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三　平行四邊形、梯形和三角形
一、平行四邊形
1.平行四邊形的定義。
兩組對邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形。
2.平行四邊形的基本特征。
平行四邊形的兩組對邊分別平行且相等。
3.長方形、正方形和平行四邊形之間的關系。
長方形和正方形同平行四邊形一樣,都是兩組對邊分別平行且相等,長方形和正方形具有平行四邊形的一切特征,所以長方形和正方形都是特殊的平行四邊形。正方形不僅具備長方形的所有特征,并且四條邊都相等,所以正方形是特殊的長方形。
4.平行四邊形的特性。
平行四邊形具有不穩定性,容易變形。
5.平行四邊形的面積。
(1)認識平行四邊形的底和高。
從平行四邊形一條邊上的任意一點向對邊引垂線,這點到垂足間的線段叫作平行四邊形的高,垂足所在的邊叫作平行四邊形的底。平行四邊形有無數條高,一般能畫出兩種長度的高。
(2)平行四邊形的面積。
通過剪拼發現:長方形的面積與平行四邊形的面積相等,平行四邊形的底等于長方形的長;平行四邊形的高等于長方形的寬。
長方形的面積=長×寬
平行四邊形的面積=底×高
如果用S表示平行四邊形的面積,a和h分別表示平行四邊形的底和高,那么平行四邊形的面積的字母公式為S=ah。
二、梯形
1.梯形的定義。
只有一組對邊平行的四邊形叫作梯形。
2.平行四邊形和梯形的異同點。
相同點:都是四邊形;都有平行的對邊。
不同點:平行四邊形的兩組對邊分別平行且相等;梯形只有一組對邊平行,且平行的這組對邊不相等。
3.認識梯形各部分的名稱。
在梯形中,互相平行的一組對邊分別叫作梯形的上底和下底;不平行的一組對邊叫作梯形的腰。從上底的任意一點向下底引垂線,這點到垂足間的線段叫作梯形的高。
4.認識直角梯形和等腰梯形。
(1)直角梯形。
有一個角是直角的梯形叫作直角梯形。
(2)等腰梯形。
兩腰相等的梯形叫作等腰梯形。
等腰梯形是軸對稱圖形,它只有一條對稱軸;直角梯形不是軸對稱圖形。
5.梯形的面積。
兩個完全一樣的梯形可以拼成一個平行四邊形。平行四邊形的底等于梯形的上、下底之和,高等于梯形的高。每個梯形的面積等于這個平行四邊形面積的一半。
平行四邊形的面積=(上底+下底)×高,所以梯形面積=(上底+下底)×高÷2。
如果用a、b、h、S分別表示上底、下底、高和面積,則S=(a+b)×h÷2。
6.梯形面積計算公式的應用。
(1)已知梯形的上底、下底和高,可以直接運用梯形的面積公式來計算,即梯形的面積=(上底+下底)×高÷2。
(2)高=面積×2÷(上底+下底)
上底+下底=面積×2÷高
三、三角形
1.三角形的含義和各部分的名稱。
(1)三角形的含義。
由三條線段順次首尾相接組成的圖形叫作三角形。
(2)三角形各部分的名稱。
三角形有三條邊、三個頂點和三個角。
(3)三角形的特性。
三角形具有穩定性,不易變形。
(4)三角形三條邊之間的關系。
三角形任意兩邊的和大于第三邊。
2.三角形的分類。
(1)三角形按角分類:
銳角三角形:三個角都是銳角的三角形叫作銳角三角形。
直角三角形:有一個角是直角的三角形叫作直角三角形。
鈍角三角形:有一個角是鈍角的三角形叫作鈍角三角形。
(2)三角形按邊分類。
不等邊三角形:三條邊都不相等的三角形叫作不等邊三角形。
等腰三角形:有兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形。
等邊三角形:三條邊都相等的三角形叫作等邊三角形。
(3)等邊三角形的三個角都是60°。等邊三角形和等腰三角形都是軸對稱圖形。
(4)拓展提高。
在一個三角形中,相等的邊所對的角一定相等;反之,如果兩個角相等,那么它們所對的邊一定也相等。
3.三角形的內角和。
(1)三角形的內角和定理。
通過觀察發現:銳角三角形和鈍角三角形各自拼成了一個平角。直角三角形的兩個銳角拼起來和它的直角相等,三個角的度數相加的和是180°。
(2)三角形的內角和定理的應用。
已知三角形兩個內角的度數,根據三角形的內角和等于180°,用內角和180°連續減去已知的兩個角的度數,即可求出第三個角的度數。
在直角三角形中,已知一個銳角的度數,可以直接用90°減去已知銳角的度數,即可求出另一個銳角的度數。
4.三角形的面積。
(1)三角形的底和高。
從三角形的一個頂點向它的對邊作一條垂線,頂點到垂足之間的線段叫作三角形的高,垂足所在的邊叫作三角形的底。
任意一個三角形都有三條高。
(2)三角形面積公式的推導。
兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形。
平行四邊形的底=三角形的底
平行四邊形的高=三角形的高
平行四邊形的面積=底×高
三角形的面積=底×高÷2
用S表示三角形的面積,a表示底,h表示高,則S=ah÷2。
(3)三角形面積公式的應用。
三角形的高h=2S÷a　 三角形的底a=2S÷h
四、組合圖形
1.認識組合圖形。
組合圖形是由簡單圖形組合而成的。
2.組合圖形的面積。
計算組合圖形的面積時,要根據已知條件對圖形進行分解,先轉化成已學過的簡單圖形,分別計算出它們的面積,再求和或求差。
五、千米2和公頃
1.認識千米2和公頃。
(1)千米2和公頃是常用的測量較大土地面積的計量單位。
(2)邊長是100米的正方形的面積是1公頃;邊長是1千米(1000米)的正方形的面積是1千米2。
2.公頃和千米2之間的進率。
1公頃=10000米2　1千米2=100公頃=1000000米2
3. 千米2、公頃、米2之間的換算方法。
千米2換算成公頃,把小數點向右移動兩位,反之,向左移動兩位;公頃換算成米2,把小數點向右移動四位,反之,向左移動四位;千米2換算成米2,把小數點向右移動六位,反之,向左移動六位。
重點提示:
在拉動長方形的過程中,長方形的形狀改變,但兩組對邊的長度不變。
易錯題:
平行四邊形的對邊一定相等,鄰邊一定不相等。( ??)
錯解分析:此題錯在對平行四邊形的特征理解不準確,平行四邊形一定具備對邊相等的特征,但對鄰邊沒有要求,所以平行四邊形的鄰邊也可以相等。
正確答案:?

重點提示:
平行四邊形的底和高是一組相互依存且對應的概念(底邊上的高,高所對應的底)。
易錯題:周長相等的兩個平行四邊形,面積也相等。(√)
錯解分析:平行四邊形的面積是由底和高共同決定的,兩個平行四邊形的周長相等,它們的底和高的乘積卻不一定相等,因此面積不一定相等。
正確答案:?
　　
　　易錯題:有一組對邊平行的四邊形是梯形。(√)
錯解分析:此題錯在沒有掌握梯形的特征。“有一組對邊平行”和“只有一組對邊平行”要注意區分,題中沒有強調“只有一組對邊平行”,所以是錯的。
正確答案:?
重點提示:
一個直角梯形有兩個直角。
要點提示:
等腰梯形的兩腰相等,兩個底角也相等。
易錯題:
兩個面積相等的梯形一定可以拼成一個平行四邊形。(√)
錯解分析:兩個梯形面積相等,上底、下底和高不一定相等,所以面積相等的梯形不一定能拼成平行四邊形。完全相同的兩個梯形才能拼成一個平行四邊形。
正確答案:?
　　
易錯題:由三條線段組成的圖形叫作三角形。(√)
錯解分析:由三條線段組成的圖形不一定都是三角形,由三條線段順次首尾相接組成的封閉圖形才是三角形。
正確答案:?
重點提示:
在一個三角形中至少有兩個角是銳角。
易錯提示:
等邊三角形一定是等腰三角形,但等腰三角形不一定是等邊三角形。
易錯題:
三角形中兩個銳角的度數和一定大于90°。(√)
錯解分析:這個結論只適用于銳角三角形,在直角三角形和鈍角三角形中不成立。
正確答案:?

點撥:
鈍角三角形中兩個銳角的度數和小于90°,直角三角形中兩個銳角的度數和等于90°。
畫法提示:
畫高時必須由頂點向它的對邊畫垂線,當對邊不夠長時,可以畫虛線將對邊延長。所畫的高用虛線表示,并標上直角符號。
易錯題:
三角形的面積等于平行四邊形面積的一半。(√)
錯解分析:此題錯在沒有強調三角形與平行四邊形等底等高這一條件。
正確答案:?
　　
提示:
計算每個簡單圖形的面積時,要找準對應的數據。
　　
　　方法提示:
由高級單位換算成低級單位,要乘進率;由低級單位換算成高級單位,要除以進率。

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