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2019年江蘇省高考說明－數學科
一、命題指導思想
2019年普通高等學校招生全國統一考試數學學科（江蘇卷）命題，將依據《普通高中數學課程標準（實驗）》，參照《普通高等學校招生全國統一考試大綱》，結合江蘇省普通高中課程標準教學要求，按照“有利于科學選拔人才、促進學生健康發展、維護社會公平”的原則，既考查中學數學的基礎知識和方法，又考查進入高等學校繼續學習所必須的基本能力.試卷保持較高的信度、效度以及必要的區分度和適當的難度.
1．突出數學基礎知識、基本技能、基本思想方法的考查　　
對數學基礎知識和基本技能的考查，貼近教學實際，既注意全面，又突出重點，支撐學科知識體系的重點內容在試卷中要占有較大的比例.注重知識內在聯系的考查，不刻意追求知識的覆蓋面.注重對中學數學中所蘊涵的數學思想方法的考查.　　
2．重視數學基本能力和綜合能力的考查　　
數學基本能力主要包括空間想象、抽象概括、推理論證、運算求解、數據處理這幾方面的能力.　　
（1）空間想象能力的考查要求是：能夠根據題設條件想象并作出正確的平面直觀圖形，能夠根據平面直觀圖形想象出空間圖形；能夠正確地分析出圖形中基本元素及其相互關系，并能夠對空間圖形進行分解和組合.　　
（2）抽象概括能力的考查要求是：能夠通過對實例的探究,發現研究對象的本質；能夠從給定的信息材料中概括出一些結論，并用于解決問題或作出新的判斷.　　
（3）推理論證能力的考查要求是：能夠根據已知的事實和已經獲得的正確的數學命題，運用歸納、類比和演繹進行推理，論證某一數學命題的真假性.　　
（4）運算求解能力的考查要求是：能夠根據法則、公式進行運算及變形；能夠根據問題的條件尋找與設計合理、簡捷的運算途徑；能夠根據要求對數據進行估計或近似計算.　　
（5）數據處理能力的考查要求是：能夠運用基本的統計方法對數據進行整理、分析，以解決給定的實際問題.　　
數學綜合能力的考查，主要體現為分析問題與解決問題能力的考查，要求能夠綜合地運用有關的知識與方法，解決較為困難的或綜合性的問題.　　
3．注重數學的應用意識和創新意識的考查　　
數學的應用意識的考查要求是：能夠運用所學的數學知識、思想和方法，構造適合的數學模型，將一些簡單的實際問題轉化為數學問題，并加以解決.　　
創新意識的考查要求是：能夠發現問題、提出問題，綜合與靈活地運用所學的數學知識和思想方法，創造性地解決問題.　　
二、考試內容及要求
數學試卷由必做題與附加題兩部分組成.選修測試歷史的考生僅需對試題中的必做題部分作答；選修測試物理的考生需對試題中必做題和附加題這兩部分作答.必做題部分考查的內容是高中必修內容和選修系列1的內容；附加題部分考查的內容是選修系列2（不含選修系列1）中的內容以及選修系列4中專題4-2《矩陣與變換》、4-4《坐標系與參數方程》、4-5《不等式選講》這4個專題的內容（考生只需選考其中兩個專題）.
對知識的考查要求依次分為了解、理解、掌握三個層次（在下表中分別用A、B、C表示）.
了解：要求對所列知識的含義有初步的、感性的認識，并能解決相關的簡單問題.
理解：要求對所列知識有較深刻的理性認識認識，并能解決有一定綜合性的問題.
掌握：要求系統地把握知識的內在聯系，并能解決綜合性較強的問題.
具體考查要求如下：
1．必做題部分　　
內 容 要 求
A　　 B　　 C　　
1．集合 集合及其表示　　 √　　 　?　 　?　
子集　　 　?　 √　　 　?　
交集、并集、補集 　?　 √　　 　?　
2．函數概念與基本初等函數Ⅰ　　 函數的概念 　?　 √　　 　?　
函數的基本性質 　?　 √　　 　?　
指數與對數　　 　?　 √　　 　?　
指數函數的圖象與性質　　 　?　 √　　 　?　
對數函數的圖象與性質　　 　?　 √　　 　?　
冪函數　　 √　　 　?　 　?　
函數與方程　　 　　 √ 　?　
函數模型及其應用　　 　?　 √　　 　?　
3．基本初等函數Ⅱ（三角函數）、三角恒等變換 三角函數的概念　 　?　 √　　 　?　
同角三角函數的基本關系式　 　?　 √　　 　?　
正弦函數、余弦函數的誘導公式 　?　 √　　 　?　
正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象與性質　　 　?　 √　　 　?　
函數的圖象與性質　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 √　　 　?　 　?　
兩角和（差）的正弦、余弦及正切 　?　 　?　 √　　
二倍角的正弦、余弦及正切　　 　?　 √　　 　?　
4．解三角形 正弦定理、余弦定理及其應用 　?　 √　　 　?　
5．平面向量 平面向量的概念 　?　 √　　 　?　
平面向量的加法、減法及數乘運算 　?　 √　　 　?　
平面向量的坐標表示 　?　 √　　 　?　
平面向量的數量積 　?　 　?　 √　　
平面向量的平行與垂直 　?　 √　　 　?　
平面向量的應用 √　　 　?　 　?　
6．數列 數列的概念 √　　 　?　 　?　
等差數列 　?　 　?　 √　　
等比數列 　?　 　?　 √　　
7．不等式 基本不等式 　?　 　?　 √　　
一元二次不等式 　?　 　?　 √　　
線性規劃 √　　 　?　 　?　
8．復數 復數的概念　　 　?　 √　　 　?　
復數的四則運算　　 　?　 √　　 　?　
復數的幾何意義　　 √　　 　?　 　?　
9．導數及其應用　　 導數的概念　　 √　　 　?　 　?　
導數的幾何意義　　 　?　 √　　 　?　
導數的運算　　 　?　 √　　 　?　
利用導數研究函數的單調性與極值　　 　?　 √　　 　?　
導數在實際問題中的應用　　 　?　 √　　 　?　
10．算法初步 算法的含義　　 √　　 　?　 　?　
流程圖　　 √　　 　?　 　?　
基本算法語句　　 √　　 　?　 　?　
11．常用邏輯用語　　 命題的四種形式　 √　　 　?　 　?　
充分條件、必要條件、充分必要條件　　 　?　 √　　 　?　
簡單的邏輯聯結詞　　 √　　 　?　 　?　
全稱量詞與存在量詞　　 √　　 　?　 　?　
12．推理與證明　　 合情推理與演繹推理　　 　?　 √　　 　?　
分析法與綜合法　　 √　　 　?　 　?　
反證法　　 √　　 　?　 　?　
13．概率、統計　　 抽樣方法　　 √　　 　?　 　?　
總體分布的估計　　 √　　 　?　 　?　
總體特征數的估計　　 　?　 √　　 　?　
隨機事件與概率　　 √　　 　?　 　?　
古典概型　　 　?　 √　　 　?　
幾何概型　　 √　　 　?　 　?　
互斥事件及其發生的概率　　 　　 √　?　 　?　
14．空間幾何體　　 柱、錐、臺、球及其簡單組合體　　 √　　 　?　 　?　
柱、錐、臺、球的表面積和體積　　 √　　 　?　 　?　
15．點、線、面之間的位置關系　　 平面及其基本性質　　 √　　 　?　 　?　
直線與平面平行、垂直的判定及性質　　 　?　 √　　 　?　
兩平面平行、垂直的判定及性質　　 　?　 √　　 　?　
16．平面解析幾何初步　　 直線的斜率和傾斜角　　 　?　 √　　 　?　
直線方程　　 　?　 　?　 √　　
直線的平行關系與垂直關系　　 　?　 √　　 　?　
兩條直線的交點　　 　?　 √　　 　?　
兩點間的距離、點到直線的距離　　 　?　 √　　 　?　
圓的標準方程與一般方程　　 　?　 　?　 √　　
直線與圓、圓與圓的位置關系　　 　?　 √　　 　?　
17．圓錐曲線與方程　　 中心在坐標原點的橢圓的標準方程與幾何性質　　 　?　 √　　 　?　
中心在坐標原點的雙曲線的標準方程與幾何性質　 √　　 　?　 　?　
頂點在坐標原點的拋物線的標準方程與幾何性質　 √　　 　?　 　?　
　?
2．附加題部分　　
內 容 要 求
A　　 B　　 C　　
　?　選修系列：不含選修系列中的內容 1．圓錐曲線與方程　　 曲線與方程　　 √　　 　?　 　?　
頂點在坐標原點的拋物線的標準方程與幾何性質 　?　 √　　 　?　
2．空間向量與立體幾何　　 空間向量的概念　　 √　　 　?　 　?　
空間向量共線、共面的充分必要條件　　 　?　 √　　 　?　
空間向量的加法、減法及數乘運算　　 　?　 √　　 　?　
空間向量的坐標表示　　 　?　 √　　 　?　
空間向量的數量積　　 　?　 √　　 　?　
空間向量的共線與垂直　　 　?　 √　　 　?　
直線的方向向量與平面的法向量　　 　?　 √　　 　?　
空間向量的應用　　 　?　 √　　 　?　
3．導數及其應用　　 簡單的復合函數的導數 √
4．推理與證明　　 數學歸納法的原理　　 √　　 　?　 　?　
數學歸納法的簡單應用　　 　?　 √　　 　?　
5．計數原理 加法原理與乘法原理 　?　 √　　 　?　
排列與組合　　 　?　 √　　 　?　
二項式定理　　 　?　 √　　 　?　
6．概率、統計　　 離散型隨機變量及其分布列　　 √　　 　?　 　?　
超幾何分布　　 √　　 　?　 　?　
條件概率及相互獨立事件 √　　 　?　 　?　
次獨立重復試驗的模型及二項分布　　 　?　 √　　 　?　
離散型隨機變量的均值與方差 √
選修系列中個專題
7．矩陣與變換　　 矩陣的概念　　 √　　 　?　
二階矩陣與平面向量　　 　?　 √　　
常見的平面變換　　 √?　 　　 　?　
矩陣的復合與矩陣的乘法　　 　?　 √　　 　?　
二階逆矩陣　　 　?　 √　　 　?　
二階矩陣的特征值與特征向量　　 　?　 √　　 　?　
二階矩陣的簡單應用　　 　?　 √　　 　?　
8.坐標系與參數方程　　 坐標系的有關概念　　 √　　 　?　
簡單圖形的極坐標方程　　 　?　 √　　
極坐標方程與直角坐標方程的互化　　 　?　 √　　 　?　
參數方程　　 　?　 √　　 　?　
直線、圓及橢圓的參數方程　　 　?　 √　　 　?　
參數方程與普通方程的互化　　 　?　 √　　 　?　
參數方程的簡單應用　　 　?　 √　　 　?　
9．不等式選講　　 不等式的基本性質　　 　?　 √　　 　?　
含有絕對值的不等式的求解　　 　?　 √　　
不等式的證明（比較法、綜合法、分析法） √
算術-幾何平均不等式與柯西不等式 √
利用不等式求最大（小）值 √
運用數學歸納法證明不等式 √
三、考試形式及試卷結構
（一）考試形式　　
閉卷、筆試，試題分必做題和附加題兩部分.必做題部分滿分為160分，考試時間120分鐘；附加題部分滿分為40分，考試時間30分鐘.　　
（二）考試題型　　
1．必做題 必做題部分由填空題和解答題兩種題型組成.其中填空題14小題，約占70分；解答題6小題，約占90分.　　
2．附加題 附加題部分由解答題組成，共6題.其中，必做題2小題，考查選修系列2中的內容；選做題共4小題，依次考查選修系列4中4-2、4-4、4-5這4個專題的內容，考生只須從中選2個小題作答.　　
填空題著重考查基礎知識、基本技能和基本方法，只要求直接寫出結果，不必寫出計算和推理過程；解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.　　
（三）試題難易比例　　
必做題部分由容易題、中等題和難題組成.容易題、中等題和難題在試卷中的比例大致為4：4：2.　　
附加題部分由容易題、中等題和難題組成.容易題、中等題和難題在試卷中的比例大致為5：4：1.
四、典型題示例
A.必做題部分
1. 設復數滿足（i是虛數單位），則的虛部為_____
【解析】本題主要考查復數的基本概念,基本運算.本題屬容易題.
【答案】
2. 設集合，則實數的值為_
【解析】本題主要考查集合的概念、交集運算等基礎知識.本題屬容易題.
【答案】1.
3. 右圖是一個算法流程圖，則輸出的k的值是 ．
【解析】本題主要考查算法流程圖的基礎知識，
本題屬容易題.
【答案】5

4. 函數的定義域為　
【解析】本題主要考查對數函數的單調性，本題屬容易題.
【答案】
5.某棉紡廠為了解一批棉花的質量，從中
隨機抽取了根棉花纖維的長度（棉花纖
維的長度是棉花質量的重要指標），所得數
據均在區間中，其頻率分布直方圖
如圖所示，則在抽測的根中，有_ _根
棉花纖維的長度小于.
【解析】本題主要考查統計中的抽樣方法與總體分布的估計.本題屬容易題.
【答案】由頻率分布直方圖觀察得棉花纖維長度小于的頻率為
,故頻數為.
6. 將一顆質地均勻的骰子（一種各個面上分別標有1，2，3，4，5，6個點的正方體玩具）先后拋擲2次，則出現向上的點數之和小于10的概率是______.
【解析】本題主要考察古典概型、互斥事件及其發生的概率等基礎知識.本題屬容易題.
【答案】
7. 已知函數，它們的圖像有一個橫坐標為的交點，則的值是________.
【解析】本題主要考察特殊角的三角函數值，正弦函數、余弦函數的圖像與性質等基礎知識，考察數形結合的思想，考察分析問題、解決問題的能力.本題屬容易題.
【答案】.
8.在各項均為正數的等比數列中，若的值是______.
【解析】本題主要考察等比數列的通項公式等基礎知識，考察運算求解能力.本題屬容易題.
【答案】4.
9.在平面直角坐標系中，雙曲線的右準線與它的兩條漸近線分別交于，其焦點是，，則四邊形的面積是______.
【解析】本題主要考察中心在坐標原點的雙曲線的標準方程、漸近線、準線方程、焦點、焦距和直線與直線的交點等基礎知識.本題屬中等難度題.
【答案】
10.如圖，在長方體中，，
，則四棱錐的體積為 cm3．
【解析】本題主要考查四棱錐的體積，考查空間想象能力
和運算能力.本題屬容易題.
【答案】6.
11.設直線是曲線的一條切線，則實數的值是 .
【解析】本題主要考查導數的幾何意義、切線的求法.本題屬中等題.
【答案】.
12.設是定義在上且周期為2的函數，在區間上，其中.若，則的值是 .
【解析】本題主要考察函數的概念、函數的性質等基礎知識，考查運算求解能力.本題屬中等難度題.
【答案】

13.如圖，在中，D是BC的中點，E，F是AD上的兩個三等分點，，，則的值是 .
【解析】本題主要考查平面向量的概念、平面向量的運算以及平面向量的數量積等基礎知識，考查數形結合和等價轉化的思想，考查運算求解能力.本題屬難題.
【答案】.
14. 已知正數滿足：則的取值范圍是 ．
【解析】本題主要考查代數形式的變形和轉化能力，考查靈活運用有關的基礎知識解決問題的能力.本題屬難題.
【答案】
二、解答題
15．在中，角.已知
（1）求值；
（2）求的值.
【解析】本題主要考查三角恒等變換、正弦定理等基礎知識，考查運算求解能力.
本題屬容易題.
【參考答案】
（1）在中，因為，
故由正弦定理得，于是.
所以.
(2)由(1)得.所以.
又因為，所以.
從而.
在，
所以.
因此由正弦定理得.
16．如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E、F（E與A、D不重合）分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求證：（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC.
【解析】本題主要考查直線與直線、直線與平面以及平面與平面的
位置關系，考查空間想象能力和推理論證能力．
本題屬容易題
【參考答案】
證明：（1）在平面內，因為AB⊥AD，，所以.
又因為平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.
（2）因為平面ABD⊥平面BCD，
平面平面BCD=BD，
平面BCD，，
所以平面.
因為平面，所以.
又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，
所以AD⊥平面ABC，
又因為AC平面ABC，
所以AD⊥AC.
17.如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為，兩準線之間的距離為8.點P在橢圓E上，且位于第一象限，過點F1作直線PF1的垂線l1,過點F2作直線PF2的垂線l2.
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）若直線l1，l2的交點Q在橢圓E上，求點P的坐標.
【解析】本小題主要考查直線方程、直線與直線的位置關系、橢圓方程、橢圓的幾何性質等基礎知 識， 考查分析問題能力和運算求解能力.本題屬中等難度題.
【參考答案】（1）設橢圓的半焦距為c.
因為橢圓E的離心率為，兩準線之間的距離為8，所以，，
解得，于是，
因此橢圓E的標準方程是.
（2）由（1）知，，.
設，因為點為第一象限的點，故.
當時，與相交于，與題設不符.
當時，直線的斜率為，直線的斜率為.
因為，，所以直線的斜率為，直線的斜率為，
從而直線的方程：， ①
直線的方程：. ②
由①②，解得，所以.
因為點在橢圓上，由對稱性，得，即或.
又在橢圓E上，故.
由，解得；，無解.
因此點P的坐標為.
18. 如圖：為保護河上古橋，規劃建一座新橋，同時設立一個圓形保護區，規劃要求，新橋與河岸垂直；保護區的邊界為圓心在線段上并與相切的圓，且古橋兩端和到該圓上任一點的距離均不少于80，經測量，點位于點正北方向60處，點位于點正東方向170處，（為河岸），.
（1）求新橋的長；
（2）當多長時，圓形保護區的面積最大？
【解析】本小題主要考查直線方程、直線與圓的位置關系和解三角形等基礎知識，考查建立數學模型及運用數學知識解決實際問題的能力..
【參考答案】
解法一：
如圖，以O為坐標原點，OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系xOy.
由條件知A(0, 60)，C(170, 0)，
直線BC的斜率k BC=－tan∠BCO=－.
又因為AB⊥BC，所以直線AB的斜率k AB=.
設點B的坐標為(a,b)，則k BC= k AB=
解得a=80，b=120. 所以BC=.
因此新橋BC的長是150 m.
(2)設保護區的邊界圓M的半徑為r m,OM=d m,(0≤d≤60).
由條件知，直線BC的方程為，即
由于圓M與直線BC相切，故點M(0，d)到直線BC的距離是r，即.
因為O和A到圓M上任意一點的距離均不少于80 m,
所以即解得
故當d=10時,最大，即圓面積最大.
所以當OM = 10 m時，圓形保護區的面積最大.
解法二:(1)如圖，延長OA, CB交于點F.
因為tan∠BCO=.所以sin∠FCO=，cos∠FCO=.
因為OA=60,OC=170，所以OF=OC tan∠FCO=.
CF=,從而.
因為OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO==，
又因為AB⊥BC，所以BF=AF cos∠AFB==，從而BC=CF－BF=150.
因此新橋BC的長是150 m.
(2)設保護區的邊界圓M與BC的切點為D，連接MD，則MD⊥BC，且MD是圓M的半
徑，并設MD=r m，OM=d m(0≤d≤60).
因為OA⊥OC，所以sin∠CFO =cos∠FCO，
故由(1)知，sin∠CFO =所以.
因為O和A到圓M上任意一點的距離均不少于80 m,
所以即解得
故當d=10時,最大，即圓面積最大.
所以當OM = 10 m時，圓形保護區的面積最大.
19. 設函數，其中為實數.
（1）若在上是單調減函數，且在上有最小值，求的取值范圍；
（2）若在上是單調增函數，試求的零點個數，并證明你的結論.
【解析】本題主要考查函數的單調性、最值、零點等基礎知識，考查靈活運用數形結合、分類討論等數學思想方法進行探索、分析與解決問題的能力．本題屬難題．
【參考答案】解：(1)令f′(x)＝＜0，考慮到f(x)的定義域為(0，＋∞)，故a＞0，進而解得x＞a－1，即f(x)在(a－1，＋∞)上是單調減函數．同理，f(x)在(0，a－1)上是單調增函數．由于f(x)在(1，＋∞)上是單調減函數，故(1，＋∞)(a－1，＋∞)，從而a－1≤1，即a≥1.令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a．當x＜ln a時，g′(x)＜0；當x＞ln a時，g′(x)＞0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a＞1，即a＞e.
綜上，有a∈(e，＋∞)．
(2)當a≤0時，g(x)必為單調增函數；當a＞0時，令g′(x)＝ex－a＞0，解得a＜ex，即x＞ln a.
因為g(x)在(－1，＋∞)上是單調增函數，類似(1)有ln a≤－1，即0＜a≤e－1.
結合上述兩種情況，有a≤e－1.
①當a＝0時，由f(1)＝0以及f′(x)＝＞0，得f(x)存在唯一的零點；
②當a＜0時，由于f(ea)＝a－aea＝a(1－ea)＜0，f(1)＝－a＞0，且函數f(x)在[ea,1]上的圖象不間斷，所以f(x)在(ea,1)上存在零點．
另外，當x＞0時，f′(x)＝－a＞0，故f(x)在(0，＋∞)上是單調增函數，所以f(x)只有一個零點．
③當0＜a≤e－1時，令f′(x)＝－a＝0，解得x＝a－1.當0＜x＜a－1時，f′(x)＞0，當x＞a－1時，f′(x)＜0，所以，x＝a－1是f(x)的最大值點，且最大值為f(a－1)＝－ln a－1.
當－ln a－1＝0，即a＝e－1時，f(x)有一個零點x＝e.
當－ln a－1＞0，即0＜a＜e－1時，f(x)有兩個零點．
實際上，對于0＜a＜e－1，由于f(e－1)＝－1－ae－1＜0，f(a－1)＞0，且函數f(x)在[e－1，a－1]上的圖象不間斷，所以f(x)在(e－1，a－1)上存在零點．
另外，當x∈(0，a－1)時，f′(x)＝－a＞0，故f(x)在(0，a－1)上是單調增函數，所以f(x)在(0，a－1)上只有一個零點．
下面考慮f(x)在(a－1，＋∞)上的情況．先證f(ea－1)＝a(a－2－ea－1)＜0.
為此，我們要證明：當x＞e時，ex＞x2.設h(x)＝ex－x2，則h′(x)＝ex－2x，再設l(x)＝h′(x)＝ex－2x，則l′(x)＝ex－2.
當x＞1時，l′(x)＝ex－2＞e－2＞0，所以l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上是單調增函數．故當x＞2時，
h′(x)＝ex－2x＞h′(2)＝e2－4＞0，
從而h(x)在(2，＋∞)上是單調增函數，進而當x＞e時，
h(x)＝ex－x2＞h(e)＝ee－e2＞0.即當x＞e時，ex＞x2.
當0＜a＜e－1，即a－1＞e時，f(ea－1)＝a－1－aea－1＝a(a－2－ea－1)＜0，又f(a－1)＞0，且函數f(x)在
[a－1，ea－1]上的圖象不間斷，所以f(x)在(a－1，ea－1)上存在零點．又當x＞a－1時，f′(x)＝－a＜0，故f(x)在(a－1，＋∞)上是單調減函數，所以f(x)在(a－1，＋∞)上只有一個零點．
綜合①，②，③，當a≤0或a＝e－1時，f(x)的零點個數為1，
當 0＜a＜e－1時，f(x)的零點個數為2.
20. 設數列 (?http:?/??/?www.xuekewang.com?/??)的前n項和為 (?http:?/??/?www.xuekewang.com?/??)．若對任意的正整數n，總存在正整數m，使得 (?http:?/??/?www.xuekewang.com?/??)，則稱 (?http:?/??/?www.xuekewang.com?/??)是“H數列”．
（1）若數列 (?http:?/??/?www.xuekewang.com?/??)的前n項和 (?http:?/??/?www.xuekewang.com?/??)，證明： (?http:?/??/?www.xuekewang.com?/??)是“H數列”；
（2）設 (?http:?/??/?www.xuekewang.com?/??)是等差數列，其首項 (?http:?/??/?www.xuekewang.com?/??)，公差 (?http:?/??/?www.xuekewang.com?/??)．若 (?http:?/??/?www.xuekewang.com?/??)是“H數列”，求d的值；
（3）證明：對任意的等差數列 (?http:?/??/?www.xuekewang.com?/??)，總存在兩個“H數列” (?http:?/??/?www.xuekewang.com?/??)和 (?http:?/??/?www.xuekewang.com?/??)，使得 (?http:?/??/?www.xuekewang.com?/??)成立．

【解析】本題主要考查數列的概念、等差數列等基礎知識，考查探究能力與推理論證能力．本題屬難題．
【參考答案】
（1）當時，
當時，
∴時，，當時，
∴是“H數列”
（2）
對，使，即
取得，
∵，∴，又，∴，∴
（3）設的公差為d
令，對，
，對，
則，且為等差數列
的前n項和，令，則
當時；
當時；
當時，由于n與奇偶性不同，即非負偶數，
因此對，都可找到，使成立，即為“H數列”．
的前ｎ項和，令，則
∵對，是非負偶數，∴
即對，都可找到，使得成立，即為“H數列”
因此命題得證.

B．附加題部分
1．選修矩陣與變換
已知矩陣，，求．
【解析】本題主要考查逆矩陣、矩陣的乘法，考查運算求解能力．本題屬容易題．
【參考答案】
設的逆矩陣為，則，即，故，，，，從而的逆矩陣為，所以，．
2．選修坐標系與參數方程
在極坐標中，已知圓經過點，圓心為直線與極軸的交點，求圓的極坐標方程．
【解析】本題主要考查直線和圓的極坐標方程等基礎知識，考查轉化問題的能力。本題屬容易題．
【參考答案】
∵圓圓心為直線與極軸的交點，
∴在中令，得。
∴圓的圓心坐標為（1，0）。
∵圓經過點，∴圓的半徑為。
∴圓經過極點。∴圓的極坐標方程為。
3．選修不等式選講
已知是非負實數，求證：
【解析】本題主要考查證明不等式的基本方法. 考查推理論證能力，本題屬容易題．
【參考答案】
由是非負實數，作差得

當時，從而得
當時，,從而得
所以
5. 如圖，在正四棱柱中，，點是的中點，點在上，設二面角的大小為.
（1）當時，求的長；
（2）當時，求的長。
【解析】本題主要考查空間向量的基礎知識，考查運用空間
向量解決問題的能力．本題屬中等題．
【參考答案】
建立如圖所示的空間直角坐標系。
設，則各點的坐標為
所以，.設平面的法向量為
，則,
即，令,則
所以是平面的一個法向量.
設平面的法向量為,則
即,令,則
所以是平面的一個法向量,從而
(1)因為,所以解得,從而
所以
(2)因為
所以
因為或,所以,解得或.
根據圖形和(1)的結論可知,從而的長為.
6. 已知函數，記為的導數，．
（1）求的值；
（2）證明：對任意的，等式成立．
【解析】本題主要考查簡單的復合函數的導數、導數的運算法則及數學歸納法等基礎知識。考察探究能力及推理論證能力.本題屬難題.
【參考答案】
(1)解：由已知，得
于是
所以故
(2)證明：由已知，得等式兩邊分別對x求導，得，
即，類似可得
，
，
.
下面用數學歸納法證明等式對所有的都成立.
(i)當n=1時，由上可知等式成立.
(ii)假設當n=k時等式成立, 即.
因為
，
所以.
所以當n=k+1時,等式也成立.
綜合(i),(ii)可知等式對所有的都成立.
令，可得().
所以().




結束

k←k +1

開始

k←1

k2－5k+4>0

N

輸出k

Y

D

A

B

C











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