更全面的回顧、整理和比較、對照。這樣，原來分散學習時互不聯系或聯系較少的知識，就有機會得以溝通，進而形成縱橫聯系的知識體系。因此，加強整理和復習的系統性，使所學知識結構化，是本單元教學的首要任務。
2.啟發、引導學生自己整理知識。
復習時，應充分利用教材的留白，發揮學生參與知識整理的主動性和積極性。有時，學生的整理可能不夠確切、不夠全面，這都是真實的、自然的現象。教師在學生開動腦筋深有體會的基礎上加以點撥，往往效果更好。本單元復習的內容涉及面廣，而且又是逐年學習的。因此，在課堂上復習各部分內容之前，可以布置學生先進行預習。這樣有利于提高學生復習的主動性，提高課堂復習的效率。
3.在系統整理復習的過程中注意查漏補缺。
在本單元的教學過程中，教師應根據前一階段課堂教學、批改作業和課后輔導中了解到的情況，搞清學生還有哪些概念比較模糊，哪些方法不夠熟練，哪些疑難尚未解決，在系統復習的過程中予以彌補。通過知識的再認、再現和質疑問難，以及必要的練習，使模糊的概念清晰起來，使生疏的技能熟練起來。可以說，所學知識與技能的鞏固，是靈活應用與提高能力的基礎，也是系統整理和復習的基本要求之一。
4. 加強練習的針對性、有效性。
本單元教材所提供的練習，是根據一般情況配備的，教師要善于從本班學生的實際情況出發，有針對性地對練習加以適當的調整和增補。注意因材施教，使各種程度的學生都能通過練習確有所獲。
5. 注意引導學生積累數學學習的經驗，總結解決問題的策略
本單元教材基于復習整理解決問題的思路和方法，設計了一系列的例題，并配備了必要的練習。教學時，教師要善于就題論理、論思路，引導學生總結比較一般的解題策略。同時，教師還應該通過多種途徑，了解學生的學習體會。經驗表明，六年級的整理和復習階段，是小學生形成、總結學習經驗的有利時機，利用這個時機，幫助學生總結個人經驗，分享他人經驗，有利于學生的發展，也有利于提高本單元的教學成效。

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