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2．1.1　合情推理
預習課本P70～77，思考并完成下列問題
(1)歸納推理的含義是什么？有怎樣的特征？
　
　
　
(2)類比推理的含義是什么？有怎樣的特征？
　
　
　
(3)合情推理的含義是什么？
　
　
　
1．歸納推理和類比推理
[點睛]　(1)歸納推理與類比推理的共同點：都是從具體事實出發，推斷猜想新的結論．
(2)歸納推理的前提和結論之間的聯系不是必然的，結論不一定正確；而類比推理的結果具有猜測性，不一定可靠，因此不一定正確．
2．合情推理
1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)統計學中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計總體，這種估計屬于歸納推理．(　　)
(2)類比推理得到的結論可以作為定理應用．(　　)
(3)由個別到一般的推理為歸納推理．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√
2．已知扇形的弧長為l，半徑為r，類比三角形的面積公式S＝，可推知扇形的面積S扇＝(　　)
A.　　　　　　　　　
B.
C.
D．不可類比
答案：C
3．由“若a＞b，則a＋c＞b＋c”得到“若a＞b，則ac＞bc”采用的是(　　)
A．歸納推理　　　　　
　B．演繹推理
C．類比推理
D．數學證明
答案：C
4．數列5,9,17,33，x，…中的x等于________．
答案：65
歸納推理在數、式中的應用
[典例]　(1)已知下列各式：
1>，
1＋＋>1，
1＋＋＋＋＋＋>，
1＋＋＋…＋>2，
…，
請你歸納出一般性結論：______________.
(2)已知f(x)＝，設f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n＞1，且n∈N
)，則f3(x)的表達式為________，猜想fn(x)(n∈N
)的表達式為________．
[解析]　(1)觀察不等式左邊，各項分母從1開始依次增大1，且終止項為2n－1，不等式右邊依次為，，，，…，從而歸納得出一般結論：1＋＋＋…＋>.
(2)∵f(x)＝，∴f1(x)＝.
又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，
∴f2(x)＝f1(f1(x))＝＝，
f3(x)＝f2(f2(x))＝＝，
f4(x)＝f3(f3(x))＝＝，
f5(x)＝f4(f4(x))＝＝，
∴根據前幾項可以猜想fn(x)＝.
[答案]　(1)1＋＋＋…＋>
(2)f3(x)＝　fn(x)＝
1．已知等式或不等式進行歸納推理的方法
(1)要特別注意所給幾個等式(或不等式)中項數和次數等方面的變化規律；
(2)要特別注意所給幾個等式(或不等式)中結構形式的特征；
(3)提煉出等式(或不等式)的綜合特點；
(4)運用歸納推理得出一般結論．
2．數列中的歸納推理
在數列問題中，常常用到歸納推理猜測數列的通項公式或前n項和．
(1)通過已知條件求出數列的前幾項或前n項和；
(2)根據數列中的前幾項或前n項和與對應序號之間的關系求解；
(3)運用歸納推理寫出數列的通項公式或前n項和公式．　　　　　　
[活學活用]
1．觀察下列不等式：
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
……
照此規律，第五個不等式為(　　)
A．1＋＋＋＋<
B．1＋＋＋＋<
C．1＋＋＋＋＋<
D．1＋＋＋＋＋<
解析：選D　觀察每個不等式的特點，知第五個不等式為1＋＋＋＋＋<.
2．已知x∈(0，＋∞)，觀察下列各式：
x＋≥2，
x＋＝＋＋≥3，
x＋＝＋＋＋≥4，
……
歸納得：x＋≥n＋1(n∈N
)，則a＝________.
解析：當n＝1時，a＝1，
當n＝2時，a＝4＝22，
當n＝3時，a＝27＝33，
…
∴當分母指數取n時，a＝nn.
答案：nn
歸納推理在幾何中的應用
[典例]　有兩種花色的正六邊形地面磚，按下圖的規律拼成若干個圖案，則第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數是(　　)
A．26　　　　　　　　
　B．31
C．32
D．36
[解析]　有菱形紋的正六邊形個數如下表：
圖案
1
2
3
…
個數
6
11
16
…
由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個數依次組成一個以6為首項，以5為公差的等差數列，所以第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數是6＋5×(6－1)＝31.故選B.
[答案]　B
利用歸納推理解決幾何問題的兩個策略
(1)通項公式法：數清所給圖形中研究對象的個數，列成數列，觀察所得數列的前幾項，探討其變化規律，歸納猜想通項公式．
(2)遞推公式法：探究后一個圖形與前一個圖形中研究對象的個數之間的關系，把各圖形中研究對象的個數看成數列，列出遞推公式，再求通項公式．　　　　　　
[活學活用]
用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：
按照上面的規律，第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數為(　　)
A．6n－2　　　　　　　　
　B．8n－2
C．6n＋2
D．8n＋2
解析：選C　歸納“金魚”圖形的構成規律知，后面“金魚”都比它前面的“金魚”多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚頭部分，故各“金魚”圖形所用火柴棒的根數構成一首項為8，公差是6的等差數列，所以第n個“金魚”圖需要的火柴棒的根數為an＝6n＋2.
類比推理的應用
[典例]　(1)若數列{an}(n∈N
)是等差數列，則有數列{bn}：bn＝(n∈N
)也是等差數列．類比上述性質，相應地，若數列{cn}(n∈N
)是等比數列，且cn>0，則有數列{dn}：dn＝________(n∈N
)也是等比數列．
(2)如圖所示，在△ABC中，射影定理可表示為a＝b·cos
C＋c·cos
B，其中a，b，c分別為角A，B，C的對邊，類比上述定理，寫出對空間四面體性質的猜想．
[解析]　(1)由等差數列與等比數列在運算上的相似性猜想：dn＝.
答案：
(2)如圖所示，在四面體P ABC中，S1，S2，S3，S分別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA與底面ABC所成二面角的大小．
我們猜想射影定理類比推理到三維空間，其表現形式應為S＝S1·cos
α＋S2·cos
β＋S3·cos
γ.
類比推理的一般步驟
[活學活用]
1．在△ABC中，D為BC的中點，則＝，將命題類比到四面體中去，得到一個命題為：______________________________________.
解析：平面中線段的中點類比到空間為四面體中面的重心，頂點與中點的連線類比頂點和重心的連線．
答案：在四面體A BCD中，G是△BCD的重心，則＝
2．在平面直角坐標系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同時為0)表示過原點的直線．類似地：在空間直角坐標系O xyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同時為0)表示______________．
解析：平面幾何中的直線類比到立體幾何中應為平面，因此應得到：在空間直角坐標系O xyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同時為0)表示過原點的平面．
答案：過原點的平面
層級一　學業水平達標
1．觀察圖形規律，在其右下角的空格內畫上合適的圖形為(　　)
A.　　　　　　　
　B．△
C.
D．○
解析：選A　觀察可發現規律：①每行、每列中，方、圓、三角三種形狀均各出現一次，②每行、每列有兩陰影一空白，即得結果．
2．下面幾種推理是合情推理的是(　　)
①由圓的性質類比出球的有關性質；②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內角和是180°，歸納出所有三角形的內角和都是180°；③教室內有一把椅子壞了，則猜想該教室內的所有椅子都壞了；④三角形內角和是180°，四邊形內角和是360°，五邊形內角和是540°，由此得出凸n邊形的內角和是(n－2)·180°(n∈N
，且n≥3)．
A．①②
B．①③④
C．①②④
D．②④
解析：選C　①是類比推理；②④是歸納推理，故①②④都是合情推理．
3．在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，類似地，在空間內，若兩個正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為(　　)
A．1∶2
B．1∶4
C．1∶8
D．1∶16
解析：選C　由平面和空間的知識，可知面積之比與邊長之比成平方關系，在空間中體積之比與棱長之比成立方關系，故若兩個正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積之比為1∶8.
4．已知“整數對”按如下規律排列：
(1,1)，
(1,2)，(2,1)，
(1,3)，(2,2)，(3,1)，
(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，
…
則第70個“整數對”為(　　)
A．(3,9)
B．(4,8)
C．(3,10)
D．(4,9)
解析：選D　由整數對的排列規律知前11排有1＋2＋…＋11＝66個整數，所以第67個“整數對”是第12排的第一個“整數對”(1,12)，第68個“整數對”是(2,11)，第69個“整數對”是(3,10)，第70個“整數對”是(4,9)．故選D.
5．觀察下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的規律，得到一般性的等式為(　　)
A.＋＝2
B.＋＝2
C.＋＝2
D.＋＝2
解析：選A　觀察發現：每個等式的右邊均為2，左邊是兩個分數相加，分子之和等于8，分母中被減數與分子相同，減數都是4，因此只有A正確．
6．觀察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
照此規律，第n個等式為________．
解析：觀察所給等式，等式左邊第一個加數與行數相同，加數的個數為2n－1，故第n行等式左邊的數依次是n，n＋1，n＋2，…，(3n－2)；每一個等式右邊的數為等式左邊加數個數的平方，從而第n個等式為n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
7．我們知道：周長一定的所有矩形中，正方形的面積最大；周長一定的所有矩形與圓中，圓的面積最大，將這些結論類比到空間，可以得到的結論是____________________________________________．
解析：平面圖形與立體圖形的類比：周長→表面積，正方形→正方體，面積→體積，矩形→長方體，圓→球．
答案：表面積一定的所有長方體中，正方體的體積最大；表面積一定的所有長方體和球中，球的體積最大
8．如圖(甲)是第七屆國際數學教育大會(簡稱ICME－7)的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖(乙)的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把圖(乙)中的直角三角形依此規律繼續作下去，記OA1，OA2，…，OAn，…的長度構成數列{an}，則此數列{an}的通項公式為an＝__________.
解析：根據OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1和圖(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a1＝OA1＝1，a2＝OA2＝＝＝，a3＝OA3＝＝＝，…，故可歸納推測出an＝.
答案：
9．觀察下列兩個等式：
①sin210°＋cos240°＋sin
10°cos
40°＝①；
②sin26°＋cos236°＋sin
6°cos
36°＝②.
由上面兩個等式的結構特征，你能否提出一個猜想？并證明你的猜想．
解：由①②知若兩角差為30°，則它們的相關形式的函數運算式的值均為.
猜想：若β－α＝30°，則β＝30°＋α，sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin
αcos(α＋30°)＝.下面進行證明：
左邊＝sin2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sin
α]
＝sin2α＋
＝sin2α＋cos2α－sin2α＝＝右邊．
所以，猜想是正確的．
故sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin
αcos(α＋30°)＝.
10．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，則cos2A＋cos2B＝1，在空間中，給出四面體性質的猜想．
解：如圖，在Rt△ABC中，
cos2A＋cos2
B＝2＋2＝＝1.
于是把結論類比到四面體P A′B′C′中，我們猜想，三棱錐P A′B′C′中，若三個側面PA′B′，PB′C′，PC′A′兩兩互相垂直，且分別與底面所成的角為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
層級二　應試能力達標
1．由代數式的乘法法則類比得到向量的數量積的運算法則：
①“mn＝nm”類比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“(m·n)t＝m(n·t)”類比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
④“t≠0，mt＝xt m＝x”類比得到“p≠0，a·p＝x·p a＝x”；
⑤“|m·n|＝|m|·|n|”類比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑥“＝”類比得到“＝”．
其中類比結論正確的個數是(　　)
A．1　　　　　　　　　　
　B．2
C．3
D．4
解析：選B　由向量的有關運算法則知①②正確，③④⑤⑥都不正確，故應選B.
2．類比三角形中的性質：
(1)兩邊之和大于第三邊；
(2)中位線長等于底邊長的一半；
(3)三內角平分線交于一點．
可得四面體的對應性質：
(1)任意三個面的面積之和大于第四個面的面積；
(2)過四面體的交于同一頂點的三條棱的中點的平面面積等于該頂點所對的面面積的；
(3)四面體的六個二面角的平分面交于一點．
其中類比推理方法正確的有(　　)
A．(1)
B．(1)(2)
C．(1)(2)(3)
D．都不對
解析：選C　以上類比推理方法都正確，需注意的是類比推理得到的結論是否正確與類比推理方法是否正確并不等價，方法正確結論也不一定正確．
3．我們知道：在平面內，點(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離公式為d＝.通過類比的方法，可求得在空間中，點(2,4,1)到平面x＋2y＋2z＋3＝0的距離為(　　)
A．3
B．5
C.
D．3
解析：選B　類比點P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離公式d＝，可知在空間中，點P(x0，y0，z0)到平面Ax＋By＋Cz＋D＝0的距離d＝.點(2,4,1)到平面x＋2y＋2z＋3＝0的距離d＝＝5.
4．設△ABC的三邊長分別為a，b，c，△ABC的面積為S，內切圓半徑為r，則r＝；類比這個結論可知：四面體P ABC的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內切球的半徑為r，四面體P ABC的體積為V，則r＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：選C　將△ABC的三條邊長a，b，c類比到四面體P ABC的四個面面積S1，S2，S3，S4，將三角形面積公式中系數，類比到三棱錐體積公式中系數，從而可知選C.證明如下：以四面體各面為底，內切球心O為頂點的各三棱錐體積的和為V，∴V＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r，∴r＝.
5．觀察下圖中各正方形圖案，每條邊上有n(n≥2)個圓圈，每個圖案中圓圈的總數是S，按此規律推出S與n的關系式為____________．
解析：每條邊上有2個圓圈時共有S＝4個；每條邊上有3個圓圈時，共有S＝8個；每條邊上有4個圓圈時，共有S＝12個．可見每條邊上增加一個點，則S增加4，∴S與n的關系為S＝4(n－1)(n≥2)．
答案：S＝4(n－1)(n≥2)
6．可以運用下面的原理解決一些相關圖形的面積問題：如果與一固定直線平行的直線被甲、乙兩個封閉的圖形所截得的線段的比都為k，那么甲的面積是乙的面積的k倍．你可以從給出的簡單圖形①、②中體會這個原理．現在圖③中的兩個曲線的方程分別是＋＝1(a＞b＞0)與x2＋y2＝a2，運用上面的原理，圖③中橢圓的面積為______________．
解析：由于橢圓與圓截y軸所得線段之比為，
即k＝，∴橢圓面積S＝πa2·＝πab.
答案：πab
7．已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于點D，有＝＋成立．那么在四面體A BCD中，類比上述結論，你能得到怎樣的猜想，并說明猜想是否正確及理由．
解：猜想：類比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面體A BCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD.則＝＋＋.
下面證明上述猜想成立
如圖所示，連接BE，并延長交CD于點F，連接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，
∴AB⊥平面ACD.
而AF 平面ACD，∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴＝＋.
∴＝＋＋，故猜想正確．
8．已知
12＝1，
22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，
32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，
42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，
……
n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，
左右兩邊分別相加，得n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n，
所以1＋2＋3＋…＋(n－1)＝.
類比上述推理方法寫出求12＋22＋32＋…＋n2的表達式的過程．
解：記S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n，
S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，
……
Sk(n)＝1k＋2k＋3k＋…＋nk(k∈N
)．
已知
13＝1，
23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，
33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，
43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1，
……
n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1.
將左右兩邊分別相加，得
S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n.
由此知S2(n)＝
＝
＝.

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