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高中數學輪換對稱不等式的證明技巧

輪換對稱不等式形式優美，證明技巧很多，但規律難尋。本文介紹利用基本不等式等號成立的條件湊項證明，只要領悟添項的技巧，這類不等式完全可以程式化證明，供參考。
一、湊項升冪法
例1 已知，且，
求證：
分析：由于當時，上述不等式的“=”成立，于是。
證明：因為，所以，同理，，上述三式相加，并將代入化簡即得證。
二、湊項降冪法
例2 證明Cauchy不等式
證明：設，則，所以，
即。
三、湊項去分母法
例3　設是正數，且，
求證：（1990年第24屆全蘇數學奧林匹克十年級題２）
分析：由于當時等號成立，于是。
證明：設，因為
所以，即。
例4　設，且，求證：（1995年第36屆IMO題2）
證明：原不等式等價于
當a=b=c=1時等號成立，此時，所以，，同理，，，上述三式相加并化簡得
例5　設角A、B、C滿足
求證：
分析：原條件等價于，當時等號成立，于是，，上述三式相加并化簡得證，證明略。
四、湊項平衡系數法
例6　設z>0，，則。
分析：當x=y=時等號成立。
證明：因為，，①，將上述三式相加并化簡得，②
所以，
即。
注：只有①式的系數湊成，②式中xy的系數才能是。
上述各種湊項方法不是相對獨立的，可以交替使用，但湊項的關鍵是在求和時能利用已知條件，并能取到等號。
注：本文發表于《上海中學數學》2003年第6期

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