資源簡介

第十講 質數、合數和分解質因數
10.1質數和合數
[同步鞏固演練]
1、（南京市外校招生試題）若a是最小的自然數，b是最小的質數，c是最小的合數則a＋b＋c= 。
2、把1至8這8個自然數填入圖5-2大圓上的小圓圈內，使任意相鄰兩圓圈內數的和都是質數（繞大圓圓心旋轉而變成相同的填法算一種填法）。

第2題
3、兩個質數的和是99，這兩個質數的積是多少？
4、兩個連續自然數的積加上11，其和是一個合數，這兩個自然數的和最小是多少？
5、有7個不同的質數，它們的和是偶數，其中最小的質數是幾？
6、由1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數字組成的九位數可以是質數嗎？
7、寫出10個連續自然數，個個都是合數。
8、有兩個質數的積是65，它們的和是多少？差是多少？
9、19乘以一個數積是質數；乘以另一個數積是合數，并能被1，2，3，4，…等自然數整除，問這兩個數（不能是分數或小數）分別是什么數？
[能力拓展平臺]
1、（全國奧賽決賽題）用1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數字組成質數，如果每個數字都要用到并且只用到1次，那么，這9個數字最多能組成幾質數？
2、（南京興趣杯賽題）如果a是自然數，（a×a－4）÷7是質數，那么a的最小兩個數值是幾？
3、（全國競賽題）請給出5個質數，把它們按從小到大的順序排列起來，使每相鄰兩數的差都是6。
4、（北京市迎春杯試題）9個連續自然數，它們都大于80，那么其中質數至多有幾個？
5、（華杯賽一決賽題）如下圖，四個小三角形的頂點處有六個圓圈，如果在這些圓圈中分別填上六個質數，它們的和是20，而且每個小三角形三個頂點上填的數的和相等，問六個質數的積是多少？

第5題
6、（華杯賽試題）“哥德巴赫猜想”是說：每個大于2偶數都可以表示成兩個質數的和，問168是哪兩個兩位質數的和，并且其中一個的個位數是1？
7、（華杯賽復賽試題）把37拆成若干個不同數的和，有多少種不同拆法？將每一種拆法中拆出的那些質數相乘，得到乘積中哪個最小？
8、（第五屆華杯賽決賽試題）27名小運動員所穿運動服的號碼恰是1，2，3…，26，27這27個自然數，這些小運動員能否站成一個圓圈，使任意兩個相鄰運動員之和都是質數？說明理由。


10.2 分解質因數
[同步鞏固演練]
1、相鄰兩個自然數的乘積是756，這兩個自然數分別是多少？
2、有5個連續偶數的積是3840，求這個數各是多少？
3、有5個連續奇數的積是945，求這五個數各是多少？
4、五個孩子的年齡一個比一個小1歲，他們的年齡的乘積是55440，求這五個孩子的年齡。
5、有3個自然數a、b、c，已知a×b=6，b×c=15，a×c10，則a×b×c=？
6、求自然數N，使得它能被5和49整除，并且有10個約數（包括1和本身）。
7、自然數1111155555是兩個連續奇數的乘積，則這兩個連續奇數的和是多少？
8、有三個自然數，最大的比最小的大6，另一個是它們的平均數，且三個數的乘積是42560，求這三個自然數。
9、五個兒童的年齡的和是37，積是18480，如果每一個兒童的年齡都不到13歲，五個兒童的年齡各是多少？
10、用幾只船分三次把90袋化肥載過河去，已知每只船載的化肥袋數相同，且至少載6袋，每次應有多少只船？每只船載多少袋化肥？
11、學生1430人參加團體體操，分成人數相等的若干隊，每隊人數在100人到200人之間，有幾種排法？
12、某班同學在王老師帶鄰下去植樹，學生恰好能分成人數都相等的3組，如果老師與學生每人種樹的棵數一樣多，共種884棵，那么每人種樹多少棵？（學生人數50人左右）
13、一些真分數的分子與分母互質，且分母的乘積是780，這樣的真分數有多少個？


[能力拓展平臺]
1、自然數a和b恰好都有99個自然數因數（包括1和該數本身），試問，數a×b能不能恰有1000個自然數因數（包括1和該數本身）。
2、有三個自然數，它們的和是338，積是1986，求這三個數。
3、求2310除它本身以外的最大約數。
4、自然數a乘經2376，正好是一個平方數，求a的最小值。
5、三個自然數a、b、c，已知a×b=30，b×c=35，a×c=42，求a×b×c是多少？
6、將8個數14、30、33、75、143、169、4445、4953分成兩組，每組4個數，要使各組4個數的乘積相等。則其中一組的4個數是14， 、 、 。
7、有24盆花，分成幾堆（至少分2堆），使每堆的盆數都相等，可以怎樣分？
8、將750元獎金平均分給若干獲獎者，如果每人所得的錢化成以角作單位的數就正好是獲獎人數的12倍，求獲獎人數。
9、邊長是自然數，面積是165的形狀不同的長方形共多少種？
10、如果兩個數的積與308和450的積相等，并且這兩個數同時能被30整除，求這兩個數。


[全講綜合訓練]
1、50以內，由1～7組成的兩位數的質數共有多少個？
2、用1，2，4，5，8中的三個數字組成、最大的三位質數。
3、（“小學愛數學”大江杯賽題）100×101×102×…×199×200這101個數相乘，積的末尾上連續有多少個“0”？
4、（全國奧賽題）一個小于200的自然數，它的每位數字都是奇數，且它等于兩個兩位數的積，求此自然數。
5、（全國奧賽題）如果自然數有四個不同的質數，那么，這樣的自然數中，最小的是幾？
6、（全國數學競賽題）在947后面添上三個不同的數字，組成一個能被2，3，5整除的六位數，這個數最小是幾？
7、（全國奧賽題）找出1992的所有不同的質數，它們的和是多少？
8、（南京市興趣杯賽題）現有四個數：76550，76551，76552，76554，其中有兩個數的乘積能被12整除，寫出所有這樣的兩個數。
9、將60拆成10個質數之和，要求其中最大的質數盡可能小，那么其中最大質數是幾？
10、從小到大寫出5個質數，使后面的數都比前面的數大12。
11、兩個大于10的合數的和是29，這兩個合數分別是多少？
12、一個自然數a是一質數，而且a＋12，a＋22也是質數，那么a最小是多少？
13、（華杯賽復賽題）173□是個四位數，數學老師說：“我在這個□中先后填入3個數字，所得到的三個四位數，依次可被9，11，6整除”，問數學老先后填入的三個數字的和是多少？
14、把26，33，34，35，63，85，91，143成若干組，要求每一組中任意兩個數的最大公約數是1，那么至少要分成多少組？
15、小明家的電話號碼是七位數，它恰好是幾個連續質數的乘積，這個積的末四位數是前三位數的10倍，請問小明家的電話號碼是多少？
16、A=61×62×63×…×86×87×88。問A能否被6188整除？
17、（祖沖之杯賽題）如果一個數，將它的數字倒排后所得數仍是這個數，我們就稱這個數為“回數”例如，22，464，25752等都是“回數”“1991”這個數具有如下兩個性質：
（1）1991是一個“回數”
（2）1991可以分解成一個兩位素數回數與一個三位素數回數的積，即1991=11×181，其中11，181既是回數又是素數。
在1000到2000這1000個數中，除1991外，具有性質（1）和（2）的整數還有哪些？
18、（華杯賽決賽二試題）已知五個數依次是13，12，15，25，20，它們每相鄰的兩個數相乘得四個數，這四個數相鄰兩個相乘得三個數，它三個數每相鄰兩個相乘得兩個數，這兩個數相乘得一個數，請問最后這個數從個位起向左數，可以連續地數到幾個0（如圖）

第18題













第十講 質數、合數和分解質因數
10、1 質數和合數
[同步鞏固演練]
1、7
a=1，b=2，c=4，故a+b+c=7
2、填法如圖

相鄰二圈內兩數和最小可能值為1+2=3，最大可能值為8+7=15，即相鄰二圓圈內數之和只能是3、5、7、11、13這5個數，于是圓圈內填的數必奇偶相間，現1可與2、4與6相鄰，3可與2、4、8相鄰，5可與2、6、8相鄰，7可與4、6相鄰，故7兩邊必為4、6，而8的兩邊必為3與5，即得到④—⑦—⑥與③—⑧—⑤這兩個“短鏈”。考慮1與2插入此二短鏈之間，④—①—⑤，④—①—③，⑥—①—⑤，⑥—①—③等均不能奇偶相間，故只能4與3相鄰或5與6相鄰，得6—7—4—3—8—5或4—7—6—5—8—3，在兩端分別插入1與2，可得兩種填法，如將此二圖翻轉還可得另二種類似填法（不是旋轉）。
3、194
99=2+97，2×97=194
3、21
枚舉試驗得10×11+11=121是合數，這兩個自然數的和為10+11=21。
4、2
5、一定不是質數
因為1+2+3+……+9=45是3的倍數，所以一定不是質數。
6、39916802，39916803，39916804，39916805，39916806，39916807，39916808，39916809，39916810，39916811。
設k=11×10×9×…×2×1，則k+2，k+3，k+4，…k+11為連續10個合數。
7、27
285=5×3×19，故三個質數和為5+3+19=27。
8、1和0
[能力拓展平臺]
1、6個
末位數為偶數的質數只有2，其余三個偶數都不能作為質數的末位數，故至多可組成6個質數，現有43、61、89、2、5、7這6個數為質數。
2、3，11
設此質數為p，則a2=7p+4，經驗算可知p=3，11。
3、5，11，17，23，29
設此質數為p，則此五個數為p、p+6、p+6×2、p+6×3、p+6×4，故p≠2，3，即p≥5。即p=5可得一組解。
4、4個
連續9個自然數均大于80，其中至少4個偶數，其中必有3個3的倍數，3個3的倍數中必有一個是奇數，故連續9個自然數中至少有5個合數，故至多有4個質數，又101，103，107，109這四個數為質數，即從101～109這9個數中有4個質數，故知結論正確。
5、900

如圖，中間三個圓圈中填的質數分別為a、b、c，由于四個小三角形中三個頂點填數和相等，故上頂點只能填c，左頂點只能填b，右頂點只能填c，左頂點只能填b，右頂點只能填a，于是可知a+b+c=10。從而只能是填2、3、5，從而六數之積為2×2×3×3×5×5=900。
6、71、97
據已知，這兩個質數的個位數分別是1與7，個位數為1的兩位質數有11，31，41，61，71；
而168—11=157，168—31=137，168—41=127，168—61=107，168—71=97。只有97是兩位的質數，故本題只有惟一解。
7、10種，4325
小于37的質數有31，29，23，19，17，13，11，7，5，3，2共11個
（1）由37=31+6，而6不能用5，3，2這三數中某些數的和得出；
（2）37=29+8，而8=5+3，故得37=29+5+3；
（3）37=23+14，而14=11+3=7+5+2，故得37=23+11+3，37=23+7+5+2；
（4）37=19+18，而18=13+5=13+3+2=11+7=11+5+2，故得37=19+13+5，37=19+13+3+2，37=19+11+7，37=19+11+5+2；
（5）37=17+20，而20=13+7=13+5+2=11+7+2，故得37=17+13+7，37=17+13+2，37=17+11+7+2。
這樣共得到10種拆法。積以29×5×3=435最小
8、不能站成一圈
方法一 因為質數除2以外都是奇數，但此27個數中任二個的和都不可能等于2，所以如果能站成的話，所得27個數均應為奇質數。
但若兩個數的和為奇數，這兩個數必一奇一偶，所以此圓上27個數必奇偶相間排列，這27個數中奇數個數應該等于偶數個數，但這27個數的奇數與偶數個數不等，從而他們不能站成一個圈。
方法二 同上理由，27個質數均為奇數，故它們的和也為奇數。但些27個質數都是由1至27中某兩個數相加而得，于是1至27這27個數在和中出現了兩次，即和應是（1+2+3+…+27）×2為偶數。
由于奇數不能等于偶數，故他們不能站成一圈。
10、2分解質因數

[同步鞏固演練]
1、27和28
756=2×2×3×3×3×7=27×28，所以相鄰兩個自然數是27和28。
2、2、4、6、8、10
3840=2×2×2×2×2×2×2×2×3×5=2×4×6×8×10，所以五個連續偶數是2、4、6、8、10。
3、1、3、5、7、9
945=3×3×3×5×7=1×3×5×7×9，所五個連續奇數是1、3、5、7、9。
4、7歲、8歲、9歲、10歲、11，歲
55440=2×2×2×2×3×3×5×7×11=7×8×9×10×11，所以五個孩子的年齡是7歲、8歲、9歲、10歲、11歲
5、30
（a×b）×(b×c)×(a×c)=6×15×10
=a×a×b×b×c×c =2×3×3×5×2×5
=(a×b×c)×(a×b×c) =(2×3×5)×(2×3×5)
那么a×b×c=2×3×5=30。
6、12005
N=52—1×75—1=5×74=12005
7、33333和33335
先大概估各計一下，30000×30000=900000000＜1111155555＜122500000=35000×35000，
所以這兩個奇數應在30000～35000之間。將1111155555分解因數是1111155555=11111×100005 =11111×3×33335=33333×33335
這兩個連續奇數是33333和33335
8、32、35、38
先觀察條件可知，因為最大的比最小的大6且另一個是它們的平均數，所以這三個數一個比一個大3。再大概估計一下，因為30×30×30=2700＜42560＜40×40×40=64000，所以要求的三個數在30～40之間。
42560=26×5×7×19=32×35×38
這三個自然數是32、35主38
9、5歲、6歲、7歲、8歲、11，歲
18480=2×2×2×2×5×3×7×11=5×6×7×8×11，而5+6+7+8+11+37，所以五個兒童的年齡各是5歲、6歲、7歲、8歲、11，歲
10、每次2條船，每船15袋；第次3條船，每船10袋；每次5條船，每船6袋。
90=3×2×3×5=3×2×15=3×3×10=3×5×6，所以每次2條船，每船15袋；第次3條船，每船10袋；每次5條船，每船6袋。
11、3種
1430=2×5×11×13=13×110=130×11=143×10，其它都不符合條件，所以只有3種排法。
12、17棵
884=2×2×13×17=52×17， 52－1=51， 51=17×3，51是學生人數，每人種17棵樹。
13、8個
因為780=2×2×3×5×13，所以2×2的分子上，有，，共3個，2×2在分母上時，，，，共5個，故這樣的分數共有3+5=8（個）

[能力拓展平臺]
1、不能恰有1000個自然數因數。
2、1、 6、 331
因為1986=2×3×331，而2+3+331=336，不合題意，最大的質因數是331，那么另兩個數的積是6，和是7，那只能是1和6
3、1155
因為最大的約數是他本身，那么除本身以外最大的約是是2310÷2=1155
4、66
2376=2×2×2×3×3×3×11 ，要使它是一個平方數每個質因的個數必須是偶數，所以a最小是2×3×11=66
5、210
a×b×b×c×a×c=30×35×42
=(a×b×c)×(a×b×c)=2×3×5×5×7×2×3×7
=(2×3×5×7)×(2×3×5×7)
所以a×b×c=2×3×5×7=210
6、14、75、143、4953
14=2×7 30=2×3×5， 33=3×11， 75=3×5×5, 143=11×13， 169=13×13 4445=5×7×127, 4953=3×13×127
所以含有14的組是14、75、143，4953
7、7種分法。
24=2×2×2×3=2×12=3×8=4×6=6×4=8×3=12×2=24×1所以分2堆，每堆12盆；分3堆，每堆8盆；分4堆，每堆6盆；分6堆，每堆4盆；分8堆，每堆3盆；分12堆，每堆2盆。分24堆，每堆1盆。
8、25人
750元=7500角=2×2×3×5×5×5×5=12×25×25
所以獲獎人數是25
9、4種
165=5×3×11=3×55=5×33=11×15=1×165，所以共4種
10、30種4620，60和2310，210和660，330和420
308×450=2×2×7×11×3×2×3×5×5=30×30×2×7×11=30×4620=60×2310=210×660=330×420
所以兩個數為30和4620，60和2310，210和660，330和420
[全講綜合訓練]
1、9
兩位數的質數的個位數字只能是1，3，7，當個位數字是1時，質數為11，31，41，當個位數字是3時，質數為13，23，43；當個位數字是7時，質數為17，37，47；所以滿足條件的質數共有9個。
2、821
由題意知個位數只能是1，將個位數字是1的三位數從大到小進行試驗，只有821不能被2至29的任何一個質數整除，所以821是所求的最大的三位質數。
3、27個0
積的末尾連續0的個位數只與積的分解式中因數2與5的相關，在分解式中有一個“2”及一個“5”，積的末尾就有一個“0”，由于在這個積中，每隔5個數才有一個數有因子5，每2個數就有一個數有因子2，這說明積的分解式中，因子“2”比因子“5”多，所以只要考慮積的分解式中因子“5”的個數：在100，105，110，…，200這21個數中有因子5，其中100、125、150、175、200這5個數有因數52，而125有因數53，于是積的分解式中因數“5：共有21+5+1=27個，從而積的末尾有連續27個“0”
4、195
最小的兩個二位數積為10×10=100，故所求數的百位數字為1，且這兩個二位數的十位數字都必為1，個位數字為奇數，由于11×1x，（x為1，3，5，7）的積的十位數字必為x+1為偶數，故這二個兩位數中沒有11；又13×13=169，13×15=195，13×17＞200，知只有195滿足條件。
5、210
2×3×5×7=210
6、947130
因為能被2、5整除的末位是0設這個數為，則9＋4＋7＋a＋b=20＋a＋b, a＋b=1,4,7又要求數字不同，所以只能是4，最小的是947130
7、88
1992=23×3×83 所和為2＋3＋83=88
8、76550×765554；76551×76552；76552×76554
76550=2×38275，76551=3×25517，76552=23×9569，76554=2×23×4253，但12=22×3，故76550×76554；76551×76552；76552×76554這三對數之積是12的倍數。
9、7
60=7＋7＋7＋7＋7＋7＋7＋7＋2＋2
10、5，17，29，41，53
11、14和15
將29表示成兩個大于10的數的和：29=11＋18=12＋17=13＋16=14＋15
所以這兩個合數是14和15。
12、7
從最小質數進行試驗，只有當a=7時，a+12是質數，a＋22也是質數，所以符合條件的最小值是7。
13、19
因為 1+7＋3=11，11+7=18，故□中填入數字7時，該四位數可被9整除
因為1+3=4，7+8—4=11，故□中填入數字8時，該四位數可被11整除。
因為一個數要能被6整除，則這個數應分別能被2與3整除，當□中填入0，2，34，6，8時，該四位數可被2整除，當□中填入1，4，7，時，該四位數可被3整除，故當中填入數字4時，該 四位數可被6整除。
所以三次填入的數依次為7，8，4，此三數的和為19
14、至少分成三組。
26=2×13，33=3×11，34=2×17，35=5×7，63=7×32，85=5×17，91=7×13，143=11×13。
因為26，91，143都含有質因數13，所以到少應分成三組，這才保證相同的質因數不分在同一組內。
15、9699690
設電話號碼為，，=×1001×10=2×5×7×11×13×
因為電話號碼是連續七個質數的乘積，而是三位數，故3×17×19=969
故小明家的電話號碼是 9699690
16、能
因為6188=22×7×13×17，而63=7×9，65=5×13，68=22×17，63×65×68=22×7×13×17×（9×5）=6188×45
所以，6188能整除A
17、1111，1441，1661，共有三個
由于20×100=2000，故兩位的素數回數只能＜20，即只能是11，而11×200=2200＞2000，故三位的素數回數只能是，而11×=是一回數（x＜9＝，但使為素數的x只能為1111，1441，1661。
18、10個0
第二行四個數依次寫為13×12，12×15，15×25，25×20；第三行三個數依次為13×122×15，12×152×25，15×252×20；第四行兩個數依次為13×123×153×25，12×153×253×20；第五行的數為13×124×156×254×20
13×124×156×254×20=13×34×44×36×56×58×4×5=210×310×515×13
由于最后得數的分解式中有10個因數2及15個因數5，故積可寫成1010×a（a為末位數字不為0的整數），故乘積從個位起依次向左數，可以連續地得到10個0



第十一講 奇數和偶數
[同步鞏固演練]
有15支球隊進行比賽，如果要求每支球隊都與其他5支球隊比賽一場，能辦到嗎？為什么？





六（1）班同學畢業前，互相交換照片留念，那么全班用來交換的照片的總張數是奇數還是偶數？






已知A、B、C、中有一個是7，一個是8，一個是9，則（A－3）×（B－4）×（C－5）的結果一定是奇數還是偶數。







4、1987個球無論多少人采用什么樣的分法，最終每人都分得奇數個球的總人數不能是偶數。為什么？







5、小華買了一本共有96張紙的練習本，并依次將每張 紙的正反兩面編號（從第1頁編到第192頁），小麗從這本練習本中撕下25張紙，并將寫在它們上的50個編號相加。試問：小麗所加得的和數能不能是1998？






6、任意寫1000個連續自然數，它們的總和是奇數還是偶數？為什么？







7、能不能將1010寫成10個連續自然數的和？如果能，把它寫出來；如果不能，說明理由。







8、有九只杯口全部向上的杯子，每次將其中四只同時“翻轉”，問能不能經過若干次“翻轉”使杯口全部向下？為什么？









9、將36支香插進9個香爐中，要使每個香爐中香的支數都是奇數，能否做到？





10、某教室有座位是三排，每排五把椅子，每個椅子上坐著一個學生，要讓這些學生都必須換到與他相鄰（前、后、左、右）的某一個同學的座位上，能不能實現？








[能力拓展平臺]
1、平面上有99個點，每三個點都不在一條直線上，現在從每個點引出五條直線和其余的任意五個點相連，你能連成嗎？如果不行，請說明道理。
2、設O點是正12邊形，A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12（見圖）的中心，用1，2，3，…11，12給正12邊形的和邊任意編號，又用同樣的這12個數把線段OA1，OA2，OA3，…OA12也任意編號，問能不能找到一種編號法，使三角形A1OA2，A2OA3，…A11OA12，A12OA1各邊上的號碼和都相等？能的話給出一種編法；能的話，請說明原因。

第2題
3、任意改變某個三位數的各數字的次序后得到一個新的三位數（比如三位數432可以改變為432、324等），問這個新三位數與原來那個三位數的和能不能等于999？如能，試舉一例；如不能，請說明理由。
4、在黑板上寫出三個自然數，然后擦去一個數，換成其它兩數的和減1，這樣一直進行下去，最后黑板上是17、1993、1997，問原來的三個數能否是8、8、8？
5、能不能將1～1993這1993個自然數分成若干組，使得每組中都有一個數等于同組中其余各數的和？為什么？
6、有9只杯口向上的茶杯，每次翻動其中6只，能否翻若干次后使杯口向全部向下？
7、有20個1升的的容器，分別盛有1，2，3，…，20厘米3的水，允許由容器A向B倒進B容器內所盛水體積相同的水（在A中的水不少于B中水的條件下）問：在若干倒水以后能否使其中11個空器中各有11厘米3的水？
8、共考20道題，規定答對一題給5分，答給1分，答錯倒扣1分，證明：得分總數一定是偶數？
9、設a1,a2,…,a64是自然數1，2，…，64的任一排列，令
b1=a1－a2,b2=a3－a4,…,b32=a63－a64；
c1=b1－b2,c2=b3－b4,…,c16=b31－b32；
d1=c1－c2,d2=c3－c4,…,d8=c15－c16；
……
這樣一直做下去，最后得到的一個整數是奇數還是偶數？
[全講綜合訓練]
1、下列每個算式中，最少有一個奇數，一個偶數，那么這12個整數中，至少有幾個偶數？
□＋□=□ □－□=□
□×□=□ □÷□=□
2、任意取出1234連續自然數，它們的總和是奇數還是偶數？
3、一串數排成一行，它們的規律是：前兩個數都是1，從第三個數開始，每一個數都是1，從第三個數開始，每一個數都是前兩個數的和，如下所示：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…
試問：這串數的前100個數（包括第100個數）中，有多少個偶數？
4、能不能將1～1993這1993個自然數分成偶數組，使得每一組中最大數都等于這一組內其余各數和的一半？
5、一個游戲的規則為：在黑板上寫上三個自然數，然后隨便擦去其中一個數，換上未擦去的兩個數的和減1，這樣做了多次之后，黑板上得到17、123、139這三個數，請問黑板上開始寫的三個數可以是2、2、2或3、3、3嗎？
6、有30枚2分硬幣和8枚5分硬幣，5角以內共有49種不同的幣值，哪幾種幣值不能由上面38枚硬幣組成？
7、一次數學競賽共30題，答對一題得2分，錯1題扣1分，不答的不扣分，也不加分，考試結束，小華得47分，他只記得未答題數是偶數，他答對幾道？
8、從1，2，3，…，100中任選兩個不同的數，可以組成兩個加法算式（8＋2與2＋8算兩個），這些算式中，有的和是奇數，有的和是偶數，在所有這些算式中，和為奇數的多還是和為偶數的多？多多少？
9、桌上放有77枚正面朝下的硬幣，第1次翻動77枚，第2次翻其中的76枚，第3次翻動其中的75枚……第77次翻動其中的1枚，按這樣的方法翻動硬幣，能否使桌上所有的77枚硬幣都正面朝上？說明你的理由。
10、在象棋比賽中，勝者得1分，敗者扣1分，若為平局，則雙方各得0分，有若干個學生進行比賽，每兩人都賽一局，現知，其中有一位學生共得7分，另一學生共得20分，試說明，在比賽過程中至少有過一次平局。















第十一講 奇數和偶數
[同步鞏固演練]
1、辦不到
如果一支球隊與其他隊賽一場，那么兩支球隊都計為各賽一場，則15支球隊實際的比賽數是15×5÷2=37.5場，這顯然是辦不到。
2、偶數
兩人互相交換是2張，所以全班用來交換的照片的總張數是偶數
3、偶數
經過試驗易知，A無論是7，8，9哪一個數，保證A—3，B—4，C—5中至少有一個偶數，則偶數乘以任意一個自然數仍是偶數，得（A—3）×（B—4）×（C—5）必是偶數。
4、無論怎么分，每人分得的球的個數不是奇數就是偶數。分得偶數個球的人，他們球的總數一定是偶數。如果分得奇數個球的總人數是偶數，那么他們分得的球的總個數一定也偶數。偶數+偶數=偶數，與條件不符（1987是奇數），所以分得奇數個球的總人數不能是偶數
5、不能
每張紙上兩個頁碼一定是一奇一偶，那么每張紙上兩個頁碼的和一定是奇數，那么25張紙上的頁碼總和一定是奇數，（奇數個奇數的和是奇數），所以不可能是1998
6、偶數
1000個連續自然數中有500個奇數和500個偶數，500個奇數的和是偶數，500個偶數的和是偶數，所以偶數+偶數=偶數
7、不能
10個連續自然數中有5個奇數和5個偶數，5個奇數之和是奇數，5個偶數之和是偶數，奇數+偶數=奇數，1010是偶數，奇數≠偶數
8、不可能
對每一個杯口向上的杯子，要想使杯口向下，必須“翻轉”奇數次，共有9個杯子，每個杯子都要翻轉奇數次，9個奇數相加的和仍是奇數，也就是說，翻轉的總數是奇數。
題目中只允許每次翻轉四只杯子，是個偶數，翻轉若干次后，翻轉的總數一定是個偶數，因此，按規定不可能經過若干次翻轉，使杯口全部向下。
9、不能
如果每個香爐中香的支數是奇數，則9個香爐中香的總和是奇數，而36是偶數，所以不能
10、不能
如圖給15個座位按1、2相間標號，由于1有8個，2有7個，所以坐在1上的8個學生不能坐到2的7個座位上。
1 2 1 2 1
2 1 2 1 2
1 2 1 2 1


[能力拓展平臺]
1、不能連成。
每個點與另一個點連接成一條直線，可看作兩個點各連一次，則連接的直線總條數是99×5÷2，結果是小數，這是不可能的
2、不能
分別用a1;a2…,a12；b1，b2，…，b12代表12條邊和12條線段上的號碼數，不管怎么編號，總有a1+a2+…a12=b1+b2+…+b12=1+2+…+12，又因為每個三角形三邊上的號碼和都相等，當我們用s表示這個和時，所以12個三角形三邊上號碼和總數為12s，另外在計算12個三角形三邊上號碼之和時，每個b1，b2，…，b12都用了兩次，這一來便有：
12s=（a1+a2+…+a12）+（b1+b2+…+b12）×2
即 12s=3×（1＋2＋…＋12）=3
化簡得 2s=3×13=39，39是奇數，2s是偶數，根據奇數不等于偶數，所以滿足要求的編號方法不存在。
3、原三位數與新三位數之和不能為999。
設原三位數為，新三位數為（a1，b1，c1是a，b，c的一個排列），一定有a+b+c=a1+b1+c1，如果+=999，因為c+c1≠19，所以c+c1=9，同樣有a+a1=9，b+b1=9，（a1+a）+（b1+b）+（c1+c）=27，另外
（a1+a）+（b1+b）+（c1+c）=（a+b+c）+（a+b+c）+（a1+b1+c1）
所以 2（a+b+c）=27。2（a+b+c）是偶數，27是奇數，兩者不等，所以原三位數與新三位數之和不能等于999。
4、不能
因8、8、8按要求操作是8、8、17；8、17、26；17、26、44；…，觀察發現是兩偶一奇，而17，1993，1997都是奇數，所以原來三個數不能是8、8、8
5、不能 假設可以按要求排成。設第一組中最大的數是a1，其余各數的和也是a1，，則第一組中所在數的和是2a1；同理，設第二組中的最大的數是an則第n組所有數的和是2an。
所有數（1～1993）的和就是 2a1+2a2+…+2an=2（a1+a2+…+an）其結果是一個偶數。
其實上（1～1993）的和是:（1+1993）×1993÷2=997×1993,奇數乘以奇數，積一定是奇數
假設的結果與事實矛盾，這說明假設的情況是不可能達到的。
因此不能將1～1993分成若干組，使每組中的某個數等于同組中其余各數的和。
6、不能
翻動若干次的和是偶數，而9只杯口向上要使杯口全部向上，要使杯口全部向下，必須翻動奇數次，所以不能。
7、不可能
在倒水以后，含奇數立方厘米水的容器數是不會增加的，事實上，以（偶，偶）（偶，奇）（奇，奇）來表示兩個分別盛有偶數及偶數，偶數及奇數，奇數及奇數立方厘米水的容器，于是在題中條件限制下，在倒水后，（偶，偶）仍為（偶，偶）；而（偶，奇）會成為（偶，奇）或（奇，偶）；（奇，奇）卻成為（偶，偶），在任何情況下，盛奇數立方厘米水的容器沒有出來。
因為開始有10個容器里盛有奇數立方厘米的水，所以不會出現有11個盛有奇數立方厘米水的容器。
8、20道題全對，可得5×20=100分。若有一題未答，應給1分，假設全對時給5分，多給4分，若有m題未答，應減去4m分；答錯了應倒扣1分，假設全對時給5分，多給6分，若有n題未答，應減去6n分，則實際得分是100—4m—6n，偶數減偶數等于偶數，其結果一定是偶數。
9、偶數。
我們知道，對于整數a與b，a+b與a—b的奇偶性相同，由此可知，上述計算的第二步中，32個數:a1—a2，a3—a4，…，a63—a64，
分別與下列32個數：a1+a2，a3+a4，…，a63+a64，
有相同的奇偶性，這就是說，在只考慮奇偶性時，可以用“和”代替“差”，這樣可以把原來的計算過程改為
第一步：a1，a2，a3，a4，…，a61，a62，a63，a64，
第二步：a1+a2，a3+a4，…，a61+a62，a63+a64，
第三步：a1+a2+a3+a4，…，a61+a62+a63+a64，
……
最后一步所得到的數是a1+a2+…+a63+a64，由于a1，a2，…，a64是1，2，…，64的一個排列，因此它們的總和為1+2+…+64，是一個偶數，故最后一個整數是偶數。
[全講綜合訓練]
1、至少有6個偶數
因每個算式中，最少有一個奇數，一個偶數則□+□=□中，至少有一個偶數，□—□=□中至少有一個偶數，□×□=□和□÷□=□中至少各有兩個偶數，所以12個數中，至少有6個偶數。
2、奇數
1234÷2=617，所以在任取的1234個連續自然數中，奇數的個數是奇數，奇數個奇數之和是奇數，所以它們的總和是奇數。
3、33個
因為這串數的排列是以“奇奇偶”循環，所以100÷3=33……1，故有33個偶數。
4、不能
因為根據題意，假設能分成，則每組數中最大數為a，其余各數和為2a，每組和為a+2a=3a，所以無論3a是奇數還是偶數，偶數組的和是偶數，而1+2+3+……+1993=（1+1993）×1993÷2=997×1993是奇數，假設結果與事實矛盾，所以不能達到要求。
5、開始寫的三個數可以是3、3、3，不能是2、2、2。
如開始三個數為2、2、2，通過具體分析發現，從第一次開始，以后各次不論怎么換，黑板上的數總是兩偶一奇，而17、123、139三個全是奇數，故開始三個數不能是2、2、2。
可以是3、3、3，具體換法如下：
3,3,3→3,3,5→3,5,7，→5,7,11→7,11,17→11,17,27→17,27,43→17,43,59→17,59,75→17,75,91→17,91,107→17,107,123→17,123,129.
6、1分和3分
當幣值為偶數時，可以甲若干枚2分硬幣組成；
當幣值為奇數時，除1分和3分這兩種幣值外，其余的都可以用1枚5分和若干枚2分硬幣組成，所以5角以下的不同幣值，只有1分和3分這兩種幣值不能由題目給出的硬幣組成。
7、25道
假設2道題未答，則28×2=56，（56—47）÷（2+1）=3（道）所以答錯3道，答對28—3=25（道）
8、和為奇數的多，多100個。
把這些算式分為100類，每類中有99個算式：
第1類：1+2，1+3，1+4，…，1+100；
第2類：2+1，2+3，2+4，…，2+100；
第3類：3+1，3+2，3+4，…3+100；
……
第100類：100+1，100+2，…，100+99
在第1類中，缺少算式1+1，所以算式和為奇數的比算式和為偶數的多1個；
在第2類中，缺少算式2+2，所以算式和為奇數的比算式和為偶數的多1個；
在第3類中，缺少算式3+3，所以算式和為奇數的比算式和為偶數的多1個；
……
在第100類中，缺少算式100+100，所以算式和為奇數的比算式和為偶數的多1個。
故在所有這些算式中，和為奇數的比和為偶數的多1×100=100（個）
9、能
按規定的翻法，共翻動1+2+…+77=77×39次，平均每枚硬幣翻動了39次，這是奇數。因此，對每一枚硬幣來說，都可以使原先朝下的一面翻朝上，注意到77×39=77+（76+1）+（75+2）+…+（39+38），
根據規定，可以設計如下的翻動方法：
第1次翻動77枚，可以將每枚硬幣都翻動一次；第2次與第77次共翻動77枚，又可將每枚硬幣都翻動一次；同理，第3次與第76次，第4次與第75次……第39次與第40次都可將每枚硬幣各翻動一次，這樣每枚硬幣都翻動了39次，都由正面朝下變為正面朝上。
10、設得7分的學生勝了x1局，敗了y1局，得20分的學生勝了x2局，敗了y2局，由得分情況知：x1—y1=7，x2—y2=20
如果比賽過程中無平局出現，那么由每人比賽的場次相同可得x1+y1=x2+y2，即x1+y1+x2+y2是偶數，另一方面，由x1—y1=7知x1+y2為奇數，由x2—y2=20知x2+y2知x2+y2為偶數，推知x1+y1+x2+y2為奇數，這便 出現矛盾，所以比賽過程中至少有一次平局。

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