資源簡介

限時練(二)
(限時：45分鐘)

一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．i(2＋3i)＝(　　)
A．3－2i B．3＋2i
C．－3－2i D．－3＋2i
解析　i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故選D.
答案　D
2．設全集為R，集合A＝{x|0A．{x|0C．{x|1≤x<2} D．{x|0解析　因為B＝{x|x≥1}，所以?RB＝{x|x<1}，因為A＝{x|0答案　B
3．若＜＜0，則下列四個不等式恒成立的是(　　)
A．|a|＞|b| B．a＜b
C．a3＜b3 D．a＋b＜ab
解析　由＜＜0可得b＜a＜0，從而|a|＜|b|，b3＜a3，即A，B，C項均不正確；a＋b＜0，ab＞0，則a＋b＜ab，即D項正確．
答案　D
4．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若a＝5bsin C，且cos A＝5cos Bcos C，則tan A的值為(　　)
A．5 B．6 C．－4 D．－6
解析　由正弦定理得sin A＝5sin Bsin C　①，又cos A＝5cos Bcos C　②，②－①得，cos A－sin A＝5(cos Bcos C－sin Bsin C)＝5cos(B＋C)＝－5cos A，∴sin A＝6cos A，∴tan A＝6.
答案　B
5．如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D是半圓弧AB上的兩個三等分點，＝a，＝b，則＝(　　)
A.a＋b
B.a－b
C．a＋b
D．a－b

答案　A
6．已知Sn表示數列{an}的前n項和，若對任意n∈N*滿足an＋1＝an＋a2，且a3＝2，則S2 019＝(　　)
A．1 008×2 019 B．1 008×2 020
C．1 009×2 019 D．1 009×2 020
解析　在an＋1＝an＋a2中，令n＝1，則a2＝a1＋a2，∴a1＝0，令n＝2，則a3＝2a2＝2，∴a2＝1，于是an＋1－an＝1，∴數列{an}是首項為0，公差為1的等差數列，∴S2 019＝＝1 009×2 019.
答案　C
7．若f(x)＝sin(2x＋θ)，則“f(x)的圖象關于x＝對稱”是“θ＝－”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
解析　若f(x)的圖象關于x＝對稱，則＋θ＝＋kπ，k∈Z，即θ＝－＋kπ，k∈Z，此時θ的值不一定為－；若θ＝－時，f(x)＝sin，2x－＝＋kπ，k∈Z，∴x＝＋，k∈Z，當k＝0時，f(x)的圖象關于x＝對稱．即“f(x)的圖象關于x＝對稱”是“θ＝－”的必要不充分條件．
答案　B
8．北京某大學為第十八屆四中全會招募了30名志愿者(編號分別是1，2，…，30號)，現從中任意選取6人按編號大小分成兩組分配到江西廳、廣電廳工作，其中三個編號較小的人在一組，三個編號較大的在另一組，那么確保6號、15號與24號同時入選并被分配到同一廳的選取種數是(　　)
A．25 B．32 C．60 D．100
解析　要“確保6號、15號與24號入選并分配到同一廳”，則另外三人的編號或都小于6或都大于24，于是根據分類加法計數原理，得選取種數是(C＋C)A＝60.
答案　C
9．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝729，則C＋C＋C＋…＋C等于(　　)
A．63 B．64 C．31 D．32
解析　逆用二項式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C＋C＋C＋…＋C＝26－C＝64－1＝63.
答案　A
10．口袋中有5只球，編號分別為1，2，3，4，5，從中任取3只球，以X表示取出的球的最大號碼，則X的數學期望E(X)的值是(　　)
A．4 B．4.5 C．4.75 D．5
解析　由題意知，X可以取3，4，5，P(X＝3)＝eq \f(1,C)＝，
P(X＝4)＝eq \f(C,C)＝，P(X＝5)＝eq \f(C,C)＝＝，
所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝4.5.
答案　B
二、填空題(本大題共7小題，多空題每小題6分，單空題每小題4分，共36分．把答案填在題中的橫線上)
11．α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
③如果α∥β，m?α，那么m∥β.
④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等．
其中正確的命題有________(填序號)．
解析　當m⊥n，m⊥α，n∥β時，兩個平面的位置關系不確定，故①錯誤，經判斷知②③④均正確．
答案　②③④
12．以橢圓＋y2＝1的焦點為頂點、長軸頂點為焦點的雙曲線的漸近線方程是________，離心率為________．
解析　設雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>0)，由題意得雙曲線的頂點為(±，0)，焦點為(±2，0)，所以a＝，c＝2，所以b＝1，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x，離心率為e＝＝.
答案　y＝±x　
13．函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)的圖象如圖所示，則ω＝________，φ＝________．

解析　由圖象知函數f(x)的周期為π，所以ω＝＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)．把點(π，1)代入得2sin(2π＋φ)＝1，即sin φ＝.因為|φ|<，所以φ＝.
答案　2　
14．某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積為________cm3，表面積為________cm2.

解析　由三視圖知該幾何體為一個半球被割去后剩下的部分，其球半徑為1，所以該幾何體的體積為××π×13＝，表面積為××4π×12＋×π×12＋2××π×12＝.
答案　　
15．已知x，y∈R且滿足不等式組
當k＝1時，不等式組所表示的平面區域的面積為________；
若目標函數z＝3x＋y的最大值為7，則k的值為________．
解析　當k＝1時，不等式組為作出不等式組滿足的平面區域如圖中△ABC，易求得A(1，3)，B(1，－1)，C，所以S△ABC＝×4×＝；由目標函數z＝3x＋y的最大值為7知解得則點(2，1)在kx－y－k－1＝0上，即2k－1－k－1＝0，解得k＝2.

答案　　2
16．在實數集R中定義一種運算“*”，對任意a、b∈R，a*b為唯一確定的實數，且具有性質：
(1)對任意a∈R，a*0＝a；
(2)對任意a、b∈R，a*b＝ab＋(a*0)＋(b*0)．
關于函數f(x)＝(ex)*的性質，有如下說法：
①函數f(x)的最小值為3；②函數f(x)為偶函數；③函數f(x)的單調遞增區間為(－∞，0]．
其中所有正確說法的序號為________．
解析　依題意得f(x)＝(ex)*＝ex·＋[(ex)*0]＋＝1＋ex＋，其中x∈R.∴f′(x)＝ex－，令f′(x)＝0，則x＝0，∴函數f(x)在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增，∴當x＝0，f(0)min＝3，即①正確，③錯誤．又f(－x)＝1＋e－x＋＝1＋ex＋＝f(x)，∴函數f(x)為偶函數，即②正確．
答案　①②
17．若關于x的方程＝kx2有四個不同的實根，則實數k的取值范圍是________．
解析　由于關于x的方程＝kx2有四個不同的實根，x＝0是此方程的一個根，故關于x的方程＝kx2有3個不同的非零的實數解．
∴方程＝有3個不同的非零的實數解，
即函數y＝的圖象和函數g(x)＝的圖象有3個交點，畫出函數g(x)圖象，如圖所示，
故0＜＜1，解得k＞1.
答案　(1，＋∞)




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限時練(一)
(限時：45分鐘)

一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．已知集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，則A∩B＝(　　)
A．{3} B．{5}
C．{3，5} D．{1，2，3，4，5，7}
解析　因為集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，所以A∩B＝{3，5}，故選C.
答案　C
2．設z＝＋2i，則|z|＝(　　)
A．0 B. C．1 D.
解析　法一　因為z＝＋2i＝＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故選C.
法二　因為z＝＋2i＝＝，所以|z|＝＝＝＝1，故選C.
答案　C
3．《張丘建算經》卷上第22題——“女子織布”問題：某女子善于織布，一天比一天織得快，而且每天增加的數量相同．已知第一天織布5尺，30天共織布390尺，則該女子織布每天增加(　　)
A.尺 B.尺 C.尺 D.尺
解析　依題意知，每天的織布數組成等差數列，設公差為d，則5×30＋d＝390，解得d＝.故選B.
答案　B
4．已知直線l：x＋y＋m＝0與圓C：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0相交于A，B兩點，若△ABC為等腰直角三角形，則m＝(　　)
A．1 B．2 C．－5 D．1或－3
解析　△ABC為等腰直角三角形，等價于圓心到直線的距離等于圓的半徑的.圓C的標準方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝4，圓心到直線l的距離d＝，依題意得＝，解得m＝1或－3.故選D.
答案　D
5．多面體MNABCD的底面ABCD為矩形，其正視圖和側視圖如圖，其中正視圖為等腰梯形，側視圖為等腰三角形，則該多面體的體積是(　　)

A. B. C. D.
解析　將多面體分割成一個三棱柱和一個四棱錐，如圖所示，∵正視圖為等腰梯形，側視圖為等腰三角形，∴四棱錐底面BCFE為正方形，SBCFE＝2×2＝4，四棱錐的高為2，∴VNBCFE＝×4×2＝.可將三棱柱補成直三棱柱，則VADMEFN＝×2×2×2＝4，∴多面體的體積為.故選D.
答案　D
6．已知向量a，b的模都是2，其夾角是60°，又＝3a＋2b，＝a＋3b，則P，Q兩點間的距離為(　　)
A．2 B. C．2 D.
解析　∵a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2×2×＝2，＝－＝－2a＋b，∴||2＝4a2－4a·b＋b2＝12，
∴||＝2.
答案　C
7．在(1＋x)6(1＋y)4的展開式中，記xmyn項的系數為f(m，n)，則f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝(　　)
A．45 B．60 C．120 D．210
解析　在(1＋x)6的展開式中，xm的系數為C，在(1＋y)4的展開式中，yn的系數為C，故f(m，n)＝C·C.從而f(3，0)＝C·C＝20，f(2，1)＝C·C＝60，f(1，2)＝C·C＝36，f(0，3)＝C·C＝4，所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝120.
答案　C
8．從裝有除顏色外完全相同的3個白球和m個黑球的布袋中隨機摸取一球，有放回地摸取5次，設摸得白球數為X，已知E(X)＝3，則D(X)＝(　　)
A. B. C. D.
解析　由題意，X～B，又E(X)＝＝3，
∴m＝2，
則X～B，故D(X)＝5××＝.
答案　B
9．設雙曲線－＝1的左、右焦點分別為F1、F2，過F1的直線l交雙曲線左支于A、B兩點，則|BF2|＋|AF2|的最小值為(　　)
A. B．11 C．12 D．16
解析　由雙曲線定義可得|AF2|－|AF1|＝2a＝4，|BF2|－|BF1|＝2a＝4，兩式相加可得|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋8，由于AB為經過雙曲線的左焦點與左支相交的弦，而|AB|min＝＝3，∴|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋8≥3＋8＝11.
答案　B
10．已知函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0A．c≤3 B．39
解析　由題意，不妨設g(x)＝x3＋ax2＋bx＋c－m，m∈(0，3]，則g(x)的三個零點分別為x1＝－3，x2＝－2，x3＝－1，因此有(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝x3＋ax2＋bx＋c－m，則c－m＝6，因此c＝m＋6∈(6，9]．
答案　C
二、填空題(本大題共7小題，多空題每小題6分，單空題每小題4分，共36分．把答案填在題中的橫線上)
11．已知{an}為等差數列，若a1＋a5＋a9＝8π，則{an}前9項的和S9＝________，cos(a3＋a7)的值為________．
解析　由{an}為等差數列得a1＋a5＋a9＝3a5＝8π，解得a5＝，所以{an}前9項的和S9＝＝9a5＝9×＝24π.cos(a3＋a7)＝cos 2a5＝cos＝cos＝－.
答案　24π　－
12．函數f(x)＝4sin xcos x＋2cos2x－1的最小正周期為________，最大值為________．
解析　f(x)＝2sin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋φ)，其中tan φ＝，所以最小正周期T＝＝π，最大值為.
答案　π　
13．設函數f(x)＝
則f ＝________，若f(a)解析　由題意可得f ＝＝，則f ＝f ＝tan＝1.當－1答案　1　
14．已知圓O：x2＋y2＝r2與圓C：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)在第一象限的一個公共點為P，過點P作與x軸平行的直線分別交兩圓于不同兩點A，B(異于P點)，且OA⊥OB，則直線OP的斜率k＝________，r＝________．
解析　兩圓的方程相減可得點P的橫坐標為1.易知P為AB的中點，因為OA⊥OB，所以|OP|＝|AP|＝|PB|，又|AO|＝|OP|，所以△OAP為等邊三角形，同理可得△CBP為等邊三角形，所以∠OPC＝60°.又|OP|＝|OC|，所以△OCP為等邊三角形，所以∠POC＝60°，所以直線OP的斜率為.設P(1，y1)，則y1＝，所以P(1，)，代入圓O，解得r＝2.

答案　　2
15．若x、y滿足約束條件若目標函數z＝ax＋3y僅在點(1，0)處取得最小值，則實數a的取值范圍為________．
解析　畫出關于x、y約束條件的平面區域如圖中陰影部分所示，當a＝0時，顯然成立．當a＞0時，直線ax＋3y－z＝0的斜率k＝－＞kAC＝－1，
∴0＜a＜3.當a＜0時，k＝－＜kAB＝2，∴－6＜a＜0.綜上所得，實數a的取值范圍是(－6，3)．
答案　(－6，3)
16．某市的5所學校組織聯合活動，每所學校各派出2名學生．在這10名學生中任選4名學生做游戲，記“恰有兩名學生來自同一所學校”為事件A，則P(A)＝________．
解析　在10名學生中任選4名學生，共有C種不同的選法，先選出兩名來自同一所學校的學生，有C種選法，再選剩余的兩名學生有CCC種情況，所以恰有兩名學生來自同一所學校共有CCCC種情況，則所求概率為eq \f(CCCC,C)＝.
答案　
17．已知偶函數f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0，1]時，f(x)＝x，若區間[－1，3]上，函數g(x)＝f(x)－kx－k有3個零點，則實數k的取值范圍是________．
解析　根據已知條件知函數f(x)為周期為2的周期函數；且x∈[－1，1]時，f(x)＝|x|；而函數g(x)的零點個數便是函數f(x)和函數y＝kx＋k的交點個數．
①若k＞0，如圖所示，當y＝kx＋k經過點(1，1)時，k＝；當經過點(3，1)時，k＝，∴＜k＜.②若k＜0，即函數y＝kx＋k在y軸上的截距小于0，顯然此時該直線與f(x)的圖象不可能有三個交點，即這種情況不存在．③若k＝0，得到直線y＝0，顯然與f(x)圖象只有兩個交點．綜上所得，實數k的取值范圍是.
答案　

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