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2019秋人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)教材全解讀
教材分析
1三角形的定義
由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形.
三角形有三條邊，三個(gè)內(nèi)角，三個(gè)頂點(diǎn).組成三角形的線段叫做三角形的邊;相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角; 相鄰兩邊的公共端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)。
2三角形的表示
三角形ABC用符號(hào)表示為△ABC，三角形ABC的邊AB可用邊AB所對(duì)的角C的小寫字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三個(gè)頂點(diǎn)用大寫字母A,B,C來(lái)表示。
注意：
(1)三條線段要不在同一直線上，且首尾順次相接；
(2)三角形是一個(gè)封閉的圖形；
(3)△ABC是三角形ABC的符號(hào)標(biāo)記，單獨(dú)的△沒有意義。
3三角形的分類
(1)按邊分類：
(2)按角分類
4三角形的主要線段的定義
②∠1=∠2=∠BAC.
注意：①三角形的角平分線是線段；
②三角形三條角平分線全在三角形的內(nèi)部且交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)；（注：這一點(diǎn)角三角形的內(nèi)心。角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等）
③用量角器畫三角形的角平分線。
(3)三角形的高
從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段．
表示法：①AD是△ABC的BC上的高線
②AD⊥BC于D
③∠ADB=∠ADC=90°.
注意：①三角形的高是線段；
②銳角三角形三條高全在三角形的內(nèi)部，直角三角形有兩條高是邊，鈍角三角形有兩條高在形外；(三角形三條高所在直線交于一點(diǎn)．這點(diǎn)叫垂心）
③由于三角形有三條高線，所以求三角形的面積的時(shí)候就有三種（因?yàn)楦叩撞灰粯樱?br/>5三角形的主要線段的表示法
三角形的角平分線的表示法：
如圖1，根據(jù)具體情況使用以下任意一種方式表示：
①? AD是DABC的角平分線；
②? AD平分DBAC，交BC于D；
(圖1)
(2)三角形的中線表示法：
如圖1，根據(jù)具體情況使用以下任意一種方式表示：
①AE是DABC的中線；
②AE是DABC中BC邊上的中線；
(3)三角線的高的表示法：
如圖2，根據(jù)具體情況，使用以下任意一種方式表示：
①AM是DABC的高；
②AM是DABC中BC邊上的高；
③如果AM是DABC中BC邊上高，那么AM^BC，垂足是E；
在畫三角形的三條角平分線，三條中線，三條高時(shí)應(yīng)注意：
(1)如圖3，三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，交點(diǎn)都在三角形內(nèi)部.
(2)如圖4，三角形的三條中線交點(diǎn)一點(diǎn)，交點(diǎn)都在三角形內(nèi)部.
圖3 ? ?圖4?
如圖5,6,7，三角形的三條高交于一點(diǎn)，銳角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部，鈍角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形的外部，直角三角形的三條高的交點(diǎn)在直角三角形的直角頂點(diǎn)上.
圖5 ? ?圖6 ? ? 圖7
6三角形的三邊關(guān)系
三角形的任意兩邊之和大于第三邊;任意兩邊之差小于第三邊.
注意：(1)三邊關(guān)系的依據(jù)是：兩點(diǎn)之間線段是短；
(2)圍成三角形的條件是任意兩邊之和大于第三邊．
7三角形的角與角之間的關(guān)系
(1)三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°;
(2)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；
(3)三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.
(4)直角三角形的兩個(gè)銳角互余.
8三角形的內(nèi)角和定理
定理：三角形的內(nèi)角和等于180°．
推論：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。
推理過程：
(1)作CM∥AB，則∠4=∠1，而∠2+∠3+∠4=180度，
即∠A+∠B+∠ACB=180度．
(2)作MN∥BC，則∠2=∠B，∠3=∠C，而∠1+∠2+∠3=180度
即∠BAC+∠B+∠C=180度．
注意：
(1)證明的思路很多，基本思想是組成平角．
(2)應(yīng)用內(nèi)角和定理可解決已知二個(gè)角求第三個(gè)角或已知三角關(guān)系求三個(gè)角．
9三角形的外角的定義
三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角.
注意：每個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角，但這兩個(gè)外角是對(duì)頂角.（所以一般我們只研究一個(gè)）
如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE.???
?所以說(shuō)一個(gè)三角形有六個(gè)外角，但我們每個(gè)一個(gè)頂點(diǎn)處
只選一個(gè)外角，這樣三角形的外角就只有三個(gè)了.
10三角形外角的性質(zhì)
(1)三角形的一個(gè)外角等于它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．
(2)三角形的一個(gè)角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角．
注意：(1)它不相鄰的內(nèi)角不容忽視；
(1)作CM∥AB由于B、C、D共線
?∴∠A=∠1，∠B=∠2.
即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.
那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B.
11三角形的穩(wěn)定性
三角形的三邊長(zhǎng)確定，則三角形的形狀就唯一確定，這叫做三角形的穩(wěn)定性。
注意：(1)三角形具有穩(wěn)定性；
(2)四邊形沒有穩(wěn)定性.
關(guān)于三角形會(huì)經(jīng)常遇到的題型：
適當(dāng)添加輔助線，尋找基本圖形。
(1)基本圖形一，如圖8，在ABC中，AB=AC，B,A,D成一條直線，
圖8
(2)基本圖形二，如圖9，如果CO是∠AOB的角平分線，DE∥OB交OA,OC于D,E，那么DOE是等腰三角形，DO=DE.當(dāng)幾何問題的條件和結(jié)論中，或在推理過程中出現(xiàn)有角平分線，平行線，等腰三角形三個(gè)條件中的兩個(gè)時(shí)，就應(yīng)找出這個(gè)基本圖形，并立即推證出第三個(gè)作為結(jié)論.即：角平分線+平行線→等腰三角形.
圖9
(3)基本圖形三，如圖10，如果BD是DABC的角平分線，M是AB上一點(diǎn)，MN^BD，且與BP,BC相交于P,N.那么BM=BN，即DBMN是等腰三角形，且MP=NP，即：角平分線+垂線→等腰三角形.
當(dāng)幾何證題中出現(xiàn)角平分線和向角平分線所作垂線時(shí)，就應(yīng)找出這個(gè)基本圖形，如等腰三角形不完整就應(yīng)將基本圖形補(bǔ)完整，如圖11，圖12。
12多邊形
在同一平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫多邊形。
(1)多邊形的對(duì)角線
連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線。
(2)正多邊形
各邊相等，各角都相等的多邊形叫做正多邊形
(3)多邊形的內(nèi)角和為（n-2）*180度
多邊形的外角和為 360度
注：當(dāng)求角度時(shí)應(yīng)該想起?? 內(nèi)角和 或者 外角和 或者 一個(gè)角的外角
13密鋪
所謂“密鋪”，就是指任何一種圖形，如果能既無(wú)空隙又不重疊的鋪在平面上，這種鋪法就叫做“密鋪”。
用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的密鋪，又稱做平面圖形的鑲嵌。
可單獨(dú)密鋪的圖形
①所有三角形與四邊形均可以單獨(dú)密鋪。
②正多邊形只有正三角形、正四邊形、正六邊形可以單獨(dú)密鋪。 　
③對(duì)邊平行的六邊形可以單獨(dú)密鋪。
平面上有：完全相同的三角形、四邊形能密鋪（或三角形與四邊形組合）、正多邊形密鋪時(shí),只有正三、四、六邊形可以密鋪。
(利用內(nèi)角和的知識(shí)來(lái)計(jì)算，如：任意三角形內(nèi)角180，則三個(gè)相同的任意三角形即可形成∠180，六個(gè)就可以密鋪；同理，四邊形內(nèi)角360，四個(gè)就可以密鋪；正多邊形的頂角的整數(shù)倍等于180或360)
曲面像12個(gè)正五邊形和20個(gè)正六邊形可以鋪成個(gè)球(足球就是)。
第十二章 ?全等三角形
一、知識(shí)框架：
??
二、知識(shí)概念：
1.基本定義：
⑴全等形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.
⑵全等三角形：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.
⑶對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)：全等三角形中互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).
⑷對(duì)應(yīng)邊：全等三角形中互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊.
⑸對(duì)應(yīng)角：全等三角形中互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角.
2.基本性質(zhì)：
⑴三角形的穩(wěn)定性：三角形三邊的長(zhǎng)度確定了，這個(gè)三角形的形狀、大小就全確定，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.
⑵全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.
3.全等三角形的判定定理：
⑴邊邊邊（）：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.
⑵邊角邊（）：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.
⑶角邊角（）：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.
⑷角角邊（）：兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.
⑸斜邊、直角邊（）：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.
4.角平分線：
⑴畫法：
⑵性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.
⑶性質(zhì)定理的逆定理：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.
5.證明的基本方法：
⑴明確命題中的已知和求證.（包括隱含條件，如公共邊、公共角、對(duì)頂
角、角平分線、中線、高、等腰三角形等所隱含的邊角關(guān)系）
⑵根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)字符號(hào)表示已知和求證.
⑶經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程.
第十三章 ?軸對(duì)稱
一、知識(shí)框架：
?? ?
二、知識(shí)概念：
1.基本概念：
⑴軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相
重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形.
⑵兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱：把一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一
個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱.
⑶線段的垂直平分線：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這
條線段的垂直平分線.
⑷等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.相等的兩條邊叫
做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做
底角.
⑸等邊三角形：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.
2.基本性質(zhì)：
⑴對(duì)稱的性質(zhì)：
①不管是軸對(duì)稱圖形還是兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，對(duì)稱軸都是任何一
對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.
②對(duì)稱的圖形都全等.
⑵線段垂直平分線的性質(zhì)：
①線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.
②與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.
⑶關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)
⑷等腰三角形的性質(zhì)：
①等腰三角形兩腰相等.
②等腰三角形兩底角相等（等邊對(duì)等角）.
③等腰三角形的頂角角平分線、底邊上的中線，底邊上的高相互重合.
④等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是三線合一（1條）.
⑸等邊三角形的性質(zhì)：
①等邊三角形三邊都相等.
②等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，都等于60°
③等邊三角形每條邊上都存在三線合一.
④等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是三線合一（3條）.
3.基本判定：
⑴等腰三角形的判定：
①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.
②如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（等角對(duì)
等邊）.
⑵等邊三角形的判定：
①三條邊都相等的三角形是等邊三角形.
②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.
③有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.
4.基本方法：
⑴做已知直線的垂線：
⑵做已知線段的垂直平分線：
⑶作對(duì)稱軸：連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作所連線段的垂直平分線.
⑷作已知圖形關(guān)于某直線的對(duì)稱圖形：
⑸在直線上做一點(diǎn)，使它到該直線同側(cè)的兩個(gè)已知點(diǎn)的距離之和最短.
第十四章　整式的乘法與因式分解
知識(shí)結(jié)構(gòu)圖：
一、整式的有關(guān)概念
1．整式
整式是單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的統(tǒng)稱．
2．單項(xiàng)式
單項(xiàng)式是指由數(shù)字或字母的乘積組成的式子；單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)；單項(xiàng)式中所有字母指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)．
3．多項(xiàng)式
幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式；多項(xiàng)式中，每一個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)；多項(xiàng)式中次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)．
二、整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算
1、同底數(shù)冪乘法：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。
2、同底數(shù)冪除法：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。
3、冪的乘方：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。
4、積的乘方：積的乘方等于各因式乘方的積。
注：（1）任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零指數(shù)冪都等于1；
（2）任何一個(gè)不等于零的數(shù)的-p（p為正整數(shù)）指數(shù)冪，
等于這個(gè)數(shù)的p指數(shù)冪的倒數(shù)。
（3）科學(xué)記數(shù)法：或
?絕對(duì)值小于1的數(shù)可記成的形式，其中，n是正整數(shù)，n等于原數(shù)中第一個(gè)有效數(shù)字前面的零的個(gè)數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前面的一個(gè)零）。
三、同類項(xiàng)與合并同類項(xiàng)
1．所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的單項(xiàng)式叫做同類項(xiàng)．
2．把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并同類項(xiàng)，合并的法則是系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為合并后的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變．
四、求代數(shù)式的值
1．一般地，用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式指明的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算出的結(jié)果就叫做代數(shù)式的值．
2．求代數(shù)式的值的基本步驟：
(1)代入：一般情況下，先對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將數(shù)值代入；
(2)計(jì)算：按代數(shù)式指明的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算出結(jié)果．
五、整式的運(yùn)算
1．整式的加減
(1)整式的加減實(shí)質(zhì)就是合并同類項(xiàng)；
(2)整式加減的步驟：有括號(hào)，先去括號(hào)；有同類項(xiàng)，再合并同類項(xiàng)．注意去括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)要變號(hào)．
2．整式的乘除
(1)整式的乘法
①單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘：把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式，只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．
②單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc．
③多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb．
(2)整式的除法
①單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：把系數(shù)、同底數(shù)冪相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．
②多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m.
3．乘法公式
(1)平方差公式：
(2)完全平方公式：
六、因式分解
1．因式分解的概念
把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做多項(xiàng)式的因式分解．
2．因式分解的方法
(1)提公因式法
公因式的確定：第一，確定系數(shù)(取各項(xiàng)整數(shù)系數(shù)的最大公約數(shù))；第二，確定字母或因式底數(shù)(取各項(xiàng)的相同字母)；第三，確定字母或因式的指數(shù)(取各相同字母的最低次冪)．
(2)運(yùn)用公式法
①運(yùn)用平方差公式：．
②運(yùn)用完全平方公式：.
(3)十字相乘:?.
3.分解因式的技巧：
(1) 因式分解時(shí)，有公因式要先提公因式，然后考慮其他方法；
(2）因式分解時(shí)，有時(shí)項(xiàng)數(shù)較多時(shí)，看看分組分解法是否更簡(jiǎn)潔.
典例1：計(jì)算的結(jié)果是(　B　)
A．x　　　B．　　　C．　　　D．
典例2：下列算式中：①；②；③；④
，其中正確的有②③．
練習(xí)：已知3x＋5y＝8，求的值．
解：.
典例3：計(jì)算：
(1)?；
解：原式＝；
(2)?．
解：原式＝.
典例4：化簡(jiǎn)求值：，其中a＝2，b＝－1.
解：原式＝－(8a＋5b)(4a＋b)＝－77.
練習(xí)：1.計(jì)算：(1) ；
解：原式＝；
(2)(x＋7)(x－3)．
解：原式＝＝.
2．先化簡(jiǎn)，再求值：(a＋2)(a－2)＋a(1－a)，其中a＝5.
解：原式＝；
當(dāng)a＝5時(shí)，原式＝5－4＝1.
典例5：分解因式：
(1)?；
解：原式＝＝(3x＋3y－2)(3x－3y＋2)；
(2)?；
解：原式＝；
(3)?.
解：原式＝
練習(xí)：分解因式：
(1)?；
解：原式＝
(2)?.
解：原式＝
典例6：若△ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c，且滿足＝2a＋2b＋2c，試判斷△ABC的形狀．
解：
∵＝2a＋2b＋2c，
∴，即，∴a＝1，b＝1，c＝1，故a＝b＝c，則△ABC為等邊三角形．
第十五章 ?分式
一、知識(shí)框架?：

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