資源簡介

1


高考立體幾何知識點(diǎn)總結(jié)
一 、空間幾何體
（一） 空間幾何體的類型
1 多面體：由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體。圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面，相鄰兩個(gè)
面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)。
2 旋轉(zhuǎn)體：把一個(gè)平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成了封閉幾何體。其中，這條直線
稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。

（二） 幾種空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
1 、棱柱的結(jié)構(gòu)特征
1.1 棱柱的定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四 邊形，并且
每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成 的幾何體叫
做棱柱。
1.2 棱柱的分類


棱柱 四 棱柱
平行六面體 直平行六面體 長方體
正四棱柱 正方體
性質(zhì)：
Ⅰ、側(cè)面都是平行四邊形，且各側(cè)棱互相平行且相等；
Ⅱ、兩底面是全等多邊形且互相平行；
Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；
1.3 棱柱的面積和體積公式
chS ?直棱柱側(cè) （ c 是底周長， h 是
高）
S 直棱柱表面 = c·h+ 2S 底
V 棱柱 = S 底 ·h
2 、棱錐的結(jié)構(gòu)特征
2.1 棱錐的定義
（1） 棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成
的幾何體叫做棱錐。
（2）正棱錐：如果有一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的投影是底面的中心，
這樣的棱錐叫做正棱錐。
2.2 正棱錐的結(jié)構(gòu)特征
Ⅰ、 平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到
底面的距離之比；它們面積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的平方比；截得的棱錐的
底面是四邊形
底面是平行四邊形 側(cè)棱垂直于底面 底面是矩形 底面是正方形
棱長都相等
圖 1-1 棱柱
2
體積與原棱錐的體積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的立方比；
Ⅱ、 正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形；
正棱錐側(cè)面積：
1
'
2
S ch?正棱椎 （ c為底周長， 'h 為斜高）
體積：
1
3
V Sh?棱椎 （ S 為底面積， h為高）

正四面體：
對于棱長為 a 正四面體的問題可將它補(bǔ)成一個(gè)邊長為 a
2
2
的正方體問題。
對棱間的距離為 a
2
2
（正方體的邊 長）
正四面體的高 a
3
6
（
正方體體對角線l
3
2
? ）
正 四 面 體 的 體 積 為 3
12
2
a
（
正方體小三棱錐正方體 VVV
3
1
4 ?? ）
正四面體的中心到底面與頂點(diǎn)的距離之比為 3:1 （ 正方體體對角線正方體體對角線： ll
2
1
6
1
? ）
3 、棱臺的結(jié)構(gòu)特征
3.1 棱臺的定義：用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，我們把截面和底面之間的部分稱為棱
臺。
3.2 正棱臺的結(jié)構(gòu)特征
（1）各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；
（2）正棱臺的兩個(gè)底面和平行于底面的截面都是正多邊形；
（3）正棱臺的對角面也是等腰梯形；
（4）各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn)。
4 、圓柱的結(jié)構(gòu)特征
4.1 圓柱的定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的
幾何體叫圓柱。
4.2 圓柱的性質(zhì)
（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圓；
（2）過軸的截面(軸截面)是全等的矩形。
4.3 圓柱的側(cè)面展開圖：圓柱的側(cè)面展開圖是以底面周長和母線長為鄰邊的矩形。
4.4 圓柱的面積和體積公式
S 圓柱側(cè)面 = 2π·r·h (r 為底面半徑，h 為圓柱的高)
S 圓柱全 = 2π r h + 2π r
2
V 圓柱 = S 底 h = πr
2h
5、圓錐的結(jié)構(gòu)特征
A B
C D
P
O H
3
5.1 圓錐的定義：以直角三角形的一直角邊所在的 直線為
旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何 體叫做
圓錐。
5.2 圓錐的結(jié)構(gòu)特征
（1） 平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面 直徑之
比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之 比；
（2）軸截面是等腰三角形；
（3）母線的平方等于底面半徑與高的平方和：
l2 = r2 + h2
5.3 圓錐的側(cè)面展開圖：圓錐的側(cè)面展開圖是以頂點(diǎn)為圓心，以母線長為半徑的扇形。
6、圓臺的結(jié)構(gòu)特征
6.1 圓臺的定義：用一個(gè)平行于底面的平面去截圓錐，我們把截面和底面之間的部分稱為
圓臺。
6.2 圓臺的結(jié)構(gòu)特征
⑴ 圓臺的上下底面和平行于底面的截面都是圓；
⑵ 圓臺的截面是等腰梯形；
⑶ 圓臺經(jīng)常補(bǔ)成圓錐，然后利用相似三角形進(jìn)行研究。
6.3 圓臺的面積和體積公式
S 圓臺側(cè) = π·(R + r)·l (r、R 為上下底面半徑)
S 圓臺全 = π·r2 + π·R2 + π·(R + r)·l
V 圓臺 = 1/3 (π r
2 + π R2 + π r R) h (h 為圓臺的高)
7 球的結(jié)構(gòu)特征
7.1 球的定義：以半圓的直徑所在的直線為旋
轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體。
空間中，與定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做
球面，球面所圍成的幾何體稱為球體。
7-2 球的結(jié)構(gòu)特征
⑴ 球心與截面圓心的連線垂直于截面；
⑵ 截面半徑等于球半徑與截面和球心的距離
的平方差：r2 = R2 – d2
★7-3 球與其他多面體的組合體的問題
球體與其他多面體組合，包括內(nèi)接和外切兩種類型，解決此類問題的基本思路是：
⑴ 根據(jù)題意，確定是內(nèi)接還是外切，畫出立體圖形；
⑵ 找出多面體與球體連接的地方，找出對球的合適的切割面，然后做出剖面圖；
⑶ 將立體問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中圓與多邊形的問題；
⑷ 注意圓與正方體的兩個(gè)關(guān)系：球內(nèi)接正方體，球直徑等于正方體對角線；
球外切正方體，球直徑等于正方體的邊長。
7-4 球的面積和體積公式
S 球面 = 4 π R
2 (R 為球半徑)
圖 1-5 圓錐
4
V 球 = 4/3 π R3

（三）空間幾何體的表面積與體積
空間幾何體的表面積
棱柱、棱錐的表面積：各個(gè)面面積之和
圓柱的表面積 ： 22 2S rl r? ?? ?
圓錐的表面積：
2S rl r? ?? ?
圓臺的表面積：
2 2S rl r Rl R? ? ? ?? ? ? ?
球的表面積：
24S R??
扇形的面積公式
2
21 1=
360 2 2
n R
S lr r
?
?? ?扇形 （其中 l 表示弧長， r 表示半徑，? 表示弧度）
空間幾何體的體積
柱體的體積 ：V S h? ?底
錐體的體積 ：
1
3
V S h? ?底
臺體的體積 ：
1
)
3
V S S S S h? ? ? ?下 下上 上（
球體的體積： 3
4
3
V R??
（四）空間幾何體的三視圖和直觀圖
正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖。
側(cè)視圖：光線從幾何體的左邊向右邊正投影，得到的投影圖。
俯視圖：光線從幾何體的上面向右邊正投影，得到的投影圖。
★畫三視圖的原則：
正俯長相等、正側(cè)高相同、俯側(cè)寬一樣
注：球的三視圖都是圓；長方體的三視圖都是矩形
直觀圖：斜二測畫法
斜二測畫法的步驟：
（1）平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；
（2）平行于 y 軸的線長度變半，平行于 x，z 軸的線長度不變；
（3）畫法要寫好
用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側(cè)棱（4）成圖
二 、點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系
（一）、立體幾何網(wǎng)絡(luò)圖：
5

1、線線平行的判斷：
（1）、平行于同一直線的兩直線平行。
（3）、如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直
線和交線平行。
（6）、如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。
（12）、垂直于同一平面的兩直線平行。
2、線線垂直的判斷：
（7）、在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜
線垂直。
（8）、在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影
垂直。
（10）、若一直線垂直于一平面，這條直線垂直于平面內(nèi)所有直線。
補(bǔ)充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條。
3、線面平行的判斷：
（2）、如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。
（5）、兩 個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直
線必平行于 另一個(gè)平面。
判 定 定 理：


性 質(zhì) 定 理：


★判斷或 證明線面平行的方法
⑴ 利用定義(反證法)： l ? ??I ，則 l∥α (用于判斷)；
⑵ 利用判定定理：線線平行 線面平行 (用于證明)；
公理 4 線線平行 線面平行 面面平行
線線垂直 線面垂直 面面垂直
三垂線逆定理
三垂線定理
⑴ ⑵ ⑷
⑶ ⑸
⑹
⑾
⑿
⒀
⒁
⑼
⑽
⒂
⒃
⑺
⑻
6
⑶ 利用平面的平行：面面平行 線面平行 (用于證明)；
⑷ 利用垂直于同一條直線的直線和平面平行(用于判斷)。
2 線面斜交和線面角： l ∩ α = A
2.1 直線與平面所成的角(簡稱線面角)：若直線與平面斜
交，則平面的斜線與該斜線在平面內(nèi)射影的夾角 θ。
2.2 線面角的范圍：θ∈[0°，90°]
注意：當(dāng)直線在平面內(nèi)或者直線平行于平面時(shí)，θ=0°；
當(dāng)直線垂直于平面時(shí)，θ=90°
4、線面垂直的判斷：
⑼如果一直線和平面內(nèi)的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個(gè)平面。
⑾如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面。
⒁一直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面。
⒃如果兩個(gè)平面垂直，那么在—個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另—個(gè)平面。
判定定理：



性質(zhì)定理： （1）若直線垂直于平面，則它垂直
于平面內(nèi)任 意一條直線。
即：
（2）垂直于同一平面的兩直線平行。
即：
★判斷或證明線面垂直的方法
⑴ 利用定義，用反證法證明。
⑵ 利用判定定理證明。
⑶ 一條直線垂直于平面而平行于另一條直線，則另一條直線也垂直與平面。
⑷ 一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則也垂直于另一個(gè)。
⑸ 如果兩平面垂直，在一平面內(nèi)有一直線垂直于兩平面交線，則該直線垂直于另一平面。
★1.5 三垂線定理及其逆定理
⑴ 斜線定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的所有線段 中 ，
斜線相等則射影相等，斜線越長則射影越長，垂線段最短。
如 圖：

⑵ 三垂線定理及其逆定理
已知 PO⊥α，斜線 PA 在平面 α 內(nèi)的射影為 OA，a 是平面
α 內(nèi)的一條直線。
① 三垂線定理：若 a⊥OA，則 a⊥PA。即垂直射影 則 垂
圖 2-3 線面角
圖 2-7 斜線定理
7
直斜線。
② 三垂線定理逆定理：若 a⊥PA，則 a⊥OA。即垂直斜線則垂直射影。
⑶ 三垂線定理及其逆定理的主要應(yīng)用
① 證明異面直線垂直；
② 作出和證明二面角的平面角；
③ 作點(diǎn)到線的垂線段。
5、面面平行的判斷：
⑷一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，這兩個(gè)平面平行。
⒀垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。
6、面面垂直的判斷：
⒂一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，這兩個(gè)平面互相垂直。
判 定 定 理：

性質(zhì)定理：
⑴ 若兩面垂直，則這兩個(gè)平面的二面角的平面角為 90°；
（2）



（3）




（4）


（二）、其他定理：
（1）確定平面的條件：①不公線的三點(diǎn)；②直線和 直線外一
點(diǎn)；③相交直線；
（2）直線與直線的位置關(guān)系： 相交 ； 平行 ； 異面 ；
直線與平面的位置關(guān)系： 在平面內(nèi) ； 平行 ； 相交（垂直是它的特殊情況） ；
平面與平面的位置關(guān)系： 相交 ；； 平行 ；
（3）等角定理：如果兩個(gè)角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩個(gè)角相等；
如果兩條相交直線和另外兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳
角(或直角)相等；
（4）射影定理（斜線長、射影長定理）：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段
中，射影相等的兩條斜線段相等；射影較長的斜線段也較長；反之，斜線段
圖 2-8 三垂線定理
圖 2-10 面面垂直性質(zhì) 2
圖 2-11 面面垂直性質(zhì) 3
8
相等的射影相等；斜線段較長的射影也較長；垂線段比任何一條斜線段都
短。
（5）最小角定理：斜線與平面內(nèi)所有直線所成的角中最小的是與它在平面內(nèi)射影所成的
角。
（6）異面直線的判定：
①反證法；
②過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線。
（7）過已知點(diǎn)與一條直線垂直的直線都在過這點(diǎn)與這條直線垂直平面內(nèi)。
（8）如果—直線平行于兩個(gè)相交平面，那么這條直線平行于兩個(gè)平面的交線。

（三）、唯一性定理：
（1）過已知點(diǎn)，有且只能作一直線和已知平面垂直。
（2）過已知平面外一點(diǎn)，有且只能作一平面和已知平面平行。
（3）過兩條異面直線中的一條能且只能作一平面與另一條平行。
四、空間角的求法：（所有角的問題最后都要轉(zhuǎn)化為解三角形的問題，尤其是直角三角形）
（1）異面直線所成的角：通過直線的平移，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)相交直線所成
的角。異面直線所成角的范圍： oo 900 ??? ；
（2）線面所成的角：①線面平行或直線在平面內(nèi)：線面所成的角為 o0 ； ②線面垂直：線面
所成的角為 o90 ；
③斜線與平面所成的角：范圍 oo 900 ??? ；即也就是斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角。
線面所成的角范圍0 90o o?? ?
（3）二面角：關(guān)鍵是找出二面角的平面角。方法有：①定義法；②三垂線定理法；③垂面
法；
二面角的平面角的范圍：0 180o o?? ? ；
五、距離的求法：
（1）點(diǎn)點(diǎn)、點(diǎn)線、點(diǎn)面距離：點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離就是兩點(diǎn)之間線段的長、點(diǎn)與線、面間的
距離是點(diǎn)到線、面垂足間線段的長。求它們首先要找到表示距離的線段，然后再計(jì)算。
注意：求點(diǎn)到面的距離的方法：
①直接法：直接確定點(diǎn)到平面的垂線段長（垂線段一般在二面角所在的平面上）；
②轉(zhuǎn)移法：轉(zhuǎn)化為另一點(diǎn)到該平面的距離（利用線面平行的性質(zhì)）；
9
③體積法：利用三棱錐體積公式。
（2）線線距離：關(guān)于異面直線的距離，常用方法有：
①定義法，關(guān)鍵是確定出 ba, 的公垂線段；
②轉(zhuǎn)化為線面距離，即轉(zhuǎn)化為 a 與過b 而平行于 a 的平面之間的距離，關(guān)鍵是找出或構(gòu)造出
這個(gè)平面；③轉(zhuǎn)化為面面距離；
（3）線面、面面距離：線面間距離面面間距離與線線間、點(diǎn)線間距離常常相互轉(zhuǎn)化；
六、常用的結(jié)論：
（1）若直線 l在平面?內(nèi)的射影是直線 l ?，直線m 是平面?內(nèi)經(jīng)過 l 的斜足的一條直線， l 與
l ? 所成的角為 1? ， l ?與m 所成的角為 2? , l 與m 所成的角為? ，則這三個(gè)角之間的關(guān)系是
21 coscoscos ??? ? ；
（2）如何確定點(diǎn)在平面的射影位置：
①Ⅰ、如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角兩邊距離相等，那么這點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角
的平分線上；
Ⅱ、經(jīng)過一個(gè)角的頂角引這個(gè)角所在平面的斜線，如果斜線和這個(gè)角的兩邊夾角相等，
那么斜線上的點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線所在的直線上；
Ⅲ、如果平面外一點(diǎn)到平面上兩點(diǎn)的距離相等，則這一點(diǎn)在平面上的射影在以這兩點(diǎn)為
端點(diǎn)的線段的垂直平分線上。
②垂線法：如果過平面外一點(diǎn)的斜線與平面內(nèi)的一條直線垂直，那么這一點(diǎn)在這平面上
的射影在過斜足且垂直于平面內(nèi)直線的直線上(三垂線定理和逆定理)；
③垂面法：如果兩平面互相垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)任一點(diǎn)在另一平面上的射影在這兩面
的交線上(面面垂直的性質(zhì)定理)；
④整體法：確定點(diǎn)在平面的射影，可先確定過一點(diǎn)的斜線這一整體在平面內(nèi)的射影。
（3）在四面體 ABCD中：
①若 ADBCCDAB ?? , ，則 BDAC ? ；且 A在平面BCD上的射影是 BCD? 的垂心。
②若 ADACAB ?? ，則 A在平面BCD上的射影是 BCD? 的外心。
③若 A到 BDCDBC ,, 邊的距離相等，則 A在平面BCD上的射影是 BCD? 的內(nèi)心。
（4）異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式：若異面直線所成的角為? ，它
們公垂線段 'AA 的長為 d ，在 ba, 上分別取一點(diǎn) FE, ，設(shè)
mEA ?' ， nAF ? ；
則 ?cos2222 mnnmdEF ????
（如果 AFE '? 為銳角，公式中取負(fù)號，如果 AFE '? 為
鈍，公式中取正號）
b
?
a
A’
A
F
E’
E
?

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