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求圓錐曲線方程 5 大類型

求圓錐曲線方程分為五個類型，求解策略一般有以下幾種：
①幾何分析+方程思想； ②設而不求+韋達定理
③定義+數形結合； ④參數法+方程思想
類型 1——待定系數法
待定系數法本質就是通過對幾何特征進行分析，
利用圖形，結合圓錐曲線的定義與幾何性質，分析圖中
已知量與未知量之間的關系，列出含有待定系數的方程，解出待定的系數即可。
例 1.2014 年全國Ⅱ卷（理科 20）設 ????1 、 ????2 分別是橢圓 ????:
???? 2
????2
+ ????
2
????2
= 1(???? > ???? > 0) 的左、右
焦點，???? 是 ???? 上一點且 ????????2 與 ???? 軸垂直，直線 ????????1 與 ???? 的另一個交點為 ????．
Ⅰ 若直線 ???????? 的斜率為 3
4
，求 ???? 的離心率；
Ⅰ 若直線 ???????? 在 ???? 軸上的截距為 2，且 ∣ ???????? ∣= 5 ∣ ????1???? ∣，求 ????，????．
【解法分析】第Ⅱ小題利用試題提供的幾何位置關系和數量關系，結合橢圓的幾何性質和
方程思想，通過待定系數法進行求解。著重考查橢圓的幾何性質，將幾何特征轉化為坐標
表示，突顯數形結合的思想。

.
2
1∴.
2
1
02-32.,
4
3
2
1∴
4
3 22222
21
1
的離心率為解得
，聯立整理得：且由題知，
Ce
eecba
ca
b
FF
MF
=
=++==?=?
72,7
.72,7.
,,1:4:)
2
3-(,
:.
2
3-,,
.4,
.422
222
1111
11
2
2
==
==+=
==+=+=
==
=?=
ba
bacba
a
ceNFMFceaNFecaMF
ccNM
mMFmNF
a
bMF
所以，
聯立解得
，且
由焦半徑公式可得兩點橫坐標分別為
可得由兩直角三角形相似，由題可知設
，即知，由三角形中位線知識可
類型 2——相關點法求軌跡方程
動點 P(x，y)依賴與另一個動點 Q(x0，y0)變化而變化，并且動點 Q(x0，y0)又在另一
個已知曲線上，則可先用 x，y 表示 x0，y0，再將 x0，y0 代入已知曲線，可得到所求動點的
軌跡方程。
例 2、2017 年全國Ⅱ 卷（理科 20）設 O 為坐標原點，動點 M 在橢圓 C：????
2
2
+ ????2 = 1 上，過 M
作 x 軸的垂線，垂足為 N，點 P 滿足 ???????????? = √2?????????????．
（Ⅰ ） 求點 P 的軌跡方程；
（Ⅰ ） 設點 Q 在直線 ???? = ?3 上，且 ???????????? ? ???????????? = 1，證明：過點 P 且垂直于 OQ 的直線 l 過 C
的左焦點 F．
【解法分析】本例第Ⅰ小題充分利用主動點 M 在橢圓上，而從動點 N 與主動點 M 之間存在
橫坐標相同，縱坐標有 倍的關系，可利用相關點法進行求解。
⑴設 ，易知 ( )P x y， ( 0)N x，
又 (0 )NP y?
????
， 1 0
2 2
yNM NP ? ?? ? ? ?
? ?
????? ????
，
∴ ，又 在橢圓上． 1
2
M x y? ?? ?
? ?
， M
∴ ，即 ．
2
2
12 2
yx ? ?? ?? ?
? ?
2 2 2x y? ?
⑵設點 ， ， ， ( 3 )QQ y? ， ( )P PP x y， ( 0)Qy ?
由已知： ， ( ) ( 3 ) 1P P P Q POP PQ x y y y y? ? ? ? ? ? ?
???? ????
， ，
， ? ? 2 1OP OQ OP OP OQ OP? ? ? ? ? ????? ???? ???? ???? ???? ????
∴ ，
2
1 3OP OQ OP? ? ? ?
???? ???? ????
∴ ． 3 3P Q P Q P P Qx x y y x y y? ? ? ? ? ?
設直線 ： ， OQ
3
Qyy x? ?
?
因為直線與 垂直． OQl
∴ 3l
Q
k
y
?
故直線方程為 ， 3 ( )P P
Q
y x x y
y
? ? ?
令 ，得 ， 0y ? 3( )P Q Py y x x? ? ?
， 1
3 P Q P
y y x x? ? ? ?
∴ ， 1
3 P Q P
x y y x? ? ? ?
∵ ， 3 3P Q Py y x? ?
∴ ， 1 (3 3 ) 1
3 P P
x x x? ? ? ? ? ?
若 ，則 ， ， ， 0Qy ? 3 3Px? ? 1Px ? ? 1Py ? ?
直線 方程為 ，直線方程為 ， OQ 0y ? 1x ? ?
直線過點 ，為橢圓 的左焦點． ( 1 0)? ， C
類型 3——定義法求軌跡方程
先根據條件確定動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線定義直接寫出動點的軌跡方程。
例 3、2016 年全國Ⅰ卷（理科 20）設圓 ????2 + ????2 + 2???? ? 15 = 0 的圓心為 ????，直線 ???? 過點 ????(1,0)
且與 ???? 軸不重合，???? 交圓 ???? 于 ????，???? 兩點，過 ???? 作 ???????? 的平行線交 ???????? 于點 ????．
Ⅰ 證明 ∣????????∣ + ∣????????∣ 為定值，并寫出點 ???? 的軌跡方程；
Ⅰ 設點 ???? 的軌跡為曲線 ????1，直線 ???? 交 ????1 于 ????，???? 兩點，過 ???? 且與 ???? 垂直的直線與圓 ????
交于 ????，???? 兩點，求四邊形 ???????????????? 面積的取值范圍．

類型 4——參數法求曲線方程
當動點 P(x，y)坐標之間的關系較探尋時，可考慮 x，y 之間用同一個變量表示，得
E D
C
A O B x
y
到參數方程， 再消去參數即可，但要注意參數的取值范圍。
例 4、2016 全國Ⅲ卷（文科 20） 已知拋物線 ????: ????2 = 2???? 的焦點為 ????，平行于 ???? 軸的兩條直
線 ????1，????2 分別交 ???? 于 ????，???? 兩點，交 ???? 的準線于 ????，???? 兩點．
Ⅰ 若 ???? 在線段 ???????? 上，???? 是 ???????? 的中點，證明 ????????∥????????；
Ⅰ 若 △???????????? 的面積是 △???????????? 的面積的兩倍，求 ???????? 中點的軌跡方程．
【解法分析】本例的第Ⅱ小題以兩條直線與拋物線的交點的坐標為參數，利用
面積是 面積的兩倍，得到直線 AB 與 x 軸交點 N 的坐標，再進一步利用點差
法求得 AB 中點的軌跡方程。著重考查了設而不求的思想方法。
由 AP=AF，BQ=BF及 AP//BQ，

∴AR//FQ．
(Ⅱ)設 ， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y

，準線為 ，
1( ,0)
2
F 1
2
x ? ?
， 1 2
1 1
2 2PQF
S PQ y y? ? ? ?
設直線 與 軸交點為 ， AB x N
， 1 2
1
2ABF
S FN y y? ? ?
∵ ，∴ ，∴ ，即 ． 2PQF ABFS S? ?? 2 1FN ? 1Nx ? (1,0)N
設 中點為 ，由 得 ， AB ( , )M x y
2
1 1
2
2 2
2
2
y x
y x
? ??
?
???
2 2
1 2 1 22( )y y x x? ? ?
又 ， 1 2
1 2 1
y y y
x x x
?
?
? ?
∴ ，即 ．
1
1
y
x y
?
?
2 1y x? ?
∴ 中點軌跡方程為 ． AB 2 1y x? ?
類型 5——直譯法求軌跡方程
例 5、2014 年湖北（理科 21）在平面直角坐標系 ???????????? 中，點 ???? 到點 ????(1,0) 的距離比它到
???? 軸的距離多 1，記點 ???? 的軌跡為 ????．
Ⅰ 求軌跡為 ???? 的方程；
Ⅰ 設斜率為 ???? 的直線 ???? 過定點 ????(?2,1)，求直線 ???? 與軌跡 ???? 恰好有一個公共點，兩個公共
點，三個公共點時 ???? 的相應取值范圍．

（Ⅰ）設點 ，依題意得 ，即 ， ( , )M x y | | | | 1MF x? ? 2 2( 1) | | 1x y x? ? ? ?
化簡整理得 . 2 2(| | )y x x? ?
故點 M的軌跡 C的方程為 2
4 , 0,
0, 0.
x x
y
x
??
? ? ??
（Ⅱ）在點 M的軌跡 C中，記 ， . 1 :C
2 4y x? 2 :C 0 ( 0)y x? ?
依題意，可設直線 的方程為 l 1 ( 2).y k x? ? ?
由方程組 可得 ① 2
1 ( 2),
4 ,
y k x
y x
? ? ??
?
??
2 4 4(2 1) 0.ky y k? ? ? ?
（1）當 時，此時 把 代入軌跡 C的方程，得 . 0k ? 1.y ? 1y ? 1
4
x ?
故此時直線 與軌跡 恰好有一個公共點 . : 1l y ? C 1( , 1)
4
（2）當 時，方程①的判別式為 . ② 0k ? 216(2 1)k k? ? ? ? ?
設直線 與 軸的交點為 ，則 l x 0( , 0)x
由 ，令 ，得 . ③ 1 ( 2)y k x? ? ? 0y ? 0
2 1kx
k
?
? ?
（ⅰ）若 由②③解得 ，或 .
0
0,
0,x
? ??
? ??
1k ? ? 1
2
k ?
即當 時，直線 與 沒有公共點，與 有一個公共點，
1( , 1) ( , )
2
k ? ?? ? ? ?? l 1C 2C
故此時直線 與軌跡 恰好有一個公共點. l C
（ⅱ）若 或 由②③解得 ，或 .
0
0,
0,x
? ??
? ?? 0
0,
0,x
? ??
? ??
1{ 1, }
2
k ? ? 1 0
2
k? ? ?
即當 時，直線 與 只有一個公共點，與 有一個公共點.
1{ 1, }
2
k ? ? l 1C 2C
當 時，直線 與 有兩個公共點，與 沒有公共點.
1[ , 0)
2
k ? ? l 1C 2C
故當 時，直線 與軌跡 恰好有兩個公共點.
1 1[ , 0) { 1, }
2 2
k ? ? ?? l C
（ⅲ）若 由②③解得 ，或 .
0
0,
0,x
? ??
? ??
11
2
k? ? ? ? 10
2
k? ?
即當 時，直線 與 有兩個公共點，與 有一個公共點，
1 1( 1, ) (0, )
2 2
k ? ? ? ? l 1C 2C
故此時直線 與軌跡 恰好有三個公共點. l C
綜合（1）（2）可知，當 時，直線 與軌跡 恰好有一個公
1( , 1) ( , ) {0}
2
k ? ?? ? ? ?? ? l C
共 點 ； 當 時 ， 直 線 與 軌 跡 恰 好 有 兩 個 公 共 點 ； 當
1 1[ , 0) { 1, }
2 2
k ? ? ?? l C
時，直線 與軌跡 恰好有三個公共點.
1 1( 1, ) (0, )
2 2
k ? ? ? ? l C
【解法分析】本題第Ⅰ小題根據題目條件，設出動點的坐標，建立動點 M 到定點 F 的距離
等于動點到 y 軸的距離加 1 的等式，化簡求得。當然，本題出可以用定義法進行求解。

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