資源簡介

·北京·
普 通 高 中 教 科 書 數學
必 修
人民教育出版社 課程教材研究所
中學數學課程教材研究開發中心
編著
第一冊
普通高中教科書? 數學? 必修? 第一冊
人民教育出版社? 課程教材研究所??
中學數學課程教材研究開發中心
? 編著
出? ? 版? ??
? ? ? ? ? （北京市海淀區中關村南大街 17 號院 1 號樓? 郵編：100081）
網? ? 址? http://www.pep.com.cn
重? ? 印? ××× 出版社
發? ? 行? ××× 新華書店
印? ? 刷? ××× 印刷廠
版? ? 次? ? ? 年? 月第? 版? ?
印? ? 次? ? ? 年? 月第? 次印刷
開? ? 本? 890 毫米 ×1240 毫米? 1/16
印? ? 張? ?
插? ? 頁
字? ? 數? ? ? 千字
印? ? 數? ? ? ? 冊
書? ? 號? ISBN?978-7-107-? ? -?
定? ? 價? ? ? 元
定價批號：××號? ? 審圖號：GS（××××）××××號
版權所有·未經許可不得采用任何方式擅自復制或使用本產品任何部分·違者必究
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如發現印、裝質量問題，影響閱讀，請與 ××× 聯系調換。電話：×××-××××××××
主 編：章建躍 李增滬
副 主 編：李 勇 李海東 李龍才
本冊主編：李海東 郭玉峰
編寫人員：王 嶸 白 濤 劉長明 劉春艷 李柏青 宋莉莉 張勁松
周遠方 趙 昕 胡永建 俞求是 郭玉峰 郭慧清 黃炳鋒
章建躍 薛紅霞
責任編輯：王 嶸
美術編輯：王俊宏
書
主編寄語
親愛的同學，歡迎使用這套教科書，希望它能成為你學習數學的好幫手．在開始學習
前，我們想就數學學習中的一些問題與你做點交流．
首先，你想過為什么要學那么多數學嗎？高中生應該認真思考這個問題了．其實道理
很明顯，就是因為數學有用．數學不僅對社會發展和科技進步作用巨大，而且對你個人的
發展也很重要．努力學好數學對你的人生幸福意義重大，這個道理在你今后學習、工作和
生活中會逐步體會到．
第二，要采用多樣化學習方式．高中數學內容的抽象程度提高了，要以更加積極主動
的態度、刻苦鉆研的精神，采取閱讀自學、獨立思考、實踐探究、合作交流等多種學習方
式，才能更好地掌握它．內容越抽象，就越需要靜下心來，持之以恒地思考，然后才能有
所領悟、有所收獲．
第三，注重基礎，拾階而上．數學的特點是邏輯嚴謹，從概念到性質再到應用環環相
扣，前面知識未理解，后續學習就必然會遇上實質性困難．學數學，既沒有捷徑，也沒有
靈丹妙藥，唯有按數學的方式，按部就班地學，循序漸進地想，在基礎知識上下足功夫，
才能取得好成效．
第四，按學習規律辦事．理解概念、熟練技能和準確表達是數學學習的 “三要素”，
做好這些的要訣是遵循學習規律，掌握學習節奏．概念是數學的精要所在，必須深刻理
解、牢固掌握，因此概念學習要 “慢慢來”．例如，函數是貫穿高中數學的一條主線，是
重中之重的內容，因為其抽象程度高而成為許多同學的學習難點．在起始階段囫圇吞棗、
貪多求快，就會給后續學習埋下隱患．學好它的秘訣在于慢，慢下來，仔細閱讀教科書，
用心揣摩每句話，搞懂每個例題，在探究、質疑、反思中逐漸領悟函數的概念及其蘊含的
數學思想和方法，并用簡明扼要的語言概括出來，從而實現認識的升華．這個過程，貌似
慢而實為快，在反復推敲中悟出學習竅門，達到舉一反三、觸類旁通的效果，進而一通百
通，由慢轉快．這樣的快是真快，是無后顧之憂的快，是充滿智慧的快．
第五，重視嚴格的數學訓練，獨立完成作業．做作業的目的是：加深理解知識，熟練
基本技能；學會思考，培養數學能力；查漏補缺，培養良好的學習習慣．本套書中的習題
是精心挑選的，看似不難但寓意深刻，要高度重視．完成作業，獨立思考最重要，遇到困
難不能輕言放棄．有含金量的數學題往往要絞盡腦汁，一時做不出很正常，如果淺嘗輒
止，急于 “刷題”看答案，這是自欺欺人，受害的是你自己．
最后，學習貴在創新．理解概念、學會證明、領會思想、掌握方法都是必備基礎，還
要善于發現和提出問題，“凡事問個為什么”，這樣才能學會學習．在這套教科書中，我們
注重在提問方面做出示范，期望你能 “看過問題三百個，不會解題也會問”．
學數學趁年輕．高中階段是接受數學訓練、打好數學基礎的最佳時期．這個時期下功夫學
數學，將使你終生受益．期盼這套教科書能給你帶來愉快，使你的數學素養得到大幅提升．

本書根據 《普通高中數學課程標準 （２０１７年版》編寫，包括 “集合與常用邏輯用語”
“一元二次函數、方程和不等式”“函數的概念與性質”“指數函數與對數函數”“三角函
數”五章內容．
集合是刻畫一類事物的語言和工具，是現代數學的基礎；常用邏輯用語是數學語言的
重要組成部分，是數學表達和交流的工具．在 “集合與常用邏輯用語”的學習中，同學們
將學習集合的概念、基本關系和運算，學習用集合語言刻畫一類事物的方法；并學習用邏
輯用語表達數學對象、進行數學推理，為高中數學學習做準備．
相等關系和不等式關系是數學中最基本的數量關系．在 “一元二次函數、方程和不等
式”的學習中，同學們將類比等式學習不等式．通過梳理初中數學的相關內容，理解一元
二次函數、一元二次方程和一元二次不等式之間的聯系，從函數觀點認識方程與不等式，
感悟數學知識之間的關聯，完成初高中數學學習的過渡．
函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型，它的思想方法貫穿了高中數學課程的
始終．在 “函數的概念與性質”中，同學們將在初中的基礎上，進一步學習運用集合與對
應的語言刻畫函數概念，學習函數的基本性質，并通過冪函數的學習感受如何研究一個函
數，如研究的內容、思路和方法，進一步感受函數的思想方法和廣泛應用．
“指數爆炸”“對數增長”是生活中常見的變化現象．在 “指數函數與對數函數”中，
同學們將類比冪函數的研究方法，學習指數函數與對數函數的概念、圖象和性質．通過對
幾類基本初等函數的變化差異的比較，體會如何根據變化差異選擇合適的函數類型構建數
學模型，刻畫現實問題的變化規律，解決簡單的實際問題．
三角函數也是一類基本的、重要的函數，它是刻畫現實世界中具有周期性變化現象的
數學模型．在 “三角函數”的學習中，同學們將學習借助單位圓建立一般三角函數的概
念，學習三角函數的圖象和性質，探索和研究三角函數之間的一些恒等關系．通過建立三
角函數模型刻畫周期變化現象，進一步體會函數的廣泛應用．
祝愿同學們通過本冊書的學習，不但學到更多的數學知識，而且在數學能力、數學核
心素養等方面都有較大的提高，并培養起更高的數學學習興趣，形成對數學的更加全面的
認識．


第一章　集合與常用邏輯用語 １…………………………………………………………………
１．１　集合的概念 ２…………………………………………………………………………
１．２　集合間的基本關系 ７…………………………………………………………………
１．３　集合的基本運算 １０……………………………………………………………………
閱讀與思考　集合中元素的個數 １５…………………………………………………
１．４　充分條件與必要條件 １７………………………………………………………………
１．５　全稱量詞與存在量詞 ２４………………………………………………………………
閱讀與思考　幾何命題與充分條件、必要條件 ３１…………………………………
小結 ３３………………………………………………………………………………………
復習參考題１ ３４……………………………………………………………………………
第二章　一元二次函數、方程和不等式 ３６……………………………………………………
２．１　等式性質與不等式性質 ３７……………………………………………………………
２．２　基本不等式 ４４…………………………………………………………………………
２．３　二次函數與一元二次方程、不等式 ５０………………………………………………
小結 ５６………………………………………………………………………………………
復習參考題２ ５７……………………………………………………………………………
第三章　函數的概念與性質 ５９…………………………………………………………………
３．１　函數的概念及其表示 ６０………………………………………………………………
閱讀與思考　函數概念的發展歷程 ７５………………………………………………
３．２　函數的基本性質 ７６……………………………………………………………………
信息技術應用　用計算機繪制函數圖象 ８７…………………………………………
３．３　冪函數 ８９………………………………………………………………………………
探究與發現　探究函數狔＝狓＋
１
狓
的圖象與性質 ９２………………………………
３．４　函數的應用 （一） ９３…………………………………………………………………
文獻閱讀與數學寫作?　函數的形成與發展 ９７…………………………………………
小結 ９９………………………………………………………………………………………
復習參考題３ １００……………………………………………………………………………
第四章　指數函數與對數函數 １０３………………………………………………………………
４．１　指數 １０４………………………………………………………………………………
４．２　指數函數 １１１…………………………………………………………………………
閱讀與思考　放射性物質的衰減 １１５………………………………………………
信息技術應用　探究指數函數的性質 １２０…………………………………………
４．３　對數 １２２………………………………………………………………………………
閱讀與思考　對數的發明 １２８………………………………………………………
４．４　對數函數 １３０…………………………………………………………………………
探究與發現　互為反函數的兩個函數圖象間的關系 １３５……………………………
４．５　函數的應用 （二） １４２………………………………………………………………
閱讀與思考　中外歷史上的方程求解 １４７…………………………………………
文獻閱讀與數學寫作?　對數概念的形成與發展 １５７……………………………………
小結 １５８………………………………………………………………………………………
復習參考題４ １５９……………………………………………………………………………
數學建模　建立函數模型解決實際問題 １６２……………………………………………………
第五章　三角函數 １６７……………………………………………………………………………
５．１　任意角和弧度制 １６８…………………………………………………………………
５．２　三角函數的概念 １７７…………………………………………………………………
閱讀與思考　三角學與天文學 １８６…………………………………………………
５．３　誘導公式 １８８…………………………………………………………………………
５．４　三角函數的圖象與性質 １９６…………………………………………………………
探究與發現　函數狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）及函數狔＝犃ｃｏｓ（ω狓＋φ）的周期 ２０３……
探究與發現　利用單位圓的性質研究正弦函數、余弦函數的性質 ２０８…………
５．５　三角恒等變換 ２１５……………………………………………………………………
信息技術應用　利用信息技術制作三角函數表 ２２４………………………………
５．６　函數狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ） ２３１…………………………………………………………
５．７　三角函數的應用 ２４２…………………………………………………………………
閱讀與思考　振幅、周期、頻率、相位 ２５０………………………………………
小結 ２５１………………………………………………………………………………………
復習參考題５ ２５３……………………………………………………………………………
部分中英文詞匯索引 ２５８…………………………………………………………………………
書
第一章
集合與常用邏輯用語
我們知道，方程狓２＝２在有理數范圍內無解，但在實數范圍
內有解．在平面內，所有到定點的距離等于定長的點組成一個
圓；而在空間中，所有到定點的距離等于定長的點組成一個球
面．因此，明確研究對象、確定研究范圍是研究數學問題的基
礎．為了簡潔、準確地表述數學對象及研究范圍，我們需要使用
集合的語言和工具．事實上，集合的知識是現代數學的基礎，也
是高中數學的基礎，在后面各章的學習中將越來越多地應用它．
在本章，我們將學習集合的概念、基本關系和運算，學習用集合
語言刻畫一類事物的方法．
邏輯用語是數學語言的重要組成部分，是數學表達和交流的
工具．學習一些常用邏輯用語，可以使我們正確理解數學概念、
合理論證數學結論、準確表達數學內容．邏輯用語也是日常交
往、學習和工作中必不可少的工具，正確使用邏輯用語是每一位
公民應具備的基本素養．本章我們將通過常用邏輯用語的學習，
理解使用邏輯用語表達數學對象、進行數學推理的方法，體會邏
輯用語在表述數學內容和論證數學結論中的作用，學會使用集合
和邏輯語言表達和交流數學問題，提升交流的邏輯性和準確性．
第一章　集合與常用邏輯用語
１?１　集合的概念
在小學和初中，我們已經接觸過一些集合．例如，自然
數的集合，同一平面內到一個定點的距離等于定長的點的集
合 （即圓）等．為了更有效地使用集合語言，我們需要進一
步了解集合的有關知識．下面先從集合的含義開始．
看下面的例子：
（１）１～１０之間的所有偶數；
（２）立德中學今年入學的全體高一學生；
（３）所有的正方形；
（４）到直線犾的距離等于定長犱的所有點；
（５）方程狓２－３狓＋２＝０的所有實數根；
（６）地球上的四大洋．
例 （１）中，我們把１～１０之間的每一個偶數作為元素，這些元素的全體就是一個集
合；同樣地，例 （２）中，把立德中學今年入學的每一位高一學生作為元素，這些元素的
全體也是一個集合．

上面的例 （３）到例 （６）也都能組成集合嗎？它們的元素分別是什么？
一般地，我們把研究對象統稱為元素 （ｅｌｅｍｅｎｔ），把一些元素組成的總體叫做集合
（ｓｅｔ）（簡稱為集）．
給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，給定一個集合，那么一個元素在或
不在這個集合中就確定了．例如，“１～１０之間的所有偶數”構成一個集合，２，４，６，８，
１０是這個集合的元素，１，３，５，７，９，…不是它的元素； “較小的數”不能構成集合，
因為組成它的元素是不確定的．
一個給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復出現的．
只要構成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的．
我們通常用大寫拉丁字母犃，犅，犆，…表示集合，用小寫拉丁字母犪，犫，犮，…表
示集合中的元素．
如果犪是集合犃的元素，就說犪屬于 （ｂｅｌｏｎｇｔｏ）集合犃，記作犪∈犃；如果犪不是
集合犃中的元素，就說犪不屬于 （ｎｏｔｂｅｌｏｎｇｔｏ）集合犃，記作犪?犃．
２
第一章　集合與常用邏輯用語
例如，若用犃 表示前面例 （１）中 “１～１０之間的所有偶數”組成的集合，則有
４∈犃，３?犃，等等．
數學中一些常用的數集及其記法
全體非負整數組成的集合稱為非負整數集 （或自然數集），記作犖；
全體正整數組成的集合稱為正整數集，記作犖?或犖＋；
全體整數組成的集合稱為整數集，記作犣；
全體有理數組成的集合稱為有理數集，記作犙；
全體實數組成的集合稱為實數集，記作犚．
從上面的例子看到，我們可以用自然語言描述一個集合．除此之外，還可以用什么
方式表示集合呢？
列舉法
“地球上的四大洋”組成的集合可以表示為 ｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝；
“方程狓２－３狓＋２＝０的所有實數根”組成的集合可以表示為 ｛１，２｝．
像這樣把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號 “｛　｝”括起來表示集合的方
法叫做列舉法．
例１　用列舉法表示下列集合：
（１）小于１０的所有自然數組成的集合；
（２）方程狓２＝狓的所有實數根組成的集合．
解：（１）設小于１０的所有自然數組成的集合為犃，那么
犃＝｛０，１，２，３，４，５，６，７，８，９｝．
（２）設方程狓２＝狓的所有實數根組成的集合為犅，那么
犅＝｛０，１｝．
由于元素完全相同的兩個集合相等，而與列舉的順序無關，因此一個集合可以有不同
的列舉方法．例如，例１（１）的集合還可以寫成
犃＝｛９，８，７，６，５，４，３，２，１，０｝
等．

（１）你能用自然語言描述集合 ｛０，３，６，９｝嗎？
（２）你能用列舉法表示不等式狓－７＜３的解集嗎？
３
第一章　集合與常用邏輯用語
描述法
不等式狓－７＜３的解是狓＜１０，因為滿足狓＜１０的實數有無數個，所以狓－７＜３的
解集無法用列舉法表示．但是，我們可以利用解集中元素的共同特征，即：狓是實數，且
狓＜１０，把解集表示為
｛狓∈犚｜狓＜１０｝．
　　你能用這樣的方法表
示偶數集嗎？
又如，整數集犣可以分為奇數集和偶數集．對于每一個
狓∈犣，如果它能表示為狓＝２犽＋１（犽∈犣）的形式，那么狓除
以２的余數為１，它是一個奇數；反之，如果狓是一個奇數，
那么狓除以２的余數為１，它能表示為狓＝２犽＋１（犽∈犣）的形
式．所以，狓＝２犽＋１（犽∈犣）是所有奇數的一個共同特征，
于是奇數集可以表示為
｛狓∈犣｜狓＝２犽＋１，犽∈犣｝．
　　有時也用冒號或分號
代替豎線，寫成
｛狓∈犃：犘（狓）｝
或
｛狓∈犃；犘（狓）｝．
一般地，設犃是一個集合，我們把集合犃 中所有具有
共同特征犘（狓）的元素狓所組成的集合表示為
｛狓∈犃｜犘（狓）｝，
這種表示集合的方法稱為描述法．
例如，實數集犚中，有限小數和無限循環小數都具有
狇
狆
（狆，狇∈犣，狆≠０）的形式，這些數組成有理數集，我們將
它表示為
犙＝｛狓∈犚｜狓＝
狇
狆
，狆，狇∈犣，狆≠０｝．
其中，
狇
狆
（狆，狇∈犣，狆≠０）就是所有有理數具有的共同特征．
顯然，對于任何狔∈｛狓∈犃｜犘（狓）｝，都有狔∈犃，且犘（狔）成立．
例２　試分別用描述法和列舉法表示下列集合：
（１）方程狓２－２＝０的所有實數根組成的集合犃；
（２）由大于１０且小于２０的所有整數組成的集合犅．
解：（１）設狓∈犃，則狓是一個實數，且狓２－２＝０．因此，用描述法表示為
犃＝狓∈犚狓２－２＝０｛ ｝．
方程狓２－２＝０有兩個實數根槡２，－槡２，因此，用列舉法表示為
犃＝｛槡２，－槡２｝．
（２）設狓∈犅，則狓是一個整數，即狓∈犣，且１０＜狓＜２０．因此，用描述法表示為
犅＝｛狓∈犣１０＜狓＜２０｝．
大于１０且小于２０的整數有１１，１２，１３，１４，１５，１６，１７，１８，１９，因此，用列舉
法表示為
犅＝｛１１，１２，１３，１４，１５，１６，１７，１８，１９｝．
４
第一章　集合與常用邏輯用語
我們約定，如果從上下文的關系看，狓∈犚，狓∈犣是明確的，那么狓∈犚，狓∈犣可
以省略，只寫其元素狓．例如，集合犇＝｛狓∈犚｜狓＜１０｝也可表示為犇＝｛狓｜狓＜１０｝；集
合犈＝｛狓∈犣｜狓＝２犽＋１，犽∈犣｝也可表示為犈＝｛狓｜狓＝２犽＋１，犽∈犣｝．

舉例說明，用自然語言、列舉法和描述法表示集合時各自的特點．

１．判斷下列元素的全體是否組成集合，并說明理由：
（１）與定點犃，犅等距離的點；
（２）高中學生中的游泳能手．
２．用符號 “∈”或 “?”填空：
０　　犖；－３　　犖；０．５　　犣；槡２　　犣；
１
３
　　犙；π　　犚．
３．用適當的方法表示下列集合：
（１）由方程狓２－９＝０的所有實數根組成的集合；
（２）一次函數狔＝狓＋３與狔＝－２狓＋６圖象的交點組成的集合；
（３）不等式４狓－５＜３的解集．

習題１．１
１．用符號 “∈”或 “?”填空：
（１）設犃 為所有亞洲國家組成的集合，則
中國　　　犃，美國　　　犃，印度　　　犃，英國　　　犃；
（２）若犃＝｛狓｜狓２＝狓｝，則－１　　　犃；
（３）若犅＝｛狓｜狓２＋狓－６＝０｝，則３　　　犃；
（４）若犆＝｛狓∈犖｜１≤狓≤１０｝，則８　　　犆，９．１　　　犆．
２．用列舉法表示下列集合：
（１）大于１且小于６的整數；
（２）犃＝｛狓｜（狓－１）（狓＋２）＝０｝；
（３）犅＝｛狓∈犣｜－３＜２狓－１＜３｝．
５
第一章　集合與常用邏輯用語

３．把下列集合用另一種方法表示出來：
（１）｛２，４，６，８，１０｝；
（２）由１，２，３這三個數字抽出一部分或全部數字 （沒有重復）所組成的一切自然數；
（３）｛狓∈犖｜３＜狓＜７｝；
（４）中國古代四大發明．
４．用適當的方法表示下列集合：
（１）二次函數狔＝狓２－４的函數值組成的集合；
（２）反比例函數狔＝
２
狓
的自變量組成的集合；
（３）不等式３狓≥４－２狓的解集．


康托爾 （ＧｅｏｒｇＣａｎｔｏｒ，
１８４５—１９１８）
５．集合論是德國數學家康托爾于１９世紀末創立的．當時，康托爾在解決
涉及無限量研究的數學問題時，越過 “數集”限制，提出了一般性的
“集合”概念．關于集合論，希爾伯特贊譽其為 “數學思想的驚人的產
物，在純粹理性的范疇中人類活動的最美的表現之一”，羅素描述其為
“可能是這個時代所能夸耀的最偉大的工作”．請你查閱相關資料，用簡
短的報告闡述你對這些評價的認識．
６
第一章　集合與常用邏輯用語
１?２　集合間的基本關系
我們知道，兩個實數之間有相等關系、大小關系，如
５＝５，５＜７，５＞３，等等．兩個集合之間是否也有類似的關
系呢？

觀察下面幾個例子，類比實數之間的相等關系、大小關系，你能發現下面兩個集
合之間的關系嗎？
（１）犃＝｛１，２，３｝，犅＝｛１，２，３，４，５｝；
（２）犆為立德中學高一 （２）班全體女生組成的集合，犇 為這個班全體學生組成
的集合；
（３）犈＝｛狓｜狓是兩條邊相等的三角形｝，犉＝｛狓｜狓是等腰三角形｝．
可以發現，在 （１）中，集合犃的任何一個元素都是集合犅的元素．這時我們說集合
犃包含于集合犅，或集合犅包含集合犃． （２）中的集合犆與集合犇也有這種關系．
一般地，對于兩個集合犃，犅，如果集合犃 中任意一
個元素都是集合犅中的元素，就稱集合犃為集合犅的子集
（ｓｕｂｓｅｔ），記作 AB
圖１．２?１
犃?犅 （或犅?犃），
讀作 “犃包含于犅”（或 “犅包含犃”）．
　　請你舉出幾個具有包
含關系、相等關系的集合
實例．
在數學中，我們經常用平面上封閉曲線的內部代表集
合，這種圖稱為犞犲狀狀圖．這樣，上述集合犃與集合犅的包
含關系，可以用圖１．２?１表示．
在 （３）中，由于 “兩條邊相等的三角形”是等腰三角
形，因此，集合犈，犉都是由所有等腰三角形組成的集合．
即集合犈中任何一個元素都是集合犉中的元素，同時，集
　　與實數中的結論 “若
犪≥犫，且犫≥犪 ，則犪＝
犫”相 類 比，你 有 什 么
體會？
合犉中任何一個元素也都是集合犈 中的元素．這樣，集合
犈的元素與集合犉的元素是一樣的．
一般地，如果集合犃 的任何一個元素都是集合犅的元
素，同時集合犅的任何一個元素都是集合犃 的元素，那么
集合犃與集合犅相等，記作犃＝犅 ．
也就是說，若犃?犅，且犅?犃，則犃＝犅．
７
第一章　集合與常用邏輯用語
　　你能舉出幾個空集的
例子嗎？
如果集合犃?犅，但存在元素狓∈犅，且狓?犃，就稱
集合犃是集合犅的真子集 （ｐｒｏｐｅｒｓｕｂｓｅｔ），記作
犃?犅 （或犅?犃）．
例如，在 （１）中，犃?犅，但４∈犅，且４?犃，所以
集合犃是集合犅的真子集．
我們知道，方程狓２＋１＝０沒有實數根，所以方程狓２＋
１＝０的實數根組成的集合中沒有元素．
一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集 （ｅｍｐｔｙ
ｓｅｔ），記為?，并規定：空集是任何集合的子集．

包含關系｛犪｝?犃與屬于關系犪∈犃有什么區別？試結合實例作出解釋．
由上述集合之間的基本關系，可以得到下列結論：
（１）任何一個集合是它本身的子集，即
犃?犃；
（２）對于集合犃，犅，犆，如果犃?犅，且犅?犆，那么犃?犆．
例１　寫出集合 ｛犪，犫｝的所有子集，并指出哪些是它的真子集．
解：集合 ｛犪，犫｝的所有子集為?，｛犪｝，｛犫｝，｛犪，犫｝．真子集為?，｛犪｝，｛犫｝．
例２　判斷下列各題中集合犃是否為集合犅的子集，并說明理由：
（１）犃＝｛１，２，３｝，犅＝｛狓｜狓是８的約數｝；
（２）犃＝狓｜狓是長方形｛ ｝，犅＝狓｜狓是兩條對角線相等的平行四邊形｛ ｝．
解：（１）因為３不是８的約數，所以集合犃不是集合犅的子集．
（２）因為若狓是長方形，則狓一定是兩條對角線相等的平行四邊形，所以集合犃是
集合犅的子集．

１．寫出集合 ｛犪，犫，犮｝的所有子集．
２．用適當的符號填空：
（１）犪　　｛犪，犫，犮｝；　　　　　　　　　　　（２）０　　｛狓｜狓２＝０｝；
（３）?　　 ｛狓∈犚｜狓２＋１＝０｝； （４）｛０，１｝　　犖；
（５）｛０｝　　｛狓｜狓２＝狓｝； （６）｛２，１｝　　｛狓｜狓２－３狓＋２＝０｝．
８
第一章　集合與常用邏輯用語
３．判斷下列兩個集合之間的關系：
（１）犃＝狓｜狓＜０｛ ｝，犅＝狓｜狓＜１｛ ｝；
（２）犃＝｛狓｜狓＝３犽，犽∈犖｝，犅＝｛狓｜狓＝６狕，狕∈犖｝；
（３）犃＝｛狓∈犖＋｜狓是４與１０的公倍數｝，犅＝｛狓｜狓＝２０犿，犿∈犖＋｝．

習題１．２
１．選用適當的符號填空：
（１）若集合犃＝｛狓｜２狓－３＜３狓｝，犅＝｛狓｜狓≥２｝，則
－４　　犅，－３　　犃，｛２｝　　犅，犅　　犃；
（２）若集合犃＝｛狓｜狓２－１＝０｝，則
１　　犃，｛－１｝　　犃，?　　犃，｛１，－１｝　　犃；
（３）｛狓｜狓是菱形｝　　 ｛狓｜狓是平行四邊形｝；
｛狓｜狓是等腰三角形｝　　 ｛狓｜狓是等邊三角形｝．
２．指出下列各集合之間的關系，并用Ｖｅｎｎ圖表示：
犃＝｛狓｜狓是四邊形｝，犅＝｛狓｜狓是平行四邊形｝，犆＝｛狓｜狓是矩形｝，犇＝｛狓｜狓是正方形｝．

３．舉出下列各集合的一個子集：
（１）犃＝｛狓｜狓是立德中學的學生｝；　　　　（２）犅＝｛狓｜狓是三角形｝；
（３）犆＝｛０｝；　　　　　　　　　　　 （４）犇＝｛狓∈犣｜３＜狓＜３０｝．
４．在平面直角坐標系中，集合犆＝｛（狓，狔）｜狔＝狓｝表示直線狔＝狓，從這個角度看，集合犇＝
（狓，狔）
２狓－狔＝１
狓＋４狔＝５
烅
烄
烆
烅
烄
烆
烍
烌
烎
表示什么？集合犆，犇之間有什么關系？


５． （１）設犪，犫∈犚，犘＝｛１，犪｝，犙＝｛－１，－犫｝，若犘＝犙，求犪－犫的值；
（２）已知集合犃＝｛狓｜０＜狓＜犪｝，犅＝｛狓｜１＜狓＜２｝，若犅?犃，求實數犪的取值范圍．
９
第一章　集合與常用邏輯用語
１?３　集合的基本運算
我們知道，實數有加、減、乘、除等運算．集合是否也
有類似的運算呢？
并集

觀察下面的集合，類比實數的加法運算，你能說出集合犆與集合犃，犅之間的
關系嗎？
（１）犃＝｛１，３，５｝，犅＝｛２，４，６｝，犆＝｛１，２，３，４，５，６｝；
（２）犃＝｛狓｜狓是有理數｝，犅＝｛狓｜狓是無理數｝，犆＝｛狓｜狓是實數｝．
A B
A B

圖１．３?１
在上述兩個問題中，集合犃，犅 與集合犆之間都具有
這樣一種關系：集合犆是由所有屬于集合犃 或屬于集合犅
的元素組成的．
一般地，由所有屬于集合犃或屬于集合犅的元素組成
的集合，稱為集合犃與犅的并集 （ｕｎｉｏｎｓｅｔ），記作犃∪犅
（讀作 “犃并犅”），即
犃∪犅＝｛狓｜狓∈犃，或狓∈犅｝，
可用Ｖｅｎｎ圖 （圖１．３?１）表示．
這樣，在問題 （１）（２）中，集合犃與犅的并集是犆，即
犃∪犅＝犆．
　　在求兩個集合的并集
時，它們的公共元素在并
集中只能出現一次．如元
素５，８．
例１　設犃＝｛４，５，６，８｝，犅＝｛３，５，７，８｝，求犃∪犅．
解：犃∪犅＝｛４，５，６，８｝∪｛３，５，７，８｝
＝｛３，４，５，６，７，８｝．
例２　設集合犃＝｛狓｜－１＜狓＜２｝，集合犅＝｛狓｜１＜狓＜３｝，
求犃∪犅．
解：犃∪犅＝｛狓｜－１＜狓＜２｝∪｛狓｜１＜狓＜３｝
＝｛狓｜－１＜狓＜３｝．
如圖１．３?２，還可以利用數軸直觀表示例２中求并集
０１
第一章　集合與常用邏輯用語
犃∪犅的過程．
1 2 3 x0-1
圖１．３?２

下列關系式成立嗎？
（１）犃∪犃＝犃；（２）犃∪?＝犃．
交集

觀察下面的集合，集合犃，犅與集合犆之間有什么關系？
（１）犃＝｛２，４，６，８，１０｝，犅＝｛３，５，８，１２｝，犆＝｛８｝；
（２）犃＝｛狓｜狓是立德中學今年在校的女同學｝，犅＝｛狓｜狓是立德中學今年在校
的高一年級同學｝，犆＝｛狓｜狓是立德中學今年在校的高一年級女同學｝．
在上述兩個問題中，集合犆是由所有既屬于集合犃 又屬于
集合犅的元素組成的．
A BA B


圖１．３?３
一般地，由所有屬于集合犃 且屬于集合犅的元素組成的集
合，稱為集合犃 與犅 的交集 （ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎｓｅｔ），記作犃∩犅
（讀作 “犃交犅”），即
犃∩犅＝｛狓｜狓∈犃，且狓∈犅｝，
可用Ｖｅｎｎ圖 （圖１．３?３）表示．
這樣，在上述問題（１）（２）中，犃∩犅＝犆．
例３　立德中學開運動會，設
犃＝｛狓｜狓是立德中學高一年級參加百米賽跑的同學｝，
犅＝｛狓｜狓是立德中學高一年級參加跳高比賽的同學｝，
求犃∩犅．
解：犃∩犅就是立德中學高一年級中那些既參加百米賽跑又參加跳高比賽的同學組成
的集合．所以，
犃∩犅＝｛狓｜狓是立德中學高一年級既參加百米賽跑又參加跳高比賽的同學｝．
１１
第一章　集合與常用邏輯用語
例４　設平面內直線犾１上點的集合為犔１，直線犾２上點的集合為犔２，試用集合的運算
表示犾１，犾２的位置關系．
解：平面內直線犾１，犾２可能有三種位置關系，即相交于一點、平行或重合．
（１）直線犾１，犾２相交于一點犘可表示為
犔１∩犔２＝｛點犘｝；
（２）直線犾１，犾２平行可表示為
犔１∩犔２＝?；
（３）直線犾１，犾２重合可表示為
犔１∩犔２＝犔１＝犔２．

下列關系式成立嗎？
（１）犃∩犃＝犃；（２）犃∩?＝?．

１．設犃＝｛３，５，６，８｝，犅＝｛４，５，７，８｝，求犃∩犅，犃∪犅．
２．設犃＝｛狓｜狓２－４狓－５＝０｝，犅＝｛狓｜狓２＝１｝，求犃∪犅，犃∩犅．
３．設犃＝｛狓｜狓是等腰三角形｝，犅＝｛狓｜狓是直角三角形｝，求犃∩犅，犃∪犅．
４．設犃＝｛狓｜狓是幸福農場的汽車｝，犅＝｛狓｜狓是幸福農場的拖拉機｝，求犃∪犅．
　　通常也把給定的集合
作為全集．
補集
在研究問題時，我們經常需要確定研究對象的范圍．
例如，從小學到初中，數的研究范圍逐步地由自然數到
正分數，再到有理數，引進無理數后，數的研究范圍擴充到
實數．在高中階段，數的研究范圍將進一步擴充．
在不同范圍研究同一個問題，可能有不同的結果．例如
方程（狓－２）（狓２－３）＝０的解集，在有理數范圍內只有一個
解２，即
｛狓∈犙｜（狓－２）（狓２－３）＝０｝＝｛２｝；
在實數范圍內有三個解：２，槡３，－槡３，即
｛狓∈犚｜（狓－２）（狓２－３）＝０｝＝｛２，槡３，－槡３｝．
一般地，如果一個集合含有所研究問題中涉及的所有元
素，那么就稱這個集合為全集 （ｕｎｉｖｅｒｓｅｓｅｔ），通常記作犝．
２１
第一章　集合與常用邏輯用語
AU
A
圖１．３?４
對于一個集合犃，由全集犝中不屬于集合犃的所有元素組成
的集合稱為集合犃 相對于全集犝 的補集 （ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙｓｅｔ），
簡稱為集合犃的補集，記作瓓犝犃，即
瓓犝犃＝｛狓｜狓∈犝，且狓?犃｝，
可用Ｖｅｎｎ圖 （圖１．３?４）表示．
例５　設犝＝｛狓｜狓是小于９的正整數｝，犃＝｛１，２，３｝，犅＝｛３，４，５，６｝，求瓓犝犃，
瓓犝犅．
解：根據題意可知，犝＝｛１，２，３，４，５，６，７，８｝，所以
瓓犝犃＝｛４，５，６，７，８｝，
瓓犝犅＝｛１，２，７，８｝．
例６　設全集犝＝｛狓｜狓是三角形｝，犃＝｛狓｜狓是銳角三角形｝，犅＝｛狓｜狓是鈍角三
角形｝，求犃∩犅，瓓犝（犃∪犅）．
解：根據三角形的分類可知
犃∩犅＝?，
犃∪犅＝｛狓｜狓是銳角三角形或鈍角三角形｝，
瓓犝（犃∪犅）＝｛狓｜狓是直角三角形｝．

１．已知犝＝｛１，２，３，４，５，６，７｝，犃＝｛２，４，５｝，犅＝｛１，３，５，７｝，求犃∩（瓓犝犅），（瓓犝犃）∩（瓓犝犅）．
２．設犛＝｛狓｜狓是平行四邊形或梯形｝，犃＝｛狓｜狓是平行四邊形｝，犅＝｛狓｜狓是菱形｝，犆＝｛狓｜狓是矩
形｝，求犅∩犆，瓓犛犅，瓓犛犃．
３．圖中犝是全集，犃，犅是犝的兩個子集，用陰影表示：
（１）（瓓犝犃）∩（瓓犝犅）；　　 （２）（瓓犝犃）∪（瓓犝犅）．
A B
8
A B
8
（１） （２）
（第３題）
３１
第一章　集合與常用邏輯用語

習題１．３
１．集合犃＝｛狓｜２≤狓＜４｝，犅＝｛狓｜３狓－７≥８－２狓｝，求犃∪犅，犃∩犅．
２．設犃＝｛狓｜狓是小于９的正整數｝，犅＝｛１，２，３｝，犆＝｛３，４，５，６｝．求犃∩犅，犃∩犆，
犃∩（犅∪犆），犃∪（犅∩犆）．
３．學校開運動會，設犃＝｛狓｜狓是參加１００ｍ跑的同學｝，犅＝｛狓｜狓是參加２００ｍ跑的同學｝，
犆＝｛狓｜狓是參加４００ｍ跑的同學｝，學校規定，每個參加上述比賽的同學最多只能參加兩項比
賽，請你用集合的運算說明這項規定，并解釋以下集合運算的含義：
（１）犃∪犅；　　　　　　 （２）犃∩犆．

４．已知集合犃＝｛狓｜３≤狓＜７｝，犅＝｛狓｜２＜狓＜１０｝，求瓓犚（犃∪犅），瓓犚（犃∩犅），（瓓犚犃）∩犅，
犃∪（瓓犚犅）．
５．設集合犃＝｛狓｜（狓－３）（狓－犪）＝０，犪∈犚｝，犅＝｛狓｜（狓－４）（狓－１）＝０｝，求犃∪犅，犃∩犅．


６．已知全集犝＝犃∪犅＝｛狓∈犖｜０≤狓≤１０｝，犃∩（瓓犝犅）＝｛１，３，５，７｝，試求集合犅．
４１
第一章　集合與常用邏輯用語
 
集合中元素的個數
　　ｃａｒｄ是英文ｃａｒｄｉｎａｌ
（基數）的縮寫．
在研究集合時，經常遇到有關集合中元素的個
數問題．我們把含有限個元素的集合犃叫做有限集，
用ｃａｒｄ（犃）來表示有限集合犃 中元素的個數．例
如，犃＝｛犪，犫，犮｝，則ｃａｒｄ（犃）＝３．
看一個問題．某超市進了兩次貨，第一次進的貨是圓珠筆、鋼筆、橡皮、筆
記本、方便面、汽水共６種，第二次進的貨是圓珠筆、鉛筆、火腿腸、方便面共
４種，兩次一共進了幾種貨？
回答兩次一共進了１０（＝６＋４）種，顯然是不對的．讓我們試著從集合的角度
考慮這個問題．
用集合犃表示第一次進貨的品種，用集合犅表示第二次進貨的品種，就有
犃＝｛圓珠筆，鋼筆，橡皮，筆記本，方便面，汽水｝，
犅＝｛圓珠筆，鉛筆，火腿腸，方便面｝．
這里ｃａｒｄ（犃）＝６，ｃａｒｄ（犅）＝４．求兩次一共進了幾種貨，這個問題指的是求
ｃａｒｄ（犃∪犅）．這個例子中，兩次進的貨里有相同的品種，相同的品種數實際就是
ｃａｒｄ（犃∩犅）．ｃａｒｄ（犃），ｃａｒｄ（犅），ｃａｒｄ（犃∪犅），ｃａｒｄ（犃∩犅）之間有什么關
系呢？
可以算出
ｃａｒｄ（犃∪犅）＝８，
ｃａｒｄ（犃∩犅）＝２．
一般地，對任意兩個有限集合犃，犅，有
ｃａｒｄ（犃∪犅）＝ｃａｒｄ（犃）＋ｃａｒｄ（犅）－ｃａｒｄ（犃∩犅）．
再來看一個問題．學校先舉辦了一次田徑運動會，某班有８名同學參賽，又
舉辦了一次球類運動會，這個班有１２名同學參賽，兩次運動會都參賽的有３人．
兩次運動會中，這個班共有多少名同學參賽？
用集合犃 表示田徑運動會參賽的學生，用集合犅表示球類運動會參賽的學
生，就有
犃＝｛狓｜狓是田徑運動會參賽的學生｝，
犅＝｛狓｜狓是球類運動會參賽的學生｝，
那么
犃∩犅＝｛狓｜狓是兩次運動會都參賽的學生｝，
犃∪犅＝｛狓｜狓是所有參賽的學生｝，
５１
第一章　集合與常用邏輯用語
ｃａｒｄ（犃∪犅）＝ｃａｒｄ（犃）＋ｃａｒｄ（犅）－ｃａｒｄ（犃∩犅）
＝８＋１２－３＝１７．
所以，在兩次運動會中，這個班共有１７名同學參賽．
我們也可以用Ｖｅｎｎ圖來求解．
A BA B


(3) (9)(5)
　　?這里的３是表示元
素的個數，而不是元素．
圖中我們特別加上括號，
另外兩個數５，９也一樣．
在上圖中相應于犃∩犅的區域里先填上３?（ｃａｒｄ
（犃∩犅）＝３），再在犃中不包括犃∩犅的區域里填上
５（ｃａｒｄ（犃）－ｃａｒｄ（犃∩犅）＝５），在犅中不包括犃∩犅
的區域里填上９（ｃａｒｄ（犅）－ｃａｒｄ（犃∩犅）＝９）．最后把
這三個數加起來得１７，這就是ｃａｒｄ（犃∪犅）．
這種圖解法對于解比較復雜的問題 （例如涉及三
個以上集合的并、交的問題）更能顯示出它的優越性．對于有限集合犃，犅，犆，
你能發現ｃａｒｄ（犃∪犅∪犆），ｃａｒｄ（犃），ｃａｒｄ（犅），ｃａｒｄ（犆），ｃａｒｄ（犃∩犅），ｃａｒｄ
（犅∩犆），ｃａｒｄ（犃∩犆），ｃａｒｄ（犃∩犅∩犆）之間的關系嗎？通過一個具體的例子，
算一算．
有限集合中元素的個數，我們可以一一數出來．而對于元素個數無限的集
合，如
犃＝｛１，２，３，４，…，狀，…｝，
犅＝｛２，４，６，８，…，２狀，…｝，
我們無法數出集合中元素的個數，但可以比較這兩個集合中元素個數的多少．你
能設計一種比較這兩個集合中元素個數多少的方法嗎？
６１
第一章　集合與常用邏輯用語
１?４　充分條件與必要條件
在初中，我們已經對命題有了初步的認識．一般地，
我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述
句叫做命題．判斷為真的語句是真命題，判斷為假的語句
是假命題．中學數學中的許多命題可以寫成 “若狆，則狇”
“如果狆，那么狇”等形式．其中狆稱為命題的條件，狇稱
為命題的結論．本節主要討論這種形式的命題．下面我們
將進一步考察 “若狆，則狇”形式的命題中狆和狇的關系，
學習數學中的三個常用的邏輯用語———充分條件、必要條
件和充要條件．
１?４?１! "#$%&'($%

下列 “若狆，則狇”形式的命題中，哪些是真命題？哪些是假命題？
（１）若平行四邊形的對角線互相垂直，則這個平行四邊形是菱形；
（２）若兩個三角形的周長相等，則這兩個三角形全等；
（３）若狓２－４狓＋３＝０，則狓＝１；
（４）若平面內兩條直線犪和犫均垂直于直線犾，則犪∥犫．
　　?此時，如果狇不成
立，則狆一定不成立．所
以，狇對于狆成立而言是
必要的．請舉例說明．
在命題 （１）（４）中，由條件狆通過推理可以得出結論
狇，所以它們是真命題．在命題 （２）（３）中，由條件狆不能
得出結論狇，所以它們是假命題．
一般地，“若狆，則狇”為真命題，是指由狆通過推理
可以得出狇．這時，我們就說，由狆可以推出狇，記作
狆?狇，
并且說，狆是狇的充分條件 （ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎ），狇是狆
的必要條件? （ｎｅｃｅｓｓａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎ）．
如果 “若狆，則狇”為假命題，那么由條件狆不能推出
結論狇，記作狆?／狇．此時，我們就說狆不是狇的充分條件，
狇不是狆的必要條件．
上述命題 （１）（４）中的狆是狇的充分條件，狇是狆的必
７１
第一章　集合與常用邏輯用語
要條件，而命題 （２）（３）中的狆不是狇的充分條件，狇不是狆的必要條件．
例１　下列 “若狆，則狇”形式的命題中，哪些命題中的狆是狇的充分條件？
（１）若四邊形的兩組對角分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；
（２）若兩個三角形的三邊成比例，則這兩個三角形相似；
（３）若四邊形為菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直；
（４）若狓２＝１，則狓＝１；
（５）若犪＝犫，則犪犮＝犫犮；
（６）若狓，狔為無理數，則狓狔為無理數．
　　舉反例是判斷一個命
題是假命題的重要方法．
解：（１）這是一條平行四邊形的判定定理，狆?狇，所
以狆是狇的充分條件．
（２）這是一條相似三角形的判定定理，狆?狇，所以狆
是狇的充分條件．
（３）這是一條菱形的性質定理，狆?狇，所以狆是狇的
充分條件．
（４）由于（－１）２＝１，但－１≠１，狆?／狇，所以狆不是狇
的充分條件．
（５）由等式的性質知，狆?狇，所以狆是狇的充分條件．
（６）槡２為無理數，但槡２×槡２＝２為有理數，狆?／狇，所
以狆不是狇的充分條件．

例１中命題 （１）給出了 “四邊形是平行四邊形”的一個充分條件，即 “四邊形
的兩組對角分別相等”．這樣的充分條件唯一嗎？如果不唯一，那么你能再給出幾個
不同的充分條件嗎？
我們說狆是狇的充分條件，是指由條件狆可以推出結論狇，但這并不意味著只能由這
個條件狆才能推出結論狇．一般來說，對給定結論狇，使得狇成立的條件狆是不唯一的．
例如，我們知道，下列命題均為真命題：
①若四邊形的兩組對邊分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；
②若四邊形的一組對邊平行且相等，則這個四邊形是平行四邊形；
③若四邊形的兩條對角線互相平分，則這個四邊形是平行四邊形．
所以，“四邊形的兩組對邊分別相等”“四邊形的一組對邊平行且相等”“四邊形的兩條對
角線互相平分”都是 “四邊形是平行四邊形”的充分條件．
事實上，例１中命題 （１）及上述命題①②③均是平行四邊形的判定定理．所以，平
８１
第一章　集合與常用邏輯用語
行四邊形的每一條判定定理都給出了 “四邊形是平行四邊形”的一個充分條件，即這個條
件能充分保證四邊形是平行四邊形．類似地，平行線的每一條判定定理都給出了 “兩直線
平行”的一個充分條件，例如 “內錯角相等”這個條件就充分保證了 “兩條直線平行”．
一般地，數學中的每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件．
例２　下列 “若狆，則狇”形式的命題中，哪些命題中的狇是狆的必要條件？
（１）若四邊形為平行四邊形，則這個四邊形的兩組對角分別相等；
（２）若兩個三角形相似，則這兩個三角形的三邊成比例；
（３）若四邊形的對角線互相垂直，則這個四邊形是菱形；
（４）若狓＝１，則狓２＝１；
（５）若犪犮＝犫犮，則犪＝犫；
（６）若狓狔為無理數，則狓，狔為無理數．
解：（１）這是平行四邊形的一條性質定理，狆?狇，所以，狇是狆的必要條件．
（２）這是三角形相似的一條性質定理，狆?狇，所以，狇是狆的必要條件．
A
B
C
D
圖１．４?１
（３）如圖１．４?１，四邊形犃犅犆犇 的對角線互相垂直，
但它不是菱形，狆?／狇，所以，狇不是狆的必要條件．
（４）顯然，狆?狇，所以，狇是狆的必要條件．
（５）由于（－１）×０＝１×０，但－１≠１，狆?／狇，所以，狇不
是狆的必要條件．
（６）由于１×槡２＝槡２為無理數，但１，槡２不全是無理
數，狆?／狇，所以，狇不是狆的必要條件．
一般地，要判斷 “若狆，則狇”形式的命題中狇是否為狆的必要條件，只需判斷是否
有 “狆?狇”，即 “若狆，則狇”是否為真命題．

例２中命題 （１）給出了 “四邊形是平行四邊形”的一個必要條件，即 “這個四
邊形的兩組對角分別相等”．這樣的必要條件是唯一的嗎？如果不唯一，你能給出
“四邊形是平行四邊形”的幾個其他必要條件嗎？
我們說狇是狆的必要條件，是指以狆為條件可以推出結論狇，但這并不意味著由條件
狆只能推出結論狇．一般來說，給定條件狆，由狆可以推出的結論狇是不唯一的．例如，
下列命題都是真命題：
①若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的兩組對邊分別相等；
②若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的一組對邊平行且相等；
９１
第一章　集合與常用邏輯用語
③若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的兩條對角線互相平分．
這表明，“四邊形的兩組對邊分別相等”“四邊形的一組對邊平行且相等”“四邊形的
兩條對角線互相平分”都是 “四邊形是平行四邊形”的必要條件．
我們知道，例２中命題（１）及上述命題①②③均為平行四邊形的性質定理．所以，平行
四邊形的每條性質定理都給出了 “四邊形是平行四邊形”的一個必要條件．類似地，平行線
的每條性質定理都給出了 “兩直線平行”的一個必要條件，例如 “同位角相等”是 “兩直
線平行”的必要條件，也就是說，如果同位角不相等，那么就不可能有 “兩直線平行”．
一般地，數學中的每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件．

１．下列 “若狆，則狇”形式的命題中，哪些命題中的狆是狇的充分條件？
（１）若平面內點犘在線段犃犅的垂直平分線上，則犘犃＝犘犅；
（２）若兩個三角形的兩邊及一邊所對的角分別相等，則這兩個三角形全等；
a
2
1
3
4
b
l
（第３題）
（３）若兩個三角形相似，則這兩個三角形的面積比等于周長比的平方．
２．下列 “若狆，則狇”形式的命題中，哪些命題中的狇是狆的必要條件？
（１）若直線犾與⊙犗有且僅有一個交點，則犾為⊙犗的一條切線；
（２）若狓是無理數，則狓２也是無理數．
３．如圖，直線犪與犫被直線犾所截，分別得到了∠１，∠２，∠３和∠４．請根
據這些信息，寫出幾個 “犪∥犫”的充分條件和必要條件．
１?４?２! "($%

下列 “若狆，則狇”形式的命題中，哪些命題與它們的逆命題都是真命題？
（１）若兩個三角形的兩角和其中一角所對的邊分別相等，則這兩個三角形全等；
（２）若兩個三角形全等，則這兩個三角形的周長相等；
（３）若一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０有兩個不相等的實數根，則犪犮＜０；
（４）若犃∪犅是空集，則犃與犅均是空集．
　　將命題 “若狆，則狇”
中的條件狆 和結論狇 互
換，就得到一個新的命題
“若狇，則狆”，稱這個命
題為原命題的逆命題．
不難發現，上述命題中的命題 （１）（４）和它們的逆命題
都是真命題；命題 （２）是真命題，但它的逆命題是假命題；
命題 （３）是假命題，但它的逆命題是真命題．
如果 “若狆，則狇”和它的逆命題 “若狇，則狆”均是
真命題，即既有狆?狇，又有狇?狆，就記作
狆?狇．
０２
第一章　集合與常用邏輯用語
此時，狆既是狇的充分條件，也是狇的必要條件，我們說狆是狇的充分必要條件，簡稱為
充要條件 （ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔａｎｄｎｅｃｅｓｓａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎ）．顯然，如果狆是狇的充要條件，那么狇也
是狆的充要條件．
概括地說，如果狆?狇，那么狆與狇互為充要條件．上述命題 （１）（４）中的狆與狇互
為充要條件．
例３　下列各題中，哪些狆是狇的充要條件？
（１）狆：四邊形是正方形，狇：四邊形的對角線互相垂直且平分；
（２）狆：兩個三角形相似，狇：兩個三角形三邊成比例；
（３）狆：狓狔＞０，狇：狓＞０，狔＞０；
（４）狆：狓＝１是一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０的一個根，狇：犪＋犫＋犮＝０（犪≠０）．
解： （１）因為對角線互相垂直且平分的四邊形不一定是正方形 （為什么），所以
狇?／狆，所以狆不是狇的充要條件．
（２）因為 “若狆，則狇”是相似三角形的性質定理，“若狇，則狆”是相似三角形的判
定定理，所以它們均為真命題，即狆?狇，所以狆是狇的充要條件．
（３）因為狓狔＞０時，狓＞０，狔＞０不一定成立 （為什么），所以狆?／狇，所以狆不是狇
的充要條件．
（４）因為 “若狆，則狇”與 “若狇，則狆”均為真命題，即狆?狇，所以狆是狇的充要
條件．

通過上面的學習，你能給出 “四邊形是平行四邊形”的充要條件嗎？
可以發現，“四邊形的兩組對角分別相等”“四邊形的兩組對邊分別相等”“四邊形的
一組對邊平行且相等”和 “四邊形的對角線互相平分”既是 “四邊形是平行四邊形”的充
分條件，又是必要條件，所以它們都是 “四邊形是平行四邊形”的充要條件．
另外，我們再看平行四邊形的定義：
兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，
它表明 “四邊形的兩組對邊分別平行”也是 “四邊形是平行四邊形”的一個充要條件．
上面的這些充要條件從不同角度刻畫了 “平行四邊形”這個概念，據此我們可以給出
平行四邊形的其他定義形式．例如：
兩組對邊分別相等的四邊形叫做平行四邊形；
對角線互相平分的四邊形叫做平行四邊形．
類似地，利用 “兩個三角形全等”的充要條件，可以給出 “三角形全等”的其他定義
形式，而且這些定義是相互等價的；同樣，利用 “兩個三角形相似”的充要條件，可以給
出 “相似三角形”其他定義形式，這些定義也是相互等價的；等等．
１２
第一章　集合與常用邏輯用語
例４　已知：⊙犗的半徑為狉，圓心犗到直線犾的距離為犱．求證：犱＝狉是直線犾與
⊙犗相切的充要條件．
分析：設狆：犱＝狉，狇：直線犾與⊙犗相切．要證狆是狇的充要條件，只需分別證明
充分性 （狆?狇）和必要性 （狇?狆）即可．
O
P
l
圖１．４?２
證明：設狆：犱＝狉，狇：直線犾與⊙犗相切．
（１）充分性 （狆?狇）：如圖１．４?２，作犗犘⊥犾于點犘，則
犗犘＝犱．若犱＝狉，則點犘 在⊙犗 上．在直線犾上任取一點犙
（異于點犘），連接犗犙．在Ｒｔ△犗犘犙 中，犗犙＞犗犘＝狉．所以，
除點犘外直線犾上的點都在⊙犗的外部，即直線犾與⊙犗僅有
一個公共點犘．所以直線犾與⊙犗相切．
（２）必要性 （狇?狆）：若直線犾與⊙犗相切，不妨設切點
為犘，則犗犘⊥犾．因此，犱＝犗犘＝狉．
由 （１）（２）可得，犱＝狉是直線犾與⊙犗相切的充要條件．

１．下列各題中，哪些狆是狇的充要條件？
A
B C
D
（第３題）
（１）狆：三角形為等腰三角形，狇：三角形存在兩角相等；
（２）狆：⊙犗內兩條弦相等，狇：⊙犗內兩條弦所對的圓周角相等；
（３）狆：犃∩犅為空集，狇：犃與犅之一為空集．
２．分別寫出 “兩個三角形全等”和 “兩個三角形相似”的幾個充要條件．
３．證明：如圖，梯形犃犅犆犇為等腰梯形的充要條件為犃犆＝犅犇．

習題１．４
１．舉例說明：
（１）狆是狇的充分不必要條件；
（２）狆是狇的必要不充分條件；
（３）狆是狇的充要條件．
２．在下列各題中，判斷狆是狇的什么條件 （請用 “充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要
條件”“既不充分又不必要條件”回答）：
（１）狆：三角形是等腰三角形，狇：三角形是等邊三角形；
（２）狆：一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０有實數根，狇：犫２－４犪犮≥０；
（３）狆：犪∈犘∩犙，狇：犪∈犘；
（４）狆：犪∈犘∪犙，狇：犪∈犘；
（５）狆：狓＞狔，狇：狓２＞狔２．
２２
第一章　集合與常用邏輯用語
３．判斷下列命題的真假：
（１）點犘到圓心犗的距離大于圓的半徑是點犘在⊙犗 外的充要條件；
（２）兩個三角形的面積相等是這兩個三角形全等的充分不必要條件；
（３）犃∪犅＝犃是犅?犃的必要不充分條件；
（４）狓或狔為有理數是狓狔為有理數的既不充分又不必要條件．

４．已知犃＝｛狓｜狓滿足條件狆｝，犅＝｛狓｜狓滿足條件狇｝，
（１）如果犃?犅，那么狆是狇的什么條件？
（２）如果犅?犃，那么狆是狇的什么條件？
（３）如果犃＝犅，那么狆是狇的什么條件？
５．設犪，犫，犮∈犚．證明：犪２＋犫２＋犮２＝犪犫＋犪犮＋犫犮的充要條件是犪＝犫＝犮．


６．設犪，犫，犮分別是△犃犅犆的三條邊，且犪≤犫≤犮．我們知道，如果△犃犅犆為直角三角形，那
么犪２＋犫２＝犮２ （勾股定理）．反過來，如果犪２＋犫２＝犮２，那么△犃犅犆為直角三角形 （勾股定理
的逆定理）．由此可知，△犃犅犆為直角三角形的充要條件是犪２＋犫２＝犮２．
請利用邊長犪，犫，犮分別給出△犃犅犆為銳角三角形和鈍角三角形的一個充要條件，并證明．
３２
第一章　集合與常用邏輯用語
１?５　全稱量詞與存在量詞
我們知道，命題是可以判斷真假的陳述句．在數學中，
有時會遇到一些含有變量的陳述句，由于不知道變量代表什
么數，無法判斷真假，因此它們不是命題．但是，如果在原
語句的基礎上，用一個短語對變量的取值范圍進行限定，就
可以使它們成為一個命題，我們把這樣的短語稱為量詞．本
節將學習全稱量詞和存在量詞，以及如何正確地對含有一個
量詞的命題進行否定．
１?５?１! )*+,&-.+,

下列語句是命題嗎？比較 （１）和 （３），（２）和 （４），它們之間有什么關系？
（１）狓＞３；
（２）２狓＋１是整數；
（３）對所有的狓∈犚，狓＞３；
（４）對任意一個狓∈犣，２狓＋１是整數．
語句 （１）（２）中含有變量狓，由于不知道變量狓代表什么數，無法判斷它們的真假，
所以它們不是命題．語句 （３）在 （１）的基礎上，用短語 “所有的”對變量狓進行限定；
語句 （４）在 （２）的基礎上，用短語 “任意一個”對變量狓進行限定，從而使 （３）（４）
成為可以判斷真假的語句，因此語句 （３）（４）是命題．
　　常見的全稱量詞還有
“一切” “每一個” “任
給”等．
短語 “所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量
詞 （ｕｎｉｖｅｒｓａｌｑｕａｎｔｉｆｉｅｒ），并用符號 “?”表示．含有全稱
量詞的命題，叫做全稱量詞命題 （ｕｎｉｖｅｒｓａｌｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ）．
例如，命題 “對任意的狀∈犣，２狀＋１是奇數”“所有的正方
形都是矩形”都是全稱量詞命題．
通常，將含有變量狓的語句用狆（狓），狇（狓），狉（狓），…
表示，變量狓的取值范圍用犕 表示．那么，全稱量詞命題
“對犕 中任意一個狓，狆（狓）成立”可用符號簡記為
?狓∈犕，狆（狓）．
４２
書
第一章　集合與常用邏輯用語
　　?如果一個大于１的
整數，除１和自身外無其
他正因數，則稱這個正整
數為素數．
例１　判斷下列全稱量詞命題的真假：
（１）所有的素數?都是奇數；
（２）?狓∈犚，｜狓｜＋１≥１；
（３）對任意一個無理數狓，狓２也是無理數．
分析：要判定全稱量詞命題 “?狓∈犕，狆（狓）”是真命
題，需要對集合犕 中每個元素狓，證明狆（狓）成立；如果在
　　?這個方法就是 “舉
反例”．
集合犕 中找到一個元素狓０，使狆（狓０）不成立，那么這個全
稱量詞命題就是假命題．?
解：（１）２是素數，但２不是奇數．所以，全稱量詞命
題 “所有的素數是奇數”是假命題．
（２）?狓∈犚，總有｜狓｜≥０，因而｜狓｜＋１≥１．所以，全
稱量詞命題 “?狓∈犚，｜狓｜＋１≥１”是真命題．
（３）槡２是無理數，但 （槡２）２＝２是有理數．所以，全稱
量詞命題 “對每一個無理數狓，狓２也是無理數”是假命題．

下列語句是命題嗎？比較 （１）和 （３），（２）和 （４），它們之間有什么關系？
（１）２狓＋１＝３；
（２）狓能被２和３整除；
（３）存在一個狓∈犚，使２狓＋１＝３；
（４）至少有一個狓∈犣，狓能被２和３整除．
　　常見的存在量詞還有
“有些” “有一個” “對某
些”“有的”等．
容易判斷，（１）（２）不是命題．語句 （３）在 （１）的基
礎上，用短語 “存在一個”對變量狓的取值進行限定；語句
（４）在 （２）的基礎上，用 “至少有一個”對變量狓的取值
進行限定，從而使 （３）（４）變成了可以判斷真假的陳述句，
因此 （３）（４）是命題．
短語 “存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在
量詞（ｅｘｉｓｔｅｎｔｉａｌｑｕａｎｔｉｆｉｅｒ），并用符號 “?”表示．含有存在
量詞的命題，叫做存在量詞命題（ｅｘｉｓｔｅｎｔｉａｌｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ）．
例如，命題 “有的平行四邊形是菱形”“有一個素數不
是奇數”都是存在量詞命題．
存在量詞命題 “存在犕 中的元素狓，狆（狓）成立”可用
符號簡記為
?狓∈犕，狆（狓）．
５２
第一章　集合與常用邏輯用語
例２　判斷下列存在量詞命題的真假：
（１）有一個實數狓，使狓２＋２狓＋３＝０；
（２）平面內存在兩條相交直線垂直于同一條直線；
（３）有些平行四邊形是菱形．
分析：要判定存在量詞命題 “?狓∈犕，狆（狓）”是真命題，只需在集合犕 中找到一
個元素狓，使狆（狓）成立即可；如果在集合犕 中，使狆（狓）成立的元素狓不存在，那么這
個存在量詞命題是假命題．
解：（１）由于Δ＝２２－４×３＝－８＜０，因此一元二次方程狓２＋２狓＋３＝０無實根．所
以，存在量詞命題 “有一個實數狓，使狓２＋２狓＋３＝０”是假命題．
（２）由于平面內垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，因此平面內不可能存在兩條
相交直線垂直于同一條直線．所以，存在量詞命題 “平面內存在兩條相交直線垂直于同一
條直線”是假命題．
（３）由于正方形既是平行四邊形又是菱形，所以存在量詞命題 “有些平行四邊形是菱
形”是真命題．

１．判斷下列全稱量詞命題的真假：
（１）每個四邊形的內角和都是３６０°；
（２）任何實數都有算術平方根；
（３）?狓∈｛狔｜狔是無理數｝，狓３是無理數．
２．判斷下列存在量詞命題的真假：
（１）存在一個四邊形，它的兩條對角線互相垂直；
（２）至少有一個整數狀，使得狀２＋狀為奇數；
（３）?狓∈｛狔｜狔是無理數｝，狓２是無理數．
１?５?２! )*+,/01-.+,/0234
　　一個命題和它的否定
不能同時為真命題，也不
能同時為假命題，只能一
真一假．
一般地，對一個命題進行否定，就可以得到一個新的命
題，這一新命題稱為原命題的否定．例如，“５６是７的倍數”
的否定為 “５６不是７的倍數”，“空集是集合犃＝｛１，２，３｝
的真子集”的否定為 “空集不是集合犃＝｛１，２，３｝的真子
集”．下面，我們學習利用存在量詞對全稱量詞命題進行否
定，以及利用全稱量詞對存在量詞命題進行否定．
６２
第一章　集合與常用邏輯用語

寫出下列命題的否定：
（１）所有的矩形都是平行四邊形；
（２）每一個素數都是奇數；
（３）?狓∈犚，狓＋｜狓｜≥０．
它們與原命題在形式上有什么變化？
上面三個命題都是全稱量詞命題，即具有 “?狓∈犕，狆（狓）”的形式．其中命題 （１）
的否定是 “并非所有的矩形都是平行四邊形”，也就是說，
存在一個矩形不是平行四邊形；
命題 （２）的否定是 “并非每一個素數都是奇數”，也就是說，
存在一個素數不是奇數；
命題 （３）的否定是 “并非所有的狓∈犚，狓＋｜狓｜≥０”，也就是說，
?狓∈犚，狓＋｜狓｜＜０．
從命題形式看，這三個全稱量詞命題的否定都變成了存在量詞命題．
一般來說，對含有一個量詞的全稱量詞命題進行否定，我們只需把 “所有的”“任意
一個”等全稱量詞，變成 “并非所有的”“并非任意一個”等短語即可．也就是說，假定
全稱量詞命題為 “?狓∈犕，狆（狓）”，則它的否定為 “并非?狓∈犕，狆（狓）”，也就是
“?狓∈犕，狆（狓）不成立”．通常，用符號 “狆（狓）”表示 “狆（狓）不成立”．
對于含有一個量詞的全稱量詞命題的否定，有下面的結論：
全稱量詞命題：
?狓∈犕，狆（狓），
它的否定：
?狓∈犕， 狆（狓）．
也就是說，全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．
例３　寫出下列全稱量詞命題的否定：
（１）所有能被３整除的整數都是奇數；
（２）每一個四邊形的四個頂點在同一個圓上；
（３）對任意狓∈犣，狓２的個位數字不等于３．
解：（１）該命題的否定：存在一個能被３整除的整數不是奇數．
（２）該命題的否定：存在一個四邊形，它的四個頂點不在同一個圓上．
（３）該命題的否定：?狓∈犣，狓２的個位數字等于３．
７２
第一章　集合與常用邏輯用語

寫出下列命題的否定：
（１）存在一個實數的絕對值是正數；
（２）有些平行四邊形是菱形；
（３）?狓∈犚，狓２－２狓＋３＝０．
它們與原命題在形式上有什么變化？
這三個命題都是存在量詞命題，即具有 “?狓∈犕，狆（狓）”的形式．其中命題 （１）
的否定是 “不存在一個實數，它的絕對值是正數”，也就是說，
所有實數的絕對值都不是正數；
命題 （２）的否定是 “沒有一個平行四邊形是菱形”，也就是說，
每一個平行四邊形都不是菱形；
命題 （３）的否定是 “不存在狓∈犚，狓２－２狓＋３＝０”，也就是說，
?狓∈犚，狓２－２狓＋３≠０．
從命題形式看，這三個存在量詞命題的否定都變成了全稱量詞命題．
一般來說，對含有一個量詞的存在量詞命題進行否定，我們只需把 “存在一個”“至
少有一個”“有些”等存在量詞，變成 “不存在一個”“沒有一個”等短語即可．也就是
說，假定存在量詞命題為 “?狓∈犕，狆（狓）”，則它的否定為 “不存在狓∈犕，使狆（狓）成
立”，也就是 “?狓∈犕，狆（狓）不成立”．
對含有一個量詞的存在量詞命題的否定，有下面的結論：
存在量詞命題：
?狓∈犕，狆（狓），
它的否定：
?狓∈犕， 狆（狓）．
也就是說，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．
例４　寫出下列存在量詞命題的否定：
（１）?狓∈犚，狓＋２≤０；
（２）有的三角形是等邊三角形；
（３）有一個偶數是素數．
解：（１）該命題的否定：?狓∈犚，狓＋２＞０．
（２）該命題的否定：所有的三角形都不是等邊三角形．
（３）該命題的否定：任意一個偶數都不是素數．
８２
第一章　集合與常用邏輯用語
例５　寫出下列命題的否定，并判斷真假：
（１）任意兩個等邊三角形都相似；
（２）?狓∈犚，狓２－狓＋１＝０．
解：（１）該命題的否定：存在兩個等邊三角形，它們不相似．因為任意兩個等邊三角
形的三邊成比例，所以任意兩個等邊三角形都相似．因此這是一個假命題．
（２）該命題的否定：?狓∈犚，狓２－狓＋１≠０．因為對任意狓∈犚，
狓２－狓＋１＝（狓－１
２
）２＋３
４
＞０，
所以這是一個真命題．

１．寫出下列命題的否定：
（１）?狀∈犣，狀∈犙；
（２）任意奇數的平方還是奇數；
（３）每個平行四邊形都是中心對稱圖形．
２．寫出下列命題的否定：
（１）有些三角形是直角三角形；
（２）有些梯形是等腰梯形；
（３）存在一個實數，它的絕對值不是正數．

習題１．５
１．判斷下列全稱量詞命題的真假：
（１）每一個末位是０的整數都是５的倍數；
（２）線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等；
（３）對任意負數狓，狓２的平方是正數；
（４）梯形的對角線相等．
２．判斷下列存在量詞命題的真假：
（１）有些實數是無限不循環小數；
（２）存在一個三角形不是等腰三角形；
（３）有些菱形是正方形；
（４）至少有一個整數狀，狀２＋１是４的倍數．
３．寫出下列命題的否定：
（１）?狓∈犣，｜狓｜∈犖；
（２）所有可以被５整除的整數，末位數字都是０；
（３）?狓∈犚，狓＋１≥０；
９２
第一章　集合與常用邏輯用語
（４）存在一個四邊形，它的對角線互相垂直．

４．判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定：
（１）平面直角坐標系下每條直線都與狓軸相交；
（２）每個二次函數的圖象都是軸對稱圖形；
（３）存在一個三角形，它的內角和小于１８０°；
（４）存在一個四邊形，它的四個頂點不在同一個圓上．
５．將下列命題改寫成含有一個量詞的全稱量詞命題或存在量詞命題的形式，并寫出它們的否定：
（１）平行四邊形的對角線互相平分；
（２）三個連續整數的乘積是６的倍數；
（３）三角形不都是中心對稱圖形；
（４）一元二次方程不總有實數根．


６．在本節，我們介紹了命題的否定的概念，知道一個命題的否定仍是一個命題，它和原先的命題
只能一真一假，不能同真或同假．
在數學中，有很多 “若狆，則狇”形式的命題，有的是真命題，有的是假命題．例如：
① 若狓＞１，則２狓＋１＞５；（假命題）
② 若四邊形為等腰梯形，則這個四邊形的對角線相等．（真命題）
這里，命題①②都是省略了量詞的全稱量詞命題．
（１）有人認為，①的否定是 “若狓＞１，則２狓＋１≤５”，②的否定是 “若四邊形為等腰梯形，
則這個四邊形的對角線不相等”．你認為對嗎？如果不對，請你正確地寫出命題①②的
否定．
（２）請你列舉幾個 “若狆，則狇”形式的省略了量詞的全稱量詞命題，分別寫出它們的否定，
并判斷真假．
０３
第一章　集合與常用邏輯用語
 
幾何命題與充分條件、必要條件
通過前面的學習我們發現，對于一種幾何圖形或幾何圖形之間的關系，可以
通過充要條件給出它的等價定義，通過充分條件給出它的判定定理，通過必要條
件給出它的性質定理．利用充分條件、必要條件梳理已學的幾何命題，可以促進
我們更深入地理解幾何圖形及其關系．下面以相似三角形為例進行說明．
為了方便，我們記狇：兩個三角形相似．
１．相似三角形的定義
三角形的相似是三角形之間的一種關系，它的定義是：三個角分別相等、三
條邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形．
記狆：三個角分別相等且三條邊成比例．因為狆?狇，狇?狆，所以狆是狇的
充要條件．
三條邊、三個內角是三角形的六個要素，相似三角形的定義從兩個三角形各
要素間的相互關系給出了兩個三角形相似的充要條件．
２．相似三角形的判定
相似三角形的判定指出了 “滿足什么條件的兩個三角形相似”．初中學過如下
判定定理：
（１）三邊成比例的兩個三角形相似；
（２）兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；
（３）兩角分別相等的兩個三角形相似．
記狆１：三邊成比例，狆２：兩邊成比例且夾角相等，狆３：兩角分別相等，我們
有狆１?狇，狆２?狇，狆３?狇，即狆１，狆２，狆３分別給出了狇的一個充分條件．
上述判定定理分別從兩個三角形的邊、邊角、角等要素之間的相互關系給出
了相似三角形的充分條件．事實上，我們還可以給出相似三角形的其他充分條件，
例如 “相似于同一個三角形的兩個三角形相似”（這表明，“相似”具有傳遞性）．
利用判定定理我們可以判定兩個三角形是相似三角形．
想一想：（１）你能給出相似三角形的其他充分條件嗎？（２）利用判定定理可
以判定兩個三角形不是相似三角形嗎？為什么？
３．相似三角形的性質
相似三角形的性質給出了兩個三角形相似所必須滿足的條件．換言之，如果
不滿足這個條件，那么這兩個三角形就一定不相似．在初中，我們學過的相似三
角形性質定理有：
（１）相似三角形對應線段的比都相等 （等于相似比），特別地，相似三角形的對
應邊之比、對應高之比、對應中線之比、對應角平分線之比都相等 （等于相似比）；
１３
第一章　集合與常用邏輯用語
（２）相似三角形的對應角相等；
（３）相似三角形周長的比等于對應邊之比 （相似比）；
（４）相似三角形面積的比等于對應邊之比 （相似比的平方）．
記狉１：對應線段的比等于相似比，狉２：對應角相等，狉３：周長的比等于對應
邊之比，狉４：面積的比等于對應邊之比的平方，我們有狇?狉１，狇?狉２，狇?狉３，
狇?狉４，即狉１，狉２，狉３，狉４分別給出了狇的一個必要條件．例如，如果狉１不成立，
即對應線段的比不全相等，那么這兩個三角形就一定不相似．因此，利用性質定
理可以判定兩個三角形不是相似三角形．
想一想：利用性質定理可以判定兩個三角形是相似三角形嗎？為什么？
以上性質定理分別從三角形的要素、三角形中的重要線段及重要幾何量等方
面給出了相似三角形的必要條件．你能給出相似三角形的其他必要條件嗎？
分析上述命題，可以發現，有些條件是狇的充要條件，例如狆１（狉１），狆２，
狆３（狉２），據此可以構造出相似三角形的等價定義：
（１）三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形；
（２）兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形叫做相似三角形；
（３）兩角分別相等的兩個三角形叫做相似三角形．
由上述任意一個定義出發，我們也可以推出相似三角形的其他性質，你能試
一試嗎？
請你仿照上述思路，對等腰三角形、直角三角形、平行四邊形 （矩形、菱
形、正方形）等圖形的知識進行梳理．
２３
第一章　集合與常用邏輯用語

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=6 >?&@A
本章我們學習了集合的有關概念、關系和運算，還學習了充分條件、必要
條件、充要條件，全稱量詞、存在量詞、全稱量詞命題與存在量詞命題的否定．
這些知識在后續學習中會得到大量應用，是進一步學習的重要基礎．
為了有效使用集合語言表述數學的研究對象，首先應掌握集合語言的表述
方式．為此，我們先學習了集合的含義，明確了集合中元素的確定性、無序性
和互異性等特征；再學習了列舉法、描述法等集合的表示法，其中描述法利用
了研究對象的某種特征，需要先理解研究對象的性質；類比數與數的關系，我
們研究了集合之間的包含關系與相等關系，這些關系是由元素與集合的關系決
定的，其中集合的相等關系很重要；類比數的運算，我們學習了集合的交、并、
補運算，通過這些運算可以得到與原有集合緊密關聯的集合，由此可以表示研
究對象的某些關系，從中我們可以體會到，數學中的運算并不局限于數的運算，
這對提升我們的數學運算素養是很有意義的．在學習中，要注意 “集合的含義
與表示—集合的關系—集合的運算”這個研究路徑．
常用邏輯用語是數學語言的重要組成部分，是邏輯思維的基本語言，也是
數學表達和交流的工具．結合初中學過的平面幾何和代數知識，我們學習了常
用邏輯用語，發現初中學過的數學定義、定理、命題都可以用常用邏輯用語表
達，利用常用邏輯用語表述數學內容、進行推理論證，可以大大提升表述的邏
輯性和準確性，從而提升我們的邏輯推理素養．
本章的學習不僅要為后續學習做好知識技能的準備，更重要的是要為整個
高中數學學習做好心理準備，初步形成適合高中數學學習的方式方法，使我們
能更好地適應高中數學學習．
３３
第一章　集合與常用邏輯用語
請你帶著下面的問題，復習一下全章的內容吧！
１．集合中的元素具有確定性、互異性和無序性，你能結合例子說明這些特性嗎？
２．你能用集合表示平面內線段犃犅的垂直平分線嗎？結合集合的描述法談
談你的體會．
３．用聯系的觀點看問題，可以使我們更深刻地理解數學知識．本章中，我
們類比數與數的關系和運算研究了集合與集合的關系和運算．你認為這樣的類
比對發現和提出集合的問題有什么意義？你能類比數的減法運算給出集合的減
法運算嗎？
４．對給定的狆和狇，如何判定狆是狇的充分不必要條件、必要不充分條件、
充要條件、既不充分也不必要條件？你能舉例說明嗎？
５．如何否定含有一個量詞的全稱量詞命題和存在量詞命題？你能舉例說明嗎？

復習參考題１
１．用列舉法表示下列集合：
（１）犃＝｛狓｜狓２＝９｝；　　　　　　 （２）犅＝｛狓∈犖｜１≤狓≤２｝；
（３）犆＝｛狓｜狓２－３狓＋２＝０｝．
２．設犘表示平面內的動點，屬于下列集合的點組成什么圖形？
（１）｛犘｜犘犃＝犘犅｝（犃，犅是兩個不同定點）；
（２）｛犘｜犘犗＝３ｃｍ｝（犗是定點）．
３．設平面內有△犃犅犆，且犘表示這個平面內的動點，指出屬于集合｛犘｜犘犃＝犘犅｝∩｛犘｜犘犃＝
犘犆｝的點是什么．
４．請用 “充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”填空：
（１）三角形兩邊上的高相等是這個三角形為等腰三角形的　　　　　　　 ；
（２）狓∈犃是狓∈犃∪犅的　　　　　　　；
（３）狓∈犃是狓∈犃∩犅的　　　　　　　 ；
（４）狓，狔為無理數是狓＋狔為無理數的　　　　　　　 ．
５．已知犪，犫，犮是實數，判斷下列命題的真假：
（１）“犪＞犫”是 “犪２＞犫２”的充分條件； （　　）
（２）“犪＞犫”是 “犪２＞犫２”的必要條件； （　　）
（３）“犪＞犫”是 “犪犮２＞犫犮２”的充分條件； （　　）
（４）“犪＞犫”是 “犪犮２＞犫犮２”的必要條件． （　　）
４３
第一章　集合與常用邏輯用語
６．用符號 “?”與 “?”表示下列含有量詞的命題，并判斷真假：
（１）任意實數的平方大于或等于０；
（２）對任意實數犪，二次函數狔＝狓２＋犪的圖象關于狔軸對稱；
（３）存在整數狓，狔，使得２狓＋４狔＝３；
（４）存在一個無理數，它的立方是有理數．
７．寫出下列命題的否定，并判斷它們的真假：
（１）?犪∈犚，一元二次方程狓２－犪狓－１＝０有實根；
（２）每個正方形都是平行四邊形；
（３）?犿∈犖， 犿２槡 ＋１∈犖；
（４）存在一個四邊形犃犅犆犇，其內角和不等于３６０°．

８．已知集合犃＝｛（狓，狔）｜２狓－狔＝０｝，犅＝｛（狓，狔）｜３狓＋狔＝０｝，犆＝｛（狓，狔）｜２狓－狔＝３｝，求
犃∩犅，犃∩犆，并解釋它們的幾何意義．
９．已知集合犃＝｛１，３，犪２｝，犅＝｛１，犪＋２｝，是否存在實數犪，使得犃∪犅＝犃？若存在，試求
出實數犪的值；若不存在，請說明理由．
１０．把下列定理表示的命題寫成含有量詞的命題：
（１）勾股定理；
（２）三角形內角和定理．


１１．學校舉辦運動會時，高一 （１）班共有２８名同學參加比賽，有１５人參加游泳比賽，有８人參
加田徑比賽，有１４人參加球類比賽，同時參加游泳比賽和田徑比賽的有３人，同時參加游泳
比賽和球類比賽的有３人，沒有人同時參加三項比賽．同時參加田徑和球類比賽的有多少人？
只參加游泳一項比賽的有多少人？
A
B CD
F
E
O
（第１２（２）題）
１２．根據下述事實，分別寫出含有量詞的全稱量詞命題或存在量詞命題：
（１）１＝１２，
１＋３＝２２，
１＋３＋５＝３２，
１＋３＋５＋７＝４２，
１＋３＋５＋７＋９＝５２，
……
（２）如圖，在△犃犅犆中，犃犇，犅犈與犆犉分別為犅犆，犃犆與犃犅邊上的高，則犃犇，犅犈與
犆犉所在的直線交于一點犗．
５３
第二章
一元二次函數、方程和不等式
相等關系和不等關系是數學中最基本的數量關系．我們可以
利用相等關系、不等關系構建方程、不等式，再通過方程、不等
式解決數學內外的各種問題．在初中，我們已學過一次函數與方
程、不等式，還學過二次函數與一元二次方程，知道方程 （組）、
不等式與函數之間具有內在聯系，可以用函數的觀點把它們統一
起來，這是數學知識的聯系性與整體性的體現．
本章將在初中學習的基礎上，通過具體實例理解不等式，認
識不等關系和不等式的意義與價值；在梳理等式性質的基礎上，
通過類比，研究不等式的性質，并利用這些性質研究一類重要的
不等式———基本不等式；通過從實際情境中抽象一元二次不等式
的過程，了解一元二次不等式的現實意義，理解一元二次不等式
的概念，并像利用一次函數、方程和不等式的關系解決一元一次
不等式的問題那樣，利用二次函數、方程和不等式的關系解決一
元二次不等式的有關問題，從而進一步體會用函數觀點統一方程
和不等式的數學思想方法．
第二章　一元二次函數、方程和不等式
２?１　等式性質與不等式性質
在現實世界和日常生活中，大量存在著相等關系和不等
關系，例如多與少、大與小、長與短、高與矮、遠與近、快
與慢、漲與跌、輕與重、不超過或不少于等．類似于這樣的
問題，反映在數量關系上，就是相等與不等．相等用等式表
示，不等用不等式表示．
　　?你能寫出其他的可
能情況嗎？
問題１　你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不
等關系嗎？
（１）某路段限速４０ｋｍ／ｈ；
（２）某品牌酸奶的質量檢查規定，酸奶中脂肪的含量犳
應不少于２．５％，蛋白質的含量狆應不少于２．３％；
（３）三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第
三邊；
（４）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線
段最短．
對于 （１），設在該路段行駛的汽車的速度為狏ｋｍ／ｈ，“限
速４０ｋｍ／ｈ”就是狏的大小不能超過４０，于是０＜狏≤４０．
對于 （２），由題意，得
犳≥２．５％，
狆≥２．３％．
烅
烄
烆
對于 （３），設△犃犅犆的三條邊為犪，犫，犮，則犪＋犫＞
犮，犪－犫＜犮．?
BA DE
C
圖２．１?１
對于 （４），如圖２．１?１，設犆 是線段犃犅 外的任意一
點，犆犇垂直于犃犅，垂足為犇，犈 是線段犃犅 上不同于犇
的任意一點，則犆犇＜犆犈．
以上我們根據實際問題所蘊含的不等關系抽象出了不等式．
接著，就可以用不等式研究相應的問題了．
問題２　某種雜志原以每本２．５元的價格銷售，可以售出８萬本．據市場調查，雜志
的單價每提高０．１元，銷售量就可能減少２０００本．如何定價才能使提價后的銷售總收入
不低于２０萬元？
７３
第二章　一元二次函數、方程和不等式
設提價后每本雜志的定價為狓元，則銷售總收入為（８－狓－２．５
０．１
×０．２）狓萬元．于是，
不等關系 “銷售總收入不低于２０萬元”可以用不等式表示為
（８－狓－２．５
０．１
×０．２）狓≥２０． ①
求出不等式①的解集，就能知道滿足條件的雜志的定價范圍．
如何解不等式①呢？與解方程要用等式的性質一樣，解不等式要用不等式的性質．為
此，我們需要先研究不等式的性質．
實際上，在初中我們已經通過具體實例歸納出了一些不等式的性質．那么，這些性質
為什么是正確的？還有其他不等式的性質嗎？回答這些問題要用到關于兩個實數大小關系
的基本事實．
由于數軸上的點與實數一一對應，所以可以利用數軸上點的位置關系來規定實數的大
小關系：如圖２．１?２，設犪，犫是兩個實數，它們在數軸上所對應的點分別是犃，犅．那
么，當點犃在點犅的左邊時，犪＜犫；當點犃在點犅的右邊時，犪＞犫．
A B
a b
a b
x
AB
ab
a b
x



圖２．１?２
關于實數犪，犫大小的比較，有以下基本事實：
如果犪－犫是正數，那么犪＞犫；如果犪－犫等于０，那么犪＝犫；如果犪－犫是負數，
那么犪＜犫．反過來也對．
這個基本事實可以表示為
犪＞犫?犪－犫＞０；
犪＝犫?犪－犫＝０；
犪＜犫?犪－犫＜０．
從上述基本事實可知，要比較兩個實數的大小，可以轉化為比較它們的差與０的
大小．
　　０是正數與負數的分
界點，它為實數比較大小
提供了 “標桿”．
例１　比較（狓＋２）（狓＋３）和（狓＋１）（狓＋４）的大小．
分析：通過考察這兩個多項式的差與０的大小關系，可
以得出它們的大小關系．
解：因為
　（狓＋２）（狓＋３）－（狓＋１）（狓＋４）
＝（狓２＋５狓＋６）－（狓２＋５狓＋４）
＝２＞０，
所以
（狓＋２）（狓＋３）＞（狓＋１）（狓＋４）．
８３
第二章　一元二次函數、方程和不等式
這里，我們借助多項式減法運算，得出了一個明顯大于０的數 （式）．這是解決不等
式問題的常用方法．

圖２．１?３
圖２．１?３是在北京召開的第２４屆國際數學家大會的會標，會
標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看
上去像一個風車，代表中國人民熱情好客．你能在這個圖中找出一
些相等關系和不等關系嗎？
A
B
C
D
E
FG
H
a
b
a2+b2
圖２．１?４
將圖２．１?３中的 “風車”抽象成圖２．１?４．在正方形犃犅犆犇 中
有４個全等的直角三角形．設直角三角形的兩條直角邊的長為犪，
犫 （犪≠犫），那么正方形的邊長為 犪２＋犫槡 ２．這樣，４個直角三角形
的面積和為２犪犫，正方形的面積為犪２＋犫２．由于正方形犃犅犆犇 的面
積大于４個直角三角形的面積和，我們就得到了一個不等式
犪２＋犫２＞２犪犫．
當直角三角形變為等腰直角三角形，即犪＝犫時，正方形
犈犉犌犎 縮為一個點，這時有
犪２＋犫２＝２犪犫．
于是就有犪２＋犫２≥２犪犫．
一般地，?犪，犫∈犚，有
犪２＋犫２≥２犪犫，
當且僅當犪＝犫時，等號成立．
事實上，利用完全平方差公式，得
犪２＋犫２－２犪犫＝（犪－犫）２．
因為?犪，犫∈犚，（犪－犫）２≥０，當且僅當犪＝犫時，等號成立，
所以犪２＋犫２－２犪犫≥０．因此，由兩個實數大小關系的基本事實，得
犪２＋犫２≥２犪犫，當且僅當犪＝犫時，等號成立．

5 m 5 m
5
m
5
m


（第１（３）題）
１．用不等式或不等式組表示下面的不等關系：
（１）某高速公路規定通過車輛的車貨總高度犺從地面算起不能超過４ｍ；
（２）犪與犫的和是非負實數；
（３）如圖，在一個面積小于３５０ｍ２的矩形地基的中心位置上建造一
個倉庫，倉庫的四周建成綠地，倉庫的長犔大于寬犠 的４倍．
９３
第二章　一元二次函數、方程和不等式
２．比較（狓＋３）（狓＋７）和（狓＋４）（狓＋６）的大小．
３．已知犪＞犫，證明犪＞
犪＋犫
２
＞犫．
關于兩個實數大小關系的基本事實為研究不等式的性質奠定了基礎．那么，不等式到
底有哪些性質呢？
因為不等式與等式一樣，都是對大小關系的刻畫，所以我們可以從等式的性質及其研
究方法中獲得啟發．

請你先梳理等式的基本性質，再觀察它們的共性．你能歸納一下發現等式基本性
質的方法嗎？
等式有下面的基本性質：
性質１　如果犪＝犫，那么犫＝犪；
性質２　如果犪＝犫，犫＝犮，那么犪＝犮；
性質３　如果犪＝犫，那么犪±犮＝犫±犮；
性質４　如果犪＝犫，那么犪犮＝犫犮；
　　運算中的不變性就是
性質．
性質５　如果犪＝犫，犮≠０，那么
犪
犮
＝
犫
犮
．
可以發現，性質１，２反映了相等關系自身的特性，性
質３，４，５是從運算的角度提出的，反映了等式在運算中保
持的不變性．

類比等式的基本性質，你能猜想不等式的基本性質，并加以證明嗎？
類比等式的性質１，２，可以猜想不等式有如下性質：
性質１　如果犪＞犫，那么犫＜犪；如果犫＜犪，那么犪＞犫．即
犪＞犫?犫＜犪．
性質２　如果犪＞犫，犫＞犮，那么犪＞犮．即
犪＞犫，犫＞犮?犪＞犮．
我們來證明性質２：
０４
第二章　一元二次函數、方程和不等式
由兩個實數大小關系的基本事實知
犪＞犫?犪－犫＞０
犫＞犮?犫－犮＞０
烍
烌
烎
?犪－犫（ ）＋犫－犮（ ）＞０
?犪－犮＞０?犪＞犮．
　　從不同角度表述不等
式的性質，可以加深理解．
對其他不等式的性質，你
能用文字語言表述嗎？
類比等式的性質３～５，可以猜想不等式還有如下性質：
性質３　如果犪＞犫，那么犪＋犮＞犫＋犮．
這就是說，不等式的兩邊都加上同一個實數，所得不等
式與原不等式同向．
如圖２．１?５，把數軸上的兩個點犃 與犅 同時沿相同方
向移動相等的距離，得到另兩個點犃１與犅１，犃 與犅和犃１
與犅１的左右位置關系不會改變．用不等式的語言表示，就
是上述性質３．
A BA1 B1
a a+c b b+c
A BA1 B1
aa+c bb+c
圖２．１?５
由性質３可得，
犪＋犫＞犮?犪＋犫＋（－犫）＞犮＋（－犫）
?犪＞犮－犫．
這表明，不等式中任何一項可以改變符號后移到不等號的另一邊．
性質４　如果犪＞犫，犮＞０，那么犪犮＞

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