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初中數學九大幾何模型
手拉手模型----旋轉型全等
等邊三角形






【條件】：△OAB和△OCD均為等邊三角形；
【結論】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE平分∠AED
等腰直角三角形






【條件】：△OAB和△OCD均為等腰直角三角形；
【結論】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE平分∠AED
頂角相等的兩任意等腰三角形

【條件】：△OAB和△OCD均為等腰三角形；
且∠COD=∠AOB
【結論】：①△OAC≌△OBD；
②∠AEB=∠AOB；
③OE平分∠AED


模型二：手拉手模型----旋轉型相似
一般情況
【條件】：CD∥AB，
將△OCD旋轉至右圖的位置

【結論】：①右圖中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；
②延長AC交BD于點E，必有∠BEC=∠BOA
特殊情況
【條件】：CD∥AB，∠AOB=90°
將△OCD旋轉至右圖的位置
【結論】：①右圖中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；
②延長AC交BD于點E，必有∠BEC=∠BOA；
③tan∠OCD；④BD⊥AC；
⑤連接AD、BC，必有；⑥
模型三、對角互補模型
全等型-90°
【條件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC平分∠AOB
【結論】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③
證明提示：
①作垂直，如圖2，證明△CDM≌△CEN
②過點C作CF⊥OC，如圖3，證明△ODC≌△FEC
※當∠DCE的一邊交AO的延長線于D時（如圖4）：
以上三個結論：①CD=CE；②OE-OD=OC；
③




全等型-120°
【條件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC平分∠AOB
【結論】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③
證明提示：①可參考“全等型-90°”證法一；
②如右下圖：在OB上取一點F，使OF=OC，證明△OCF為等邊三角形。





全等型-任意角ɑ
【條件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE；
【結論】：①OC平分∠AOB；②OD+OE=2OC·cosɑ；
③
※當∠DCE的一邊交AO的延長線于D時（如右下圖）：
原結論變成：① ；
② ；
③ 。
可參考上述第②種方法進行證明。請思考初始條件的變化對模型的影響。









對角互補模型總結：
①常見初始條件：四邊形對角互補，注意兩點：四點共圓有直角三角形斜邊中線；
②初始條件“角平分線”與“兩邊相等”的區別；
③注意OC平分∠AOB時，
∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB如何引導？



模型四：角含半角模型90°
角含半角模型90°---1
【條件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；
【結論】：①EF=DF+BE；②△CEF的周長為正方形ABCD周長的一半；
也可以這樣：
【條件】：①正方形ABCD；②EF=DF+BE；
【結論】：①∠EAF=45°；




角含半角模型90°---2
【條件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；
【結論】：①EF=DF-BE；








角含半角模型90°---3
【條件】：①Rt△ABC；②∠DAE=45°；
【結論】：（如圖1）
若∠DAE旋轉到△ABC外部時，結論仍然成立（如圖2）









角含半角模型90°變形
【條件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；
【結論】：△AHE為等腰直角三角形；
證明：連接AC（方法不唯一）
∵∠DAC=∠EAF=45°，
∴∠DAH=∠CAE，又∵∠ACB=∠ADB=45°；
∴△DAH∽△CAE，∴
∴△AHE∽△ADC，∴△AHE為等腰直角三角形

模型五：倍長中線類模型
倍長中線類模型---1
【條件】：①矩形ABCD；②BD=BE；
③DF=EF；
【結論】：AF⊥CF
模型提?。孩儆衅叫芯€AD∥BE；②平行線間線段有中點DF=EF；
可以構造“8”字全等△ADF≌△HEF。
倍長中線類模型---2
【條件】：①平行四邊形ABCD；②BC=2AB；③AM=DM；④CE⊥AB；
【結論】：∠EMD=3∠MEA
輔助線：有平行AB∥CD，有中點AM=DM，延長EM，構造△AME≌△DMF，連接CM構造
等腰△EMC，等腰△MCF。（通過構造8字全等線段數量及位置關系，角的大小轉化）




模型六：相似三角形360°旋轉模型
（1）相似三角形（等腰直角）360°旋轉模型---倍長中線法
【條件】：①△ADE、△ABC均為等腰直角三角形；②EF=CF；
【結論】：①DF=BF；②DF⊥BF
輔助線：延長DF到點G，使FG=DF，連接CG、BG、BD，證明△BDG為等腰直角三角形；
突破點：△ABD≌△CBG；
難點：證明∠BAO=∠BCG




（2）相似三角形（等腰直角）360°旋轉模型---補全法
【條件】：①△ADE、△ABC均為等腰直角三角形；②EF=CF；
【結論】：①DF=BF；②DF⊥BF
輔助線：構造等腰直角△AEG、△AHC；
輔助線思路：將DF與BF轉化到CG與EF。





任意相似直角三角形360°旋轉模型---補全法
【條件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；
【結論】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO
輔助線：延長BA到G，使AG=AB，延長CD到點H使DH=CD，補全△OGB、△OCH構造旋轉模型。轉化AE與DE到CG與BH，難點在轉化∠AED。






任意相似直角三角形360°旋轉模型---倍長法
【條件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；
【結論】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO
輔助線：延長DE至M，使ME=DE，將結論的兩個條件轉化為證明△AMD∽△ABO，此為難點，
將△AMD∽△ABC繼續轉化為證明△ABM∽△AOD，使用兩邊成比例且夾角相等，此處難點在證明∠ABM=∠AOD




模型七：最短路程模型
最短路程模型一（將軍飲馬類）
總結：右四圖為常見的軸對稱類最短路程問題，
最后都轉化到：“兩點之間，線段最短：解決；
特點：①動點在直線上；②起點，終點固定










最短路程模型二（點到直線類1）
【條件】：①OC平分∠AOB；②M為OB上一定點；③P為OC上一動點；④Q為OB上一動點；
【問題】：求MP+PQ最小時，P、Q的位置？
輔助線：將作Q關于OC對稱點Q’，轉化PQ’=PQ，過點M作MH⊥OA，
則MP+PQ=MP+PQ’MH(垂線段最短）




最短路程模型二（點到直線類2）
【條件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n）
【問題】：n為何值時，最??？
求解方法：①x軸上取C(2,0),使sin∠OAC=；②過B作BD⊥AC，交y軸于點E，即為所求；③tan∠EBO=tan∠OAC=，即E（0，1）







最短路程模型三（旋轉類最值模型）
【條件】：①線段OA=4，OB=2；②OB繞點O在平面內360°旋轉；
【問題】：AB的最大值，最小值分別為多少？
【結論】：以點O為圓心，OB為半徑作圓，如圖所示，將問題轉化為
“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”。
最大值：OA+OB；最小值：OA-OB



【條件】：①線段OA=4，OB=2；②以點O為圓心，OB，OC為半徑作圓；
③點P是兩圓所組成圓環內部（含邊界）一點；
【結論】：若PA的最大值為10，則OC= 6 ；若PA的最小值為1，則OC= 3 ；
若PA的最小值為2，則PC的取值范圍是 0


【條件】：①Rt△OBC，∠OBC=30°；
②OC=2；③OA=1；④點P為BC上動點（可與端點重合）；
⑤△OBC繞點O旋轉
【結論】：PA最大值為OA+OB=；PA的最小值為
如下圖，圓的最小半徑為O到BC垂線段長。








模型八：二倍角模型
【條件】：在△ABC中，∠B=2∠C；
輔助線：以BC的垂直平分線為對稱軸，作點A的對稱點A’，連接AA’、BA’、CA’、
則BA=AA’=CA’(注意這個結論）
此種輔助線作法是二倍角三角形常見的輔助線作法之一，不是唯一作法。







模型九：相似三角形模型
相似三角形模型--基本型
平行類：DE∥BC；
A字型 8字型 A字型
結論：(注意對應邊要對應）


相似三角形模型---斜交型
【條件】：如右圖，∠AED=∠ACB=90°；
【結論】：AE×AB=AC×AD



【條件】：如右圖，∠ACE=∠ABC；
【結論】：AC2=AE×AB

第四個圖還存在射影定理：AE×EC=BC×AC；BC2=BE×BA；CE2=AE×BE；
相似三角形模型---一線三等角型
【條件】：（1）圖：∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°；
（2）圖：∠ABC=∠ACE=∠CDE=60°；
（3）圖：∠ABC=∠ACE=∠CDE=45°；
【結論】：①△ABC∽△CDE；②AB×DE=BC×CD；
一線三等角模型也經常用來建立方程或函數關系。






相似三角形模型---圓冪定理型
【條件】：（2）圖：PA為圓的切線；
【結論】：（1）圖：PA×PB=PC×PD；
（2）圖：PA2=PC×PB;
（3）圖：PA×PB=PC×PD；
以上結論均可以通過相似三角形進行證明。

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