資源簡介

北京市高考數學（理）考試要點總結
按照近五年的北京市高考理科數學出題的規律，一般來說，北京卷分為選擇題和非選擇
題兩個部分。其中選擇題部分包含 8 個選擇題，每個 5 分，共計 40 分；非選擇題部分包含
填空題和解答題，其中填空題 6 個，每個 5 分，共計 30 分；解答題共 6 題，分值在 12~14
分不等，共計 80 分。試卷總分 150 分，考試時間 120 分鐘。
不管何種試卷，選擇填空題一直以來都是考試的一個重點項目，以數學為例，總分 150
分，選填分分值占 70 分，接近整張試卷分值的一半。而且歷年來，選擇填空考察的知識點
較多，但難度均為中等及簡單題（除選擇題填空題的最后一個），那么有一句話“得選擇填
空者的天下”，這句話不錯，如果選擇填空題全對的話，那么后面大題目不管寫的多差，總
分不會太低（除非你不寫）。
至于解答題，按照北京卷的出題習慣，除最后一道壓軸題外，剩余五道大題的出題模板
基本固定，考察的知識點也相對固定，一般來說掌握試卷的考察重點內容，對我們去完成一
份試卷是很有幫助的。
以下給出北京市高考理數的常考知識點（僅給出知識點，具體內容由老師和學生共同在
課堂上復述、整理）以及相關例題（例題節選自 14~18 年北京市高考數學（理科），其中以
17、18 年為主）、解析以及常規的一些做題思路；
一、選擇填空
選擇填空共計 14 題，考察知識點一般來說涵蓋整個高三學習內容，數學想要取得高分，
一般來說，選擇填空應該在 40~45 分之內全部寫完，否則留給最后的解答題就沒有多少時間
了。那么如何快速高效的寫完填空題？積累大量的題型和知識點是必備的。分析往年的試卷，
不難看出，在選擇填空部分，有以下幾個知識點必考：
①集合、復數
本部分的內容，往往會考察集合的定義、運算、表示（如描述法、區間等）；復數常考
復數的表示、運算、模、共軛復數、復平面等概念。所以在針對這一考點的試題時，應重點
抓住上述提及的幾個知識點。
【例 1】（2018 年·北京理）已知集合 A＝{x||x|＜2}，B＝{﹣2，0，1，2}，則 A∩B＝（ ）
A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}
【分析】根據集合的基本運算進行計算即可．
【解答】解：A＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{﹣2，0，1，2}，
則 A∩B＝{0，1}；故選：A
【點評】本題主要考查集合的基本運算，根據集合交集的定義是解決本題的關鍵．比較
基礎．
【例 2】（2018 年·北京理）在復平面內，復數 的共軛復數對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用復數的除法運算法則，化簡求解即可．
【解答】解：復數 ＝ ＝ ，
共軛復數對應點的坐標（ ，﹣ ）在第四象限；故選：D
【點評】本題考查復數的代數形式的乘除運算，復數的幾何意義，是基本知識的考查．
②程序框圖
本部分的內容主要是程序框圖的理解及運算，在這里要知道判斷、賦值、計算、輸出、
輸入等框圖的識別。其中這類題目計算量稍微有點大，還請同學們在計算時細心一點。
【例 1】（2018 年·北京理）執行如圖所示的程序框圖，輸出的 s值為（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用程序框圖的應用求出結果．
【解答】解：執行循環前：k＝1，S＝1．
在執行第一次循環時，S＝1﹣ ＝ ．
由于 k＝2≤3，
所以執行下一次循環．S＝ ，
k＝3，直接輸出 S＝ ，故選：B
【點評】本題考查的知識要點：程序框圖和循環結構的應用．
【例 2】（2017 年·北京理）執行如圖所示的程序框圖，輸出的 S值為（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環結構計
算并輸出變量 S的值，模擬程序的運行過程，分析循環中各變量值的
變化情況，可得答案．
【解答】解：
當 k＝0時，滿足進行循環的條件，執行完循環體后，k＝1，S＝2，
當 k＝1時，滿足進行循環的條件，執行完循環體后，k＝2，S＝ ，
當 k＝2時，滿足進行循環的條件，執行完循環體后，k＝3，S＝ ，
當 k＝3時，不滿足進行循環的條件，
故輸出結果為： ，故選：C
【點評】本題考查的知識點是程序框圖，當循環的次數不多，或有規律時，常采用模擬
③三視圖
本知識點主要考察的是幾何體的三視圖與直觀圖的轉化，以及空間集合體的表面積、體
積的求法；我們在這里需要掌握如何通過三視圖轉化成空間幾何體的直觀圖，進而再去對集
合體的表面積、體積、棱長等相關問題求解。
【例 1】（2018 年·北京理）某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側面中，直角三角
形的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】畫出三視圖的直觀圖，判斷各個面的三角形的情況，即可推出結果．
【解答】解：四棱錐的三視圖對應的直觀圖為：PA⊥底面 ABCD，
AC＝ ，CD＝ ，
PC＝3，PD＝2 ，可得三角形 PCD不是直角三角形．
所以側面中有 3個直角三角形，分別為：△PAB，△PBC，
△PAD．故選：C．
【點評】本題考查簡單幾何體的三視圖的應用，是基本知識的考查．
【例 2】（2017 年·北京理）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為（ ）
A．3 B．2 C．2 D．2
【分析】根據三視圖可得物體的直觀圖，結合圖形可得最長的棱為 PA，根
據勾股定理求出即可．
【解答】解：由三視圖可得直觀圖，
再四棱錐 P﹣ABCD中，
最長的棱為 PA，即 PA＝ ＝ ＝2 ，
故選：B．
【點評】本題考查了三視圖的問題，關鍵畫出物體的直觀圖，屬于基礎題．
④在線性約束條件下的最優解
在解決這類問題的時候，首先要明確這個求范圍的代數式符合哪一類型？線性、斜率、
距離？再根據約束條件畫出可行域，結合上述的代數式分析何時取得符合條件的解。
【例 1】（2018 年·北京理）若 x，y滿足 x+1≤y≤2x，則 2y﹣x的最小值是 ．
【分析】作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義進行求解即可．
【解答】解：作出不等式組對應的平面區域如圖：
設 z＝2y﹣x，則 y＝ x+ z，
平移 y＝ x+ z，
由圖象知當直線 y＝ x+ z經過點 A時，
直線的截距最小，此時 z最小，
由 得 ，即 A（1，2），
此時 z＝2×2﹣1＝3，
故答案為：3
【點評】本題主要考查線性規劃的應用，利用目標函數的幾何意義以及數形結合是解決
本題的關鍵．
【例 2】（2017 年·北京理）若 x，y滿足 ，則 x+2y的最大值為（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標函數的最優解求解目標函數的最值即可．
【解答】解：x，y滿足 的可行域如圖：
由可行域可知目標函數 z＝x+2y經過可行域的 A時，取得最大值，由 ，可得 A（3，
3），
目標函數的最大值為：3+2×3＝9．故選：D
【點評】本題考查線性規劃的簡單應用，畫出可行域判斷目標函數的最優解是解題的關
鍵．
⑤極坐標系與參數方程
該類題目要求掌握極坐標系下圓的方程以及極坐標系和直角坐標系的互換、和直線、圓、
橢圓的參數方程，然后在平面直角坐標系中去求解一些解析幾何問題。
【例 1】（2018 年·北京理）在極坐標系中，直線ρcosθ+ρsinθ＝a（a＞0）與圓ρ＝2cosθ相
切，則 a＝ ．
【分析】首先把曲線和直線的極坐標方程轉化成直角坐標方程，進一步利用圓心到直線
的距離等于半徑求出結果．
【解答】解：圓ρ＝2cosθ，
轉化成：ρ2＝2ρcosθ，
進一步轉化成直角坐標方程為：（x﹣1）2+y2＝1，
把直線ρ（cosθ+sinθ）＝a的方程轉化成直角坐標方程為：x+y﹣a＝0．
由于直線和圓相切，
所以：利用圓心到直線的距離等于半徑．
則： ＝1，
解得：a＝1± ．a＞0
則負值舍去．
故：a＝1+ ．
故答案為：1+ ．
【點評】本題考查的知識要點：極坐標方程與直角坐標方程的互化，直線與圓相切的充
要條件的應用．
【例 2】（2017 年·北京理）在極坐標系中，點 A在圓ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4＝0上，點 P
的坐標為（1，0），則|AP|的最小值為 1 ．
【分析】先將圓的極坐標方程化為標準方程，再運用數形結合的方法求出圓上的點到點 P
的距離的最小值．
【解答】解：設圓ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4＝0 為圓 C，將圓 C的極坐標方程化為：x2+y2
﹣2x﹣4y+4＝0，
再化為標準方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1；
如圖，當 A在 CP與⊙C的交點 Q處時，|AP|最小為：
|AP|min＝|CP|﹣rC＝2﹣1＝1，
故答案為：1．
【點評】本題主要考查曲線的極坐標方程和圓外一點到圓上一點的距離的最值，難度不
大．
⑥數列
數列在選擇填空中，一般來說都會考察等差數列或者等比數列的一些性質，以及其前 n
項和的性質。當然也會考察一些數列的通項公式和前 n 項和的求法。
【例 1】（2018 年·北京理）“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數學方
法計算出半音比例，為這個理論的發展做出了重要貢獻，十二平均律將一個純八度音程
分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個
單音的頻率的比都等于 ．若第一個單音的頻率為 f，則第八個單音的頻率為（ ）
A． f B． f C． f D． f
【分析】利用等比數列的通項公式，轉化求解即可．
【解答】解：從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于
．
若第一個單音的頻率為 f，則第八個單音的頻率為： ＝ ．
故選：D．
【點評】本題考查等比數列的通項公式的求法，考查計算能力．
【例 2】（2017 年·北京理）若等差數列{an}和等比數列{bn}滿足 a1＝b1＝﹣1，a4＝b4＝8，
則 ＝ ．
【分析】利用等差數列求出公差，等比數列求出公比，然后求解第二項，即可得到結果．
【解答】解：等差數列{an}和等比數列{bn}滿足 a1＝b1＝﹣1，a4＝b4＝8，
設等差數列的公差為 d，等比數列的公比為 q．
可得：8＝﹣1+3d，d＝3，a2＝2；
8＝﹣q3，解得 q＝﹣2，∴b2＝2．
可得 ＝1．
故答案為：1．
【點評】本題考查等差數列以及等比數列的通項公式的應用，考查計算能力．
⑦函數相關
選填部分考察函數相關內容，相比于后面的解答題，考察的知識點比較雜，例如函數的
性質（單調性、周期性、對稱性、奇偶性）、函數的解析式（尤其是分段函數）、基本初等
函數（指數函數、冪函數、對數函數、三角函數，其中以三角函數居多）、導數相關（極值、
切線、定積分和微積分）；考察知識點很多，難度跨度也很大，所以同學在針對這一方面的
題目，多加練習。以下僅給出部分例題及剖析。
【例 1】（2018 年·北京理）設函數 f（x）＝cos（ωx﹣ ）（ω＞0），若 f（x）≤f（ ）
對任意的實數 x都成立，則ω的最小值為 ．
【分析】利用已知條件推出函數的最大值，然后列出關系式求解即可．
【解答】解：函數 f（x）＝cos（ωx﹣ ）（ω＞0），若 f（x）≤f（ ）對任意的實
數 x都成立，
可得： ，k∈Z，解得ω＝ ，k∈Z，ω＞0
則ω的最小值為： ．
故答案為： ．
【點評】本題考查三角函數的最值的求法與應用，考查轉化思想以及計算能力．
【例 2】（2017 年·北京理）已知函數 f（x）＝3x﹣（ ）x，則 f（x）（ ）
A．是奇函數，且在 R 上是增函數
B．是偶函數，且在 R 上是增函數
C．是奇函數，且在 R 上是減函數
D．是偶函數，且在 R 上是減函數
【分析】由已知得 f（﹣x）＝﹣f（x），即函數 f（x）為奇函數，由函數 y＝3x為增函數，
y＝（ ）x為減函數，結合“增”﹣“減”＝“增”可得答案．
【解答】解：f（x）＝3x﹣（ ）x＝3x﹣3﹣x，
∴f（﹣x）＝3﹣x﹣3x＝﹣f（x），
即函數 f（x）為奇函數，
又由函數 y＝3x為增函數，y＝（ ）x為減函數，
故函數 f（x）＝3x﹣（ ）x為增函數，
故選：A．
【點評】本題考查的知識點是函數的奇偶性，函數的單調性，是函數圖象和性質的綜合
應用，難度不大，屬于基礎題．
【例 3】（2016 年·北京理）設函數 f（x）＝ ．
①若 a＝0，則 f（x）的最大值為 ；
②若 f（x）無最大值，則實數 a的取值范圍是 ．
【分析】①將 a＝0 代入，求出函數的導數，分析函數的單調性，可得當 x＝﹣1 時，f
（x）的最大值為 2；
②若 f（x）無最大值，則 ，或 ，解得答案．
【解答】解：①若 a＝0，則 f（x）＝ ，
則 f′（x）＝ ，
當 x＜﹣1時，f′（x）＞0，此時函數為增函數，
當 x＞﹣1時，f′（x）＜0，此時函數為減函數，
故當 x＝﹣1時，f（x）的最大值為 2；
②f′（x）＝ ，
令 f′（x）＝0，則 x＝±1，
若 f（x）無最大值，則 ，或 ，
解得：a∈（﹣∞，﹣1）．
故答案為：2，（﹣∞，﹣1）
【點評】本題考查的知識點是分段函數的應用，函數的最值，分類討論思想，難度中檔．
⑧平面解析幾何相關
平面解析幾何指的是利用平面直角坐標系，采用函數的思想，將平面幾何圖形表示出來，
通過研究函數的性質進而研究平面幾何圖形的性質。在平面解析幾何考點內，常考直線、圓
錐曲線（圓、橢圓、雙曲線、拋物線）、向量等。與函數考點類似，題型較多，難度跨度較
大，主要圍繞平面解析幾何的一般方法去入手，如圓錐曲線的離心率、直線的方程、斜率、
兩點間的距離向量的運算。
【例 1】（2018 年·北京理）已知橢圓 M： + ＝1（a＞b＞0），雙曲線 N： ﹣
＝1．若雙曲線 N的兩條漸近線與橢圓 M的四個交點及橢圓 M的兩個焦點恰為一個正六
邊形的頂點，則橢圓 M的離心率為 ；雙曲線 N的離心率為 ．
【分析】利用已知條件求出正六邊形的頂點坐標，代入橢圓方程，求出橢圓的離心率；
利用漸近線的夾角求解雙曲線的離心率即可．
【解答】解：橢圓 M： + ＝1（a＞b＞0），雙曲線 N： ﹣ ＝1．若雙曲線 N
的兩條漸近線與橢圓 M的四個交點及橢圓 M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，
可得橢圓的焦點坐標（c，0），正六邊形的一個頂點（ ， ），可得： ，
可得 ，可得 e4﹣8e2+4＝0，e∈（0，1），
解得 e＝ ．
同時，雙曲線的漸近線的斜率為 ，即 ，
可得： ，即 ，
可得雙曲線的離心率為 e＝ ＝2．
故答案為： ；2．
【點評】本題考查橢圓以及雙曲線的簡單性質的應用，考查計算能力．
【例 2】（2017 年·北京理）若雙曲線 x2﹣ ＝1的離心率為 ，則實數 m＝ ．
【分析】利用雙曲線的離心率，列出方程求和求解 m 即可．
【解答】解：雙曲線 x2﹣ ＝1（m＞0）的離心率為 ，
可得： ，
解得 m＝2．
故答案為：2．
【點評】本題考查雙曲線的簡單性質，考查計算能力．
【例 3】（2016 年·北京理）雙曲線 ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的漸近線為正方形 OABC
的邊 OA，OC所在的直線，點 B為該雙曲線的焦點．若正方形 OABC的邊長為 2，則 a
＝ ．
【分析】根據雙曲線漸近線在正方形的兩個邊，得到雙曲線的漸近線互相垂直，即雙曲
線是等軸雙曲線，結合等軸雙曲線的性質進行求解即可．
【解答】解：∵雙曲線的漸近線為正方形 OABC的邊 OA，OC所在的直線，
∴漸近線互相垂直，則雙曲線為等軸雙曲線，即漸近線方程為 y＝±x，
即 a＝b，
∵正方形 OABC的邊長為 2，
∴OB＝2 ，即 c＝2 ，
則 a2+b2＝c2＝8，
即 2a2＝8，
則 a2＝4，a＝2，
故答案為：2
【點評】本題主要考查雙曲線的性質的應用，根據雙曲線漸近線垂直關系得到雙曲線是
等軸雙曲線是解決本題的關鍵．
⑨邏輯推理
邏輯推理是貫穿整個數學考試，甚至說是所有理科考試中。擁有好的邏輯推理能力，對
于題意的理解是很有幫助的。而很多學生說自己數學知識點都會，但就是考不了高分，為什
么？就是因為自己在邏輯推理能力方面比較差。所以說加強邏輯推理能力很有必要。一個好
的邏輯推理能力一般來說是從小學開始接觸理科相關試題的時候就已經開始形成的，這是一
個后天因素而并非先天條件。所以在剩下來短短的不到一個月的時間，如何加強自己的邏輯
推理能力呢？說實話，多刷題吧，這是最直接有效的方法，不要想著有什么竅門，也別想著
那種市面上的健腦藥品。
考試內容涉及到邏輯推理的，最典型的就是判斷命題的真假和充分性必要性。
【例 1】（2018 年·北京理）設 ， 均為單位向量，則“| ﹣3 |＝|3 + |”是“ ⊥ ”
的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【分析】根據向量數量積的應用，結合充分條件和必要條件的對應進行判斷即可．
【解答】解：∵“| ﹣3 |＝|3 + |”
∴平方得| |2+9| |2﹣6 ? ＝9| |2+| |2+6 ? ，
即 1+9﹣6 ? ＝9+1+6 ? ，
即 12 ? ＝0，
則 ? ＝0，即 ⊥ ，
則“| ﹣3 |＝|3 + |”是“ ⊥ ”的充要條件，
故選：C．
【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合向量數量積的公式進行轉化是
解決本題的關鍵．
【例 2】（2017 年·北京理）設 ， 為非零向量，則“存在負數λ，使得 ＝λ ”是“ ?
＜0”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【分析】 ， 為非零向量，存在負數λ，使得 ＝λ ，則向量 ， 共線且方向相反，可
得 ? ＜0．反之不成立，非零向量 ， 的夾角為鈍角，滿足 ? ＜0，而 ＝λ 不成立．即
可判斷出結論．
【解答】解： ， 為非零向量，存在負數λ，使得 ＝λ ，則向量 ， 共線且方向相反，
可得 ? ＜0．
反之不成立，非零向量 ， 的夾角為鈍角，滿足 ? ＜0，而 ＝λ 不成立．
∴ ， 為非零向量，則“存在負數λ，使得 ＝λ ”是 ? ＜0”的充分不必要條件．
故選：A．
【點評】本題考查了向量共線定理、向量夾角公式、簡易邏輯的判定方法，考查了推理
能力與計算能力，屬于基礎題．
【例 3】（2016 年·北京理）袋中裝有偶數個球，其中紅球、黑球各占一半．甲、乙、丙是
三個空盒．每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，
就將另一個放入乙盒，否則就放入丙盒．重復上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，
則（ ）
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B．乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多
C．乙盒中紅球不多于丙盒中紅球
D．乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多
【分析】分析理解題意：乙中放紅球，則甲中也肯定是放紅球；往丙中放球的前提是放
入甲中的不是紅球，據此可以從乙中的紅球個數為切入點進行分析．
【解答】解：取兩個球共有 4種情況：
①紅+紅，則乙盒中紅球數加 1個；
②黑+黑，則丙盒中黑球數加 1個；
③紅+黑（紅球放入甲盒中），則乙盒中黑球數加 1個；
④黑+紅（黑球放入甲盒中），則丙盒中紅球數加 1個．
設一共有球 2a個，則 a個紅球，a個黑球，甲中球的總個數為 a，其中紅球 x個，黑球 y
個，x+y＝a．
則乙中有 x個球，其中 k個紅球，j個黑球，k+j＝x；
丙中有 y個球，其中 l個紅球，i個黑球，i+l＝y；
黑球總數 a＝y+i+j，又 x+y＝a，故 x＝i+j
由于 x＝k+j，所以可得 i＝k，即乙中的紅球等于丙中的黑球．
故選：B．
【點評】該題考查了推理與證明，重點是找到切入點逐步進行分析，對學生的邏輯思維
能力有一定要求，中檔題
上述為歷年來北京卷選擇填空題常考的知識點，幾乎每年必考，下面羅列一下不太常考
的知識點。雖然不常考，但不是不重要的。
①計數原理
計數原理主要考察的是分類加法和分步乘法的運用，以及排列組合的內容。在這類題型
中，分類的過程中要求不重不漏，分步的過程中要求步驟顯然，按部就班。計數原理常用的
方法為 1）特殊位置特殊元素優先考慮 2）插空法 3）捆綁法 4）正難則反淘汰法
【例】（2014 年·北京理）把 5件不同產品擺成一排，若產品 A與產品 B相鄰，且產品 A
與產品 C不相鄰，則不同的擺法有 36 種．
【分析】分 3步進行分析：①用捆綁法分析 A、B，②計算其中 A、B相鄰又滿足 B、C
相鄰的情況，即將 ABC看成一個元素，與其他產品全排列，③在全部數目中將 A、B相
鄰又滿足 A、C相鄰的情況排除即可得答案．
【解答】解：先考慮產品 A與 B相鄰，把 A、B作為一個元素有 種方法，而 A、B可
交換位置，所以有 2 ＝48種擺法，
又當 A、B相鄰又滿足 A、C相鄰，有 2 ＝12種擺法，
故滿足條件的擺法有 48﹣12＝36種．
故答案為：36．
【點評】本題考查分步計數原理的應用，要優先分析受到限制的元素，如本題的 A、B、
C．
②古典概型、幾何概型、條件概率、相互獨立事件
古典概型（傳統概率）、其定義是一個隨機試驗所包含的單位事件是有限的，且每個單
位事件發生的可能性均相等，則這個隨機試驗叫做拉普拉斯試驗，這種條件下的概率模型就
叫古典概型。
幾何概型是一種概率模型。在這個模型下，隨機實驗所有可能的結果是無限的，并且每
個基本結果發生的概率是相同的。例如一個人到單位的時間可能是 8:00~9:00之間的任意一
個時刻、往一個方格中投一個石子，石子落在方格中任何一點上……這些試驗出現的結果都
是無限多個，屬于幾何概型。一個試驗是否為幾何概型在于這個試驗是否具有幾何概型的兩
個特征——無限性和等可能性，只有同時具備這兩個特點的概型才是幾何概型。
對于古典概型，計算出這一隨機試驗所包含的所有基本事件的個數，然后符合條件的事
件個數與總個數的之比，即為古典概型。而幾何概型往往在幾何背景下，如面積、長度、體
積等，然后符合條件的區域的幾何數值與總的幾何數值之比即為幾何概型。
條件概率是指在 A事件發生的前提下，B事件發生的概率為多少，一般利用公式
進行計算即可，該公式表達的是 B事件在 A事件發生的情況下的條件概率（P(B|A)），P(AB)
表示 A、B事件同時發生的概率，P(A)表示 A時間發生的概率。
相互獨立事件，指的是 A事件發生的概率與 B時間發生是否無關，即 P(AB)=P(A)P(B)，
符合這一式子的即為相互獨立事件。
該知識點在高考中的考察內容主要集中在后面的解答題，在選填部分遇到的可能性不大
（14~18年未出現），但不能忽視。
③二項式定理
該知識點主要考察二項式定理的展開，要求重點掌握二項式定理的展開式的通項，理解
并掌握二項式系數、項系數的概念，會求展開后的某一項（系數）、求特定的項系數、二項
式系數等。
【例】（2015年·北京理）在（2+x）5的展開式中，x3的系數為 40 （用數字作答）
【分析】寫出二項式定理展開式的通項公式，利用 x的指數為 3，求出 r，然后求解所求
數值．
【解答】解：（2+x）5的展開式的通項公式為：Tr+1＝ 25﹣rxr，
所求 x3的系數為： ＝40．
故答案為：40．
【點評】本題考查二項式定理的應用，二項式系數的求法，考查計算能力．
④新概念題型
選擇填空部分的新概念題型，與解答題的壓軸題不同，一般是以函數或集合的運算舉例，
定義一個新型的運算符號，然后去解決一些問題。這一類題型的做法，從題意入手，將
它所給的運算符號進行化簡整理得到一個新函數或集合，然后根據函數或集合的性質去
解題。
【例】（2015年·北京理）汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗 1升汽油行駛的里程，如
圖
描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下燃油效率情況，下列敘述中正確的是（ ）
A．消耗 1升汽油，乙車最多可行駛 5千米
B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多
C．某城市機動車最高限速 80千米/小時，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油
D．甲車以 80千米/小時的速度行駛 1小時，消耗 10升汽油
【分析】根據函數圖象的意義逐項分析各說法是否正確．
【解答】解：對于 A，由圖象可知當速度大于 40km/h時，乙車的燃油效率大于 5km/L，
∴當速度大于 40km/h時，消耗 1升汽油，乙車的行駛距離大于 5km，故 A錯誤；
對于 B，由圖象可知當速度相同時，甲車的燃油效率最高，即當速度相同時，消耗 1 升
汽油，甲車的行駛路程最遠，
∴以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最少，故 B錯誤；
對于 C，由圖象可知當速度小于 80km/h時，丙車的燃油效率大于乙車的燃油效率，
∴用丙車比用乙車更省油，故 C正確；
對于 D，由圖象可知當速度為 80km/h時，甲車的燃油效率為 10km/L，
即甲車行駛 10km時，耗油 1升，故行駛 1小時，路程為 80km，燃油為 8升，故 D錯誤．
故選：C．
【點評】本題考查了函數圖象的意義，屬于中檔題．
二、解答題
解答題在北京卷所占分值為 80 分，難度系數普遍在 0.1~0.5 之間，極個別題目的難度為
0.7，所以就難度系數而言，解答題的難度偏大，所用到的知識點相對集中，但邏輯推理能
力要求較強，需要對題意理解的相對透徹。結合近五年來（14 年~18 年）的題目來看，題型
的設置基本固定，為 1）解三角形或三角函數 2）立體幾何 3）概率、分布列 4）圓錐曲線 5）
導數 6）新概念壓軸題。
①解三角形
對于解三角形的題目，常用正余弦定理、三角形面積公式，以及常見的三角函數的誘導
公式及恒等變換，然后結合方程的思想去進行求解，計算量稍大，一定要細心。我們經常對
題目所給的已知條件進行化簡，比如角化邊、邊化角等。在解三角形內常用的兩句話“大邊
對大角”“三角形內角和為 180°（即 sin (A+B)=sin C）”，這兩句話對我們進行化簡或者對
多解的判斷很有幫助。
母題模板：在△ABC 中，給你一些邊角關系，求：
（1）三角形另外的邊角關系
（2）三角形的面積
（3）某個邊上的高、中線等
（4）判斷三角形的形狀
……………………
【例 1】（2018 年·北京理）在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝﹣ ．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求 AC邊上的高．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理結合大邊對大角進行求解即可．
（Ⅱ）利用余弦定理求出 c的值，結合三角函數的高與斜邊的關系進行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即 A是銳角，
∵cosB＝﹣ ，∴sinB＝ ＝ ＝ ，
由正弦定理得 ＝ 得 sinA＝ ＝ ＝ ，
則 A＝ ．
（Ⅱ）由余弦定理得 b2＝a2+c2﹣2accosB，
即 64＝49+c2+2×7×c× ，
即 c2+2c﹣15＝0，
得（c﹣3）（c+5）＝0，
得 c＝3或 c＝﹣5（舍），
則 AC邊上的高 h＝csinA＝3× ＝ ．
【點評】本題主要考查解三角形的應用，利用正弦定理以及余弦定理建立方程關系是解
決本題的關鍵．
【例 2】（2017年·北京理）在△ABC中，∠A＝60°，c＝ a．
（1）求 sinC的值；
（2）若 a＝7，求△ABC的面積．
【分析】（1）根據正弦定理即可求出答案，
（2）根據同角的三角函數的關系求出 cosC，再根據兩角和正弦公式求出 sinB，根據面
積公式計算即可．
【解答】解：（1）∠A＝60°，c＝ a，
由正弦定理可得 sinC＝ sinA＝ × ＝ ，
（2）a＝7，則 c＝3，
∴C＜A，
∵sin2C+cos2C＝1，又由（1）可得 cosC＝ ，
∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝ × + × ＝ ，
∴S△ABC＝ acsinB＝ ×7×3× ＝6 ．
【點評】本題考查了正弦定理和兩角和正弦公式和三角形的面積公式，屬于基礎題
②三角函數
若解答題考察三角函數的相關內容時，往往對三角函數恒等變換以及誘導公式考察
重點較深，我們利用恒等變化和誘導公式之后，會結合輔助角公式對題目所給的函數化
簡成三角函數模型，然后去進行一些相關題目的求解。
母題：已知函數 f（x）=……………………，求：
（1）函數的周期
（2）函數的單調性
（3）函數在某個區間 D 的最值
（4）可能會和解三角形的內容結合在一起
……………………
【例 1】（2015 年·北京理）已知函數 f（x）＝ sin cos ﹣ ．
（Ⅰ）求 f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求 f（x）在區間[﹣π，0]上的最小值．
【分析】（Ⅰ）運用二倍角公式和兩角和的正弦公式，化簡 f（x），再由正弦函數的周
期，即可得到所求；
（Ⅱ）由 x的范圍，可得 x+ 的范圍，再由正弦函數的圖象和性質，即可求得最小值．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝ sin cos ﹣
＝ sinx﹣ （1﹣cosx）
＝sinxcos +cosxsin ﹣
＝sin（x+ ）﹣ ，
則 f（x）的最小正周期為 2π；
（Ⅱ）由﹣π≤x≤0，可得
﹣ ≤x+ ≤ ，
即有﹣1 ，
則當 x＝﹣ 時，sin（x+ ）取得最小值﹣1，
則有 f（x）在區間[﹣π，0]上的最小值為﹣1﹣ ．
【點評】本題考查二倍角公式和兩角和的正弦公式，同時考查正弦函數的周期和值域，
考查運算能力，屬于中檔題．
【例 2】（2016年·北京理）在△ABC中，a2+c2＝b2+ ac．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）求 cosA+cosC的最大值．
【分析】（Ⅰ）根據已知和余弦定理，可得 cosB＝ ，進而得到答案；
（Ⅱ）由（I）得：C＝ ﹣A，結合正弦型函數的圖象和性質，可得 cosA+cosC的
最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，a2+c2＝b2+ ac．
∴a2+c2﹣b2＝ ac．
∴cosB＝ ＝ ＝ ，
∴B＝
（Ⅱ）由（I）得：C＝ ﹣A，
∴ cosA+cosC＝ cosA+cos（ ﹣A）
＝ cosA﹣ cosA+ sinA
＝ cosA+ sinA
＝sin（A+ ）．
∵A∈（0， ），
∴A+ ∈（ ，π），
故當 A+ ＝ 時，sin（A+ ）取最大值 1，
即 cosA+cosC的最大值為 1．
【點評】本題考查的知識點是余弦定理，和差角公式，正弦型函數的圖象和性質，難度
中檔．
③立體幾何
空間立體集合是每年必考的題型之一，一般都是以一個空間幾何體（可能規則可能不規
則）為基礎，然后去判斷空間中的點、線、面位置關系，以及角的大小（線線角、線面角、
二面角），有的題目可能會讓你求點到平面的距離（轉換成體積或者線面角去做），或者某
個幾何體的體積。對于這一種題目，我們有兩種方法，一種是純幾何的方法，通過做輔助線，
然后去根據點線面位置關系的判定定理或者性質定理去證明一些關系，然后通過做出平面角
去解出空間角。這種方法對學生的空間思維能力比較強，對于一些簡單的題目可以采用上述
方法，但大部分學生更加傾向于使用第二種方法：空間向量。空間向量也有兩種表達方式，
一種是純向量，一種是用坐標表示，后者常用。對于用坐標表示空間向量，我們要建立合適
的坐標系（建系原則：使盡可能多的點落在坐標軸或坐標面上），做出直線的方向向量和平
面的法向量去求解就可以了。偶爾最后一問可能會問是否存在一點使條件成立，對于坐標解
法來說，直接設出特征點的坐標，然后建立方程去求解即可。在解決空間幾何體的時候，我
們一般采用分析法去尋求思路，即將題目要證明的結論當成已知條件，去逆向分析得到我們
的已知條件。
母題模板：在幾何體（三棱錐、四棱錐、平面圖形翻折后的圖形等）中，給你一些點的
特點（例如中點，三等分點等）、一些線段的長度，求
（1）證明：線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直等；
（2）求：線面角、線線角、二面角的大小（余弦值、正弦值）；
（3）求：點到平面的距離，某個幾何體的體積；
（4）是否存在一點使得····成立
……………………
【例 1】（2018年·北京理）如圖，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面 ABC，D，E，
F，G分別為 AA1，AC，A1C1，BB1的中點，AB＝BC＝ ，AC＝AA1＝2．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面 BEF；
（Ⅱ）求二面角 B﹣CD﹣C1的余弦值；
（Ⅲ）證明：直線 FG與平面 BCD相交．
【分析】（I）證明 AC⊥BE，AC⊥EF即可得出 AC⊥平面 BEF；
（II）建立坐標系，求出平面 BCD的法向量 ，通過計算 與 的夾角得出二面角的大
小；
（III）計算 與 的數量積即可得出結論．
【解答】（I）證明：∵E，F分別是 AC，A1C1的中點，∴EF∥CC1，
∵CC1⊥平面 ABC，∴EF⊥平面 ABC，
又 AC?平面 ABC，∴EF⊥AC，
∵AB＝BC，E是 AC的中點，
∴BE⊥AC，
又 BE∩EF＝E，BE?平面 BEF，EF?平面 BEF，
∴AC⊥平面 BEF．
（II）解：以 E為原點，以 EB，EC，EF為坐標軸建立空間直角坐標系如圖所示：
則 B（2，0，0），C（0，1，0），D（0，﹣1，1），
∴ ＝（﹣2，1，0）， ＝（0，﹣2，1），
設平面 BCD的法向量為 ＝（x，y，z），則 ，即 ，
令 y＝2可得 ＝（1，2，4），又 EB⊥平面 ACC1A1，
∴ ＝（2，0，0）為平面 CD﹣C1的一個法向量，
∴cos＜ ， ＞＝ ＝ ＝ ．
由圖形可知二面角 B﹣CD﹣C1為鈍二面角，
∴二面角 B﹣CD﹣C1的余弦值為﹣ ．
（III）證明：F（0，0，2）， （2，0，1），∴ ＝（2，0，﹣1），
∴ ? ＝2+0﹣4＝﹣2≠0，
∴ 與 不垂直，
∴FG與平面 BCD不平行，又 FG?平面 BCD，
∴FG與平面 BCD相交．
【點評】本題考查了線面垂直的判定，二面角的計算與空間向量的應用，屬于中檔題．
【例 2】（2017 年·北京理）如圖，在四棱錐 P﹣ABCD中，底面 ABCD為正方形，平面
PAD⊥平面 ABCD，點 M在線段 PB上，PD∥平面 MAC，PA＝PD＝ ，AB＝4．
（1）求證：M為 PB的中點；
（2）求二面角 B﹣PD﹣A的大小；
（3）求直線 MC與平面 BDP所成角的正弦值．
【分析】（1）設 AC∩BD＝O，則 O為 BD的中點，連接 OM，利用線面平行的性質證
明 OM∥PD，再由平行線截線段成比例可得 M為 PB的中點；
（2）取 AD中點 G，可得 PG⊥AD，再由面面垂直的性質可得 PG⊥平面 ABCD，則 PG
⊥AD，連接 OG，則 PG⊥OG，再證明 OG⊥AD．以 G為坐標原點，分別以 GD、GO、
GP所在直線為 x、y、z軸距離空間直角坐標系，求出平面 PBD與平面 PAD的一個法向
量，由兩法向量所成角的大小可得二面角 B﹣PD﹣A的大小；
（3）求出 的坐標，由 與平面 PBD的法向量所成角的余弦值的絕對值可得直線 MC
與平面 BDP所成角的正弦值．
【解答】（1）證明：如圖，設 AC∩BD＝O，
∵ABCD為正方形，∴O為 BD的中點，連接 OM，
∵PD∥平面 MAC，PD?平面 PBD，平面 PBD∩平面 AMC＝OM，
∴PD∥OM，則 ，即 M為 PB的中點；
（2）解：取 AD中點 G，
∵PA＝PD，∴PG⊥AD，
∵平面 PAD⊥平面 ABCD，且平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，
∴PG⊥平面 ABCD，則 PG⊥AD，連接 OG，則 PG⊥OG，
由 G是 AD的中點，O是 AC的中點，可得 OG∥DC，則 OG⊥AD．
以 G為坐標原點，分別以 GD、GO、GP所在直線為 x、y、z軸距離空間直角坐標系，
由 PA＝PD＝ ，AB＝4，得 D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0， ），C（2，
4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2， ），
， ．
設平面 PBD的一個法向量為 ，
則由 ，得 ，取 z＝ ，得 ．
取平面 PAD的一個法向量為 ．
∴cos＜ ＞＝ ＝ ．
∴二面角 B﹣PD﹣A的大小為 60°；
（3）解： ，平面 BDP的一個法向量為 ．
∴直線 MC 與平面 BDP 所成角的正弦值為 |cos＜ ＞ |＝ | |＝
| |＝ ．
【點評】本題考查線面角與面面角的求法，訓練了利用空間向量求空間角，屬中檔題．
④概率、分布列
這類題目一般考察概率和離散型隨機變量的分布列及其數字特征。通常給你一個題目背
景，比如某次調查結果，某次比賽結果，某次考試成績等，然后讓你去求某一事件的概率，
或者直接從題干信息分析出一些簡單的結果；其次會給你一個隨機變量代表的事件，讓你寫
出它的分布列。這種我們首先要判斷這個隨機變量的取值，然后判斷這個隨機變量符合哪一
種分布（兩點分布、二項分布、超幾何分布等），根據概率公式去計算得到每一具體取值的
隨機變量的概率，列出分布列即可（一定要保證概率之和為 1，這個條件可以用來檢驗最后
的結果是否出錯）；關于隨機變量的數字特征，在高中階段重點強調期望和方差的算法，我
們根據公式可以算出來期望和方差（期望就是均值，方差就是數值的離散程度），詢問數字
特征的題目一般接在分布列后面，或者直接單獨作為最后一個問。當作為最后一個問的時候，
一般要求只寫結論，我們只需要進行理性分析即可。
這道題的母題模板不給出，因為這種題目的題干條件不像其他幾種題目給的那么固定，
具有一定的可變性，所以不太好給出具體的模板，下面直接以例題講解；
【例 1】（2018年·北京理）電影公司隨機收集了電影的有關數據，經分類整理得到下表：
電影類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類 第六類
電影部數 140 50 300 200 800 510
好評率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好評率是指：一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值．
假設所有電影是否獲得好評相互獨立．
（Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機選取 1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的
概率；
（Ⅱ）從第四類電影和第五類電影中各隨機選取 1部，估計恰有 1部獲得好評的概率；
（Ⅲ）假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等．用“ξk＝1”
表示第 k類電影得到人們喜歡．“ξk＝0”表示第 k類電影沒有得到人們喜歡（k＝1，2，
3，4，5，6）．寫出方差 Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小關系．
【分析】（Ⅰ）先求出總數，再求出第四類電影中獲得好評的電影的部數，利用古典概
型概率計算公式直接求解．
（Ⅱ）設事件 B表示“從第四類電影和第五類電影中各隨機選取 1 部，恰有 1部獲得好
評”，第四類獲得好評的有 50部，第五類獲得好評的有 160部，由此能求出從第四類電
影和第五類電影中各隨機選取 1部，估計恰有 1部獲得好評的概率．
（Ⅲ）由題意知，定義隨機變量如下：ξk＝ ，則ξk
服從兩點分布，分別求出六類電影的分布列及方差由此能寫出方差 Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，
Dξ5，Dξ6的大小關系．
【解答】解：（Ⅰ）設事件 A表示“從電影公司收集的電影中隨機選取 1部，求這部電
影是獲得好評的第四類電影”，
總的電影部數為 140+50+300+200+800+510＝2000部，
第四類電影中獲得好評的電影有：200×0.25＝50部，
∴從電影公司收集的電影中隨機選取 1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的頻率
為：
P（A）＝ ＝0.025．
（Ⅱ）設事件 B表示“從第四類電影和第五類電影中各隨機選取 1 部，恰有 1部獲得好
評”，
第四類獲得好評的有：200×0.25＝50部，
第五類獲得好評的有：800×0.2＝160部，
則從第四類電影和第五類電影中各隨機選取 1部，估計恰有 1部獲得好評的概率：
P（B）＝ ＝0.35．
（Ⅲ）由題意知，定義隨機變量如下：
ξk＝ ，
則ξk服從兩點分布，則六類電影的分布列及方差計算如下：
第一類電影：
ξ1 1 0
P 0.4 0.6
E（ξ1）＝1×0.4+0×0.6＝0.4，
D（ξ1）＝（1﹣0.4）2×0.4+（0﹣0.4）2×0.6＝0.24．
第二類電影：
ξ2 1 0
P 0.2 0.8
E（ξ2）＝1×0.2+0×0.8＝0.2，
D（ξ2）＝（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8＝0.16．
第三類電影：
ξ3 1 0
P 0.15 0.85
E（ξ3）＝1×0.15+0×0.85＝0.15，
D（ξ3）＝（1﹣0.15）2×0.15+（0﹣0.15）2×0.85＝0.1275．
第四類電影：
ξ4 1 0
P 0.25 0.75
E（ξ4）＝1×0.25+0×0.75＝0.15，
D（ξ4）＝（1﹣0.25）2×0.25+（0﹣0.25）2×0.75＝0.1875．
第五類電影：
ξ5 1 0
P 0.2 0.8
E（ξ5）＝1×0.2+0×0.8＝0.2，
D（ξ5）＝（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8＝0.16．
第六類電影：
ξ6 1 0
P 0.1 0.9
E（ξ6）＝1×0.1+0×0.9＝0.1，
D（ξ5）＝（1﹣0.1）2×0.1+（0﹣0.1）2×0.9＝0.09．
∴方差 Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小關系為：
Dξ6＜Dξ3＜Dξ2＝Dξ5＜Dξ4＜Dξ1．
【點評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的方差的求法，考查古典概型、兩
點分布等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題．
【例 2】（2017年·北京理）為了研究一種新藥的療效，選 100名患者隨機分成兩組，每組
各 50名，一組服藥，另一組不服藥．一段時間后，記錄了兩組患者的生理指標 x和 y的
數據，并制成如圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者．
（1）從服藥的 50名患者中隨機選出一人，求此人指標 y的值小于 60的概率；
（2）從圖中 A，B，C，D四人中隨機選出兩人，記ξ為選出的兩人中指標 x的值大于 1.7
的人數，求ξ的分布列和數學期望 E（ξ）；
（3）試判斷這 100名患者中服藥者指標 y數據的方差與未服藥者指標 y數據的方差的大
小．（只需寫出結論）
【分析】（1）由圖求出在 50名服藥患者中，有 15名患者指標 y的值小于 60，由此能求
出從服藥的 50名患者中隨機選出一人，此人指標小于 60的概率．
（2）由圖知：A、C兩人指標 x的值大于 1.7，而 B、D兩人則小于 1.7，可知在四人中
隨機選項出的 2 人中指標 x的值大于 1.7的人數ξ的可能取值為 0，1，2，分別求出相應
的概率，由此能求出ξ的分布列和 E（ξ）．
（3）由圖知 100名患者中服藥者指標 y數據的方差比未服藥者指標 y數據的方差大．
【解答】解：（1）由圖知：在 50名服藥患者中，有 15名患者指標 y的值小于 60，
答：從服藥的 50名患者中隨機選出一人，此人指標小于 60的概率為：
p＝ ＝ ．
（2）由圖知：A、C兩人指標 x的值大于 1.7，而 B、D兩人則小于 1.7，
可知在四人中隨機選項出的 2人中指標 x的值大于 1.7的人數ξ的可能取值為 0，1，2，
P（ξ＝0）＝ ，
P（ξ＝1）＝ ＝ ，
P（ξ＝2）＝ ＝ ，
∴ξ的分布列如下：
ξ 0 1 2
P
答：E（ξ）＝ ＝1．
（3）答：由圖知 100名患者中服藥者指標 y數據的方差比未服藥者指標 y數據的方差大．
【點評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數學期望、方差等基礎
知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數形結合思想、化歸與
轉化思想，是中檔題．
⑤平面解析幾何
平面解析幾何主要是通過幾何圖形所對應的函數解析式，利用研究函數的性質，反映出
平面幾何圖形的性質的一種方法，高考必考題型之一，具有靈活性強，計算量大等特點，常
作為次壓軸題，現在高考常一圓錐曲線和直線去出題。
在解決這一類問題的時候，常用的一步就是將我們的圓錐曲線和直線方程去聯立，然后
化簡得出韋達定理。這一步的計算量稍大，所以在做題的時候需要細心。其次我們會把題目
中的圖形畫出來，結合圖像可以更好的理解題意。
對于固定的題目，常考察圓錐曲線的一些基本性質，例如橢圓的離心率、長軸、短軸、
焦點等；雙曲線的離心率、漸近線、焦點等；拋物線的準線、焦點等。對于第二問或者第三
問，往往是圓錐曲線和直線的相關問題，對于這種題目我們一般的方法是順著題意來，例如
一條直線與橢圓相交于兩點 A、B，過 B點的直線······，若····（某一關系式）
成立，求證：····（例如定值問題、定點問題、三點共線等）。我們一般從讓我們證明
的結論入手，以證明三點共線為例，要證明三點共線，那么我們可以采用直線的斜率，或者
平面共線向量的方法去做，那么緊接著就想到要去求出點的坐標。那么點的坐標怎么求呢？
通過題目條件可以得到該點是由直線形成的，所以我們對這個直線去入手，建立直線的方程，
有的時候我們還可以再往前去看看，這個直線是由其他動點形成的，還是題目中原本存在的
直線，那么我們的題目就很容易去求解了。如果后面建立的等式關系化簡起來特別的麻煩，
那么返回我們的題目條件去看，是不是有某個條件我們還沒有用上，一般來說，這個沒有用
上的條件就是我們化簡代數式的關鍵。對于直線的設法，我們要考慮這個直線的斜率是否存
在，如果有斜率不存在的情況，那么我們會優先對這種特殊情況進行求解，去進行證明，如
果是定值問題，這個值往往就是我們最后要證明的結果，所以在一般情況，化簡結果可以向
特殊情況的結果去。
除了上述的一般套路之外，我們還要掌握一些圓錐曲線的特殊方法，例如求弦長的弦長
公式、焦點三角形的面積公式、橢圓和雙曲線的點差法等。
母題模板：已知橢圓（雙曲線、拋物線），符合某個條件，曲線上有幾個特征點，或者
某一條直線與圓錐曲線相交，求
（1）圓錐曲線的方程、離心率、參數的值（a，b，c）、某些點的坐標等；
（2）過定點問題、定值問題、三點共線問題、直線與其他曲線的位置關系等；
【例 1】（2018年·北京理）已知拋物線 C：y2＝2px經過點 P（1，2），過點 Q（0，1）
的直線 l與拋物線 C有兩個不同的交點 A，B，且直線 PA交 y軸于 M，直線 PB交 y軸于
N．
（Ⅰ）求直線 l的斜率的取值范圍；
（Ⅱ）設 O為原點， ＝λ ， ＝μ ，求證： + 為定值．
【分析】（Ⅰ）將 P代入拋物線方程，即可求得 p的值，設直線 AB的方程，代入橢圓
方程，由△＞0，即可求得 k的取值范圍；
（Ⅱ）根據向量的共線定理即可求得λ＝1﹣yM，μ＝1﹣yN，求得直線 PA的方程，令 x＝
0，求得 M點坐標，同理求得 N點坐標，根據韋達定理即可求得 + 為定值．
【解答】解：（Ⅰ）∵拋物線 C：y2＝2px經過點
P（1，2），∴4＝2p，解得 p＝2，
設過點（0，1）的直線方程為 y＝kx+1，
設 A（x1，y1），B（x2，y2）
聯立方程組可得 ，
消 y可得 k2x2+（2k﹣4）x+1＝0，
∴△＝（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且 k≠0解得 k＜1，
且 k≠0，x1+x2＝﹣ ，x1x2＝ ，
又∵PA、PB要與 y軸相交，∴直線 l不能經過點（1，﹣2），即 k≠﹣3，
故直線 l的斜率的取值范圍（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）∪（0，1）；
（Ⅱ）證明：設點 M（0，yM），N（0，yN），
則 ＝（0，yM﹣1）， ＝（0，﹣1）
因為 ＝λ ，所以 yM﹣1＝﹣yM﹣1，故λ＝1﹣yM，同理μ＝1﹣yN，
直線 PA的方程為 y﹣2＝ （x﹣1）＝ （x﹣1）＝ （x﹣1），
令 x＝0，得 yM＝ ，同理可得 yN＝ ，
因 為 + ＝ + ＝ + ＝ ＝
＝ ＝ ＝
＝2，
∴ + ＝2，∴ + 為定值．
【點評】本題考查拋物線的方程，直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的應用，考
查轉化思想，計算能力，屬于中檔題．
【例 2】（2017年·北京理）已知拋物線 C：y2＝2px過點 P（1，1）．過點（0， ）作直
線 l與拋物線 C交于不同的兩點 M，N，過點 M作 x軸的垂線分別與直線 OP、ON交于
點 A，B，其中 O為原點．
（1）求拋物線 C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；
（2）求證：A為線段 BM的中點．
【分析】（1）根據拋物線過點 P（1，1）．代值求出 p，即可求出拋物線 C的方程，焦
點坐標和準線方程；
（2）設過點（0， ）的直線方程為 y＝kx+ ，M（x1，y1），N（x2，y2），根據韋達
定理得到 x1+x2＝ ，x1x2＝ ，根據中點的定義即可證明．
【解答】解：（1）∵y2＝2px過點 P（1，1），
∴1＝2p，解得 p＝ ，
∴y2＝x，
∴焦點坐標為（ ，0），準線為 x＝﹣ ，
（2）證明：設過點（0， ）的直線方程為
y＝kx+ ，M（x1，y1），N（x2，y2），
∴直線 OP為 y＝x，直線 ON為：y＝ x，
由題意知 A（x1，x1），B（x1， ），
由 ，可得 k2x2+（k﹣1）x+ ＝0，
∴x1+x2＝ ，x1x2＝
∴y1+ ＝kx1+ + ＝2kx1+ ＝2kx1+ ＝2kx1+（1﹣
k）?2x1＝2x1，
∴A為線段 BM的中點．
【點評】本題考查了拋物線的簡單性質，以及直線和拋物線的關系，靈活利用韋達定理
和中點的定義，屬于中檔題．
⑥導數
導數題目和圓錐曲線的地位一樣，兩者輪流做次壓軸題的位置。一般導數所給的函數都
是含參函數，所以我們在解決這一類題目的時候需要對參數進行討論，那么討論的依據是什
么？主要就是對我們最后的求解形式，例如我求導之后解導函數等于零的根，如果根含有參
數，那么我們就要對這含參的跟與另一個跟比較大小關系，其次還要考慮這個含參的根是否
在我們的定義域內。
導數題的第一問難度不大，主要將參數賦予一個值，討論函數的單調性或者極值，又或
者求斜線相關的內容。第二問難度較大，常涉及到不等式的恒成立問題，函數的零點問題等；
對于不等式恒成立，常轉化為最值問題，利用 f（x）或者證明不等式 f（x）0，
由此轉化成求 h（x）最小值問題；零點問題也有類似的解法，不過我們需要通過求導判斷
出函數的草圖，然后利用圖像法去解決零點問題。
上述兩個問題的關鍵是構造函數，我們有移項構造，即將（不）等式的左邊移到右邊或
者除到右邊（做除法的時候要注意除數是否為 0，對于不等式做除法的時候還要考慮變號的
問題）。第二種方法為參變分析，即將含有參數的放在一邊，不含參數（含有變量）的放在
另一邊，例如 19年西城一模的導數題，將 的零點情況轉化成了 ，
這樣就轉化成一條平行與 x軸的直線和曲線相交的問題。
不是所有的函數都能用參變分離，如果參變分離后的新函數，求導解決一系列問題反而
變得復雜了，那么我們就不考慮使用參變分離這種方法。
母體模板：已知函數：f（x）＝········
（1）求在點（x0，f（x0））的切線方程
（2）討論函數的單調性（極值、在某個區間上的最值等）
（3）若函數滿足某一條件，求 a的取值范圍；
……………………
【例 1】（2018年·北京理）設函數 f（x）＝[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex．
（Ⅰ）若曲線 y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線與 x軸平行，求 a；
（Ⅱ）若 f（x）在 x＝2處取得極小值，求 a的取值范圍．
【分析】（Ⅰ）求得 f（x）的導數，由導數的幾何意義可得 f′（1）＝0，解方程可得 a
的值；
（Ⅱ）求得 f（x）的導數，注意分解因式，討論 a＝0，a＝ ，a＞ ，0＜a＜ ，a＜0，
由極小值的定義，即可得到所求 a的范圍．
【解答】解：（Ⅰ）函數 f（x）＝[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex的導數為
f′（x）＝[ax2﹣（2a+1）x+2]ex．
由題意可得曲線 y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為 0，
可得（a﹣2a﹣1+2）e＝0，且 f（1）＝3e≠0，
解得 a＝1；
（Ⅱ）f（x）的導數為 f′（x）＝[ax2﹣（2a+1）x+2]ex＝（x﹣2）（ax﹣1）ex，
若 a＝0則 x＜2時，f′（x）＞0，f（x）遞增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）遞減．
x＝2處 f（x）取得極大值，不符題意；
若 a＞0，且 a＝ ，則 f′（x）＝ （x﹣2）2ex≥0，f（x）遞增，無極值；
若 a＞ ，則 ＜2，f（x）在（ ，2）遞減；在（2，+∞），（﹣∞， ）遞增，
可得 f（x）在 x＝2處取得極小值；
若 0＜a＜ ，則 ＞2，f（x）在（2， ）遞減；在（ ，+∞），（﹣∞，2）遞增，
可得 f（x）在 x＝2處取得極大值，不符題意；
若 a＜0，則 ＜2，f（x）在（ ，2）遞增；在（2，+∞），（﹣∞， ）遞減，
可得 f（x）在 x＝2處取得極大值，不符題意．
綜上可得，a的范圍是（ ，+∞）．
【點評】本題考查導數的運用：求切線的斜率和極值，考查分類討論思想方法，以及運
算能力，屬于中檔題．
【例 2】（2017年·北京理）已知函數 f（x）＝excosx﹣x．
（1）求曲線 y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）求函數 f（x）在區間[0， ]上的最大值和最小值．
【分析】（1）求出 f（x）的導數，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程即可得到所求
方程；
（2）求出 f（x）的導數，再令 g（x）＝f′（x），求出 g（x）的導數，可得 g（x）在
區間[0， ]的單調性，即可得到 f（x）的單調性，進而得到 f（x）的最值．
【解答】解：（1）函數 f（x）＝excosx﹣x的導數為 f′（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣1，
可得曲線 y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線斜率為 k＝e0（cos0﹣sin0）﹣1＝0，
切點為（0，e0cos0﹣0），即為（0，1），
曲線 y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為 y＝1；
（2）函數 f（x）＝excosx﹣x的導數為 f′（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣1，
令 g（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣1，
則 g（x）的導數為 g′（x）＝ex（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）＝﹣2ex?sinx，
當 x∈[0， ]，可得 g′（x）＝﹣2ex?sinx≤0，
即有 g（x）在[0， ]遞減，可得 g（x）≤g（0）＝0，
則 f（x）在[0， ]遞減，
即有函數 f（x）在區間[0， ]上的最大值為 f（0）＝e0cos0﹣0＝1；
最小值為 f（ ）＝ cos ﹣ ＝﹣ ．
【點評】本題考查導數的運用：求切線的方程和單調區間、最值，考查化簡整理的運算
能力，正確求導和運用二次求導是解題的關鍵，屬于中檔題．