資源簡介

圓錐曲線的幾大大題特征公式：焦半徑、準線、弦長、切線方程、弦中點公式、極線方程
圓錐 曲線 的切 線 方程 在 歷年高考題中出現，但是在高中教材及資料都涉及較少。本文主要探索圓錐曲線的切線方程及其應用。從而為解這一類題提供統一、清晰、簡捷的解法。
【基礎知識1：切線方程、極線方程】
【1-0】公式小結：x2換成xx0，y2換成yy0，x換成(x+x0)/2,y換成(y+y0)/2.
【1-1】 橢圓的切線方程 ：
①橢圓 上一點處的切線方程是 。
②過橢圓 外一點所引兩條切線的切點弦方程是 。
③橢圓與直線相切的條件是
(也就是下篇文檔所講的硬解定理公式△=0的充要條件)
【1-2】雙曲線的切線方程：
①雙曲線上一點處的切線方程是 。
②過橢圓 外一點所引兩條切線的切點弦方程是 。
③橢圓與直線相切的條件是
【1-3】拋物線的切線方程：
物線 上一點處的切線方程是
②過拋物線 外一點 處所引兩條切線是
③拋物線 與直線相切的條件是
【1-4】 基礎知識的證明：
【公式一：曲線C上切點公式證明】
1、第1種證明思路：過曲線上一點的切線方程
設曲線C上某一點處 的 切 線 方 程 為, 聯立方程，令,得到的表達式，再代入原始式，最后得切線方程式
（注: 的表達式可以在草稿中巧用點差法求,具體見下）
2、第2種證明思路：點差法(求斜率，其余跟第一種方法一樣)
證明：設某直線與曲線C交于M、N兩點坐標分別為、，中點P
則有 ，得
又
(弦中點公式的橢圓基本表達式。雙曲線則是)
當M、N無限趨近時，P在橢圓C上。即得切線斜率
3、第三種證明思路(注意：僅供理解，考試使用可能分
證明：由2（圓錐曲線切線證明）（同一目錄下文章）可知圓上一點的切線方程。

附言：第1種證明思路中，拋物線證明過程中稍微有些不同。③
①切線斜率可用導數表示。
②得到式子后，要利用把消去。

【公式二：曲線外一點引切線，過切點作直線的通式證明】(稱為極線方程)
證明思路：過作兩條曲線C的切線，切點為A，B。
。所以過A、B兩點直線方程為
證明(就舉橢圓為例)
解：過作兩條曲線C的切線，切點為A，B。
過A點切線: ，過B點切線：。
過A、B兩點直線方程為

【公式三：由公式一的思路可得】


【基礎知識2：焦半徑與準線】(具體關系與內容省略，詳情看圓錐曲線知識表格)


【1-1】焦半徑公式(具體推導用“兩點間距離公式”也可解決，之后類似“求長度”的題型，求長度式子寫“兩點間舉例公式”，結果可以直接靠背。對于焦半徑PF，
口訣：橢圓F左加右減。(記憶：大則在前)
雙曲線F左加右減，雙曲線上點P左減右加。
焦半徑與點到準線距離關系如下。即()/e=
推廣應用:

通過比例e的值 的值 的值
巧用公式(注：雙曲線交于同側、拋物線類似)
不過需要注意的是，雙曲線交于異側時，公式就變為，具體自己推導吧
【基礎知識3：弦中點公式及系列類似結論拓展】(坐標變幻只能用于證明部分內容)
【結論一：弦中點公式】
【證明】：設某直線與曲線C交于M、N兩點坐標分別為、，中點P
則有 ，得
又
(常用)
結論：斜率不變的直線與橢圓交于兩點，所得兩點中點的軌跡是一條過原點的直線。
【抽象理解型證明】
具體理解，可以用“坐標系變幻理解”
證明：設某斜率為定值k的直線與曲線C交于M、N兩點坐標分別為、，中點P
，令。
∵變幻后， ，得到中點軌跡方程始終與MN垂直


【結論二：頂點連線斜率乘積公式】(用坐標變幻好理解)(部分設元會用它比較方便)

,具體證明見下面的“拓展性證明”,若要抽象理解的話坐標變幻后兩個垂直，證明方法和上面一樣。至于雙曲線，則是。結論可以直接背，不過引用的時候還得按照下面的方法老實推導。
【結論三：（上一結論的延伸）對稱點連線斜率乘積公式】(沒法用坐標變幻)
證明：不建議設直線，直接設兩個元最后消元即可(此處只列橢圓的，雙曲線的證明類似)
A、B在橢圓上，且關于原點對稱。
則有 ，得

展開更多......

收起↑