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例題精講

例題一：
在一幅比例尺為1:1000的平面圖上，量得學(xué)校操場長9厘米，寬7厘米。學(xué)校操場實(shí)際面積是多少平方米？
〖難度〗：3 難度9個梯度，1-3為容易 4-6為中檔 7-9為偏難
〖考點(diǎn)〗：比例尺
〖分析〗：根據(jù)這幅圖的比例尺和圖上距離，要先求出操場的實(shí)際長和寬，然后再求出操場的面積。
〖詳解〗：解：設(shè)操場的實(shí)際長為x厘米。
X=1000x9=9000
9000厘米=90米設(shè)操場的實(shí)際寬為y厘米。
Y=1000×7=7000
7000厘米=70米，90X70=6300(平方米）
答：操場的實(shí)際面積為6300平方米。
〖舉一反三〗求實(shí)際圖形的面積，一定要先根據(jù)圖上距離和比例尺求出實(shí)際圖形的邊長，然后再根據(jù)圖形的面積公式，求出圖形的實(shí)際面積。不能先求圖上的面積，然后根據(jù)比例尺求出實(shí)際的面積。



例題二：用邊長15厘米的方磚鋪地需2000塊，如改用邊長30厘米的方3?—個長方形，長寬的比是4:3，長磚需多少塊？（用比例解）
方形的周長280厘米，它的面積多少平方厘米？
〖難度〗：5
〖考點(diǎn)〗：比例應(yīng)用
〖分析〗：四個數(shù)可以組成比例，但不知道a在什么位置，假設(shè)a是內(nèi)項(xiàng)，有三種可能，分別是a和4做內(nèi)項(xiàng)、a和5做內(nèi)項(xiàng)、a和8做內(nèi)項(xiàng)；如果假設(shè)a是外項(xiàng)，結(jié)果是一樣的，所以只考慮其中一種就可以了。因?yàn)槊恳环N可能寫成比例有不同的寫法，所以直接寫成等式解答比較好。
〖詳解〗：解：(1)4a=5X8，4a=40，a=10。
(2) 5a=4X8，5a=32,a=6.4
(3) 8a=4X5，8a=20,a=2.5
答：a的值可能是10，6.4或2.5。

例題三：
一輛汽車行駛的路與耗油量如下：
行駛路程（千米） 12 36 48 60
耗油量（升） 2 6 8 10
（1）汽車行駛路程與耗油量是 關(guān)系．
（2）繪制折線統(tǒng)計(jì)圖．


〖難度〗：6
〖考點(diǎn)〗：正比例和反比例的意義；單式折線統(tǒng)計(jì)圖．
〖分析〗：表中有兩種相關(guān)聯(lián)的量，行駛的路程和耗油量，耗油量隨著行駛的路程變化而變化，且耗油量與行駛路程的比值是一定的，2：12=6：36=8：48=
10：60=
，符合正比例關(guān)系式x：y=k（一定），所以汽車行駛路程與耗油量是正比例關(guān)系．
〖詳解〗：解：（1）因?yàn)閺谋碇杏?jì)算得知，耗油量：行駛路程=行駛每千米所需耗油量（一定），所以所以汽車行駛路程與耗油量是正比例關(guān)系．
答案為：正比例．
（2）

例題四：
設(shè)一個量x與另一個量y成正比例，已知當(dāng)X=6時，y=4．
（1）寫出y和x的關(guān)系式．
（2）求出當(dāng)x=6.9時，y的值．


〖難度〗：5
〖考點(diǎn)〗：正比例和反比例的意義；解比例．
〖分析〗：（1）因?yàn)橐粋€量x與另一個量y成正比例，所以x與y的比值一定，即x：y=6：4；
（2）把x=6.9代入（1）即可求出y的值．
〖詳解〗：解：（1）因?yàn)橐粋€量x與另一個量y成正比例，所以x與y的比值一定，即x：y=6：4；
（2）把x=6.9代入x：y=6：4，
即6.9：y=6：4，
6y=6.9×4，
6y=27.6，
y=4.6．

例題五：
同學(xué)們看同一本書，下表記錄的是每人每天看的頁數(shù)．
平均每天看的頁數(shù) 20 24 30 40 60
看完全書所需天數(shù) 12
（1）請把上表補(bǔ)充完整．
（2）平均每天看的頁數(shù)和看完全書所需天數(shù)成 比例關(guān)系．



（3）汪奶奶看完這本書用了16天，她平均每天看多少頁？
〖難度〗：6
〖考點(diǎn)〗：正比例和反比例的意義；
〖分析〗：
（1） 先求出書的總頁數(shù)，再除以每天看的頁數(shù)，求出每天看的頁數(shù)；
（2）每天看的頁數(shù)和需要的天數(shù)的乘積一定，所以每天看的頁數(shù)和需要的天數(shù)之間成反比例；
（3）用總頁數(shù)除以看完這本書用的天數(shù)即可得平均每天看的頁數(shù)．
〖詳解〗：解：（1）20×12=240（頁）
240÷24=10（天）
240÷30=8（天）
240÷40=6（天）

240÷60=4（天）
填表如下：
平均每天看的頁數(shù) 20 24 30 40 60
看完全書所需天數(shù) 12 10 8 6 4
（2）每天看的頁數(shù)×需要的天數(shù)=240，一定，
所以每天看的頁數(shù)和需要的天數(shù)之間成反比例；
答案為：反；
（3）240÷16=15（頁）．
答：她平均每天看15頁．

例題六：
判斷下面各題中的兩個量是否成比例，成什么比例．
（1）小明從家去學(xué)校，他行走的時間與速度．
（2）車輪的直徑一定，所行駛的路程與車輪的轉(zhuǎn)數(shù)．
（3）3x= y，求x和y．
（4）圓的面積和半徑．
（5）出油率一定，黃豆的質(zhì)量與油的質(zhì)量．
〖難度〗：6
〖考點(diǎn)〗：成正比例的量與成反比例的量．
〖分析〗：判斷兩個相關(guān)聯(lián)的量之間成什么比例，就看這兩個量是對應(yīng)的比值一定，還是對應(yīng)的乘積一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘積一定，則成反比例．
〖詳解〗：解：（1）行走的速度與行走的時間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，它們與小明從家里到學(xué)校的路程有下面的關(guān)系：
行走的速度×行走的時間=小明從家里到學(xué)校的路程（一定）；
已知小明從家里到學(xué)校的路程一定，也就是他行走的速度與行走的時間的乘積一定，所以行走的速度與行走的時間成反比例；



（2）因?yàn)檐囕喫旭偟穆烦?車輪的周長×車輪的轉(zhuǎn)數(shù)，
即車輪所行駛的路程÷車輪的轉(zhuǎn)數(shù)=車輪的周長，
又因?yàn)檐囕喌闹睆揭欢ǎ攒囕喌闹荛L一定，
所以車輪所行駛的路程÷車輪的轉(zhuǎn)數(shù)=車輪的周長（一定），
所以車輪所行駛的路程與車輪的轉(zhuǎn)數(shù)成正比例；

（3）3x= y，
所以x：y=2：15= （一定）
是比值一定，符合正比例的意義，
所以x和y成正比例；
（4）圓的面積公式s=πr2，
從這個公式可以看出：
s：r2=π（一定），
也就是圓的面積只是與半徑的平方成正比例關(guān)系，和半徑不成比例關(guān)系；
（5）因?yàn)橛唾|(zhì)量：黃豆質(zhì)量=出油率（一定），
是對應(yīng)的比值一定，
所以油質(zhì)量與黃豆質(zhì)量成正比例．



趣味數(shù)學(xué)

題目一：
李阿姨要把一只狗、一只雞和一籃米從河的東岸帶到西岸，但她的渡船太小，一次只能帶一樣?xùn)|西過河．沒有人的時候狗要咬雞、雞要吃米、李阿姨應(yīng)該怎樣安排才能讓他們順利過河？

答案：由于一次只能帶一樣?xùn)|西過河且狗要咬雞、雞要吃米，因此可先帶雞過去，第二次將狗帶過對岸，然后再將雞帶回去，把雞放下，然后再將米帶過對岸，最后回去將雞到西岸．這樣安排才能讓他們順利過河．

題目二：
你聽過烏鴉喝水的故事嗎？請你用所學(xué)到的知識解釋一下，烏鴉為什么能喝到水？

原來瓶中水的體積較小，烏鴉喝不到水，當(dāng)烏鴉將小石子不斷的投入瓶中，
由于石頭密度大，會下沉，而石頭有體積，沉到底部，相當(dāng)于增加水的體積，水的體積增大，而瓶子的容積不變，故水面上升，水上升到一定的位置時，烏鴉就喝到水了．



題目三
甲買了一套商品房，共用去16.5萬元，住了一段時間覺得不滿意，以17萬元把房子賣出，可甲找不到其他中意的房子，只好又花18.5萬元重新把那套房子買回來，住了半年甲因工作調(diào)動，又把房子以19萬元賣出．甲在買賣房子的過程中賺了錢？還是虧了錢？請算出具體的得數(shù)．

答案：題目過程敘述較復(fù)雜，很易迷惑人，我們可以把問題簡單化：把支出記為負(fù)，收入記為正，然后按正負(fù)數(shù)的計(jì)算來解答就比較容易，據(jù)此解答．
解答：解：假設(shè)支出為負(fù)，收入為正，
-16.5+17-18.5+19=1（萬元），
1萬元為正數(shù)，
所以，甲在買賣房子的過程中賺了1萬元．
數(shù)學(xué)小故事：
電線桿和樹為什么是圓柱體
世界上所有的生物為了生存，總是朝著對環(huán)境最有適應(yīng)性的方面發(fā)展，植物也是如此，樹干圓柱形是自身生長繁衍的需要。
圓形面積最大
在周長相同的情況下，圓形具有最大的面積。幾何學(xué)告訴我們，這時圓的面積比其他任何形狀的面積都來得大，因此圓形樹干、樹枝中導(dǎo)管和篩管的分布數(shù)量要比其他形狀的多得多，這樣，圓形樹干輸送水分和養(yǎng)料的能力就要大，更有利于樹木的生長。如果有相同數(shù)量的材料希望做成容積最大的東西，當(dāng)然圓形是最合適的了。自來水管、煤氣管等，就是對這一自然現(xiàn)象的仿造。
支撐力最大
　　截面積大了，圓柱體的支撐力也就大了。樹木高大的樹冠的重量全靠一根主干支撐，特別是碩果累累的果樹，掛上成百上千的果實(shí)，須有強(qiáng)有力的樹干支撐，才能維持生存。
防止外來傷害
　 我們知道，樹木的皮層是樹木輸送營養(yǎng)物質(zhì)的通道，皮層一旦中斷，樹木就會死亡。樹木是多年生的植物，它的一生難免要遭受很多外來的傷害，特別是自然災(zāi)害的襲擊。如果樹干是方形、扁形或有其他棱角的，更容易受到外界的沖擊傷害。圓形的樹干就不同了，狂風(fēng)吹打時，不論風(fēng)卷著塵砂雜物從哪個方向來，都容易沿著表面的切線方向掠過，受影響的只是極少部分。因此，樹干的形狀，是樹木對自然環(huán)境適應(yīng)的結(jié)果。



知識濃縮
1、 概念
（1）正比例
兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，他們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。
用字母表示y/x=k（一定）
（2）反比例
兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。
用字母表示x×y=k（一定）
（3）比例尺：
在繪制地圖或其他平面圖時，常常需要把實(shí)際距離縮小或擴(kuò)大若干倍畫在圖紙上。圖上距離和實(shí)際距離的比叫做這幅圖的比例尺
二、性質(zhì)
1、如果這兩種量正比例，那么他們的比值一定；如果這兩種量反比例，那么他們的積一定
2、圖形的放大與縮小
圖形的放大與縮小是按照一定的比例把物體或圖形放大或縮小，然后畫在圖紙上。圖形放大時.放大的比例是一個后項(xiàng)為1的比，如放大3倍，就是按3:1放大;圖形縮小時，縮小的比例是一個前項(xiàng)為1的比，如縮小3倍，就是按1:3縮小。
三、運(yùn)用
比例尺的表示方法：
數(shù)字 比例尺 1:5000000 圖上1厘米表示實(shí)際5000000厘米（50千米）
線段 比例尺 050100千米 圖上1厘米表示實(shí)際50千米

2、比例尺的類別
前項(xiàng)為1，如1:8，表示把實(shí)際距離縮小8倍畫在圖上。
后項(xiàng)為1，如8:1，表示把實(shí)際距離擴(kuò)大8倍畫在圖上。
3、比例尺的數(shù)量關(guān)系
圖上距離：實(shí)際距離=比例尺實(shí)際距離=圖上距離÷比例尺
圖上距離=實(shí)際距離×比例或=比例尺
4、判斷兩種量成不成比例，成什么比 例的方法：
（1）、兩種量必須是相關(guān)聯(lián)的量；
（2）、看兩個變化的量是比值（商）一定還是乘積一定，如果是比值（商）一定，就是成正比例的量，如果是乘積一定，就是成反比例的量。
5、為按比例分配：
把一個數(shù)量按照一定的比分配，這種分配方法通常稱為按比例分配。這類題目的基本特征是：①被分配的總量；②一個比。如把100本書按2:3分配給一、二年級同學(xué)，兩個年級各分多少本？其中100本書是總量，2:3是按這個比分配。 關(guān)系式：總數(shù)量×某項(xiàng)份數(shù) 總份數(shù) =某項(xiàng)的數(shù)量[來源:學(xué)科網(wǎng)]
6、解答按比例分配問題的方法
⑴先找出按比例分配的總量。（上例中的100本書）
⑵再找出分配的比.并求出各個部分占總數(shù)的幾分之幾。(一年級占總量的2/(3+2);二年級占總量的3/(3+2))
⑶用總量乘部分量占總量的幾分之幾，得到各部分的量。(一年級100X2/(3+2)=40本二年級100X3/(3+2)=60本）
四、規(guī)律總結(jié)
1、圖形的放大與縮小的比例同樣是對于距離(或長度）而言，并不是表示圖形的面積的放大與縮小。如把一個長方形按2:1放大，表示把這個長方形的長和寬分別擴(kuò)大2倍，并不是面積擴(kuò)大2倍，實(shí)際上面積擴(kuò)大了4倍。
2、比和比例的聯(lián)系與區(qū)別
（1）聯(lián)系：比例是由兩個相等的比組成的，如果兩個比的比值相等，就可以組成比例；組成比例的兩個比的比值一定相等。
（2）區(qū)別：比表示兩個數(shù)相除.只有兩項(xiàng)；比例是一個等式，表示兩個比相等，有四項(xiàng)。

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