資源簡介

人教版五年級數學下冊知識點歸納總結

第一單元 觀察物體（三）
1、根據一個方向觀察到的形狀擺小正方體，有多種擺法，無法確定立體圖形的形狀。?
2、根據三個方向觀察到的形狀擺小正方休，只有1?種擺法。
3、只要對著原來物體的前面或后面的任意1個正方體添1個正方體，從正面看到的形狀就都不變。?
4、從正面、左面、上面3個不同的方向觀察同一組物體而畫出的圖形就是三視圖。?
5、綜合三視圖的形狀，可以確定出立體圖形中小正方體的擺放位置，通常只有一種擺法。?
6、由三視圖拼擺正方體的方法：俯視圖打地基，主視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章。?
7、先擺出符合正面的立體圖形，再擺出符合上面的立體圖形，最后確定立體圖形。根據從正面、左面、上面觀察到的平面圖形還原立體圖形只有唯一的一種情況。
8、想象不出來時，用小正方體擺一擺就簡單了。

第二單元 因數和倍數
1、整除：被除數、除數和商都是自然數，并且沒有余數。
整數與自然數的關系：整數包括自然數。 最小的自然數是0
2、因數、倍數：在整數除法中，如果商是整數而沒有余數，我們就說被除數是除數的倍數，除數是被除數的因數。例：12÷2=6， 12是6的倍數，6是12的因數。為了方便，在研究因數和倍數時，我們所說的數是自然數（一般不包括0）。
數a能被b整除，那么a就是b的倍數，b就是a的因數。因數和倍數是相互依存的，不能單獨存在。
一個數的因數的個數是有限的，最小的因數是1，最大的因數是它本身。
一個數的因數的求法：成對地按順序找。
一個數的倍數的個數是無限的，最小的倍數是它本身。
一個數的倍數的求法：依次乘以自然數。
一個數的最大因數=最小倍數=它本身
3、2、3、5的倍數特征
1）奇數和偶數的意義：
在自然數中，是2的倍數的數叫做偶數（0也是偶數），不是2的倍數的數叫做奇數。
①自然數按能不能被2整除來分：奇數、偶數。
奇數：不能被2整除的數，叫奇數。也就是個位上是1、3、5、7、9的數。
偶數：能被2整除的數叫偶數（0也是偶數），也就是個位上是0、2、4、6、8的數。
②最小的奇數是1，最小的偶數是0.
③奇數、偶數的運算性質：
奇數±奇數=偶數 偶數±偶數=偶數 奇數±偶數=奇數（大減小）
奇數×奇數=奇數 奇數×偶數=偶數 偶數×偶數=偶數
2）數的整除特征
整除數 特征
2 末尾是0，2，4，6，8
3或9 各數位上數的和是3或9的倍數
5 末尾是0或5
2和5 個位上的數是0
2、3和5 是30的倍數的數 （最大的兩位數是90，最小的三位數是120）
4或25 末兩位數所組成的數是4或25的倍數
8或125 末三位數所組成的數是8或125的倍數
7、11、13 末三位與前幾位數的差（大減小）是7或11或13的倍數
例題：1、從0、4、5、8、9中取出三個數字組成三位數，
①在能被2整除的數中，最大的是（ 984 ），最小的是（ 450 ）
②在能被3整除的數中，最大的是（ 984 ），最小的是（ 405 ）
③在能被5整除的數中，最大的是（ 980 ），最小的是（ 405 ）
2、在四位數21□0的方框中填入一個數，使它能同時被2、3、5整除，最多能（ 4 ）種填法。
4、質數和合數
①質數和合數的意義：一個數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質素和（或素數）；一個數，如果除了1和它本身還有別的因數，這樣的數叫做合數。
②自然數按因數的個數來分：質數、合數、1、0四類.
質數（或素數）：只有1和它本身兩個因數。
合數：除了1和它本身還有別的因數（至少有三個因數：1、它本身、別的因數）。
1： 只有1個因數。“1”既不是質數，也不是合數。
0：
最小的質數是2，最小的合數是4，連續的兩個質數是2、3。
所有的奇數都是質數。（ × ） 所有的偶數都是合數（ × ）
在1，2，3……自然數中，除了質數以外都是合數。（ × ）
兩個質數的和是偶數。（ × ）
③質數×質數=合數 每個合數都可以由幾個質數相乘得到，質數相乘一定得合數。
④20以內的質數：有8個（2、3、5、7、11、13、17、19）
100以內的質數有25個：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
100以內找質數、合數的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13…的倍數，是的就是合數，不是的就是質數。
5、最大、最小
A的最小因數是：1； 最小的奇數是：1；
A的最大因數是：A； 最小的偶數是：0；
A的最小倍數是：A； 最小的質數是：2；
最小的自然數是：0； 最小的合數是：4
猜電話號碼0592－A B C D E F G
提示：A——5的最小倍數 B——最小的自然數 C——5的最大因數 D——它既是4的倍數，又是4的因數 E——它的所有因數是1，2，3，6 F——它的所有因數是1， 3 G——它只有一個因數，這個號碼就是
附：判斷
（1）因為7×8＝56，所以56是倍數，7和8是因數 （ × ）
（2）1是1，2，3，4，5… 的因數（ √ ）
（3）14比12大，所以14的因數比12的因數多（ × ）
（4）因為1.2÷0.6=2，所以1.2是0.6倍數． ( 　×　 )

第三單元 長方體和正方體
1、長方體或正方體的認識
①一般是由6個長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形）圍成的立體圖形叫做長方體。
兩個面相交的邊叫做棱。三條棱相交的點叫做頂點。
相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長方體的長、寬、高。
判斷：長方體的三條棱分別叫做長方體的長寬高。（ × ）
長方體特點：
有6個面（6個面都是長方形或者4個面是長方形,2個面是正方形），8個頂點，12條棱，相對的面的面積相等，相對的棱的長度相等。
一個長方體（不含正方體）最多有6個面是長方形，最少有4個面是長方形，最多有2個面是正方形。最多有4個面完全相同。用6個完全一樣的長方形可以圍成一個長方體（ × ）。
長方體12條棱可以分成3組，分別有4條長、4條寬、4條高。
②由6個完全相同的正方形圍成的立體圖形叫做正方體（也叫做立方體）。
正方體特點：
正方體有12條棱，它們的長度都相等。有8個頂點。
正方形的6個面是完全相同的正方形。
正方體可以說是長、寬、高都相等的長方體，它是一種特殊的長方體。
3、比較
相同點 不同點
面 棱
長方體 都有6個面， 12條棱，8個頂點。 6個面都是長方形。 （有可能有兩個相對的面是正方形）。 相對的棱的長度都相等
正方體 6個面都是正方形。 12條棱都相等。
長方體、正方體有關棱長計算公式：
長方體的棱長總和=（長+寬+高）×4＝長×4+寬×4+高×4 L=（a＋b＋h）×4
長= 棱長總和÷4－寬 －高 a=L÷4－b－h
寬= 棱長總和÷4－長 －高 b=L÷4－a－h
高= 棱長總和÷4－長 －寬 h=L÷4－a－b
正方體的棱長總和=棱長×12 L=a×12
正方體的棱長=棱長總和÷12 a=L÷12
例1、如圖，有一個長5分米、寬和高都是3分米的長方體硬紙箱，如果用繩子將箱子橫著捆兩道，長著捆一道，打結處共用2分米。一共要用繩子多長？

2、一盒餅干長20厘米，寬15厘米，高30厘米，現在要在它的四周貼上商標紙，這張商標紙的面積是多少平方厘米？
2、長方體或正方體的表面積
表面積的意義：長方體或者正方體的6個面的總面積，叫做它的表面積。
長方體表面積的計算方法。
長方體表面積=（長×寬+長×高+寬×高）×2，用字母表示為S=2（ab+ah+bh）；
長方體的表面積=長×寬×2+長×高×2+寬×高×2；用字母表示為：S=2ab+2ah+2bh.
無底（或無蓋）長方體表面積= 長×寬＋（長×高＋寬×高）×2
S=2（ab＋ah＋bh）－ab S=2（ah＋bh）＋ab
無底又無蓋長方體表面積=（長×高＋寬×高）×2 S=2（ah＋bh） 貼墻紙
正方體表面積的計算方法：
正方體的表面積=棱長×棱長×6 S=a×a×6 用字母表示： S= 6a2
生活實際：
油箱、罐頭盒等都是6個面
游泳池、魚缸等都只有5個面
水管、煙囪等都只有4個面。
注意1：用刀分開物體時，每分一次增加兩個面。（表面積相應增加）
如：一根長方體木料，長1.5米，寬和厚都是2分米，把它鋸成4段，表面積最少增加（ ）平方分米．①8 ②16 ③24 ④32
注意2：長方體或正方體的長、寬、高同時擴大（或縮小）幾倍，表面積會擴大（或縮小）倍數的平方倍。如長、寬、高各擴大3倍，表面積就會擴大到原來的9倍。
長、寬、高各縮小3倍，表面積就會縮小到原來的 1 / 9。
3、長方體和正方體的體積
體積的意義：物體所占空間的大小叫做物體的體積。
體積單位：立方米，立方分米，立方厘米；用字母表示為m3，dm3，cm3。
體積相鄰單位間的進率是1000：1m3=1000dm3 1dm3=1000cm3
（3）長方體的體積= 長×寬×高 V=abh
長= 體積÷寬÷高 a=V÷b÷h
寬= 體積÷長÷高 b=V÷a÷h
高= 體積÷長÷寬 h= V÷a÷b
正方體的體積= 棱長×棱長×棱長 V=a×a×a = a (?file:?/??/??/?C:\\DOCUME~1\\ADMINI~1\\LOCALS~1\\Temp\\msohtml1\\01\\clip_image001.wmz" \t "_blank?)3 讀作“a的立方”
表示3個a相乘，（即a·a·a）
某紙盒廠生產一種正方體紙板箱，棱長40厘米，它的體積是多少立方厘米？合多少立方分米？
長方體的長為12厘米，高為8厘米，陰影部分的兩個面的面積和是200平方厘米，這個長方體的體積是多少立方厘米？

長方體的長是6厘米，寬是4厘米，高是2厘米，它的棱長總和是（ ）厘米，六個面中最大的面積是（ ）平方厘米，表面積是（ ）平方厘米，體積是（ ）立方厘米．
將一個正方體鋼坯鍛造成長方體，正方體和長方體 （體積相等，表面積不相等 ）．
表面積相等的長方體和正方體的體積相比，（1）．①正方體體積大 ②長方體體積大 ③相等
體積相等的長方體和正方體的表面積相比，（2）．①正方體表面積大 ②長方體表面積大 ③相等

（4）底面積
長方體或正方體底面的面積叫做底面積。（橫截面積相當于底面積，長相當于高）。
長方體的體積= 長×寬×高 = 底面積×高 正方體的體積= 棱長×棱長×棱長
底面積 = 橫截面面積×長 底面積
所以，長（正）方體的體積用字母表示：V=S h
如：1、表面積是54平方厘米的正方體，它的體積是（ ）立方厘米．
2、把一塊棱長是20厘米的正方體鋼坯，鍛造成底面積是16平方厘米的長方體鋼材，長方體鋼材長多少厘米？
注意：一個長方體和一個正方體的棱長總和相等，但體積不一定相等。
長方體或正方體的長、寬、高同時擴大幾倍，體積就會擴大倍數的立方倍。如長、寬、高各擴大2倍，體積就會擴大到原來的8倍。
正方體的棱長擴大2倍，則體積擴大（ ）倍． ①2 ②4 ③6 ④8
(5) 體積單位間的進率：1m3=1000dm3 1dm3=1000cm3
(6) 容積和容積單位：
箱子、油桶、倉庫等（容器）所能容納物體的體積，通常叫做他們的容積。
計量容積，一般就用體積單位。計量液體的體積，如水、油等，單位升或毫升，常用的容積單位有升和毫升，也可以寫成L和ml。
1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 1升=1000毫升
（1 L = 1 dm3 1 ml = 1 cm3 1 L = 1000 ml ）
長方體或正方體容器容積的計算方法，跟體積的計算方法相同。但要從容器里面量長、寬、高。（所以，對于同一個物體，體積大于容積。）
長方體的體積就是長方體的容積． （ ）
一個菜窖能容納6立方米白菜，這個菜窖的（ ② ）是 6立方米． ①體積 ②容積 ③表面積
一塊長40厘米、寬30厘米的長方形鐵板，把它的四個角分別切掉邊長為4厘米的正方形，然后焊接成一個無蓋的盒子。它的表面積是多少？容積是多少升？
* 形狀不規則的物體可以用排水法求體積，形狀規則的物體可以用公式直接求體積。
排水法的公式：V物體 =V現在－V原來
也可以 V物體 =S×(h現在- h原來)
V物體 = S×h升高

（7）、【體積單位換算】　　　大單位 小單位
小單位 大單位
進率：　1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米 （體積相鄰單位進率1000）
　　　　 1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升
　 1立方厘米＝1毫升
1平方米=100平方分米=10000平方厘米
1平方千米=100公頃=1000000平方米
注意：長方體與正方體關系
把長方體或正方體截成若干個小長方體（或正方體）后，表面積增加了，體積不變。
【單位換算】　　重量單位進率，時間單位進率，長度單位進率。
長度單位：1千米 =1000 米 1 分米=10 厘米 1厘米=10毫米 1分米=100毫米
1米=10分米=100厘米=1000毫米 （相鄰單位進率10）
面積單位：1平方千米=100公頃 1公頃=10000平方米
1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 （面積相鄰單位進率100）
質量單位：1噸=1000千克 1千克=1000克　
人 民 幣：1元=10角 1角=10分 1元=100分
第四單元 分數的意義和性質

1、分數的意義：一個物體、一物體等都可以看作一個整體，把這個整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分數來表示。
2、單位“1”：一個整體可以用自然數1來表示，通常把它叫做單位“1”。（也就是把什么平均分什么就是單位“1”。）
3、分數單位：把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份的數叫做分數單位。如 的分數單位是 。
4、分數與除法
A÷B= （B≠0，除數不能為0，分母也不能夠為0） 例如： 4÷5=
5、真分數和假分數、帶分數
1、真分數：分子比分母小的分數叫真分數。真分數<1。
2、假分數：分子比分母大或分子和分母相等的分數叫假分數。假分數≧1
3、帶分數：帶分數由整數和真分數組成的分數。帶分數＞1.
4、真分數＜1≤假分數 真分數＜1＜帶分數
6、假分數與整數、帶分數的互化
（1）假分數化為整數或帶分數，用分子÷分母，商作為整數，余數作為分子， 如：
=10÷5=2 =21÷5=4
（2）整數化為假分數，用整數乘以分母得分子 如：
2= 2×4=8 （8作分子）
（3）帶分數化為假分數，用整數乘以分母加分子，得數就是假分數的分子，分母不變，如：
5= 5×5+1=26
（4）1等于任何分子和分母相同的分數。如：
1= = = = =… = =…
7、分數的基本性質：
分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數（0除外），分數的大小不變。
8、最簡分數：分數的分子和分母只有公因數1，像這樣的分數叫做最簡分數。
一個最簡分數，如果分母中除了2和5以外，不含其他的質因數，就能夠化成有限小數。反之則不可以。
9、約分：把一個分數化成和它相等，但分子和分母都比較小的分數，叫做約分。
如： =

10、通分：把異分母分數分別化成和原來相等的同分母分數，叫做通分。如：和 可以化成 和
11、分數和小數的互化
（1）小數化為分數：數小數位數。一位小數，分母是10；兩位小數，分母是100……
如：0.3= 0.03= 0.003=
（2）分數化為小數：
方法一：把分數化為分母是10、100、1000……
如： =0.3 ==0.6 ==0.25
方法二：用分子÷分母
如：=3÷4=0.75
（3）帶分數化為小數：
先把整數后的分數化為小數，再加上整數
如：2 =2+0.3=2.3
12、比分數的大小： 分母相同，分子大，分數就大；
分子相同，分母小，分數才大。
分數比較大小的一般方法：同分子比較；通分后比較；化成小數比較。
13、分數化簡包括兩步：一是約分；二是把假分數化成整數或帶分數。
=0.5 =0.25 =0.75 =0.2 =0.4 =0.6 =0.8
=0.125 =0.375 =0.625 =0.875 =0.05 =0.04。
14、兩個數互質的特殊判斷方法：
① 1和任何大于1的自然數互質。
② 2和任何奇數都是互質數。
③ 相鄰的兩個自然數是互質數。
④ 相鄰的兩個奇數互質。
⑤ 不相同的兩個質數互質。
⑥當一個數是合數，另一個數是質數時（除了合數是質數的倍數情況下），一般情況下這兩個數也都是互質數。
15、求最大公因數的方法：
① 倍數關系： 最大公因數就是較小數。
② 互質關系： 最大公因數就是1
③ 一般關系： 從大到小看較小數的因數是否是較大數的因數。
16、分數知識圖解：
16、分數知識圖解：
分數的產生
分數的意義 分數與意義 ：把單位1平均分成幾份，表示其中的一份或幾份。
分數與除法 ：分子（被除數），分母（除數），分數值（商）。
真分數 真分數小于1
真分數與假分數 假分數 假分數大于1或等于1
帶分數 （整數部分和真分數）
假分數化帶分數、整數（分子除以分母，商作整數部分，余數作分子）
分數的基本性質 分數的分子、分母同時擴大或縮小相同的倍數， 分數的大小不變。
通分、通分子：化成分母不同，大小不變的分數（通分）
最大公因數
約 分 求最大公因數
最簡分數 分子分母互質的分數（最簡真分數、最簡假分數）
約分及其方法
最小公倍數
通 分 求最小公倍數
分數比大小 （通分、通分子、化成小數）
通分及其方法
小數化分數 小數化成分母是10、100、1000的分數再化簡
分數和小數的互化
分數化小數 分子除以分母，除不盡的取近似值

第五單元 圖形的運動（三）

圖形變換的基本方式是平移、對稱和旋轉。
1、軸對稱: 如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形， 這條直線叫做對稱軸。
（1）學過的軸對稱平面圖形：長（正）方形、圓形、等腰三角形、等邊三角形、等腰梯形……
等腰三角形有1條對稱軸，等邊三角形有3條對稱軸，長方形有2條對稱軸，正方形有4條對稱軸，等腰梯形有1條對稱軸，任意梯形和平行四邊形不是軸對稱圖形。
（2）圓有無數條對稱軸。
（3）對稱點到對稱軸的距離相等。
（4）軸對稱圖形的特征和性質：
①對應點到對稱軸的距離相等；
②對應點的連線與對稱軸垂直；
③對稱軸兩邊的圖形大小、形狀完全相同。
3、對稱圖形包括軸對稱圖形和中心對稱圖形。平行四邊形（除棱形）屬于中心對稱圖形。
2、旋轉：在平面內，一個圖形繞著一個頂點旋轉一定的角度得到另一個圖形的變化較做旋轉，定點O叫做旋轉中心，旋轉的角度叫做旋轉角，原圖形上的一點旋轉后成為的另一點成為對應點。
（1）生活中的旋轉：電風扇、車輪、紙風車
（2）旋轉要明確繞點，角度和方向。
（3）長方形繞中點旋轉180度與原來重合，正方形繞中點旋轉90度與原來重合。等邊三角形繞中點旋轉120度與原來重合。
旋轉的性質：
（1）圖形的旋轉是圖形上的每一點在平面上繞某個固定點旋轉固定角度的位置移動；
（2）其中對應點到旋轉中心的距離相等；
（3）旋轉前后圖形的大小和形狀沒有改變；
（4）兩組對應點非別與旋轉中心的連線所成的角相等，都等于旋轉角；
（5）旋轉中心是唯一不動的點。
3、對稱和旋轉的畫法：旋轉要注意：順時針、逆時針、度數


第六單元 分數的加法和減法

（1） 同分母分數加、減法 （分母不變，分子相加減）
1、分數數的加法和減法 （2） 異分母分數加、減法 （通分后再加減）
（3） 分數加減混合運算：同整數。
（4） 結果要是最簡分數
2、帶分數加減法: 帶分數相加減，整數部分和分數部分分別相加減，再把所得的結果合并起來。
附：具體解釋
（一）同分母分數加、減法
1、同分母分數加、減法： 同分母分數相加、減，分母不變，只把分子相加減。
2、計算的結果，能約分的要約成最簡分數。
（二）異分母分數加、減法
1、分母不同，也就是分數單位不同，不能直接相加、減。
2、異分母分數的加減法：
異分母分數相加、減，要先通分，再按照同分母分數加減法的方法進行計算。
（三）分數加減混合運算
1、分數加減混合運算的運算順序與整數加減混合運算的順序相同。
在一個算式中，如果有括號，應先算括號里面的，再算括號外面的；如果只含有同一級運算，應從左到右依次計算。
2、整數加法的交換律、結合律對分數加法同樣適用。
3、

第七單元 統計

眾數 一組數據中出現次數最多的數叫眾數。
眾數能夠反映一組數據的集中情況。
統計 在一組數據中，眾數可能不止一個，也可能沒有眾數。
復式折線統計圖
綜合應用 打電話的最優方案
1、眾數： 一組數據中出現次數最多的一個數或幾個數，就是這組數據的眾數。
眾數能夠反映一組數據的集中情況。
在一組數據中，眾數可能不止一個，也可能沒有眾數。
2、中位數：（1）按大小排列；
（2）如果數據的個數是單數，那么最中間的那個數就是中位數；
（3）如果數據的個數是雙數，那么最中間的那兩個數的平均數就是中位數。
3、平均數的求法：總數÷總份數=平均數
4、一組數據的一般水平：
（1）當一組數據中沒有偏大偏小的數，也沒有個別數據多次出現，用平均數表示一般水平。
（2）當一組數據中有偏大或偏小的數時，用中位數來表示一般水平。
（3）當一組數據中有個別數據多次出現，就用眾數來表示一般水平。
4、平均數、中位數和眾數的聯系與區別:
① 平均數：
一組數據的總和除以這組數據個數所得到的商叫這組數據的平均數。
容易受極端數據的影響，表示一組數據的平均情況。
② 中位數：
將一組數據按大小順序排列，處在最中間位置的一個數叫做這組數據的中位數 。
它不受極端數據的影響，表示一組數據的一般情況。
③ 眾數：
在一組數據中出現次數最多的數叫做這組數據的眾數。
它不受極端數據的影響，表示一組數據的集中情況。
5、統計圖： 我們學過——條形統計圖、復式折線統計圖。
條形統計圖優點：條形統計圖能形象地反映出數量的多少。
折線統計圖優點：折線統計圖不僅能表示出數量的多少，還能反映出數量的變化情況。
注：① 畫圖時注意：一“點”（描點）、 二“連”（連線） 三“標”（標數據）。
②要用不同的線段分別連接兩組數據中的數。
6、 打電話：規律——人人不閑著，每人都在傳。（技巧：已知人數依次 × 2）
（1）逐個法：所需時間最多。
（2）分組法：相對節約時間。
（3）同時進行法：最節約時間。

第8單元 數學廣角

用天平找次品規律：
1、把所有物品盡可能平均地分成3份，（如余1則放入到最后一份中；如余2則分別放入到前兩份中），保證找出次品而且稱的次數一定最少。

2、數目與測試的次數的關系：2～3個物體，保證能找出次品需要測的次數是1次
4～9個物體，保證能找出次品需要測的次數是2次
10～27個物體，保證能找出次品需要測的次數是3次
28～81個物體，保證能找出次品需要測的次數是4次
82～243個物體，保證能找出次品需要測的次數是5次
244～729個物體，保證能找出次品需要測的次數是6次
3、找次品規律
1 2 3 4 5 …次數
3 3×3 3×3×3 3×3×3×3 3×3×3×3×3 …
3 9 27 81 243 … 次品個數

第九單元 總復習（略）



×進率

÷進率







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