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探究函數與圖象的交點個數問題
函數與 互為反函數，在同一坐標系中，它們的圖象的交點個數取決于的取值．
探究 由， 得
（1）當時
①+②，得. 令 則,即.
∵, ∴為增函數, ∴. 兩邊取自然對數,得,即.
令. 求導,得． 令,得．
當變化時，的變化情況如下表：

— 0 +
↘ 極小值 ↗
由上表可知,當時,．
∵只有一個極值,∴ .
(ⅰ) 當，即時，方程無解，此時函數與的圖象沒有交點；
(ⅱ) 當，即時，方程有一解，此時函數與的圖象有一個交點；
(ⅲ) 當，即時，由于在內連續，且當時，；當時，，∴方程有兩解，此時函數與的圖象有兩個交點．
（2）當時
由①、②，消去，得 ③
由于，且，故,即．
對③式兩邊取自然對數，得，即．
兩邊取自然對數，得．
令．　求導，得．
由，得．　令．則．
由，得．　當時，；當時，．
∴當時，．
(ⅰ) 當，即時，恒成立．∴，∵，，∴，即，當且僅當，且時取“＝”號．　∴在內是減函數． 又∵當時，；當時，，且在內連續，∴方程恰有一解，此時函數與的圖象有一個交點．
(ⅱ) 當，即時，∵，且在內連續，∴存在，使得，∴.
當變化時，的變化情況如下表：

－ + －
↘ ↗ ↘
由上表可知，在內是減函數，在內是增函數，在內是減函數.
下面證明,,.
,.　令,. 則當時, .
∴在內是增函數,　　又∵在上連續, 　　∴當時,
,即.
,.　　令,
.易證它為減函數, ∴當時,,即.
∵, 　∴,　又∵當時，；　當時，
，且在內連續，結合的單調性,　∴在區間,,
內各有一個解. ∴此時函數與的圖象有三個交點．
綜上所述, 函數與圖象的交點有如下情況：
當時，沒有交點；
當時，有一個交點；
當時，有兩個交點；
當時,有一個交點；
當時，有三個交點．



①

②







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