資源簡介

總共三部分：一、初中數學里常用的幾種經典解題方法
二、中考經典錯題集
三、綜合知識講解
初中數學里常用的幾種經典解題方法介紹
　　1、配方法
　　所謂配方，就是把一個解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數次冪的和形式。通過配方解決數學問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數學中一種重要的恒等變形的方法，它的應用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數的極值和解析式等方面都經常用到它。
　　2、因式分解法
　　因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎，它作為數學的一個有力工具、一種數學方法在代數、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數等等。
　　3、換元法
　　換元法是數學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數或變數稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復雜的數學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易于解決。
　　4、判別式法與韋達定理
　　一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c屬于R，a≠0）根的判別，△=b2-4ac，不僅用來判定根的性質，而且作為一種解題方法 ，在代數式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。
　　韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根；已知兩個數的和與積，求這兩個數等簡單應用外，還可以求根的對稱函數，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應用。
　　5、待定系數法
　　在解數學問題時，若先判斷所求的結果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數，而后根據題設條件列出關于待定系數的等式，最后解出這些待定系數的值或找到這些待定系數間的某種關系，從而解答數學問題，這種解題方法稱為待定系數法。它是中學數學中常用的方法之一。
　　6、構造法
　　在解題時，我們常常會采用這樣的方法，通過對條件和結論的分析，構造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數、一個等價命題等，架起一座連接條件和結論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數學方法，我們稱為構造法。運用構造法解題，可以使代數、三角、幾何等各種數學知識互相滲透，有利于問題的解決。
　　7、反證法
　　反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然后，從這個假設出發，經過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結論的反面只有一種)與窮舉反證法(結論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設；(2)歸謬；(3)結論。
　　反設是反證法的基礎，為了正確地作出反設，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個/一個也沒有；至少有n個/至多有(n一1)個；至多有一個/至少有兩個；唯一/至少有兩個。
　　歸謬是反證法的關鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設出發，否則推導將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設矛盾；自相矛盾。
　　8、面積法
　　平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計算有關的性質定理，不僅可用于計算面積，而且用它來證明平面幾何題有時會收到事半功倍的效果。運用面積關系來證明或計算平面幾何題的方法，稱為面積方法，它是幾何中的一種常用方法。
　　用歸納法或分析法證明平面幾何題，其困難在添置輔助線。面積法的特點是把已知和未知各量用面積公式聯系起來，通過運算達到求證的結果。所以用面積法來解幾何題，幾何元素之間關系變成數量之間的關系，只需要計算，有時可以不添置補助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。
　　9、幾何變換法
　　在數學問題的研究中，常常運用變換法，把復雜性問題轉化為簡單性的問題而得到解決。所謂變換是一個集合的任一元素到同一集合的元素的一個一一映射。中學數學中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來很難甚至于無法下手的習題，可以借助幾何變換法，化繁為簡，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點滲透到中學數學教學中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運動中的研究結合起來，有利于對圖形本質的認識。
　　幾何變換包括：（1）平移；（2）旋轉；（3）對稱。
　　10.客觀性題的解題方法
　　選擇題是給出條件和結論，要求根據一定的關系找出正確答案的一類題型。選擇題的題型構思精巧，形式靈活，可以比較全面地考察學生的基礎知識和基本技能，從而增大了試卷的容量和知識覆蓋面。
　　填空題是標準化考試的重要題型之一，它同選擇題一樣具有考查目標明確，知識復蓋面廣，評卷準確迅速，有利于考查學生的分析判斷能力和計算能力等優點，不同的是填空題未給出答案，可以防止學生猜估答案的情況。
　　要想迅速、正確地解選擇題、填空題，除了具有準確的計算、嚴密的推理外，還要有解選擇題、填空題的方法與技巧。下面通過實例介紹常用方法。
　　（1）直接推演法：直接從命題給出的條件出發，運用概念、公式、定理等進行推理或運算，得出結論，選擇正確答案，這就是傳統的解題方法，這種解法叫直接推演法。
　　（2）驗證法：由題設找出合適的驗證條件，再通過驗證，找出正確答案，亦可將供選擇的答案代入條件中去驗證，找出正確答案，此法稱為驗證法（也稱代入法）。當遇到定量命題時，常用此法。
　　（3）特殊元素法：用合適的特殊元素（如數或圖形）代入題設條件或結論中去，從而獲得解答。這種方法叫特殊元素法。
　　（4）排除、篩選法：對于正確答案有且只有一個的選擇題，根據數學知識或推理、演算，把不正確的結論排除，余下的結論再經篩選，從而作出正確的結論的解法叫排除、篩選法。
　　（5）圖解法：借助于符合題設條件的圖形或圖象的性質、特點來判斷，作出正確的選擇稱為圖解法。圖解法是解選擇題常用方法之一。
　　（6）分析法：直接通過對選擇題的條件和結論，作詳盡的分析、歸納和判斷，從而選出正確的結果，稱為分析法.

第二章　應知應會知識點
2.1　代數篇
一　數與式
（一）有理數
1　有理數的分類
2　數軸的定義與應用
3　相反數
4　倒數
5　絕對值
6　有理數的大小比較
7　有理數的運算
（二）實數
8　實數的分類
9　實數的運算
10　科學記數法
11　近似數與有效數字
12　平方根與算術根和立方根
13　非負數
14　零指數次冪　負指數次冪
（三)代數式
15　代數式　代數式的值
16　列代數式
（四）整式
17　整式的分類
18　整式的加減　乘除的運算
19　冪的有關運算性質
20　乘法公式
21　因式分解
（五）分式
22　分式的定義
23　分式的基本性質
24　分式的運算
（六）二次根式
25　二次根式的意義
26　根式的基本性質
27　根式的運算
二　方程和不等式
（一）一元一次方程
28　方程　方程的解的有關定義
29　一元一次的定義
30　一元一次方程的解法
31　列方程解應用題的一般步驟
（二）二元一次方程
32　二元一次方程的定義
33　二元一次方程組的定義
34　二元一次方程組的解法（代入法消元法　加減消元法）
35　二元一次方程組的應用
（三）一元二次方程
36　一元二次方程的定義
37　一元二次方程的解法（配方法　因式分解法　公式法　十字相乘法）
38　一元二次方程根與系數的關系和根的判別式
39　一元二次方程的應用
（四）分式方程
40　分式方程的定義
41　分式方程的解法（轉化為整式方程　檢驗）
42　分式方程的增根的定義
43　分式方程的應用
（五）不等式和不等式組
44　不等式（組）的有關定義
45　不等式的基本性質
46　一元一次不等式的解法
47　一元一次不等式組的解法
48　一元一次不等式（組）的應用
三　函數
（一）位置的確定與平面直角坐標系
49　位置的確定
50　坐標變換
51　平面直角坐標系內點的特征
52　平面直角坐標系內點坐標的符號與點的象限位置
53　對稱問題：P(x,y)→Q(x,- y）關于x軸對稱
P(x,y)→Q(- x,y)關于y軸對稱
P(x,y)→Q(- x,- y)關于原點對稱
54　變量　自變量　因變量　函數的定義
55　函數自變量　因變量的取值范圍（使式子有意義的條件　圖象法）
56　函數的圖象：變量的變化趨勢描述
（二）一次函數與正比例函數
57　一次函數的定義與正比例函數的定義
58　一次函數的圖象：直線，畫法
59　一次函數的性質（增減性）
60　一次函數y=kx+b(k≠0)中k　b符號與圖象位置
61　待定系數法求一次函數的解析式（一設二列三解四回）
62　一次函數的平移問題
63　一次函數與一元一次方程　一元一次不等式　二元一次方程的關系（圖象法）
64　一次函數的實際應用
65　一次函數的綜合應用
（1）一次函數與方程綜合
（2）一次函數與其它函數綜合
（3）一次函數與不等式的綜合
（4）一次函數與幾何綜合
（三）反比例函數
66　反比例函數的定義
67　反比例函數解析式的確定
68　反比例函數的圖象：雙曲線
69　反比例函數的性質（增減性質）
70　反比例函數的實際應用
71　反比例函數的綜合應用（四個方面　面積問題）
（四）二次函數
72　二次函數的定義
73　二次函數的三種表達式（一般式　頂點式　交點式）
74　二次函數解析式的確定（待定系數法）
75　二次函數的圖象：拋物線　畫法（五點法）
76　二次函數的性質（增減性的描述以對稱軸為分界）
77　二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)中a　b　c　△與特殊式子的符號與圖象位置關系
78　求二次函數的頂點坐標　對稱軸　最值
79　二次函數的交點問題
80　二次函數的對稱問題
81　二次函數的最值問題（實際應用）
82　二次函數的平移問題
83　二次函數的實際應用
84　二次函數的綜合應用
（1）二次函數與方程綜合
（2）二次函數與其它函數綜合
（3）二次函數與不等式的綜合
（4）二次函數與幾何綜合
2.2　幾何篇
1　過兩點有且只有一條直線　
2　兩點之間線段最短　
3　同角或等角的補角相等　
4　同角或等角的余角相等　
5　過一點有且只有一條直線和已知直線垂直　
6　直線外一點與直線上各點連接的所有線段中　垂線段最短　
7　經過直線外一點　有且只有一條直線與這條直線平行　
8　如果兩條直線都和第三條直線平行　這兩條直線也互相平行　
9　同位角相等　兩直線平行　
10　內錯角相等　兩直線平行　
11　同旁內角互補　兩直線行　
12　兩直線平行　同位角相等　
13　兩直線平行　內錯角相等　
14　兩直線平行　同旁內角互補　
15　三角形兩邊的和大于第三邊　
16　三角形兩邊的差小于第三邊　
17　三角形三個內角的和等180°　
18　直角三角形的兩個銳角互余　
19　三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和　
20　三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角　
21　全等三角形的對應邊　對應角相等　
22　有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等　(SAS)
23　有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等(ASA)　
24　有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(AAS)　
25　有三邊對應相等的兩個三角形全等　(SSS)
26　有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(HL)　
27　在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等
28　到一個角的兩邊的距離相同的點　在這個角的平分線上　
29　角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合　
30　等腰三角形的性質定理　等腰三角形的兩個底角相等　
31　等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊　
32　等腰三角形的頂角平分線　底邊上的中線和高互相重合　
33　等邊三角形的各角都相等　并且每一個角都等于60°　
34　等腰三角形的判定定理　如果一個三角形有兩個角相等　　那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)　
35　三個角都相等的三角形是等邊三角形　
36　有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形　
37　在直角三角形中　如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半　
38　直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半　
39　線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等　
40　和一條線段兩個端點距離相等的點　在這條線段的垂直平分線上　
41　線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合　
42　關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形　
43　如果兩個圖形關于某直線對稱　那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線　
44　兩個圖形關于某直線對稱　如果它們的對應線段或延長線相交　那么交點在對稱軸上　
45　如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分　那么這兩個圖形關于這條直線對稱　
46　直角三角形兩直角邊a　b的平方和　等于斜邊c的平方　即a+b=c　
47　如果三角形的三邊長a　b　c有關系a+b=c　那么這個三角形是直角三角形　
48　四邊形的內角和等于360°　
49　四邊形的外角和等于360°　
50　多邊形內角和定理　n邊形的內角的和等于(n-2)×180°　
51　任意多邊的外角和等于360°　
52　平行四邊形的對角相等　
53　平行四邊形的對邊相等　
54　夾在兩條平行線間的平行線段相等　
55　平行四邊形的對角線互相平分　
56　兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形　
57　兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
58　對角線互相平分的四邊形是平行四邊形　
59　一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形　
60　矩形的四個角都是直角　
61　矩形的對角線相等　
62　有三個角是直角的四邊形是矩形　
63　對角線相等的平行四邊形是矩形　
64　菱形的四條邊都相等　
65　菱形的對角線互相垂直　并且每一條對角線平分一組對角　
66　菱形面積=對角線乘積的一半　即S=(a×b)÷2　
67　四邊都相等的四邊形是菱形　
68　對角線互相垂直的平行四邊形是菱形　
69　正方形的四個角都是直角　四條邊都相等　
70　正方形的兩條對角線相等　并且互相垂直平分　每條對角線平分一組對角　
71　關于中心對稱的兩個圖形是全等的　
72　關于中心對稱的兩個圖形　對稱點連線都經過對稱中心　并且被對稱中心平分　
73　如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點　并且被這一　點平分　那么這兩個圖形關于這一點對稱　
74　等腰梯形在同一底上的兩個角相等　
75　等腰梯形的兩條對角線相等　
76　在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形　
77　對角線相等的梯形是等腰梯形　
78　如果一組平行線在一條直線上截得的線段　
相等　那么在其他直線上截得的線段也相等　
79　經過梯形一腰的中點與底平行的直線　必平分另一腰　
80　經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線　必平分第三邊　
81　三角形的中位線平行于第三邊　并且等于它的一半
82　梯形的中位線平行于兩底　并且等于兩底和的　一半　
L=(a+b)　S=L×h　
83　如果a:b=c:d　那么ad=bc　
如果ad=bc　那么a:b=c:d　
84　如果a/b=c/d　那么
(a±b)/　b=(c±d)/d　
85　如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0)　那么　
(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b　
86　三條平行線截兩條直線　所得的對應線段成比例　
87　平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)　所得的對應線段成比例　
88　如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例　那么這條直線平行于三角形的第三邊　
89　平行于三角形的一邊　并且和其他兩邊相交的直線　所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例　
90　平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交　所構成的三角形與原三角形相似　
91　兩角對應相等　兩三角形相似(ASA)　
92　直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似　
93　兩邊對應成比例且夾角相等　兩三角形相似(SAS)　
94　三邊對應成比例　兩三角形相似(SSS)　
95　如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三
角形的斜邊和一條直角邊對應成比例　那么這兩個直角三角形相似　
96　相似三角形對應高的比　對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比　
97　相似三角形周長的比等于相似比　
98　相似三角形面積的比等于相似比的平方　
99　任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值　任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值　
100　任意銳角的正切值等于它的余角的余切值　任意銳角的余切值等　
于它的余角的正切值　
101　圓是定點的距離等于定長的點的集合　
102　圓的內部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合　
103　圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合　
104　同圓或等圓的半徑相等　
105　到定點的距離等于定長的點的軌跡　是以定點為圓心　定長為半徑的圓　
106　和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡　是著條線段的垂直平分線　
107　到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡　是這個角的平分線　
108　到兩條平行線距離相等的點的軌跡　是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線　
109　不在同一直線上的三個點確定一條直線　
110　垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧　
111　　①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦　并且平分弦所對的兩條弧　
②弦的垂直平分線經過圓心　并且平分弦所對的兩條弧　
③平分弦所對的一條弧的直徑　垂直平分弦　并且平分弦所對的另一條弧　
112　圓的兩條平行弦所夾的弧相等　
113　圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形　
114　在同圓或等圓中　相等的圓心角所對的弧相等　所對的弦相等　所對的弦的弦心距相等　
115　在同圓或等圓中　如果兩個圓心角　兩條弧　兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應的其余各組量都相等　
116　一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半　
117　同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中　相等的圓周角所對的弧也相等　
118　半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90°的圓周角所　
對的弦是直徑　
119　如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半　那么這個三角形是直角三角形　
120　圓的內接四邊形的對角互補　并且任何一個外角都等于它的內對角　
121　①直線L和⊙O相交　d＜r　
②直線L和⊙O相切　d=r　
③直線L和⊙O相離　d＞r　
122　經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線　
123　圓的切線垂直于經過切點的半徑　
124　經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點　
125　經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心　
126　從圓外一點引圓的兩條切線　它們的切線長相等　圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角　
127　圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等　
128　弦切角等于它所夾的弧對的圓周角　
129　如果兩個弦切角所夾的弧相等　那么這兩個弦切角也相等　
130　圓內的兩條相交弦　被交點分成的兩條線段長的積相等　
131　如果弦與直徑垂直相交　那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項
132　從圓外一點引圓的切線和割線　切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項　
133　從圓外一點引圓的兩條割線　這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等　
134　如果兩個圓相切　那么切點一定在連心線上　
135　①兩圓外離d＞R+r　②兩圓外切　d=R+r　
③兩圓相交　R-r＜d＜R+r(R＞r)　
④兩圓內切　d=R-r(R＞r)　⑤兩圓內含d＜R-r(R＞r)　
136　相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦　
137　把圓分成n(n≥3):　
⑴依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形　
⑵經過各分點作圓的切線　以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形　
138　任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓　這兩個圓是同心圓　
139　正n邊形的每個內角都等于(n-2)×180°/n　
140　正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形　
141　正n邊形的面積Sn=pnrn/2　p表示正n邊形的周長　
142　正三角形面積√3a/4　a表示邊長　
143　如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角　由于這些角的和應為　360°　因此k×(n-2)180°/n=360°化為
(n-2)(k-2)=4　
144　弧長計算公式:L=n∏R/180　
145　扇形面積公式:S扇形=n∏R/360=LR/2　
146　內公切線長=　d-(R-r)　外公切線長=　d-(R+r)
第三章　例題講解
【例１】如圖10，平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC邊上的高AM=4，E為BC邊上的一個動點（不與B、C重合）．過E作直線AB的垂線，垂足為F．　FE與DC的延長線相交于點G，連結DE，DF。
（1）　求證：ΔBEF∽ΔCEG．
（2）　當點E在線段BC上運動時，△BEF和△CEG的周長之間有什么關系？并說明你的理由．
（3）設BE＝x，△DEF的面積為y，請你求出y和x之間的函數關系式，并求出當x為何值時，y有最大值，最大值是多少？
解析過程及每步分值
1） 因為四邊形ABCD是平行四邊形， 所以 1分
所以
所以 3分
（2）的周長之和為定值． 4分
理由一：
過點C作FG的平行線交直線AB于H ，
因為GF⊥AB，所以四邊形FHCG為矩形．所以 FH＝CG，FG＝CH
因此，的周長之和等于BC＋CH＋BH
由 BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得CH＝8，BH＝6，
所以BC＋CH＋BH＝24 6分
理由二：
由AB＝5，AM＝4，可知
在Rt△BEF與Rt△GCE中，有：
，
所以，△BEF的周長是， △ECG的周長是
又BE＋CE＝10，因此的周長之和是24． 6分
（3）設BE＝x，則
所以 8分
配方得：．
所以，當時，y有最大值． 9分
最大值為． 10分
【例２】如圖　二次函數y＝ax2＋bx＋c(a＞0)與坐標軸交于點A　B　C且OA＝1　OB＝OC＝3　．
（1）求此二次函數的解析式．
（2）寫出頂點坐標和對稱軸方程．
（3）點M　N在y＝ax2＋bx＋c的圖像上(點N在點M的右邊)　且MN∥x軸　求以MN為直徑且與x軸相切的圓的半徑．
解析過程及每步分值
（1）依題意分別代入 1分
解方程組得所求解析式為 4分
（2） 5分
頂點坐標，對稱軸 7分
（3）設圓半徑為，當在軸下方時，點坐標為 8分
把點代入得 9分
同理可得另一種情形
圓的半徑為或 10分
【例3】已知兩個關于的二次函數與當時，；且二次函數的圖象的對稱軸是直線．
（1）求的值；
（2）求函數的表達式；
（3）在同一直角坐標系內，問函數的圖象與的圖象是否有交點？請說明理由．
解析過程及每步分值
（1）由
得．
又因為當時，，即，
解得，或（舍去），故的值為．
（2）由，得，
所以函數的圖象的對稱軸為，
于是，有，解得，
所以．
（3）由，得函數的圖象為拋物線，其開口向下，頂點坐標為；
由，得函數的圖象為拋物線，其開口向上，頂點坐標為；
故在同一直角坐標系內，函數的圖象與的圖象沒有交點．
【例4】如圖,拋物線與x軸分別相交于點B、O,它的頂點為A,連接AB,把AB所的直線沿y軸向上平移,使它經過原點O,得到直線l,設P是直線l上一動點.
（1）求點A的坐標;
（2）以點A、B、O、P為頂點的四邊形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,請分別直接寫出這些特殊四邊形的頂點P的坐標;
（3）設以點A、B、O、P為頂點的四邊形的面積為S,點P的橫坐標為x,當時,求x的取值范圍.

解析過程及每步分值
解：（1）∵
∴A(-2,-4)
（2）四邊形ABP1O為菱形時，P1(-2,4)
四邊形ABOP2為等腰梯形時，P1()
四邊形ABP3O為直角梯形時，P1()
四邊形ABOP4為直角梯形時，P1()
（3）

由已知條件可求得AB所在直線的函數關系式是y=-2x-8,所以直線的函數關系式是y=-2x
①當點P在第二象限時，x<0,
△POB的面積
∵△AOB的面積，
∴
∵，
∴
即 ∴
∴x的取值范圍是
②當點P在第四象限是，x>0,
過點A、P分別作x軸的垂線，垂足為A′、P′
則四邊形POA′A的面積
∵△AA′B的面積
∴
∵，
∴ 即 ∴
∴x的取值范圍是
【例4】隨著綠城南寧近幾年城市建設的快速發展，對花木的需求量逐年提高。某園林專業戶計劃投資種植花卉及樹木，根據市場調查與預測，種植樹木的利潤與投資量成正比例關系，如圖①所示；種植花卉的利潤與投資量成二次函數關系，如圖②所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）
（1）分別求出利潤與關于投資量的函數關系式；
（2）如果這位專業戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲取的最大利潤是多少？
解析過程及每步分值
解：（1）設=,由圖①所示，函數=的圖像過（1，2），所以2=，
故利潤關于投資量的函數關系式是=；
因為該拋物線的頂點是原點，所以設=，由圖12-②所示，函數=的圖像過（2，2），
所以，
故利潤關于投資量的函數關系式是；
（2）設這位專業戶投入種植花卉萬元（），
則投入種植樹木（）萬元，他獲得的利潤是萬元，根據題意，得
=+==
當時，的最小值是14；
因為，所以
所以
所以
所以，即，此時
當時，的最大值是32.
【例5】如圖，已知 ，，現以A點為位似中心，相似比為9:4，將OB向右側放大，B點的對應點為C．
（1）求C點坐標及直線BC的解析式;
（2）一拋物線經過B、C兩點，且頂點落在x軸正半軸上，求該拋物線的解析式并畫出函數圖象;
（3）現將直線BC繞B點旋轉與拋物線相交與另一點P，請找出拋物線上所有滿足到直線AB距離為的點P．

解析過程及每步分值
解:（1）過C點向x軸作垂線，垂足為D，由位似圖形性質可知：
△ABO∽△ACD， ∴．
由已知，可知： ．
∴．∴C點坐標為．
直線BC的解析是為：
化簡得：
（2）設拋物線解析式為，由題意得： ，
解得：
∴解得拋物線解析式為或．
又∵的頂點在x軸負半軸上，不合題意，故舍去．
∴滿足條件的拋物線解析式為
（準確畫出函數圖象）
（3） 將直線BC繞B點旋轉與拋物線相交與另一點P，設P到 直線AB的距離為h，
故P點應在與直線AB平行，且相距的上下兩條平行直線和上．
由平行線的性質可得：兩條平行直線與y軸的交點到直線BC的距離也為．
如圖，設與y軸交于E點，過E作EF⊥BC于F點，
在Rt△BEF中，，
∴．∴可以求得直線與y軸交點坐標為
同理可求得直線與y軸交點坐標為
∴兩直線解析式；．
根據題意列出方程組： ⑴；⑵
∴解得：；；；
∴滿足條件的點P有四個，它們分別是，，，.
【例6】如圖，拋物線交軸于A、B兩點，交軸于M點.拋物線向右平移2個單位后得到拋物線，交軸于C、D兩點.
（1）求拋物線對應的函數表達式；
（2）拋物線或在軸上方的部分是否存在點N，使以A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形.若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點P是拋物線上的一個動點（P不與點A、B重合），那么點P關于原點的對稱點Q是否在拋物線上，請說明理由.

解析過程及每步分值
【例7】如圖，在矩形中，，，點是邊上的動點（點不與點，點重合），過點作直線，交邊于點，再把沿著動直線對折，點的對應點是點，設的長度為，與矩形重疊部分的面積為．
（1）求的度數；
（2）當取何值時，點落在矩形的邊上？
（3）①求與之間的函數關系式；
②當取何值時，重疊部分的面積等于矩形面積的？

解析過程及每步分值
解：（1）如圖，四邊形是矩形，．
又，，，
，．
，．
，．
（2）如圖1，由軸對稱的性質可知，，
，．
由（1）知，，
，．
，，．
在中，根據題意得：，
解這個方程得：．
（3）①當點在矩形的內部或邊上時，
，，
，當時，
當在矩形的外部時（如圖2），，
在中，，
，
又，，
在中，
，．
，
，
當時，．
綜上所述，與之間的函數解析式是：．
②矩形面積，當時，函數隨自變量的增大而增大，所以的最大值是，而矩形面積的的值，
而，所以，當時，的值不可能是矩形面積的；
當時，根據題意，得：
，解這個方程，得，因為，
所以不合題意，舍去．
所以．
綜上所述，當時，與矩形重疊部分的面積等于矩形面積的．
第四章　興趣練習
4.1　代數部分
1. 已知：拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C． 其中點A在x軸的負半軸上，點C在y軸的負半軸上，線段OA、OC的長（OA（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）求此拋物線的解析式；
（3）若點D是線段AB上的一個動點（與點A、B不重合），過點D作DE∥BC交AC于點E，連結CD，設BD的長為m，△CDE的面積為S，求S與m的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此時D點坐標；若不存在，請說明理由．
2. 已知，如圖1，過點作平行于軸的直線，拋物線上的兩點的橫坐標分別為1和4，直線交軸于點，過點分別作直線的垂線，垂足分別為點、，連接．
（1）求點的坐標；
（2）求證：；
（3）點是拋物線對稱軸右側圖象上的一動點，過點作交軸于點，是否存在點使得與相似？若存在，請求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
3. 已知矩形紙片的長為4，寬為3，以長所在的直線為軸，為坐標原點建
立平面直角坐標系；點是邊上的動點（與點不重合），現將沿翻折
得到，再在邊上選取適當的點將沿翻折，得到，使得
直線重合．
（1）若點落在邊上，如圖①，求點的坐標，并求過此三點的拋物線的函數關系式；
（2）若點落在矩形紙片的內部，如圖②，設當為何值時，取得最大值？
（3）在（1）的情況下，過點三點的拋物線上是否存在點使是以為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點的坐標．
4. 如圖，已知拋物線交軸于A、B兩點，交軸于點C，拋物線的對稱軸交軸于點E，點B的坐標為（，0）．
（1）求拋物線的對稱軸及點A的坐標；
（2）在平面直角坐標系中是否存在點P，與A、B、C三點構成一個平行四邊形？若存在，請寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）連結CA與拋物線的對稱軸交于點D，在拋物線上是否存在點M，使得直線CM把四邊形DEOC分成面積相等的兩部分？若存在，請求出直線CM的解析式；若不存在，請說明理由．
5. 如圖①， 已知拋物線（a≠0）與軸交于點A（1，0）和點B（－3，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線的對稱軸與軸交于點M，問在對稱軸上是否存在點P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）如圖②，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標．
二、動態幾何
6. 如圖，在梯形中，厘米，厘米，的坡度動點從出發以2厘米/秒的速度沿方向向點運動，動點從點出發以3厘米/秒的速度沿方向向點運動，兩個動點同時出發，當其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止．設動點運動的時間為秒．
（1）求邊的長；
（2）當為何值時，與相互平分；
（3）連結設的面積為探求與的函數關系式，求為何值時，有最大值？最大值是多少？
7. 已知：直線與軸交于A，與軸交于D，拋物線與直線交于A、E兩點，與軸交于B、C兩點，且B點坐標為 （1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）動點P在軸上移動，當△PAE是直角三角形時，求點P的坐標．
（3）在拋物線的對稱軸上找一點M，使的值最大，求出點M的坐標．
8. 已知：拋物線的對稱軸為與軸交于兩點，與軸交于點其中、
（1）求這條拋物線的函數表達式．
（2）已知在對稱軸上存在一點P，使得的周長最小．請求出點P的坐標．
（3）若點是線段上的一個動點（不與點O、點C重合）．過點D作交軸于點連接、．設的長為，的面積為．求與之間的函數關系式．試說明是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．
9. 如圖1，已知拋物線經過坐標原點和軸上另一點，頂點的坐標為；矩形的頂點與點重合，分別在軸、軸上，且，．
（1）求該拋物線所對應的函數關系式；
（2）將矩形以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿軸的正方向勻速平行移動，同時一動點也以相同的速度從點出發向勻速移動．設它們運動的時間為秒（），直線與該拋物線的交點為（如圖2所示）．
①當時，判斷點是否在直線上，并說明理由；
②設以為頂點的多邊形面積為，試問是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．
10. 已知拋物線：．
（1）求拋物線的頂點坐標．
（2）將拋物線向右平移2個單位，再向上平移1個單位，得到拋物線，求拋物線的解析式．
（3）如下圖，拋物線的頂點為P，軸上有一動點M，在、這兩條拋物線上是否存在點N，使O（原點）、P、M、N四點構成以OP為一邊的平行四邊形，若存在，求出N點的坐標；若不存在，請說明理由．
【提示：拋物線（）的對稱軸是頂點坐標是】
11. 如圖，已知拋物線C1：的頂點為P，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊），點B的橫坐標是1．
（1）求P點坐標及a的值；（4分）
（2）如圖（1），拋物線C2與拋物線C1關于x軸對稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，C3的頂點為M，當點P、M關于點B成中心對稱時，求C3的解析式；（4分）
（3）如圖（2），點Q是x軸正半軸上一點，將拋物線C1繞點Q旋轉180°后得到拋物線C4．拋物線C4的頂點為N，與x軸相交于E、F兩點（點E在點F的左邊），當以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，求點Q的坐標．（5分）
12. 如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形的三個頂點、、．拋物線過兩點．
（1）直接寫出點的坐標，并求出拋物線的解析式；
（2）動點從點出發，沿線段向終點運動，同時點從點出發，沿線段向終點運動，速度均為每秒1個單位長度，運動時間為秒．過點作交于點．
①過點作于點，交拋物線于點．當為何值時，線段最長？
②連接．在點運動的過程中，判斷有幾個時刻使得是等腰三角形？
請直接寫出相應的值．
13. 如圖1，已知正比例函數和反比例函數的圖像都經過點M（－2，），且P（，－2）為雙曲線上的一點，Q為坐標平面上一動點，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B．
（1）寫出正比例函數和反比例函數的關系式；
（2）當點Q在直線MO上運動時，直線MO上是否存在這樣的點Q，使得△OBQ與△OAP面積相等？如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由；
（3）如圖2，當點Q在第一象限中的雙曲線上運動時，作以OP、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值．


14. 如圖，矩形ABCD中，AB = 6cm，AD = 3cm，點E在邊DC上，且DE = 4cm．動點P從點A開始沿著A→B→C→E的路線以2cm/s的速度移動，動點Q從點A開始沿著AE以1cm/s的速度移動，當點Q移動到點E時，點P停止移動．若點P、Q從點A同時出發，設點Q移動時間為t（s），P、Q兩點運動路線與線段PQ圍成的圖形面積為S（cm2），求S與t的函數關系式．
15. 如圖，已知二次函數的圖象與軸相交于兩個不同的點
、，與軸的交點為．設的外接圓的圓心為點．
（1）求與軸的另一個交點D的坐標；
（2）如果恰好為的直徑，且的面積等于，求和的值．
16. 如圖，點坐標分別為（4，0）、（0，8），點是線段上一動點，點在軸正半軸上，四邊形是矩形，且．設，矩形與重合部分的面積為．根據上述條件，回答下列問題：
（1）當矩形的頂點在直線上時，求的值；
（2）當時，求的值；
（3）直接寫出與的函數關系式；（不必寫出解題過程）
（4）若，則 ．
17. 直線與坐標軸分別交于兩點，動點同時從點出發，同時到達點，運動停止．點沿線段 運動，速度為每秒1個單位長度，點沿路線→→運動．
（1）直接寫出兩點的坐標；
（2）設點的運動時間為秒，的面積為，求出與之間的函數關系式；
（3）當時，求出點的坐標，并直接寫出以點為頂點的平行四邊形的第四個頂點的坐標．
18. 如圖1，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內部的線段的長度叫△ABC的“鉛垂高”（h）．我們可得出一種計算三角形面積的新方法：，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半．
解答下列問題：
如圖2，拋物線頂點坐標為點C（1，4），交x軸于點A（3，0），交y軸于點B．
（1）求拋物線和直線AB的解析式；
（2） 求△CAB的鉛垂高CD及；
（3） 設點P是拋物線（在第一象限內）上的一個動點，是否存在一點P，使S△PAB=S△CAB，若存在，
求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．
19. 如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標分別為點在軸上．已知某二次函數的圖象經過、、三點，且它的對稱軸為直線點為直線下方的二次函數圖象上的一個動點（點與、不重合），過點作軸的平行線交于點
（1）求該二次函數的解析式；
（2）若設點的橫坐標為用含的代數式表示線段的長．
（3）求面積的最大值，并求此時點的坐標．
20. 如圖所示，菱形的邊長為6厘米，．從初始時刻開始，點、同時從點出發，點以1厘米/秒的速度沿的方向運動，點以2厘米/秒的速度沿的方向運動，當點運動到點時，、兩點同時停止運動，設、運動的時間為秒時，與重疊部分的面積為平方厘米（這里規定：點和線段是面積為的三角形），解答下列問題：
（1）點、從出發到相遇所用時間是 秒；
（2）點、從開始運動到停止的過程中，當是等邊三角形時的值是 秒；
（3）求與之間的函數關系式．
21. 定義一種變換：平移拋物線得到拋物線，使經過的頂點．設的對稱軸分別交于點，點是點關于直線的對稱點．
（1）如圖1，若：，經過變換后，得到：，點的坐標為，則①的值等于______________；
②四邊形為（ ）
A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
（2）如圖2，若：，經過變換后，點的坐標為，求的面積；
（3）如圖3，若：，經過變換后，，點是直線上的動點，求點到點的距離和到直線的距離之和的最小值．
22. 如圖，已知直線交坐標軸于兩點，以線段為邊向上作正方形，過點的拋物線與直線另一個交點為．
（1）請直接寫出點的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）若正方形以每秒個單位長度的速度沿射線下滑，直至頂點落在軸上時停止．設正方形落在軸下方部分的面積為，求關于滑行時間的函數關系式，并寫出相應自變量的取值范圍；
（4）在（3）的條件下，拋物線與正方形一起平移，同時停止，求拋物線上兩點間的拋物線弧所掃過的面積．
23. 如圖，點坐標分別為（4，0）、（0，8），點是線段上一動點，點在軸正半軸上，四邊形是矩形，且．設，矩形與重合部分的面積為．根據上述條件，回答下列問題：
（1）當矩形的頂點在直線上時，求的值；
（2）當時，求的值；
（3）直接寫出與的函數關系式；（不必寫出解題過程）
（4）若，則 ．
24. 如圖所示，某校計劃將一塊形狀為銳角三角形的空地進行生態環境改造．已知的邊長120米，高長80米．學校計劃將它分割成、、和矩形四部分（如圖）．其中矩形的一邊在邊上，其余兩個頂點、分別在邊、上．現計劃在上種草，每平米投資6元；在、上都種花，每平方米投資10元；在矩形上興建愛心魚池，每平方米投資4元．
（1）當長為多少米時，種草的面積與種花的面積相等？
（2）當矩形的邊為多少米時，空地改造總投資最小？最小值為多少？
25. 已知：是方程的兩個實數根，且，拋物線的圖象經過點．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）設點是拋物線上一動點，且位于第三象限，四邊形是以為對角線的平行四邊形，求的面積與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當的面積為24時，是否存在這樣的點，使為正方形？若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由．
26. 如圖，拋物線經過三點．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）P是拋物線上一動點，過P作軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A，P，M為頂點的三角形與相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在直線AC上方的拋物線上有一點D，使得的面積最大，求出點D的坐標．
27. 如圖，在平面直角坐標系中，半徑為1的圓的圓心在坐標原點，且與兩坐標軸分別交于四點．拋物線與軸交于點，與直線交于點，且分別與圓相切于點和點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸交軸于點，連結，并延長交圓于，求的長．
（3）過點作圓的切線交的延長線于點，判斷點是否在拋物線上，說明理由．
28. 如圖1，已知：拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，經過兩點的直線是，連結．
（1）兩點坐標分別為（_____，_____）、（_____，_____），拋物線的函數關系式為______________；
（2）判斷的形狀，并說明理由；
（3）若內部能否截出面積最大的矩形（頂點在各邊上）？若能，求出在邊上的矩形頂點的坐標；若不能，請說明理由．
[拋物線的頂點坐標是]
29. 已知：如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=2，OC=3．過原點O作∠AOC的平分線交AB于點D，連接DC，過點D作DE⊥DC，交OA于點E．
（1）求過點E、D、C的拋物線的解析式；
（2）將∠EDC繞點D按順時針方向旋轉后，角的一邊與y軸的正半軸交于點F，另一邊與線段OC交于點G．如果DF與（1）中的拋物線交于另一點M，點M的橫坐標為，那么EF=2GO是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
（3）對于（2）中的點G，在位于第一象限內的該拋物線上是否存在點Q，使得直線GQ與AB的交點P與點C、G構成的△PCG是等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
30. 如圖所示，將矩形沿折疊，使點恰好落在上處，以為邊作正方形，延長至，使，再以、為邊作矩形．
（1）試比較、的大小，并說明理由．
（2）令，請問是否為定值？若是，請求出的值；若不是，請說明理由．
（3）在（2）的條件下，若為上一點且，拋物線經過、兩點，請求出此拋物線的解析式．
（4）在（3）的條件下，若拋物線與線段交于點，試問在直線上是否存在點，使得以、、為頂點的三角形與相似？若存在，請求直線與軸的交點的坐標；若不存在，請說明理由．4.2　幾何部分
經典難題（一）
1、已知：如圖，O是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．
求證：CD＝GF．
2、已知：如圖，P是正方形ABCD內點，∠PAD＝∠PDA＝150．
求證：△PBC是正三角形．
3、如圖，已知四邊形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分別是AA1、BB1、CC1、DD1的中點．
求證：四邊形A2B2C2D2是正方形．
4、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，M、N分別是AB、CD的中點，AD、BC的延長線交MN于E、F．
求證：∠DEN＝∠F．
經典難題（二）
1、已知：△ABC中，H為垂心（各邊高線的交點），O為外心，且OM⊥BC于M．
　（1）求證：AH＝2OM；
　（2）若∠BAC＝600，求證：AH＝AO．
2、設MN是圓O外一直線，過O作OA⊥MN于A，自A引圓的兩條直線，交圓于B、C及D、E，直線EB及CD分別交MN于P、Q．
求證：AP＝AQ．
3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內，則由此可得以下命題：
設MN是圓O的弦，過MN的中點A任作兩弦BC、DE，設CD、EB分別交MN于P、Q．
求證：AP＝AQ．
4、如圖，分別以△ABC的AC和BC為一邊，在△ABC的外側作正方形ACDE和正方形CBFG，點P是EF的中點．
求證：點P到邊AB的距離等于AB的一半．（初二）
經典難題（三）
1、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE與CD相交于F．
求證：CE＝CF．（初二）
2、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直線EC交DA延長線于F．
求證：AE＝AF．（初二）
3、設P是正方形ABCD一邊BC上的任一點，PF⊥AP，CF平分∠DCE．
求證：PA＝PF．（初二）
4、如圖，PC切圓O于C，AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線PO相交于B、D．求證：AB＝DC，BC＝AD．（初三）
經典難題（四）
1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形內一點，PA＝3，PB＝4，PC＝5．
求：∠APB的度數．（初二）
2、設P是平行四邊形ABCD內部的一點，且∠PBA＝∠PDA．
求證：∠PAB＝∠PCB．（初二）
3、Ptolemy（托勒密）定理：設ABCD為圓內接凸四邊形，求證：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．
　（初三）
4、平行四邊形ABCD中，設E、F分別是BC、AB上的一點，AE與CF相交于P，且
AE＝CF．求證：∠DPA＝∠DPC．（初二）
經典難題（五）
1、設P是邊長為1的正△ABC內任一點，l＝PA＋PB＋PC，求證：≤l＜2．
　
　
　
　
2、已知：P是邊長為1的正方形ABCD內的一點，求PA＋PB＋PC的最小值．
　
　
　
　
　
3、P為正方形ABCD內的一點，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的邊長．
?
　
　　
4、如圖，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分別是AB、AC上的點，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度數．
　
　　
第五章　復習提綱
初中數學總復習提綱
實數
★重點★ 實數的有關概念及性質，實數的運算
☆內容提要☆
重要概念
1．數的分類及概念
數系表：
說明：“分類”的原則：1）相稱（不重、不漏）
2）有標準
2．非負數：正實數與零的統稱。（表為：x≥0）
常見的非負數有：
性質：若干個非負數的和為0，則每個非負擔數均為0。
3．倒數： ①定義及表示法
②性質：A.a≠1/a（a≠±1）;B.1/a中，a≠0;C.0＜a＜1時1/a＞1;a＞1時，1/a＜1;D.積為1。
4．相反數： ①定義及表示法
②性質：A.a≠0時，a≠-a;B.a與-a在數軸上的位置;C.和為0,商為-1。
5．數軸：①定義（“三要素”）
②作用：A.直觀地比較實數的大小;B.明確體現絕對值意義;C.建立點與實數的一一對應關系。
6．奇數、偶數、質數、合數（正整數—自然數）
定義及表示：
奇數：2n-1
偶數：2n（n為自然數）
7．絕對值：①定義（兩種）：
代數定義：
幾何定義：數a的絕對值頂的幾何意義是實數a在數軸上所對應的點到原點的距離。
②│a│≥0,符號“││”是“非負數”的標志;③數a的絕對值只有一個;④處理任何類型的題目，只要其中有“││”出現，其關鍵一步是去掉“││”符號。
實數的運算
運算法則（加、減、乘、除、乘方、開方）
運算定律（五個—加法[乘法]交換律、結合律;[乘法對加法的]
分配律）
運算順序：A.高級運算到低級運算;B.（同級運算）從“左”
到“右”（如5÷×5）;C.(有括號時)由“小”到“中”到“大”。
應用舉例（略）
附：典型例題
已知：a、b、x在數軸上的位置如下圖，求證：│x-a│+│x-b│
=b-a.
2.已知：a-b=-2且ab<0，（a≠0，b≠0），判斷a、b的符號。
第二章 代數式
★重點★代數式的有關概念及性質，代數式的運算
☆內容提要☆
重要概念
分類：

1.代數式與有理式
用運算符號把數或表示數的字母連結而成的式子，叫做代數式。單獨
的一個數或字母也是代數式。
整式和分式統稱為有理式。
2.整式和分式
含有加、減、乘、除、乘方運算的代數式叫做有理式。
沒有除法運算或雖有除法運算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。
有除法運算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。
3.單項式與多項式
沒有加減運算的整式叫做單項式。（數字與字母的積—包括單獨的一個數或字母）
幾個單項式的和，叫做多項式。
說明：①根據除式中有否字母，將整式和分式區別開;根據整式中有否加減運算，把單項式、多項式區分開。②進行代數式分類時，是以所給的代數式為對象，而非以變形后的代數式為對象。劃分代數式類別時，是從外形來看。如，
=x,=│x│等。
4.系數與指數
區別與聯系：①從位置上看;②從表示的意義上看
5.同類項及其合并
條件：①字母相同;②相同字母的指數相同
合并依據：乘法分配律
6.根式
表示方根的代數式叫做根式。
含有關于字母開方運算的代數式叫做無理式。
注意：①從外形上判斷;②區別：、是根式，但不是無理式（是無理數）。
7.算術平方根
⑴正數a的正的平方根（[a≥0—與“平方根”的區別]）;
⑵算術平方根與絕對值
聯系：都是非負數，=│a│
②區別：│a│中，a為一切實數;中，a為非負數。
8.同類二次根式、最簡二次根式、分母有理化
化為最簡二次根式以后，被開方數相同的二次根式叫做同類二次根式。
滿足條件：①被開方數的因數是整數，因式是整式;②被開方數中不含有開得盡方的因數或因式。
把分母中的根號劃去叫做分母有理化。
9.指數
⑴ (—冪，乘方運算)
a＞0時，＞0;②a＜0時，＞0（n是偶數），＜0（n是奇數）
⑵零指數：=1（a≠0）
負整指數：=1/（a≠0,p是正整數）
運算定律、性質、法則
1．分式的加、減、乘、除、乘方、開方法則
2．分式的性質
⑴基本性質：=（m≠0）
⑵符號法則：
⑶繁分式：①定義;②化簡方法（兩種）
3．整式運算法則（去括號、添括號法則）
4．冪的運算性質：①·=;②÷=;③=;④=;⑤
技巧：
5．乘法法則：⑴單×單;⑵單×多;⑶多×多。
6．乘法公式：（正、逆用）
（a+b）（a-b）=
(a±b)=
7．除法法則：⑴單÷單;⑵多÷單。
8．因式分解：⑴定義;⑵方法：A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分組分解法;E.求根公式法。
9．算術根的性質：＝;;(a≥0,b≥0);(a≥0,b＞0)(正用、逆用)
10．根式運算法則：⑴加法法則（合并同類二次根式）;⑵乘、除法法則;⑶分母有理化：A.;B.;C..
11．科學記數法：（1≤a＜10,n是整數＝
應用舉例（略）
數式綜合運算（略）
第三章 統計初步
★重點★
內容提要☆
重要概念
1.總體：考察對象的全體。
2.個體：總體中每一個考察對象。
3.樣本：從總體中抽出的一部分個體。
4.樣本容量：樣本中個體的數目。
5.眾數：一組數據中，出現次數最多的數據。
6.中位數：將一組數據按大小依次排列，處在最中間位置的一個數（或最中間位置的兩個數據的平均數）
計算方法
1.樣本平均數：⑴;⑵若，，…，,則(a—常數，，，…，接近較整的常數a);⑶加權平均數：;⑷平均數是刻劃數據的集中趨勢（集中位置）的特征數。通常用樣本平均數去估計總體平均數，樣本容量越大，估計越準確。
2．樣本方差：⑴;⑵若,,…,,則（a—接近、、…、的平均數的較“整”的常數）;若、、…、較“小”較“整”，則;⑶樣本方差是刻劃數據的離散程度（波動大小）的特征數，當樣本容量較大時，樣本方差非常接近總體方差，通常用樣本方差去估計總體方差。
3．樣本標準差：
應用舉例（略）
第四章 直線形
★重點★相交線與平行線、三角形、四邊形的有關概念、判定、性質。
內容提要☆
直線、相交線、平行線
1．線段、射線、直線三者的區別與聯系
從“圖形”、“表示法”、“界限”、“端點個數”、“基本性質”等方面加以分析。
2．線段的中點及表示
3．直線、線段的基本性質（用“線段的基本性質”論證“三角形兩邊之和大于第三邊”）
4．兩點間的距離（三個距離：點-點;點-線;線-線）
5．角（平角、周角、直角、銳角、鈍角）
6．互為余角、互為補角及表示方法
7．角的平分線及其表示
8．垂線及基本性質（利用它證明“直角三角形中斜邊大于直角邊”）
9．對頂角及性質
10．平行線及判定與性質（互逆）（二者的區別與聯系）
11．常用定理：①同平行于一條直線的兩條直線平行（傳遞性）;②同垂直于一條直線的兩條直線平行。
12．定義、命題、命題的組成
13．公理、定理
14．逆命題
三角形
分類：⑴按邊分;
⑵按角分
1．定義（包括內、外角）
2．三角形的邊角關系：⑴角與角：①內角和及推論;②外角和;③n邊形內角和;④n邊形外角和。⑵邊與邊：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。⑶角與邊：在同一三角形中，
3．三角形的主要線段
討論：①定義②××線的交點—三角形的×心③性質
高線②中線③角平分線④中垂線⑤中位線
⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等邊三角形
4．特殊三角形（直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形）的判定與性質
5．全等三角形
⑴一般三角形全等的判定（SAS、ASA、AAS、SSS）
⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②專用方法
6．三角形的面積
⑴一般計算公式⑵性質：等底等高的三角形面積相等。
7．重要輔助線
⑴中點配中點構成中位線;⑵加倍中線;⑶添加輔助平行線
8．證明方法
⑴直接證法：綜合法、分析法
⑵間接證法—反證法：①反設②歸謬③結論
⑶證線段相等、角相等常通過證三角形全等
⑷證線段倍分關系：加倍法、折半法
⑸證線段和差關系：延結法、截余法
⑹證面積關系：將面積表示出來
四邊形
分類表：
1．一般性質（角）
⑴內角和：360°
⑵順次連結各邊中點得平行四邊形。
推論1：順次連結對角線相等的四邊形各邊中點得菱形。
推論2：順次連結對角線互相垂直的四邊形各邊中點得矩形。
⑶外角和：360°
2．特殊四邊形
⑴研究它們的一般方法:
⑵平行四邊形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定義、性質和判定
⑶判定步驟：四邊形→平行四邊形→矩形→正方形
┗→菱形──↑
⑷對角線的紐帶作用：
3．對稱圖形
⑴軸對稱（定義及性質）;⑵中心對稱（定義及性質）
4．有關定理：①平行線等分線段定理及其推論1、2
②三角形、梯形的中位線定理
③平行線間的距離處處相等。（如，找下圖中面積相等的三角形）
5．重要輔助線：①常連結四邊形的對角線;②梯形中常“平移一腰”、“平移對角線”、“作高”、“連結頂點和對腰中點并延長與底邊相交”轉化為三角形。
6．作圖：任意等分線段。
應用舉例（略）
第五章 方程（組）
★重點★一元一次、一元二次方程，二元一次方程組的解法;方程的有關應用題（特別是行程、工程問題）
內容提要☆
基本概念
1．方程、方程的解（根）、方程組的解、解方程（組）
分類：
解方程的依據—等式性質
1．a=b←→a+c=b+c
2．a=b←→ac=bc (c≠0)
解法
1．一元一次方程的解法：去分母→去括號→移項→合并同類項→
系數化成1→解。
元一次方程組的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法
②加減法
一元二次方程
1．定義及一般形式：
2．解法：⑴直接開平方法（注意特征）
⑵配方法（注意步驟—推倒求根公式）
⑶公式法：
⑷因式分解法（特征：左邊=0）
3．根的判別式：
4．根與系數頂的關系：
逆定理：若，則以為根的一元二次方程是：。
5．常用等式：

可化為一元二次方程的方程
1．分式方程
⑴定義
⑵基本思想：
⑶基本解法：①去分母法②換元法（如，）
⑷驗根及方法
2．無理方程
⑴定義
⑵基本思想：
⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②換元法（例，）⑷驗根及方法
3．簡單的二元二次方程組
由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組都可用代入法解。
列方程（組）解應用題
㈠概述
列方程（組）解應用題是中學數學聯系實際的一個重要方面。其具體步驟是：
⑴審題。理解題意。弄清問題中已知量是什么，未知量是什么，問題給出和涉及的相等關系是什么。
⑵設元（未知數）。①直接未知數②間接未知數（往往二者兼用）。一般來說，未知數越多，方程越易列，但越難解。
⑶用含未知數的代數式表示相關的量。
⑷尋找相等關系（有的由題目給出，有的由該問題所涉及的等量關系給出），列方程。一般地，未知數個數與方程個數是相同的。
⑸解方程及檢驗。
⑹答案。
綜上所述，列方程（組）解應用題實質是先把實際問題轉化為數學問題（設元、列方程），在由數學問題的解決而導致實際問題的解決（列方程、寫出答案）。在這個過程中，列方程起著承前啟后的作用。因此，列方程是解應用題的關鍵。
㈡常用的相等關系
行程問題（勻速運動）
基本關系：s=vt
⑴相遇問題(同時出發)：
+=;
⑵追及問題（同時出發）：
若甲出發t小時后，乙才出發，而后在B處追上甲，則
⑶水中航行：;
配料問題：溶質=溶液×濃度
溶液=溶質+溶劑
3．增長率問題：
4．工程問題：基本關系：工作量=工作效率×工作時間（常把工作量看著單位“1”）。
5．幾何問題：常用勾股定理，幾何體的面積、體積公式，相似形及有關比例性質等。
㈢注意語言與解析式的互化
如，“多”、“少”、“增加了”、“增加為（到）”、“同時”、“擴大為（到）”、“擴大了”、……
又如，一個三位數，百位數字為a，十位數字為b，個位數字為c，則這個三位數為：100a+10b+c，而不是abc。
㈣注意從語言敘述中寫出相等關系。
如，x比y大3，則x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x與y的差為3，則x-y=3。㈤注意單位換算
如，“小時”“分鐘”的換算;s、v、t單位的一致等。
七、應用舉例（略）
第六章 一元一次不等式（組）
★重點★一元一次不等式的性質、解法
內容提要☆
定義：a＞b、a＜b、a≥b、a≤b、a≠b。
一元一次不等式：ax＞b、ax＜b、ax≥b、ax≤b、ax≠b(a≠0)。
一元一次不等式組：
不等式的性質：⑴a>b←→a+c>b+c
⑵a>b←→ac>bc(c>0)
⑶a>b←→ac⑷（傳遞性）a>b,b>c→a>c
⑸a>b,c>d→a+c>b+d.
5．一元一次不等式的解、解一元一次不等式
6．一元一次不等式組的解、解一元一次不等式組（在數軸上表示解集）
7．應用舉例（略）
第七章 相似形
★重點★相似三角形的判定和性質
☆內容提要☆
一、本章的兩套定理
第一套（比例的有關性質）：
涉及概念：①第四比例項②比例中項③比的前項、后項，比的內項、外項④黃金分割等。
第二套：
注意：①定理中“對應”二字的含義;
②平行→相似（比例線段）→平行。
二、相似三角形性質
1．對應線段…;2．對應周長…;3．對應面積…。
三、相關作圖
①作第四比例項;②作比例中項。
四、證（解）題規律、輔助線
1．“等積”變“比例”，“比例”找“相似”。
2．找相似找不到，找中間比。方法：將等式左右兩邊的比表示出來。⑴
⑵
⑶
3．添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。
4．對比例問題，常用處理方法是將“一份”看著k;對于等比問題，常用處理辦法是設“公比”為k。
5．對于復雜的幾何圖形，采用將部分需要的圖形（或基本圖形）“抽”出來的辦法處理。
應用舉例（略）
第八章 函數及其圖象
★重點★正、反比例函數，一次、二次函數的圖象和性質。
內容提要☆
一、平面直角坐標系
1．各象限內點的坐標的特點
2．坐標軸上點的坐標的特點
3．關于坐標軸、原點對稱的點的坐標的特點
4．坐標平面內點與有序實數對的對應關系
二、函數
1．表示方法：⑴解析法;⑵列表法;⑶圖象法。
2．確定自變量取值范圍的原則：⑴使代數式有意義;⑵使實際問題有
意義。
3．畫函數圖象：⑴列表;⑵描點;⑶連線。
三、幾種特殊函數
（定義→圖象→性質）
正比例函數
⑴定義：y=kx(k≠0) 或y/x=k。
⑵圖象：直線（過原點）
⑶性質：①k>0，…②k<0，…
一次函數
⑴定義：y=kx+b(k≠0)
⑵圖象：直線過點（0,b）—與y軸的交點和（-b/k,0）—與x軸的交點。

⑶性質：①k>0,…②k<0,…
⑷圖象的四種情況：
二次函數
⑴定義：

特殊地，都是二次函數。
⑵圖象：拋物線（用描點法畫出：先確定頂點、對稱軸、開口方向，再對稱地描點）。用配方法變為，則頂點為（h,k）;對稱軸為直線x=h;a>0時，開口向上;a<0時，開口向下。
⑶性質：a>0時，在對稱軸左側…，右側…;a<0時，在對稱軸左側…，右側…。
4.反比例函數
⑴定義：或xy=k(k≠0)。
⑵圖象：雙曲線（兩支）—用描點法畫出。
⑶性質：①k>0時，圖象位于…，y隨x…;②k<0時，圖象位于…，y隨x…;③兩支曲線無限接近于坐標軸但永遠不能到達坐標軸。
四、重要解題方法
用待定系數法求解析式（列方程[組]求解）。對求二次函數的解析式，要合理選用一般式或頂點式，并應充分運用拋物線關于對稱軸對稱的特點，尋找新的點的坐標。如下圖：
2．利用圖象一次（正比例）函數、反比例函數、二次函數中的k、b;a、b、c的符號。
六、應用舉例（略）
第九章 解直角三角形
★重點★解直角三角形
內容提要☆
一、三角函數
1．定義：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，則sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA= .
特殊角的三角函數值：
0°
30°
45°
60°
90°
sinα
cosα
tgα
/
ctgα
/
互余兩角的三角函數關系：sin(90°-α)=cosα;…
三角函數值隨角度變化的關系
5．查三角函數表
二、解直角三角形
定義：已知邊和角（兩個，其中必有一邊）→所有未知的邊和角。
依據：①邊的關系：
②角的關系：A+B=90°
③邊角關系：三角函數的定義。
注意：盡量避免使用中間數據和除法。
三、對實際問題的處理
俯、仰角： 2．方位角、象限角： 3．坡度：
4．在兩個直角三角形中，都缺解直角三角形的條件時，可用列方程的辦法解決。
四、應用舉例（略）
第十章 圓
★重點★①圓的重要性質;②直線與圓、圓與圓的位置關系;③與圓有關的角的定理;④與圓有關的比例線段定理。
內容提要☆
一、圓的基本性質
1．圓的定義（兩種）
2．有關概念：弦、直徑;弧、等弧、優弧、劣弧、半圓;弦心距;等圓、同圓、同心圓。
3．“三點定圓”定理
4．垂徑定理及其推論
5．“等對等”定理及其推論
與圓有關的角：⑴圓心角定義（等對等定理）
⑵圓周角定義（圓周角定理，與圓心角的關系）
⑶弦切角定義（弦切角定理）
二、直線和圓的位置關系
1.三種位置及判定與性質：
2.切線的性質（重點）
3.切線的判定定理（重點）。圓的切線的判定有⑴…⑵…
4．切線長定理
三、圓換圓的位置關系
1.五種位置關系及判定與性質：(重點：相切)


2.相切（交）兩圓連心線的性質定理
3.兩圓的公切線：⑴定義⑵性質
四、與圓有關的比例線段
1.相交弦定理
2.切割線定理
五、與和正多邊形
1.圓的內接、外切多邊形（三角形、四邊形）
2.三角形的外接圓、內切圓及性質
3.圓的外切四邊形、內接四邊形的性質
4.正多邊形及計算
中心角：
內角的一半：(右圖)
（解Rt△OAM可求出相關元素,、等）
一組計算公式
1.圓周長公式
2.圓面積公式
3.扇形面積公式
4.弧長公式
5.弓形面積的計算方法
6.圓柱、圓錐的側面展開圖及相關計算
點的軌跡
六條基本軌跡
有關作圖
1.作三角形的外接圓、內切圓
2.平分已知弧
3.作已知兩線段的比例中項
4.等分圓周：4、8;6、3等分
基本圖形

重要輔助線
1.作半徑
2.見弦往往作弦心距
3.見直徑往往作直徑上的圓周角
4.切點圓心莫忘連
5.兩圓相切公切線（連心線）
6.兩圓相交公共弦

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