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掌握這21種排列組合模型,再也不怕排列組合題的套路了!1相鄰問題捆綁法
題目中規定相鄰的幾個元素捆綁成一個組,當作一個大元素參
與排列
例1.4,B,C,D,E五人并排站成一排,如果A,B必須相鄰且B在
A的右邊,那么不同的排法種數有
A、60種
種
種
解析:把A,B視為一人,且B固定在A的右邊,則本題相當于
4人的全排列,4=24種,答案:D
2相離問題插空排
元素相離(即不相鄰)問題,可先把無位置要求的幾個元素全
排列,再把規定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和
兩端
例2.七人并排站成一行,如果甲乙兩個必須不相鄰,那么不同
的排法種數是
A、1440種
B、3600種
C、4820種
D、4800種
解析:除甲乙外,其余5個排列數為A種,再用甲乙去插6
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個空位有A種,不同的排法種數是A4=3600種,選B
A、6種
B、9種
C、11種D、2:3種
解析:先把1填入方格中,符合條件的有3種方法,第二步把
被填入方格的對應數字填入其它三個方格,又有三種方法;第
3.定序問題縮倍法
步填余下的兩個數字,只有一種填法,共有3×3×1=9種填
在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序,可用縮小
法,選B
倍數的方法.
例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必須站在A的右邊
5.有序分配問題逐分法
(A,B可以不相鄰)那么不同的排法種數是
有序分配問題指把元素分成若干組,可用逐步下量分組法
C、90種D、120種
例5.(1)有甲乙丙三項任務,甲需2人承擔,乙丙各需一人
解析:B在A的右邊與B在A的左邊排法數相同,所以題設的
承擔,從10人中選出4人承擔這三項任務,不同的選法種數
排法只是5個元素全排列數的一半,即24=0種,選B
是
A、1260種
025種
4標號排位問題分步法
解析:先從10人中選出2人承擔甲項任務,再從剩下的8人
把元素排到指定位置上,可先把某個元素按規定排入,第二步
中選1人承擔乙項任務,第三步從另外的7人中選1人承擔丙
再排另一個元素,如此繼續下去,依次即可完成
項任務,不同的選法共有C1CC=2520種,選C.
例4.將數字1,2,3,4填入標號為1,2,3,4的四個方格里
(2)12名同學分別到三個不同的路口進行流量的調査,若每
每格填一個數,則每個方格的標號與所填數字均不相同的填法
路口4人,則不同的分配方案有
A、 CsCeC種B、3(C種
2(4種D、
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C4C-C4
額,有多少種不同分配方案?
解析:10個名額分到7個班級,就是把10個名額看成10個相
答案:
同的小球分成7堆,每堆至少一個,可以在10個小球的9個
空位中插入6塊木板,每一種插法
種分配方案,故共
6全員分配問題分組法
有不同的分配方案為(=84種
例6.(1)4名優秀學生全部保送到3所學校去,每所學校至
少去一名,則不同的保送方案有多少種?
8.限制條件的分配問題分類法
解析:把四名學生分成3組有C種方法,再把三組學生分配
例8.某高校從某系的10名優秀畢業生中選4人分別到西部四
三所學校有4種,故共有CA=36種方法
城市參加中國西部經濟開發建設,其中甲同學不到銀川,乙不
說明:分配的元素多于對象且每一對象都有元素分配時常用先
到西寧,共有多少種不同派遣方案?
分組再分配
解析:因為甲乙有限制條件,所以按照是否含有甲乙來分類,
(2)5本不同的書,全部分給4個學生,每個學生至少一本
有以下四種情況
不同的分法種數為
①若甲乙都不參加,則有派遣方案4種;②若甲參加而乙不參
A、480種B、240種C、120種D、96種
加,先安排甲有3種方法,然后安排其余學生有A方法,所以
答案:B
共有34;③若乙參加而甲不參加同理也有3種;④若甲乙
都參加,則先安排甲乙,有7種方法,然后再安排其余8人到
7名額分配問題隔板法
另外兩個城市有4種,共有7A方法所以共有不同的派遣方
例7.10個三好學生名額分到7個班級,每個班級至少一個名
法總數為+3A4+34+74=4088種
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9多元問題分類法
從1,2,3,…,100這100個數中任取兩個數,使其和
元素多,取出的情況也多種,可按結果要求分成不相容的幾類
能被4整除的取法(不計順序)有多少種?
解析:將={2,3…100}分成四個不相交的子集,能被4整除
情況分別計數,最后總計
例9.(1)由數字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字的六位
的數集A={48、12∴…100};能被4除余1的數集
B={9…97},能被4除余2的數集C={2,6…,98},能被4
數,其中個位數字小于十位數字的共有
A、210種
B、300種C、464種D、600種
除余3的數集D={3,7,11…99,易見這四個集合中每一個有
25個元素:從A中任取兩個數符合要:從B,D中各取一個數也
解析:按題意,個位數字只可能是0、1、2、3和4共5種情
符合要求:從C中任取兩個數也符合要求:此外其它取法都不
況,分別有A3、A4A、A、用A和A4個,合并總計
符合要求:所以符合要求的取法共有C2+C2C23+C3種
300個,選B
(2)從1,2,3…,100這100個數中,任取兩個數,使它們
10交叉問題集合法
的乘積能被7整除,這兩個數的取法(不計順序)共有多少種?
某些排列組合問題幾部分之問有交集,可用集合中求元素個數
解析:被取的兩個數中至少有一個能被7整除時,他們的乘積
公式m(AUB)=(4)+m(B)-n(A∩B)
就能被7整除,將這100個數組成的集合視為全集I,能被
例10.從6名運動員中選出4人參加4×100米接力賽,如果甲
整除的數的集合記做A={71421…98共有14個元素,不能被
不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少種不同的參賽方案?
7整除的數組成的集合記做94={2,34…,100共有86個元
解析:設全集={6人中任取4人參賽的排列},A={甲跑第
素;由此可知,從A中任取2個元素的取法有C14,從A中任
棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根據求集合元素個數的
公式得參賽方法共有
取一個,又從84中任取一個共有C4C6,兩種情形共符合要求
的取法有C14+((=1295種
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(1)-m(A-R(B)+mA∩B)=4-A-A+42=252種
(2)8個不同的元素排成前后兩排,每排4個元素,其中某2
個元素要排在前排,某1個元素排在后排,有多少種不同排法?
11定位問題優先法
解析:看成一排,某2個元素在前半段四個位置中選排2個
某個或幾個元素要排在指定位置,可先排這個或幾個元素;再
有種,某1個元素排在后半段的四個位置中選一個有A種
排其它的元素。
其余5個元素任排5個位置上有A種,故共有A4A=5760種
例11.1名老師和4名獲獎同學排成一排照相留念,若老師不
排法
站兩端則有不同的排法有多少種?
解析:老師在中間三個位置上選一個有A種,4名同學在其余
13.“至少”“至多”問題用間接排除法或分類法
4個位置上有A種方法;所以共有4=72種
抽取兩類混合元素不能分步抽
例13.從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取3臺,其中至少要
12多排問題單排法
甲型和乙型電視機各一臺,則不同的取法共有
把元素排成幾排的問題可歸結為一排考慮,再分段處理.
A、140種B、80種C、70種D、35種
例12.(1)6個不同的元素排成前后兩排,每排3個元素,那
解析1:逆向思考,至少各一臺的反面就是分別只取一種型號,
么不同的排法種數是
不取另一種型號的電視機,故不同的取法共有C-C-C3=70
種
B、120種
C、720種
D、1440種
解析:前后兩排可看成一排的兩段,因此本題可看成6個不同
解析2:至少要甲型和乙型電視機各一臺可分兩種情況:甲型
的元素排成一排,共4=720
1臺乙型2臺;甲型2臺乙型1臺;故不同的取法有
種,選C
CC4+CC=70臺,選C
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