資源簡介

循環(huán)小數(shù)特點(diǎn)和規(guī)律的初步探究
洞頭一中 高一（10）班
組長：朱倩沁 組員：張曉敏、童思鵬、
指導(dǎo)教師：葉延年
在分?jǐn)?shù)中，當(dāng)分母只是由素?cái)?shù)2或5作為因數(shù)或組合而成的合數(shù)時(shí)，這個(gè)分?jǐn)?shù)是可以化為一個(gè)有限小數(shù)的，如1/20，如果分?jǐn)?shù)P/Q中，P和Q互質(zhì)，分母是一個(gè)除2和5之外的素?cái)?shù)，或者是一個(gè)含有除2和5之外的素?cái)?shù)的合數(shù)時(shí)，其結(jié)果一定是循環(huán)小數(shù)，如1/6等。
循環(huán)小數(shù)，是數(shù)論研究的內(nèi)容之一。然而它的枯燥無味，使得真正研究它的人相對于其他領(lǐng)域少了許多，而且在網(wǎng)上搜尋中，除了小學(xué)數(shù)學(xué)中的循環(huán)小數(shù)的問題外，也很難找到一些富有參考價(jià)值的材料。
循環(huán)小數(shù)和中，有一類分子為1，分母為一個(gè)除2和5之外的素?cái)?shù)，如1/7，1/13，1/23，1/47…我們給它們起了個(gè)名稱，叫做“簡約分?jǐn)?shù)”，它們是循環(huán)小數(shù)，其循環(huán)小數(shù)計(jì)算結(jié)果如下：
1/7=0.142857142857……
1/13=0. 0769230769230……
1/23=0. 043478260869565217391304347826……
1/47=0.02127659574468085106382978723404255319148936170212……
這些循環(huán)小數(shù)的第一循環(huán)節(jié)長度有長有短，各位置出現(xiàn)的數(shù)字變化無常。雖然如此，我們認(rèn)為它們中會(huì)存在著一些規(guī)律或特點(diǎn)，為此我們著手進(jìn)行了研究。
要研究這類循環(huán)小數(shù)，有一個(gè)前提就是要求出一系列簡約分?jǐn)?shù)的循環(huán)小數(shù)情況，方可供我們進(jìn)一步的研究。所以我們小組的全體成員進(jìn)行了分工，分別去求解1-110以內(nèi)的簡約分?jǐn)?shù)的循環(huán)小數(shù)，每位同學(xué)分工5個(gè)。這些簡約分?jǐn)?shù)有的分母依次是：3、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97、101、103、107、109，共26個(gè)。
然而在計(jì)算中，我們發(fā)現(xiàn)，手工求解時(shí)，對第一循環(huán)節(jié)長度較短的簡約分?jǐn)?shù)，如1/3、1/7、1/37等，是不成問題的，但有些簡約分?jǐn)?shù)的第一循環(huán)節(jié)長度較短實(shí)在很長，求解起來又是費(fèi)時(shí)，又容易出錯(cuò)，這樣就對后面的研究產(chǎn)生了很大的影響。由于這個(gè)困難，我們幾乎要選擇放棄了！但指導(dǎo)老師對我們進(jìn)行了指點(diǎn)，希望我們能通過手工計(jì)算循環(huán)小數(shù)的過程細(xì)節(jié)中，找到一種可在小型計(jì)算器上進(jìn)行演算的算法，這對我們的研究起了明燈的作用。
通過小組幾位同學(xué)的仔細(xì)研究，我們在一周之后，初步設(shè)計(jì)出了一個(gè)可行的用小型計(jì)算器求解長循環(huán)節(jié)小數(shù)的算法，得到了指導(dǎo)師的肯定，并由他適當(dāng)修改后，變得更為簡便可行。（詳見中期匯報(bào)的小論文）。
即使這樣，我們還是感覺在求解一些較長的循環(huán)小數(shù)是，工作量很大，這就促使我們?nèi)ニ伎寄芊窭糜?jì)算機(jī)編制程序的方式，來快速求解？答案是肯定的！計(jì)算機(jī)求解的程序，與手工計(jì)算的程序或小型計(jì)算器的求解程序在原理上是一致的，但我們編程序的知識(shí)卻幾乎是空白的。為此，我們與指導(dǎo)老師一起探討，在老師的指導(dǎo)下，我們試用了EXCEL電子表格，但由于其中的一些函數(shù)功能不熟悉，困難很多，通過老師的指導(dǎo)，整整花了兩周的時(shí)間，我們終于見到了夢寐以求的求解程序。應(yīng)用它，只要輸入一個(gè)分母，就可以立即求出他的循環(huán)小數(shù)。（詳見小文章：用EXCEL電子表格求解循環(huán)小數(shù)的快速方法）
附表1是用EXCEL電子表格求解的1-110以內(nèi)的簡約分?jǐn)?shù)的循環(huán)小數(shù)。
有了這些數(shù)據(jù)，我們的研究工作就有了起色。
首先，我們研究了簡約分?jǐn)?shù)循環(huán)節(jié)的位數(shù)情況，我們發(fā)現(xiàn)，一個(gè)簡約分?jǐn)?shù)分母為N，其循環(huán)節(jié)的位數(shù)最大為N-1位，如7、17、19、23、29等為分母的情況；位數(shù)如果比N-1少的，一般也是（N-1）的一個(gè)因數(shù)，而且多數(shù)是（N-1）/2，如13、31、43等為分母的情況；但也不絕對，如11為分母時(shí)，其循環(huán)節(jié)的位數(shù)為2，是11-1=10的一個(gè)因數(shù)，再如37、41等為分母時(shí)，其位數(shù)分別為3和5位。
在表中，最大的分母是109，其第一循環(huán)節(jié)的位數(shù)為108，仍然符合“循環(huán)節(jié)的位數(shù)為N-1的一個(gè)因數(shù)”的特點(diǎn)。
由此，我們認(rèn)為：
（1）簡約分?jǐn)?shù)1/N的循環(huán)小數(shù)第一循環(huán)節(jié)的位數(shù)長度一定比N位小；
（2）而且這個(gè)位數(shù)就是（N-1）的一個(gè)因數(shù)。
對（1），我們可以證明。比如分母是7，在求解循環(huán)小數(shù)中，每求出一位，就會(huì)有一個(gè)余數(shù)，這個(gè)余數(shù)只可能比7小，是“1、2、3、4、5、6”這6個(gè)數(shù)中的數(shù)，一旦余數(shù)有兩次相同，那么就開始出現(xiàn)循環(huán)的情況了！因此，簡約分?jǐn)?shù)1/N的循環(huán)小數(shù)第一循環(huán)節(jié)的位數(shù)長度一定比N位小；
但對（2），我們只能是看到了這個(gè)特點(diǎn)，限于自身知識(shí)水平不足，卻無法給以證明！
其次，我們發(fā)現(xiàn)，在簡約分?jǐn)?shù)中，第一循環(huán)節(jié)的位數(shù)等于（N-1）的循環(huán)小數(shù)，其第一循環(huán)節(jié)的數(shù)字中存在一個(gè)我們稱之為“半節(jié)和九規(guī)律”的現(xiàn)象。
如1/7=0.142857142857……,第一循環(huán)節(jié)是“142857”，其循環(huán)節(jié)前一半數(shù)字依次是“142”，后一半數(shù)字依次是“857”，而142 + 857 = 999；讓我們再來看另一個(gè)簡約分?jǐn)?shù)，如1/23=0.043478260869565217391304347826……，其第一循環(huán)節(jié)是“0434782608695652173913”，其循環(huán)節(jié)前一半數(shù)字依次是“04347826086”，后一半數(shù)字依次是“95652173913”，而04347826086+95652173913=99999999999；由此我們才取了個(gè)“半節(jié)和九規(guī)律”。這個(gè)規(guī)律對一些第一循環(huán)節(jié)的位數(shù)等于偶數(shù)的簡約分?jǐn)?shù)，可能也是成立的！
這個(gè)特點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)，使我們感到非常有成就感！當(dāng)然，我們?nèi)匀徊荒茏C明它！
此外，由于在與老師的討論中，我們覺得有必要突出對第一循環(huán)節(jié)的位數(shù)為（N-1）的簡約分?jǐn)?shù)1/N作進(jìn)一步的研究。這種簡約分?jǐn)?shù)，我們給它們起了個(gè)名稱，叫“完全簡約分?jǐn)?shù)”，意思是求解它的每一位小數(shù)時(shí)，將會(huì)使1至（N-1）的所有余數(shù)全部出現(xiàn)。
對完全簡約分?jǐn)?shù)的平方、立方、……，也可以做一些研究，我們先選擇了“1/7”、“1/49”（即1/72）、“1/343”（即1/73）進(jìn)行比較，如下：
1/7=0.142857142857……
1/72=0.02040816326530612244897959183673469387755102041632653……
“1/73”的第一循環(huán)節(jié)如下表：
　 10位 20位 30位 40位 50位
0. 0029154518 9504373177 8425655976 6763848396 5014577259
50位 4752186588 9212827988 3381924198 2507288629 7376093294
100位 4606413994 1690962099 1253644314 8688046647 2303206997
150位 0845481049 5626822157 4344023323 6151603498 5422740524
200位 7813411078 7172011661 8075801749 2711370262 3906705539
250位 3586005830 9037900874 6355685131 1953352769 6793002915
300位 4518950437 3177842565 5976676384 8396501457 7259475218

我們可以進(jìn)行這樣的一個(gè)比較：
分?jǐn)?shù) 分母 循環(huán)節(jié)長度 結(jié)果
1/7 7 6 （7-1）
1/72 49 42 7×（7－1）
1/73 343 294 7×7×（7－2）

是否我們可以猜測這樣一個(gè)規(guī)律：對完全簡約分?jǐn)?shù)（如1/N）的K次方，即，它的第一循環(huán)節(jié)長度將是NK-1×(N－1)位！
對些，我們再驗(yàn)算了、、，結(jié)果仍然是符合上邊的這一猜測的規(guī)律。這就更讓我們相信，我們的猜測是正確的！下表是的結(jié)果，而太長（略）。
“1/529”的第一循環(huán)節(jié)（506位）
　 10位 20位 30位 40位 50位
0. 0018903591 6824196597 3534971644 6124763705 1039697542
50位 5330812854 4423440453 6862003780 7183364839 3194706994
100位 3289224952 7410207939 5085066162 5708884688 0907372400
150位 7561436672 9678638941 3988657844 9905482041 5879017013
200位 2325141776 9376181474 4801512287 3345935727 7882797731
250位 5689981096 4083175803 4026465028 3553875236 2948960302
300位 4574669187 1455576559 5463137996 2192816635 1606805293
350位 0056710775 0472589792 0604914933 8374291115 3119092627
400位 5992438563 3270321361 0586011342 1550094517 9584120982
450位 9867674858 2230623818 5255198487 7126654064 2722117202
500位 2684310018 9035916824 1965973534 9716446124 7637051039

這真是有趣的結(jié)果。由此，我們更深入體會(huì)到了“數(shù)學(xué)中數(shù)字這一美麗而和諧的天地！”
如果有興趣進(jìn)一步研究這些完全簡約分?jǐn)?shù)長循環(huán)節(jié)中的數(shù)字，比如每個(gè)數(shù)這出現(xiàn)的頻度，我們還會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)重要的規(guī)律，那就是在1、2、3、4、5、6、7、8、9、0中，每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的頻度幾乎完全相等。例如，對1/23的結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，我們看到在“0434782608695652173913”中，各個(gè)數(shù)字出現(xiàn)頻度如下表：
數(shù)字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
頻度 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2

如果你有興趣和時(shí)間，你還可以對上表中的“1/529”進(jìn)行數(shù)字出現(xiàn)的頻度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，各個(gè)數(shù)字出現(xiàn)頻度如下表：
數(shù)字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
頻度 50 51 51 50 51 51 50 51 51 50

你會(huì)發(fā)現(xiàn)，506位中，每個(gè)數(shù)字或者出現(xiàn)50位，或者出現(xiàn)51位，而且如果數(shù)字A出現(xiàn)的頻度是51，那么數(shù)字B（B=9－A）出現(xiàn)的頻度也一定是51，這一點(diǎn)你可以通過“半節(jié)和九規(guī)律”推導(dǎo)得到！
也就是說，完全簡約分?jǐn)?shù)（如1/N）的K次方，其循環(huán)節(jié)中的數(shù)字1、2、3、4、5、6、7、8、9、0出現(xiàn)的頻度幾乎完全相等！之所以相差1，只是因?yàn)檫@個(gè)長循環(huán)節(jié)的位數(shù)不是10的整數(shù)倍的緣故。
循環(huán)小數(shù)存在著許許多多的有趣的規(guī)律和特點(diǎn)，只要認(rèn)真研究，努力探索，這些規(guī)律和特點(diǎn)將為你所發(fā)現(xiàn)！通過這次的研究，我們找到了許多讓自己感到快樂的東西，雖然許多結(jié)論只是我們的猜測，但我們很希望由于我們的“拋磚”，而能最終“引玉”。興許將來，循環(huán)小數(shù)的領(lǐng)域，特別是完全簡約分?jǐn)?shù)的循環(huán)規(guī)律，會(huì)展現(xiàn)出它們的特殊價(jià)值和地位！


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