資源簡介

第九講 約數、倍數和最大公約數、最小公倍數
9.1約數、倍數
[同步鞏固演練]
1、試求下列各數的約數的個數：
（1）3136； （2）46305
2、試求下列各數的約數的和：
（1）1998： （2）16200
3、甲數的2倍等于乙數，乙數的3倍等于丙數，丙數的4倍等于甲數，求甲數。
4、100以內能被3與7整除的最大奇數是幾？最大偶數是幾？
5、小于200的有14個約數的自然數是多少？
6、有奇數個約數的三位數是多少個？
7、在所有兩位數中，哪個數的約數最多？最多有多少個約數？
8、有12個數約數的最小自然數是幾？
9、求出不大于30且有八個約數的最大自然數。
10、求小于1000的只有15個約數的最大自然數。
11、能同時被2，3，5，7整除的最小四位數是幾？
12、把316表示成兩個數的和，使其中一個是13的倍數，另一個是11倍的數，求此二個數。
13、四個連續的自然數的積是3024，求此四個數。
14、十個連續的三位數，最大不超過130，這十個數的和是77倍數，求這十個數。
[能力拓展平臺]
1、求50至70之間只有4個不同約數的所有自然數。
2、已知a有8個約數，b有9個約數，且a、b的最大公約數是12，試求a與b。
3、一個數的約數中，將所有約數兩兩求和，所有的和中，最小的是3，最大的是1200，求這個數。
4、修改31743的某一個數字，可以得到823的倍數，問修改后的這個數是幾？
5、一個數如果等于除它本身外的所有約數的和，則稱此數為完全數，已知30以內有兩個完全數，試把它們找出來，并請找出，在496，996，4128中哪幾個完全數？
6、一串數排成一行，頭兩個數都是1，從第三個數開始，每一個數都是前兩個數的和，即1，1，2，3，5，8，13，21，…。在這串數的前2000個數中，共有多少個6的倍數。
9.2 最大公約數、最小公倍數
[同步鞏固演練]
1、求35，98，112的最大公約數與最小公倍數。
2、求403，527，713的最大公約數與最小公倍數。
3、老師將301個筆記本，215支鉛筆和86塊橡皮分給班里同學，每個同學得到的筆記本、鉛筆和橡皮的數量都相同，那么，每個同學各拿到多少？
4．兩個數的最大公約數是6，最小公倍數是504，如果其中一個數是42，那么另一個數是多少？
5．某校全體學生列隊，不論他們人數相等地分成2隊，3隊，4隊，5隊，6隊，7隊，8隊或9隊，都會多出1人，那么該校至少有多少名學生？
6．已知兩數的最大公約數是8，最小公倍數是64，求這兩個數。
7．兩個自然數的和是432，它們的最大公約數是36，求這兩個數。
8．兩個整數的最小公倍數是1925，這兩個整數分別除以它們的最大公約數，得到的兩個商的和是16，求這兩個整數。
9．兩個自然數的差是3，它們的最大公約數與最小公倍數的積是180，求這兩個數。
10．一塊長方形地面，長120米，寬60米，要在它的四周和四角中樹，每2棵之間的距離相等，最少要種樹苗多少棵？每相鄰兩棵之間的距離是多少米？
11．已知兩個自然數的積是5766，它們的最大公約數是31，求這兩個自然數。
12．兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次，兄弟三人同時在十月一日回家，下一次三人再見面是哪一天？
13．將長25分米，寬20米，高15分米的長方體木塊鋸成完全一樣的盡可能大的立方體，不能有剩余，每個立方體的體積是多少？一共可鋸多少塊？
14．一箱地雷，每個地雷的重量相同，且都是超過1的整千克數，去掉箱子后地雷凈重201千克，拿出若干個地雷后，凈重183千克，求一個地雷的重量？
15．甲、乙、丙三個班的學生人數分別是54人、48人和72人，現要在各班內分別組織體育鍛煉小組，但各小組的人數要相同。鍛煉小組的人數最多是多少？這時甲、乙、丙三班各有多少個小組？
16．設計一種底面為正方形的包裝箱，裝運四種不同規則的象棋。每種棋盒底面都是正方形，邊長分別是21厘米、12厘米、14厘米和10.5厘米。要使包裝箱不論裝運哪一種規格的象棋都能鋪滿底面，問包裝底面的邊至少是多少厘米？
17．一張長方形紙，長2703厘米，寬1113厘米，要把它裁成若干個同樣大的正方形，紙張不能有剩余，正方形邊長最大多少厘米？
18．某數與24的最大公約數是4，最小公倍數是168，這個數是多少？
19．所有形如的六位數中（其中a，b，c均為從0到9的整數a≠0）它們的最大公約數是多少？
20．某公共汽車站有三條線路通往不同地方。第一條線路每隔5分鐘發車一次，第二條線路每隔6分鐘發車一次，第三條線路每隔10分鐘發車一次，三條線路在同一時間發車后，再過多少分鐘又同時發車？
[能力拓展平臺]
1、（北京市第三屆迎春杯試題）四個連續奇數的最小公倍數是6435，這四個數中最大的一個數是多少？
2、（天津市“我愛數學”試題）兩個數的積是5766，它們的最大公約數是31，這兩個數是幾？
3、（南京市第二屆“興趣杯”決賽題）七個不同的三位數的最大公約數中，最大的是幾？
4、兩個自然數的和是50，它們的最大公約數是5，則這兩個數的差是多少？
5、設a與b為兩個不相等的自然數，如果它們的最小公倍數是72那么a與b之和可以有多少種不同的值？
6、在被除數小于100的條件下，在方格中填上適當的數


□=4……4
□÷ □=5……5
□=6……6
7、有三根鐵絲，長度分別是120厘米、180厘米和300厘米，現在要把它們截成相等的小段，每根都不能有剩余，至少可截成多少段？
8、將一塊長3.57米、寬1.05米、高0.84米的長方體木料，鋸成同樣大小的正方體小木塊，問當正方體的邊長是多少時，用料最省且小木塊的體積總和最大？（不計鋸時的損耗，鋸完后木料不許有剩余）
9、一排電線桿的每相鄰兩根的距離，原來都是45米，現在改成60米，如果起點的一根不動，再過多遠又有一根不移動？如果馬路全長5400米，一共有多少根可以不移動？
10、某廠加工一種機器零件要經過三道工序。第一道工序每個工人每小時可完成3個，第二道工序每個工人每小時完成12個，第三道工序每個工人每小時可完成5個。要使生產順利進行，又不浪費人力、時間，三道工序至少各分配幾個工人？
11、兩個數的差是48，最小公倍數是60，求這兩個數。
12、（全國小學數學競賽試題）甲、乙兩數的最小公倍數除以它們的最大公約數，商是12，如果甲、乙兩數相差為18，求此二數。
13、（第二屆華杯賽決賽一試題）在一根長木棍上，有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成10等分，第二種刻度線把木棍分成12等分，第三種刻度線把木棍分成15等分，如果沿每條刻度線把木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？
14、寫出小于20的三個自然數，使它們的最大公約數是1，但其中任意兩個數都不互質。
15、用2、3、4、5、6、7六個數組成兩個三位數，使這兩個三位數與540的公約數盡可能地大。
16、寫出三個小于10的自然數，使它們三個數中有兩個數的最大公約數為1，其余的最大公約數大于1。
17、已知[a,b]=1000,[b,c]=2000,[c,a]=2000,滿足上述要求的數組{a，b，c}共有多少組？
[全講綜合訓練]
1、王斌每隔7天去圖書館借一次書，李興每隔10天去借一次書，陳軍每隔15天去借一次書。已知4月20日他們在一起借書，那么離4月20日最近的、他們三人又在同一天借書是幾月幾日？
2、化肥廠包裝車間對化肥進行包裝，需要經過：扎編織袋、裝化肥入袋，縫袋口以及搬運4道工序。每人每小時能扎編織袋24個，或裝化肥36袋，或縫袋口18只，或搬運化肥16袋。這個車間至少要多少名工人才能進行合理分工？
3、從甲、乙兩地原來每隔36米安裝一根電線，現在改成每隔54米安裝一根電線桿。在安裝過程中，除兩端的兩根不需要移動外，途中還有14根不需要移動。那么甲、乙兩地相距多少米？
4、甲、乙兩位同學寫了兩個數給老師看，老師看后告訴大家：甲、乙寫的是兩個不互質的自然數，甲寫的數除以9，乙寫的數除以10后，不改變這兩個數的最大公約數，甲、乙寫的兩個數的最小公倍數是180。你知道甲、乙兩位同學分別寫的是什么數？
5、設A，B兩個數都只含有質因數3和5，它們的最大公約數是75，已知A有12個約數，B有10個約數，那么A，B兩數的和等于多少？
6、已知兩個自然數的差為3，它們的最大公約數與最小公倍數之積為180，求這兩個自然數。
7、狐貍和黃鼠狼進行跳躍比賽，狐貍每次跳4米，黃鼠狼每次跳2米，它們每秒鐘都只跳一次，比賽途中，從起點開始，每隔12米設有一個陷阱，當他們之中有一個掉進陷阱時，另一個跳了多少米？
8、（第二屆華杯賽試題）有一個班的同學去劃船，他們算了一下，如果增加一條船，正好每船坐6人，如果減少一條船，正好每船坐9人，這個班有多少人？
9、（全國奧賽題，1992）把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干組，要求每組中任兩個數的最大公約數都是1，那么，至少要分幾組？
10、把1～1999這1999個數分成n個小組，使每個數都至少在一個小組中，且第一組中沒有2倍數，第二組中沒有3倍數，第三組中沒有4的倍數，…，第n組中沒有n＋1的倍數，那么，n至少是幾？
11、一組五個連續自然數的和能分別被2，3，4，5，6整除，求滿足此條件的最小一組數。
12、有15位同學，每位同學都有編號，他們是1號到15號，1號同學寫了一個自然數，2號說：“這個數能被2整除”，3號說：“這個數能被3整除”，…15號說：“這個數能被15整除”1號同學一一驗證后發現，只有（編號連續的）兩位同學說得不對，其余同學都對，問：
（1）說得不對的兩位同學，他們的編號是哪兩個連續自然數？
（2）如果告訴你，1號寫的數是五位數，請求出這個數。




第九講 約數、倍數和最大公約數、最小公倍數
9、1 約數、倍數
[同步鞏固演練]
1、（1）、21
3136=26×72，故約數有（6+1）×（2+1）=21（個）
（2）32個
46305=32×5×73，故約數有（3＋1）×（2＋1）×（3＋1）=32（個）
2、（1）4560
1998=2×33×37，故約數和為（1＋2）×（1＋3＋32＋33）×（1＋37）=4560
（2）56265
16200=23×34×52，故約數和=（1＋2＋22＋23）×（1＋2＋32＋33＋34）×（1＋5＋52）=56265
3、甲數是0
4、63，84
因為100以內21的倍數有21，42，63，84，故最大奇數為63，最大偶數為84
5、192
因14=1×14=2×7，而14=（13＋1） 213＞200 2×7=（1+1）×（6＋1），26×3=192
6、22個
有奇數個約數的數是完全平方數，而在三位數中完全平方數有102=100，112=121，……、312=961，所以共有31—10—1=22（個）
7、60，72，96的約數個數最多，有12個約數。
8、60
12=11+1=（1+1）×（5＋1）=（1＋1）×（1＋1）×（2＋1）=（2＋1）×（3＋1），故該數只有一個質數時，該數至少是211=2048，若該數有2個質數，則該數可能2×35或3×25或22×23或23×32，經比較以23×32=72最小，若該數有3個質因數，則可能為2×3×52，或2×32×5或22×3×5，以22×3×5=60最小，比較可知該數為60。
9、24和30
8=7+1，于是該數可能為n7，由于27＞30不符合題意，8=（3+1）×（3+1），故該數可能為a3×b形，取=2，a=2，a=3，得24，又8=（1+1）×（1+1）×（1+1），故該數還可寫成a×b×c形，取2=a，b=3，c=5，得30。
10、784
15=14+1，但214＞1000，故應舍去，15=（2+1）×（4+1），故可取該數為a2×b4，由于54=625，乘以a2后＞1000，故b只能取2或3。22×34=324,32×24=144,52×34＞1000,52×24=400,72×24=784。若a＞7，則必有a2×b4＞1000，故784為最大的一個數。
11、1050
同時被2、3、5、7整除的數必是2×3×5×7=210的倍數，1000÷210=4余160，故取210×5=1050
12、264與52，121與195
316÷11=28余8，即11×28＋8=316，所以可得11×24＋11×4＋8=11×24＋13×4=316，11×11＋11×13＋13×4=11×11＋13×15=316，故這兩個數是264與52；或121與195。
13、6、7、8和9
3024=24×18×7=6×7×8×9
14、111，112，113,…,120
設這十個數中最小的數為a，那么這10個數的和為10a+（1+2+3+…+9）=10a+45，由最大數不超過130，故a≤121，10a+45≤1255，1255÷77=16余23，又10a+45≥1045，而1045÷77=13余44，由于77的倍數減45必須是10的倍數，故只能有10a+45=77×15,而a=111，故這十個數是111，112，…，120。

[能力拓展平臺]
1、51，55，57，58，62，64，65，69
4=1×4=2×2，有4個約數的自然數一定能表示為a3或a×b，其中a、b都是質數。
如果為a3，符合條件的自然數a=4，a3=64，如果為a×b，符合條件的自然數a=2，b=29，a×b=58；a=2，b=31，a×b=62；a=3，b=17，a×b=51；a=3，b=19，a×b=57；a=3，b=23，a×b=69；a=5，b=13，a×b=65。所以滿足條件的所有自然數為：51，55，57，58，62，64，65，69。
2、a=24，b=36
12=22×3，即a、b都至少有二個質因子2與3，由于8=4×2=（3+1）×（1+1）故a=22×3=24；9=3×3=（2+1）×（2+1），故b=22×32=36。
3、80
最小兩個約數和為3，那最小兩個約數為1與2,如原來自然數為A，則最大的約數為A，其次為A÷2，最大兩個約數和為A+A÷2=120從而A=120÷1.5=80。
4、33743
用豎式計算31743÷823，可得

2 4 6 9
7 0 5 3
6 5 8 4
4 6 9
由于最后的余數為469，而在計算商的十位數“3”時，有823×3=2469，這說明，如果余 469能增加2000，就恰是823的整數倍了，所以，只要把原數加上2000，得到33743就是823的38＋3=41倍，此時恰只修改了一個數字。
5、6與28，496與4128都是完全數
6、166
將數列的各數除以6的余數按次序列表如下：1，1，2，3，5，2，1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，3，5，3，2，5，1，0，1，1，2，…
可以看到數列各數除以6的余數24個數一循環，并且每24個數中有2個0，說明有2個數是6的倍數，而2000÷24=83余8。因此在前2000個數中共有6的倍數是2×83=1662個。
9.2最大公約數、最小公倍數
[同步鞏固演練]
1、7，3920
57573
3、7本，5支，2塊
為（301，215，86）=43，所以全班共有43人，每人拿到筆記本：301÷43=7（本），每人拿到鉛筆，215÷43=5（支），每人拿到橡皮：86÷43=2（塊）
4．72
504×6÷42=72
5．2521人
[2，3，4，5，6，7，8，9]+1=2521（人）
6．8和64
64÷8=8，將8分成兩個互質數的乘積只有1×8，所以兩數分別為8×1=8，8×8=64
7．180和252或36和396
432÷36=12，將12分成兩個互質數的和，有12=1+11=5+7，所以兩效為1×36=36和11×36=396或5×36=180和7×36=252
8．385和175
16分成兩個互質數的和有16=1+15=1+11，所以而1925不能被15整除，只有1925÷5=385和1925÷11=175
9．12和15
（180，3）=3，公約數只有1和3，當公約數為1時，沒有滿足條件的解，當公約數為3時，180÷3÷3=20=4×5，且5－4=1，所以兩數為5×3=15，和3×4=12。
10．6棵，60米
（120，60）=60， （120+60）×2÷60=6（棵）
11．31和186或62和93
5766÷31÷31=6，而6=1×6=2×3，所以兩數為1×31=31和6×61=186或2×31=62和3×31=93
12．10月25日
[6，8，12]=24 1＋24=25，所以是10月25日
13．125立方米，60塊
（25，20，15）=5，所以體積為5×5×5=125（立方米），25×20×15÷125=60（塊）
14．3千克
（201，183）=3，所以一個地雷的重量是3千克
15．每組最多6人，；甲9組，乙8組，丙12組
（54，48，72）=6，54÷6=9（組） 48÷6=8（組）；72÷6=12（組）
16．邊長84厘米
[21，12，14，10.5]=84所以包裝箱底面的邊長至少是84厘米
17．159厘米
用輾轉相除法求（2703，1113）=159


18．28
168×4÷24=28
19．1001
=×1001，所以它的最大公約數是1001
20．30分鐘
[5，6，10]=30，所以再過30分鐘又同時發車。


[能力拓展平臺]
1、15
6435=5×9×11×13，于是可知9，11，13，15這四個連續奇數的最小公倍數是6435
2、62和93或31，186
5766=2×3×312，故此二數可以是1×31與6×31，也可是2×31與3×31。
3、142
設這個最大的公約數為d，則這七個不同的三位數至少為d，2d，3d，…7d，于是100≤7d＜1000，即d＜142，即這個最大的公約數不超過142，而142，284，426，568，710，852，994這7個三位數的最大公約數為142。
4、40或20
50÷5=10，而10=1+9=3+7， 5×9—1×5=40或7×5—3×5=20
5、17種
14=4……4
6、60÷ 1=5……5
9=6……6
7、10段
（120，180，300）=60，（120+180+300）÷60=10（段）
8、21厘米
3.57米=357厘米，1.05米=105厘米，0.84米=84厘米（357，105，84）=21，所以邊長是21厘米
9、180米，31根
[45、60]=180，5400÷180+1=31（根）
10、第一道工序分配20人，第二道工序分配5人，第三道工序分配12人。
[3，12，5]=60，60÷3=20（人），60÷12=5（人） 60÷5=12（人）
11、60和12
（48，60）=12，60÷12=5，5=1×5，且5－1=48÷12=4，所以兩數為1×12=12和5×12=60
12、72和54
設甲 =ad,乙=bd，并沒a＞b，其中d為甲、乙的最大公約數，a，b互質，則甲、乙的最小公倍數=abd，據題意，ab=12，（a—d）b=18，由ab=12知a=12，b=1或a=4，b=3，但只有a=4，b=3能使a—b整除18，故d=18，于是甲=72，乙=54
13、28段
由于[10，12，15]=60，先把木棍60等分，每一等份作為一個單位，則第一種刻度線相鄰每兩刻度間占6單位，第二種刻度線占5單位，第三種刻度線占4單位，分點共有9+11+14=34個。
由于[5，6]=30，故在30單位處二種刻度重合1次；
[4，5]=20，故在20、40單位處二種刻度重合2次；
[4，6]=12，故在12，25，36，48單位處二種刻度重合4次；
∴共有不重合刻度34—1—2—4=27個，從而分成28段。
14、6、10和15，10、12和15，10、15和18
因為a、b、c是小于20的合數，所以它分解因數后只能含有質因數2、3、5、7，按題目要求適當搭配可得
2×3=6， 2×5=10， 3×5=15
2×3=12， 2×5=10， 3×5=15
3×5=15， 2×5=10， 3×32=18
15、324，756
540=22×33×5，又因為2、3、4、5、6、7中只含一個5，所以兩數的最大公約數中不含因數5，則最大公約數可能為22×33=108，經檢驗，可找到這兩個三位數分別是108×3=325和108×7=756。
16、2、3、6
17、70組
已知當a能被b整除時，有[a，b]=a，現在我們先固定a、b、c三個數中的某兩個，看第三個數有多少種可能性先讓a=1000，c=2000，只要b是1000的約數便有[a、b]=1000，[b，c]=2000，[a、c]=2000。因為1000=23×53，b又是a的約數，a的約數有[（3+1）×（3+1）=]16個，即b有16種可能，所以這樣的數組有16組，再讓b=1000，c=2000，這時只要a是1000的約數，題目中的條件都滿足，去掉與上面16種中相同的一種a=b=1000，c=2000，又有15（=16—1）組。
再看a、b、c三個數中固定一個數的情況。
讓c=2000，為保證滿足題目中的要求[a、c]=2000，[b，c]=2000，a、b均應為2000的約數。為了使[a，b]=1000，而1000=23×53，所以a=23×5n，b=53×5m。為去掉a=b=1000這一種情況，n可以取0、1、2三個值，m也可以取0、1、2三個值，即a可以是8、40、200這三個數，b可以是125、250、500這三個數。所以這樣的數組有（3×3=）9組，交換a、b又有9組，當c=2000時，這樣的數組共有18組。
再讓a=1000，為保證題目中的條件得到滿足，即[a，b]=1000，[a，c]=2000，[b，c]=2000，且不與上面已有的數組重復。又因為1000=23×53，2000=24×53，故應有b=2n×53，c=24×5m。這里n可以取0、1、2、3四個數，m可以取0、1、2三種數，即b可以是125、250、500、1000這四個數，c可以是16、80、400這三個數，此時這樣的數組共有（4×3=）12組。
再讓b=1000，為保證題目中的條件[a，b]=1000，[a，c]=2000，[b，c]=2000得到滿足，且不與上面已有的數組重復，根據1000=23×53，2000=24×53，故應有a=2n×53，c=24×5m。這里n只能取0、1、2三個數，m可以取0、1、2三個數。即a可以是125、250、500這三個數，c可以是16、80、400這三個數，此時這樣的數組共有（3×3=）9組。
把上述各種情況下的組數相加，便是所求的答案。
滿足要求的a、b、c數組共有：16+15+18+12+9=70
注意：這里125，1000，16和1000，125，16算兩組。
[全講綜合講練]
1、10月13日
由題意，每隔7天支一次圖書館，加上去圖書館的那一天，應是每8天去一次；每隔10天去一次就是每11天去一次；每隔15天去一次就是每16天去一次。要求離4月20日最近的那一天，就是要求經過多少天他們三人又在同一天借書，經過的天數，就是8、11、16的最小公倍數，[8，11，16]=176。從4月20日經過176天是10月13日。
2、7名
3、進行合理安排，就要使每道工序生產的產品既不積壓，也不會窩工。使包裝的化肥袋數既是24的倍數，又分別是36、18和16的倍；又要使車間的人最少，所以每小時包裝化肥的袋數就是求24、36、18和16的最小公倍數。
[24，36，18，16]=144。由每小時包裝化肥144袋，那么扎編織袋人數144÷24=6（名）。裝化肥人數144÷36=4（名），縫袋口人數144÷18=8（名），搬運化肥人數144÷16（名）。所以這個車間至少需工人6+4+8+9=27（名）才能進行合理分工。
3、1620米。
從甲地開始，每隔36米裝一根電線桿與每隔54米裝一根電線桿，當安裝到36米與54米的最小公倍數108時，就有2根不需要移動，只有一個間隔；從甲地到乙地共有2+14=16（根）不需要移動，就有16—1=15（個）間隔。
所以，從甲地到乙地的距離是108×15=1620（米）
8和20
因甲寫的數除以9，乙寫的數除以10，不改變這兩個數的最大公約數，說明9、10分別是兩個數獨有的約數，而兩數的最小公倍數是180，180=9×10×2，所以2是兩個數的最大公約數，兩位同學寫的數分別是9×2=18和10×2=20。
5、2550
A有12個約數12=3×4=（2+1）×（3+1），所以A是32×53=1125，或33×52=675，B有10個約數。10=2×5=（1+1）×（4+1），所以B是3×54=1875，或34×5=405，經試驗得675和1875的最大公約數是75，所以A+B=675+1875=675+1875=2550
6、12，15
設A，B且A＞B的最大公約數為m，則 ，且a、b互質，依題意得ma—mb=m（a—b）=3，m mab=m2ab=180，而（180，3）=3，所以m為1或3，當m=1時，a—b=3。ab=180，而180=1×180=4×45=5×36=9×20=15×12，剛好15—12=3。所以兩數為12×1=12，15×1=15；當m=3時，a—b=1 ab=60 而60=1×60=4×15。沒有符合a—b=1的數，故這兩個數為12和15。
7、40米
[，]==49，（次），[]=，÷=9（次），而9＜11，所以狐貍跳子9×=40（米）（求幾個分數的最小公倍數，就是用幾個分數的分子的最小公倍數除發分母的最大公約數。）
8、1人
由題意知某班學生人數是7、3、2的公倍數，而[7、3、2]=42，所以不超過60的公倍數只有42。故不及格的人數是42×（1———）=1（人）
9、36人
由題意知這個班人數是6和9的公倍數，而[6，9]=18，沒總人數為18K，18K÷9=2K，3K-2K=2，K=2，所求人數為18×2=36（人）
10、3組
因為26=2×13，33=3×11，34=2×17，35=5×7，63=32×7，85=5×17，91=7×13，143=11×13
這8個數每個都有2個質因數，要使其中每兩個數的最大公約數都為1，則同一質因數最多只能在一個組中出現1次，現在三個數35，63，91中都有質因數7，三個數26，91，143中都有質因數13，因此，至少需分3組，才有可能把這兩組數分開。
現取26，33，35為一組，34，63，143為一組，91。85為一組，同組的數中，每兩個數的最大公約數都是1，共3組，滿足題目的要求。
11、n=8
分2組則6的倍數未分入小組，分3組則12的倍數未分入小組，分4組或5組時，60的倍數未分入小組，分6組時420的倍數未分入小組，分7組時840的倍數未分入小組，而分8組，則1—1999的數均可分入某一組，故n=8
12、10、12、13、14、
由于2、3、4、5、6的最小公倍數為60，得這五個數的和為60的倍數，即至少為60，60÷5=12，得10+11+12+13+14=60，故滿足條件的最小一組數為10、11、12、13、14。
13、（1）8和9，（2）60060
（1）我們可以采用試算的方法尋找解題途徑。
如果說得不對的兩個同學是2號3號，則a不是2和3的倍數，從而也不是6的倍數，也就是說6號同學也說得不對，與1號同學驗證結果矛盾，故說得不對的兩個同學不是2號與3號。
同理，說得不對的兩個同學也不是3號同學和4號同學。
反過來，說得不對的兩人中不應包括6號，否則2號與3號也說得不對，與已知矛盾，這樣，說是不對的兩人不應是5號和6號，6號和7號。
同理，說得不對的兩人中也不應包括12，從而說得不對的兩人不應是11和12號，12號或13號。
由前面的結論知a應是5、6和7的倍數，故a也是10，14，15的倍數，說得不對的人中不包括10號，14號，15號，從而不是9號和10號，10號和11號，13號和14號，14號15號。
同理，說得不對的人也不應是4號和5號，7號和8號。
綜上所述不難得出，兩個同學的編號為8和9。
（2）編號為1的同學寫在黑板上的數是2、3、4、5、6、7、10、11、12、13、14、15的倍數，它們的最小公倍數為22×3×5×7×11×13=60060。
因為60060×2=120120是一個六位數，故編號為1的同學寫的數a=60060。









第七講 抽屜原理
[同步鞏固演練]
1、在一條長100米的小路一旁種101棵樹苗，證明：不管怎樣種，至少有兩棵樹苗之間的距離不超過1米。
2、一位運動員用11秒鐘跑完了100米。證明：在跑的過程中必有一秒鐘，他跑的距離超過了9米。
3、在一副撲克牌中取牌，至少取多少張，才能保證其中必有3張牌的點數相同？
4、從13個自然數中，一定可以找到兩個數，它們的差是12的倍數。
5、20名乒乓球運動員進行單循環比賽。證明：在比賽過程中的任何時候，至少有兩位選手比賽過的場次相同。
6、圖書角有三種圖書：科技書、文藝書、故事書。每位學生可任意借兩本圖書。問：至少應有多少學生來借書，才能保證其中必有4人借的書完全相同？
7、一個幼兒班有40名小朋友，現在有各種玩具125件。把這些玩具分給小朋友，是否有人會想到4件或4件以上的玩具？
8、有三張卡片，卡車上分別寫著數字1、2、3。同學們任意選兩張數字不同的卡片組成一個兩位數。問至少要有幾個同學才能保證有兩個人選的卡片所組成的兩位數相同？
9、19朵鮮花插入4個花瓶里。求證：至少有一個花瓶里要插入5朵或5朵以上的鮮花。
10、在一個口袋里有紅、黃、藍三種顏色的小球，一次至少摸出多少個小球，才能保證至少有4個球的顏色相同。
11、某班共有40名學生，他們都參加了課外興趣小組，活動分英語組、書法組、鋼琴組，每人可任選一個或幾個組參加，那么班級中至少有多少個學生參加的組和組數完全相同？
12、一個口袋里有5個黑球，8個白球，9個紅球，2個藍球，一次至少取出多少個球才能保證至少有一個紅球？
13、夏令營有400個小朋友參加，這些小朋友中至少有 人在同一天過生日。
14、任意取多少個自然數，才能保證至少有兩個數的差是7的倍數？
15．在正方體的每個面上，分別涂上紅、黃、藍三種顏色（每個面上只涂一色）。證明：至少有二個面涂有相同的顏色。
[能力拓展平臺]
1、某商店有126箱蘋果，每箱至少有120個，至多有144個，現將蘋果個數相同的箱子作為一組，如果其中箱子數最多的一組有n個箱子，那么n的最小值是多少？
2、在一個邊長為1分米的正三角形內任意放置10個點。證明：至少有2個點之間的距離不超過1/3分米。
3、至少要給出多少個自然數（這些數可以隨便寫），才能保證其中必有兩個數，它們的差是7的倍數？
4、在邊長為4的正方形內，至少任意放進幾個點，那么其中必有3個點，它們構成的三角形的面積不大于2？
5、從1，2，3…，100這100個數中任意挑出51個數來，證明在這51個數中，一定有：（1）2個數互質；（2）2個數的差為50；（3）8個數，它們的最大公約數大于1。
6、任意給定1991個自然數。證明：其中必有若干自然數的和是1991的倍數。
7、將1，2，3，…，9，10這10個數按任意順序排在一個圓周上。證明：在圓周上的10個數中，必有相鄰的3個數，其和不小于17。
8、上體育課時，21名男女學生排成3行7列的隊形做操。老師發現按大小個的排法可以從隊形中劃出一個矩形，站在這個矩形四個角上的學生或者都是男生或者都是女生。你能不能找一種排法，仍是站3行7列，但上面所說的矩形不存在？如果能，說出站法；如果不能，說明原因。
9、平面上給定6個點，沒有三個點在一條直線上。證明：用這些點為頂點所組成的三角形中，一定有一個三角形，它的最大邊同時是另一個三角形的最小邊。
10、已知在邊長為1的等邊三角形內（包括邊界），任意點了五個點，求證：至少有兩點之間的距離不大于。

第10題
[全講綜合訓練]
1、（全國小學數學競賽題）幼兒園小朋友分水果，有蘋果、鴨梨和橘子三種，如果每個小朋友任意拿兩個，那么至少幾個小朋友拿過后才一定會出現兩人拿的水果是相同的。
2、（全國小學數學競賽題）三（2）班有44名學生，他們都訂了甲、乙、丙三種報刊中的若干種，有的只訂甲，有的只訂乙，有的只訂丙，有的訂甲乙，有的訂甲丙，有的訂乙丙，還有甲乙丙都訂，問一定至少可以找出幾個人訂的報刊相同。
3、一次數學競賽出了10道選擇題，評分標準為：基礎分10分，每道題答對得3分，答錯扣一分，不答不得分。要保證至少4人得分相同，至少需多少人參加競賽？
4、有一批四種顏色的小旗，任意取三面排成一行，表示各種信號。某天上午共打了200次信號，其中至少有多少個信號相同？
5、在10×10方格紙的每個方格中任意填入1、2、3、4四個數之一，然后分別對每個2×2方格中的四個數求和。在這些數中，至少有幾個相同。
6、（第二屆新苗杯競賽題）五年級有165個學生，都參加籃球、足球和乒乓球三項體育活動中的一項、二項或三項，其中一定可以找到至少幾個同學參加了項目相同的活動？
7、（第二屆新苗杯競賽題）六年級有168個學生，都參加籃球、足球、乒乓球和跳繩四項體育活動中的一項、二項、三項或四項，其中一定可以至少找出多少個同學參加了項目相同的活動？
8、黑色、白色、黃色、紅色的筷子分別有1根、3根、5根和7根混雜在一起，黑暗中想從這些筷子中取出顏色不同的兩雙筷子，至少要取多少根才能保證達到要求？
9、一個袋子中有100只紅襪子，80只藍襪子，60只綠襪子，40只白襪子，讓你閉上眼睛從袋子中摸襪子，每次只許摸一只。至少要摸出多少只，才能保證摸出的這幾只襪子中至少有一雙顏色一樣。
10、用2、4、6、8這四個數字任意寫一個2000位數，從這個2000位數中任意截取相鄰的4個數字，可以組成許許多多的四位數，這些四位數中至少有多少個相同？
11、（全國奧賽題，1992）如圖，在23×23的方格紙中，將1至9這9個數字填入每個小方格，并對所有形如“ ”的五個方格中的數求和，對于小方格中數字的任一種填法，找出其中相等的和數，則一定能保證至少有多少個相等的和出現？
12、幼兒園買來不少白兔、狗、長頸鹿玩具，每個小朋友都分到其中的一、二或三種，某班有40人，他們當中至少有多少人擁有玩具相同？
13、任意多少個自然數，就可以保證其中必有四個數的和是4的倍數？
14、某班同學要從10名候選人中投票選舉班干部。如果每個同學只能投票任選兩名候選人，那么這個班至少應有多少個同學，才能保證必有兩個或兩個以上的同學投相同兩名候選人的票？
15、（第十三屆未來杯競賽題）從4，8，12，16，20，…，72，76這列數（都是4的倍數，最大是76）任取11個數，其中至少有兩個數的差為36，請說明為什么？
16、一個箱子里有50只球，其中，紅、黃、藍、墨球各10只，其余為紫球和綠球，這些球只是顏色不同，如果在黑暗中取球，要取出至少5只同色球，那么至少要取出多少只球？
17、從2，4，6，8，…，56，58這29個偶數中至少任意取出多少個數才能保證有兩個數的和為62？
18、設自然數n具有以下性質：從前n個自然數中任取21個，其中必有兩個數的差是5。這樣的n中最大的是。
19、兩個布袋中有12個大小一樣的球，且都是紅、白、藍色各4個。先從第一個袋中盡可能少且至少有兩個顏色一樣的球放入第二個袋中，再從第二個袋中拿出盡可能少的球放入第一個袋中，使第一個袋中每種顏色的球不少于3個。這時兩個袋中各有多少個球（拿球時不許看）。
20、任意給定一個正整數n，一定可以將它乘以適當的整數，使得乘積是完全由0及7組成的數。


























第七講 抽屜原理
[同步鞏固演練]
1、證明：把100米平均分成100段，每段長1米，把101棵樹苗種在這100段中，根據抽屜原理可知，至少有兩棵樹苗在同一段中。因此，至少有兩棵樹苗之間的距離不超過1米。
2、證明：100=11×9＋1
余數不為0，所以最小數為9+1=10，（10＞9）即必有一鈔鐘，他跑的距離超過了9米。
3、29張
把去掉大、小王后的52張牌，按點數分成13個抽屜，每個抽屜里有4張牌。我們先按最壞的打算，每個抽屜里分別取出2張，共取出13×2=26（張），然后又取出大王和小王，共28張，這時只要再任意取1張，必然有一個抽屜里就取了3張牌，這樣就保證有3張牌點數相同。這時共取出13×2+2+1=29張。
4、用12去除每一個數，得到13個余數中必有兩個相同，余數相同的兩個相同，余數相同的兩數之差必是12的倍數。
5、證明：因為在比賽過程中，每人參賽的場次最多有19種情況，共有20名運動員參賽，根據抽屜原理可知，至少有兩位選手比賽過的場次相同。
6、19人
每位學生借的書共有以下6種情況：



根據學生借書的情況不同可以分為6個抽屜，由于保證其中必有4人借的書完全相同，故先在每個抽屜中分別取出3套，共要3×6=18（人），這時只要再任意取出一套就可保證必有一套有4位學生拿走，所以至少有：
3×6+1=19（人）
7、有
因為3×40=120＜125，會有人得到4件以上的玩具。
8、首先用這三個數字共可“造”出6個兩位數：12、21、13、31、23、32。將它們看作“抽屜”，共有6個抽屜，將同學看作“蘋果”（或物體）。因此至少要有7位同學來造2張卡片，保證有兩位同學造的卡片組成的兩位數相同。
9、證明：19=4×4+3
最小數為4+1=5，因此至少有一個花瓶里要插入5朵或5朵以上的鮮花。
10、10個
將三種不同顏色作為3個抽屜，那么要保證有4個球顏色相同，一次至少要摸3×3+1=10個。
11、6人
先考慮共有幾種不同的參加情況。設3個興趣小組為A、B、C，只參加一組的有3種情況，參加兩組的有AB、AC、BC3種不同的情況，參加三組的有1種情況，共有3+3+1=7種不同的情況，根據抽屜原理40÷7=5……5，5+1=6人。
12、16個
考慮極端情況：即把除紅色外的所有球都拿出后（已拿5+8+2=15（個）球），再拿1個，即第16個就能保證拿到紅球，對于少于16個的情況就無法保證了。因此，至少應取出16個球。
13、2人
一年最多366天，作為366個抽屜，400個小朋友按自己的生日進到366個抽屜中，至少有一個抽屜有兩人即至少有兩人在同一天過生日。
14、8個
自然數被7除的余數有0，1，…，6這7種可能。這樣可以把全體自然數按被7除的余數做成7個抽屜。那么取8個數就保證必有兩個數在同一抽屜中，即被7除同余數，這兩個數的差就是7的倍數。所以取8個數。
15、證明：6=3×2+0
余數為0，所以最小數就是2，即至少有2個面涂有相同的顏色。
[能力拓展平臺]
1、6
因為144—120+1=25，而126÷25=5……1，所以幾的最小值是6。
2、證明：把正三角形的每條邊都會成三等份，將這個三角形劃分成9個邊長都是1/3分米的小正三角形。把10個點放入這9個小正三角形中，必有兩點在同一個小正三角形里，這兩點間的距離最長只能是邊長1/3分米，所以這兩點間的距離不超過1/3分米。

3、8個
用7去除自然數，其余數只有7種：0、1、2、3、4、5、6。若給出8個數則必有兩數余數相同，這兩個數之差是7的倍數。
4、9個

邊長為4的正方形面積為4×4=16，把正方形平均分成4個部分，每一部分最多可放入2個點，那么2×4=8個點，再加入1點，必有3個在同一部分，這3點構成的三角形面積必定不大于2。
5、證明 （1）將100個數分成50組：{1，2}，{3，4}，…，{99，100，}
在選出的51個數中，必有2個數屬于同一組，這一組的2個數是兩個相鄰的整數，它們一定是互質的。
（2）將100個數分成50組：{1，2}，{2，25}，…，{50，100}，
在選出的51個數中，必有2個數屬于同一組，這一組的2個數的差為50。
（3）將100個數分成5類（不同的類內可以有相同的數）：
第一類：2的倍數，即{2，4，…，100}；
第二類：3的倍數，即{3，6，…，99}；
第三類：5的倍數，{5，10，…，100}；
第四類：7的倍數，{7，14，…，98}；
第五類：1和大于7的質數即，{1，11，13，…，97}；
第五類中有22個數，故選出的51個數至少有29個數在第一類到第四類中，根據第一抽屜原理總有8個數在第一類到第四類的某一類中，這8個數的最大公約數大于1，
6、證明：我們把這1991個數排列起來，可以得到1991和（單獨一個數也看作一個和），如果這1991個和中有一個是1991的倍數，那么問題解決；如果這1991個和中沒有一個是1991的倍數，那么我們用這1991個和分別去除以1991，得到的余數可能是：1，2，3，……1990，那么1991個數中必有兩個余數相同，這它們的差必然是1991的倍數，而這個差也是干個數的和。這們就可以得出結論。
7、設這10個數為a1，a2，a3，a…，a9，a10，依順時針方向排在圓周上，則所有的3個相鄰數的和之總和為（a1+a2+a3）+（a2+a3+a4）+…+（a9+a10+a1）+（a10+a1+a2）=3×（a1+a2+…+a10）=3×（1＋2＋…＋10）=3×55=165=10×16＋5
由抽屜原理知，必有一組相鄰三數之和≥16+1=17
8、把這三行七列的隊形看作一個3×7的長方形，其中男生站的位置所對應的小方格涂黑色，女生站在位置對應的小方格涂白色，這個問題就轉化成涂色問題。
如圖第一行有七個方格，因只涂兩種顏色，根據抽屜原則，必有一種顏色涂了四個或四個以上的方格。我們不妨設第一行有4個黑方格。

再看第二行。在第一行的四個黑方格下面的四格中，如果有兩格黑色，結論是已經有一個長方形，它的四個角都是同一顏色，否則這四個方格中必有三個白色方格。
再看第三行。在第二行的三個白色方格下面的三格中，必有一種顏色涂了兩格或兩格以上，此色若是黑色，就與第一行組成四個角都是黑色的矩形；若是白色，就與第二行組成四個角都是白色的矩形。
從而我們看出，無論怎么涂，四個角顏色相同的矩形都是存在的。回到原題上，就是這些學生無論怎么站，四個角上都是男生或都是女生的情況都存在。無法找到這種情況不發生的站法。
9、用涂色方法來解決，分兩步涂色：
第一步：先將每一個三角形中的最大邊涂上同一顏色，比如紅色（若在該三角形中有兩條相等的最大邊，則任選一邊涂色）。
第二步：將所有尚未涂色的邊涂上藍色，這些三角形中必有一人同色三角形，而且必定是紅色三角形，這是因為：任一個三角形中必有最大邊，它已涂上紅色，所以這個同色三角形不會是藍色三角形，這個紅色三角形必有一條最小邊，它也是紅色的，那么，此邊必為某一三角形的最大邊。
10、證明：如圖，等邊三角形ABC三邊中點為D、E、F，這樣DE，EF，FD，把邊長為1的等邊三角形分割成四個邊長為的等邊三角形，如果規定線段DE、EF、FD上的點是屬于△DEF的，那么△ABC內的所有點被劃分為四個不相交的區域，把每個區域看作一個“抽屜”，在△ABC內任意畫五個點，根據抽屜原理，必有兩個點放入同一抽屜中，也就是一定有一個邊長為的等邊三角形，其中包含兩個點，顯然，它們的距離不超過。


[全講綜合訓練]
1、4個人。
因為分蘋果、鴨梨，蘋果、橘子，鴨梨、橘子三種情況，所以至少4個小朋友拿過后才一定會出現兩人拿的水果是相同的。
2、7個人
因有六個“抽屜”所以至少要7人。
3、15人
10道題全答錯得0分，全答對得40分。我們發現從0分到40分這41種分數中，39分、38分都得不到，因第二高分是有一題不答，其它題全對，得37分；有一道答錯，其它全對得36分。兩道題不答其它題全對時，得34分，35分不可能得到；進一步驗算可知，其他的分數都可以得到了。因此0～40分之間只有38種情況，做成38個抽屜，只要有115人就可保證至少4人得分相同。
4、4分
這一行有三位置，每個位置可能是四種顏色小旗中的一種，即每個位置有4種情況，那么三個位置共4×4×4=64（種）情況。因200÷64=3…8，所以這天上午所打200次信號中，至少有4個是相同信號。
5、7個
因每個2×2方格中填的數的和是最小是4=1+1+1+1；最大是16=4+4+4+4。共13種可能，而2×2的方格共有9×9=81（個），81÷13=6…3，所以，這些數中至少有7個相同。
6、24個人
因為可構造七個“抽屜”，而23×7=161＜165所以至有24人
7、12個人。
參加一項比賽有4種方法，參加二項比賽有6種方法，參加三項比賽有4種方法，參加四種比賽有1種方法，共有15種方法，168÷15=11……3，故可找出11＋1=12個人。
8、11根
設想最壞的可能，拿出了所有的紅色筷子，這時已保證有一雙紅色筷子了；再把黑色、白色、黃色各拿出一根；這時再取一根，無論是白色還是黃色（已不可能是黃色、紅色），必然又得到另一雙同色且不是紅色的筷子。
根據上面的取法知，至少取11根，才能保證有兩雙不同的筷子。
9、5只
考慮最壞的可能，四種顏色的襪子各取出1只，那么再取1只，、必能有一雙同色襪子。即只需取5只就可保證有一雙同色。
10、8個
在2000位數中，能截取出相鄰的四位數，2000—3=1997個，用2，4，6，8這四個數可組成的不同位數，根據乘法原理有4×4×4×4=356種，那么根據抽屜原理，1997÷256=7……205，所以這些四位數中，至少有8個是相同的。
11、11個
在23×23的方格中如“ ”的“十字”共有21×21=441（個）。這是因為，把23×23的方格紙的四個角去掉后，剩下的部分都有“十字”型圖形存在。
每個“十字”所填數的和最小是5（五個1），最大是45（五個9），共41種。因441=10×41＋31，所以和數相等的“十字”圖形至少有11個。
12、6人
分到玩具的情況：
（1）只有一個：白兔、狗、長頸鹿；
（2）只有兩個：白兔和狗、白兔和長頸鹿、狗和長頸鹿；
（3）三種都有。
一共7種情況，做成7個抽屜，40個小朋友根據自己擁有的玩具進入相應的抽屜，因為40=5×7＋5，所以至少6人在同一抽屜里，即至少有6人擁有的玩具完全相同。
13、4個
自然數可按奇偶數分成兩類，我們看作是兩個抽屜。當取7個自然數時，必有3對數奇偶性相同；另處三個數也必有兩個數同奇偶性相同，這時有兩對數奇偶性相同；另外三個數也必有兩個數同奇或同偶，這樣又得到一對數奇偶性相同。
設這三對數是a1與a2，a3與a4，a5與a6。那么a1+a2=2k1，a3+a4=2k2，a5+a6=2k3。這里k1，k2，k3是整數。
而k1、k2、k3中又必有兩個奇偶數性相同，不妨設是k1、k2同奇偶，那么k1+k2是2的倍數，2k1+2k2是4的倍數。
這樣，從7個自然數中找到四個數的和是4的倍數。
14、46個
因為每個同學只能從10名候選人中任票兩名投票，所以共有1+2+3+…+9=45（種），不同選法。把這45種不同選法看作45個抽屜，根據抽屜原則，至少有46名同學，才能保證必有兩名或兩名以上的同學投相同的兩名候選人的票。
15、取{4，40}，{8，44}，{12，48}，{16，52}，{20，56}，{24，60}，{28，64}，{32，68}，{36，72}，{76}共10組，如取11個數，必有二數在同一組中，而同組二數差為36。
16、25只
根據最不利原則，紅、黃、藍、黑各取4個，而紫球和綠球總數為50—40=10（只），因題目沒說明它們各幾只，同樣根據最不利原則，各取4個，那么共取4×（4＋2）＋1=25只，才能保證至少有5只同色球。
17、30個
根據題意，先找出兩數和為62的情況[4，58]、[6，56]、[8，54]、[10，52]、…共有28種，根據最不利原則，每組中各取一個數加上2這個數共有29個數，那么要保證有兩個數的和為62，必須取30個數。
18、40
設計20個抽屜，使得每個抽屜中的兩個數的差是5：
（1，6），（2，7），（3，8），（4，9），（5，10），
（11，16），（12，17），（13，18），（14，19），（15，20），
（21，26），（22，27），（23，28），（24，29），（25，30），
（31，36），（32，37），（33，38），（34，39），（35，40）。
這樣，從前40個自然數中任取21個，必然有兩個數在同一抽屜里。所以40里符合題意的n的一個值。事實上也是最大的一個，因為從上述20個抽屜中各取一個數，再取一個41，這樣得到的21個數中任意兩個數的差都不是5。于是，n的最大值是40。
19、第一袋19個，第二袋5個。
第一袋中有三種顏色的球，故第一次需要拿4個才能保證至少有兩個顏色相同，這時，第一袋中剩下8個球，第二個袋中有16個球。
第二次拿球，最壞的情況是第一袋中只有兩種同色的球，故至少要從第二袋中拿11個球，才能保證第一袋中缺少的那種顏色的球不少于3個。這時，第一袋中有19個球，第二個袋中剩5個球。
20、證明 現在考察（n+1）個數。
7，77，777，…，，，把它們分別記作a1，a2，…，an，an+1，如果將這（n+1）個數中的某一個數a，除以n，則余數只可能為0，1，2，…，（n—1）中的某一個，由此可作出n個“抽屜”：
第1個——余數為0的；
第2個——余數為1的；
… …
第個——余數為（n—1）的。
把a1，a2，…，an+1按照被n除后余數的不同情況到各個抽屜中去，由第一抽屜原理可知，必有一個抽屜中含有兩個余數相同的數，不妨設為ap=和aq=，（假設p＞q），于是ap—aq能被n整除，且具有ap—aq=的形式，這就是說，n乘以適當的整數之后得到了形式為的數，即由7和0組成的數，因而問題得到了證明。

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