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問題一：等差數(shù)列、等比數(shù)列的證明問題
1
問題二：數(shù)列中的最值問題
16
問題三：由復(fù)雜遞推關(guān)系求解數(shù)列的通項(xiàng)公式問題
31
問題四：如何順暢求解復(fù)雜數(shù)列的求和問題
45
問題五：數(shù)列與不等式的相結(jié)合問題
60
問題六：數(shù)列中探索性問題
79
問題一：等差數(shù)列、等比數(shù)列的證明問題
翻看近幾年的高考題，有關(guān)證明、判斷數(shù)列是等差（等比）數(shù)列的題型比比皆是，主要證明方法有：利用等差、等比數(shù)列的定義、運(yùn)用等差或等比中項(xiàng)性質(zhì)、反證法、利用通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式，證明或判斷等差（等比）數(shù)列即數(shù)學(xué)歸納法.
題型一：利用等差（等比）數(shù)列的定義
用定義法判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，常采用的兩個(gè)式子和有差別，前者必須加上“”，否則時(shí)無意義；在等比數(shù)列中一樣有：時(shí)，有（常數(shù)）；②時(shí)，有（常數(shù)）．
【例1】【2016屆廣西河池高中高三上第五次月考】在數(shù)列中，．
（Ⅰ）證明數(shù)列成等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【分析】（Ⅰ）根據(jù)已知等式結(jié)合等比數(shù)列的定義證明，從而求得；（Ⅱ）先求得的表達(dá)式，再用錯(cuò)位相減法求得．
【解析】（Ⅰ）由條件得，又時(shí)，，
故數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．
從而，即．
（Ⅱ）由得，
兩式相減得：，
所以．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
【點(diǎn)評(píng)】證明數(shù)列成等比數(shù)列的關(guān)鍵是對(duì)已知條件兩邊同除以，構(gòu)造.
【小試牛刀】【2016屆安徽省馬鞍山二中等高三第三次聯(lián)考】已知數(shù)列滿足．
（1）求證：為等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；
（2）若，求的前n項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）．
題型二：運(yùn)用等差或等比中項(xiàng)性質(zhì)
是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，這是證明數(shù)列為等差（等比）數(shù)列的另一種主要方法．[]
【例2】正數(shù)數(shù)列和滿足：對(duì)任意自然數(shù)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列．證明：數(shù)列為等差數(shù)列．
【證明】依題意，，且，
．
．
由此可得．即．
數(shù)列為等差數(shù)列．
【點(diǎn)評(píng)】本題依據(jù)條件得到與的遞推關(guān)系，通過消元代換構(gòu)造了關(guān)于的等差數(shù)列，使問題得以解決．通過挖掘的意義導(dǎo)出遞推關(guān)系式，靈活巧妙地構(gòu)造得到中項(xiàng)性質(zhì)，這種處理大大簡(jiǎn)化了計(jì)算．
【小試牛刀】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)為，已知，且其中為常數(shù)．
（Ⅰ）求與的值；
（Ⅱ）證明數(shù)列為等差數(shù)列．
【解析】（Ⅰ）由，得．
把分別代入
，得
解得，，．
題型三：反證法
解決數(shù)學(xué)問題的思維過程，一般總是從正面入手，即從已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列的推理和運(yùn)算，最后得到所要求的結(jié)論，但有時(shí)會(huì)遇到從正面不易入手的情況，這時(shí)可從反面去考慮．如：
【例3】設(shè)是公比不相等的兩等比數(shù)列，．證明數(shù)列不是等比數(shù)列．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)、推理和運(yùn)算能力，對(duì)邏輯思維能力有較高要求．要證不是等比數(shù)列，只要由特殊項(xiàng)（如）就可否定．一般地講，否定性的命題常用反證法證明，其思路充分說明特殊化的思想方法與正難則反的思維策略的重要性?．??
【小試牛刀】
設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列．
（Ⅰ）推導(dǎo){an}的前n項(xiàng)和公式；
（Ⅱ）設(shè)q≠1，證明數(shù)列{an＋1}不是等比數(shù)列．
【解析】（Ⅰ）設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，
當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②
①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
∴Sn＝，∴Sn＝
（Ⅱ）假設(shè){an＋1}是等比數(shù)列，則對(duì)任意的k∈N
，
(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，
a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，
∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.
∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，這與已知矛盾．
∴假設(shè)不成立，
∴{an＋1}不是等比數(shù)列．
【點(diǎn)評(píng)】證明一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列或等比數(shù)列，有時(shí)也可假設(shè)前三項(xiàng)成等差數(shù)列或等比數(shù)列，推出矛盾，
題型四：利用通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式，證明或判斷等差（等比）數(shù)列
【例4】若是數(shù)列的前項(xiàng)和，,則是(
　　)
A．等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列
B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列
C．等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列
D.既非等數(shù)列又非等差數(shù)列
【分析】由知是的二次函數(shù)，并且缺少一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，符合等差數(shù)列的求和公式的形式.
【答案】B
【解析】用到上述方法，一下子就知道答案為B，大大
節(jié)約了時(shí)間，同時(shí)大大提高了命中率．
【點(diǎn)評(píng)】若數(shù)列通項(xiàng)能表示成（為常數(shù)）的形式，則數(shù)列是等差數(shù)列；若通項(xiàng)能表示成(均為不為0的常數(shù)，)的形式，則數(shù)列是等比數(shù)列．
若數(shù)列的前項(xiàng)和Sn能表示成
(a，b為常數(shù))的形式，則數(shù)列等差數(shù)列；若Sn能表示成(均為不等于0的常數(shù)且q≠1)的形式，則數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列．這些結(jié)論用在選擇填空題上可大大節(jié)約時(shí)間．
利用常規(guī)結(jié)論，證明或判斷等差（等比）數(shù)列
若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則
（1）數(shù)列（為不等于零的常數(shù)）仍是公比為的等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；
（3）數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；
（4）數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；
（5）在數(shù)列中，每隔項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來順序排列，所得新數(shù)列仍為等比數(shù)列且公比為；
（6），，等都是等比數(shù)列；
（7）若成等差數(shù)列時(shí)，成等比數(shù)列；
（8）均不為零時(shí)，則成等比數(shù)列；[]
（9）若是一個(gè)等差數(shù)列，則正項(xiàng)數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列．
若數(shù)列是公差為等差數(shù)列，則
（1）成等差數(shù)列，公差為（其中是實(shí)常數(shù)）；
（2），（為常數(shù)），仍成等差數(shù)列，其公差為；
（3）若都是等差數(shù)列，公差分別為，則是等差數(shù)列，公差為；
（4）當(dāng)數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列時(shí)，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列；
（5）成等差數(shù)列時(shí)，成等差數(shù)列．
評(píng)析：此題若用其它方法，解決起來要花比較多的時(shí)間，對(duì)于選擇題來說得不斷嘗試．記住上面這些結(jié)論，在做選擇填空題時(shí)可大大節(jié)約時(shí)間，并且能提高命中率．
　　從上面可以看出：證明或判斷等差（等比）數(shù)列的方法有許多種，作題時(shí)到底用何種方法，一般說來大題用前四種：定義法、運(yùn)用等差或等比中項(xiàng)性質(zhì)、運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法、反證法，但用后面的方法可以容易檢驗(yàn)出用前面的方法得出的結(jié)果是否正確，作小題應(yīng)該用后面的方法．
【小試牛刀】已知正數(shù)數(shù)列{an}對(duì)任意p，q∈N＋，都有ap＋q＝ap＋aq，若a2＝4，則a9＝(　　)
A．6　　　　　　　　　B．9
C．18
D．20
【答案】B
【解析】∵a2＝a1＋1＝a1＋a1＝4，∴a1＝2，令p＝n，q＝1，所以an＋1＝an＋a1，即an＋1－an＝2，∴{an}是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為2，公差為2，故a9＝2＋(9－1)×2＝18.
題型五：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法
【例5】數(shù)列的前項(xiàng)和記為，已知，．
證明：數(shù)列是等比數(shù)列．
【證明】由，，知，
，猜測(cè)是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：令.
(1)當(dāng)時(shí)，，成立．
(2)當(dāng)時(shí)，，成立．
假設(shè)時(shí)命題成立，即．
那么當(dāng)時(shí)，，命題成立．
綜上知是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．
【點(diǎn)評(píng)】用數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟：(1)證明當(dāng)時(shí)命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)且時(shí)命題成立，證明當(dāng)時(shí)命題成立.
由(1)，(2)可知，命題對(duì)一切正整數(shù)都成立.
【小試牛刀】已知數(shù)列滿足.
（Ⅰ）寫出，，，并推測(cè)的表達(dá)式；
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明推測(cè)的結(jié)論.
【解析】（Ⅰ）由，當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
故推測(cè).
[]
【遷移運(yùn)用】
1.
已知在正整數(shù)數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn＝(an＋2)2，則{an}為（
）數(shù)列．
A.
等差
B.等比
C.常數(shù)列
D.可能是等差數(shù)列也可能是等比數(shù)列
【答案】A
2.
等差數(shù)列的前項(xiàng)和為30，前項(xiàng)和為100則它的前項(xiàng)和為（　　）
A．130
B．170
C．210
D．260
【答案】C
【解析】由上面的性質(zhì)得：成等比數(shù)列，
故，
，
．故選C．
3.
已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n－2，n∈N
，則(　　)
A．{an}是遞增的等比數(shù)列
B．{an}是遞增數(shù)列，但不是等比數(shù)列
C．{an}是遞減的等比數(shù)列
D．{an}不是等比數(shù)列，也不單調(diào)
【答案】B
【解析】∵Sn＝3n－2，∴Sn－1＝3n－1－2，
∴an＝Sn－Sn－1＝3n－2－(3n－1－2)＝2×3n－1(n≥2)，
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1不適合上式，但a1＜a2＜a3＜….
4.
等差數(shù)列的公差，，前項(xiàng)和為，則對(duì)正整數(shù)，下列四個(gè)結(jié)論中：
（1）成等差數(shù)列，也可能成等比數(shù)列；
（2）成等差數(shù)列，但不可能成等比數(shù)列；
（3）可能成等比數(shù)列，但不可能成等差數(shù)列；
（4）不可能成等比數(shù)列，也不可能成等差數(shù)列；
正確的是
（
）
A.（1）（3）
B.（1）（4）
C.（2）（3）
D.（2）（4）
【答案】D
5.
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，其中為常數(shù)．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）當(dāng)為何值時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列？并說明理由．
【解析】（Ⅰ）由題設(shè)，，，
兩式相減，得，
∵，∴；
（Ⅱ）由題設(shè)，，，可得，
由（1）知，，若數(shù)列為等差數(shù)列，則，解得，
故，由此可得是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，，
是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，，
∴，，
因此當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.
6.
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，其中.
（Ⅰ）求證:是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求證:；
（Ⅲ）求證:.
【解析】（Ⅰ）當(dāng)n≥2，n∈N
時(shí)，由已知Sn＝nan－n(n－1)得Sn－1＝(n－1)an－1－(n－1)(n－2).
兩式相減得Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－2(n－1).又Sn－Sn－1＝an，所以(n－1)an－(n－1)an－1＝2(n－1).
即an－an－1＝2(n≥2，n∈N
)，且a1＝1
所以{an}是以1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列.
[]
7．【2016屆吉林省吉林大學(xué)附中高三上第四次摸底】設(shè)數(shù)列滿足：.
（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（Ⅱ）若，且對(duì)任意的正整數(shù)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）或.
【解析】（Ⅰ）因?yàn)椋?br/>①
，
②
②①，得，即，又因?yàn)椋?
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，所以.[]
由，可得.
由可得，所以.
故有最大值，所以對(duì)任意，有，所以，
即.則，所以，，解得或，
所以的取值范圍是
8.【2016屆陜西省商洛市商南高中高三上第二次模擬】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=4an﹣p，其中p是不為零的常數(shù)．
（1）證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
（2）當(dāng)p=3時(shí)，若數(shù)列{bn}滿足bn+1=bn+an（n∈N
），b1=2，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．
證明：（1）證：因?yàn)镾n=4an﹣p（n∈N
），則Sn﹣1=4an﹣1﹣p（n∈N
，n≥2），
所以當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=4an﹣4an﹣1，整理得．
由Sn=4an﹣p，令n=1，得a1=4a1﹣p，解得．
所以an是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．
（2）解：因?yàn)閍1=1，則，
由bn+1=an+bn（n=1，2，），得，
當(dāng)n≥2時(shí)，由累加得bn=b1+（b2﹣b′1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1）=，
9.【2016屆山東省棗莊八中高三上12月月考】在數(shù)列{an}中，已知．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
（3）設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn=an+bn，求{cn}的前n項(xiàng)和Sn．
【答案】（1）an=（）n，n∈N
；（2）見解析；（3）．
【解析】（1）在數(shù)列{an}中，∵，
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
∴an=（）n，n∈N
．
（2）∵，
∴=3n﹣2．
∴b1=1，bn+1﹣bn=3，
∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為b1=1，公差d=3的等差數(shù)列．
10．【2016屆寧夏石嘴山三中高三補(bǔ)習(xí)班上第三次適應(yīng)性考試】設(shè)數(shù)列{an}滿足當(dāng)n＞1時(shí)，．
（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）試問a1a2是否是數(shù)列{an}中的項(xiàng)．如果是，是第幾項(xiàng)；如果不是，說明理由．
【解析】（1）根據(jù)題意及遞推關(guān)系有an≠0，因?yàn)椋?br/>取倒數(shù)得：，即
所以數(shù)列是首項(xiàng)為5，公差為4的等差數(shù)列．
（2）由（1）得：，
又．
所以a1a2是數(shù)列{an}中的項(xiàng)，是第11項(xiàng)．
11.【2016屆黑龍江省哈爾濱師大附中高三12月考】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,若（）,且．
（Ⅰ）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明:（）．
【解析】（Ⅰ）由題設(shè),則，．
當(dāng)時(shí)，,
兩式相減得,
方法一：由，得，且．
則數(shù)列是常數(shù)列，即，也即
所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列
方法二：由，得，
兩式相減得,且
所以數(shù)列等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得,,,
當(dāng)時(shí),成立；
當(dāng)時(shí),
所以
12．【2016屆山東省棗莊市三中高三12月月考】已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為0，其前n項(xiàng)和為，且滿足，．
（1）求的值；
（2）求證是等差數(shù)列；
（3）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求
【答案】（1）；（2）見解析；（3），．
【解析】（1）因?yàn)椋裕矗?br/>因?yàn)椋裕?br/>（3）由（2）都是公差為2的等差數(shù)列，
當(dāng)時(shí)，，
所以，為偶數(shù)
當(dāng)時(shí)，，
所以
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)椋裕?br/>問題二：數(shù)列中的最值問題
數(shù)列中的最值常見題型有：求數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)、與有關(guān)的最值、求滿足數(shù)列的特定條件的最值、求滿足條件的參數(shù)的最值、實(shí)際問題中的最值及新定義題型中的最值問題等.
題型一：求數(shù)列的最大項(xiàng)
【例1】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為=，求的最大項(xiàng)．
【分析】思路1：利用基本不等式求解.思路2：求滿足的的值.[]
【評(píng)注】這類問題一般是利用基本不等式求解或求滿足的的值，從而找到最大項(xiàng)
【小試牛刀】【2015-2016學(xué)年湖南省常德石門一中高二上期中】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最大值為_____．
【答案】4
【解析】∵，化為，令，，解得，，，的最大值為4．
題型二：的最值問題
【例2】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N＋)，且Sn的最大值為8.
（Ⅰ）確定常數(shù)k，并求an；[]
(Ⅱ)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.
【分析】第（Ⅰ）問先根據(jù)n的二次函數(shù)求最值條件確定的值，并利用結(jié)論an＝求出通項(xiàng)即可；第(Ⅱ)問把第（Ⅰ）問的結(jié)果代入后錯(cuò)位相減求和．
【評(píng)注】
(1)一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解．
(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．
【小試牛刀】【2016屆河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期四調(diào)】設(shè)向量，（），若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最小值為
．
【答案】
【解析】
題型三：求滿足數(shù)列的特定條件的最值
【例3】【2016屆云南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三月考四】數(shù)列是等差數(shù)列，若，且它的前n項(xiàng)和有最大值，那么當(dāng)取得最小正值時(shí)，n等于（
）
A．17
B．16
C．15
D．14
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求前項(xiàng)和的最值.
【解析】∵數(shù)列的前n項(xiàng)和有最大值，∴數(shù)列為遞減數(shù)列，又，
且，又，故當(dāng)時(shí)，取得最小正值，故選C．
【小試牛刀】已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列{}滿足，且．
（Ⅰ）求，；
(Ⅱ)設(shè)為數(shù)列{}的前項(xiàng)和，求，并求滿足7時(shí)的最大值．
【解析】（Ⅰ）時(shí)，，
兩式相減，得
，
當(dāng)時(shí)，，又適合上式，.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，
…………①
…………②
①-②，得，
=
，
，
所以，，即遞增數(shù)列
又
當(dāng)時(shí)，的最大值為3.[]
題型四：求滿足條件的參數(shù)的最值
【例4】
己知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列的前四項(xiàng)和
，且，，成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ)設(shè)為
數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．
【分析】（Ⅰ）求等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本方法為待定系數(shù)法，即求出首項(xiàng)與公差即可，將題中兩個(gè)條件：
前四項(xiàng)和，且，，成等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程組
解出即得，（Ⅱ）本題先求數(shù)列的前n項(xiàng)和，這可利用裂項(xiàng)相消法，得到…，然后對(duì)恒成立問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，即分離變量為對(duì)恒成立，所以，從而轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)函數(shù)最值，因?yàn)?br/>，所以
【評(píng)注】求解與參數(shù)有關(guān)的問題，一般是分離變量，再構(gòu)造新函數(shù)求解.
【小試牛刀】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的正整數(shù)，不等式恒成立，則常數(shù)所能取得的最大整數(shù)為
.
【答案】5
【解析】要使恒成立，只需.
因
，
所以，
所以，所能取得的最大整數(shù)為5.
題型五：實(shí)際問題中的最值
【例5】為了保障幼兒園兒童的人身安全，國(guó)家計(jì)劃在甲、乙兩省試行政府規(guī)范購(gòu)置校車方案，計(jì)劃若干時(shí)間內(nèi)（以月為單位）在兩省共新購(gòu)1000輛校車．其中甲省采取的新購(gòu)方案是：本月新購(gòu)校車10輛，以后每月的新購(gòu)量比上一月增加50％；乙省采取的新購(gòu)方案是：本月新購(gòu)校車40輛，計(jì)劃以后每月比上一月多新購(gòu)m輛．
（Ⅰ）求經(jīng)過n個(gè)月，兩省新購(gòu)校車的總數(shù)S(n)；
（Ⅱ）若兩省計(jì)劃在3個(gè)月內(nèi)完成新購(gòu)目標(biāo)，求m的最小值．
【分析】本題主要考查實(shí)際問題、等差等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、不等式的解法等數(shù)學(xué)知識(shí)，考查學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力和計(jì)算能力.第一問，通過對(duì)題意的分析可知甲方案能構(gòu)成等比數(shù)列，而乙方案能構(gòu)成等差數(shù)列，利用等差等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式分別求和，再相加即可；第二問，利用第一問的結(jié)論，得出且，直接解不等式即可得到m的取值范圍，并寫出最小值.
（Ⅱ）若計(jì)劃在3個(gè)月內(nèi)完成新購(gòu)目標(biāo)，則S(3)≥1000，
所以，
解得≥277.5.又，所以的最小值為278.
【小試牛刀】某企業(yè)為節(jié)能減排，用萬元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)新設(shè)備用于生產(chǎn).
第一年需運(yùn)營(yíng)費(fèi)用萬元，從第二年起，每年運(yùn)營(yíng)費(fèi)用均比上一年增加萬元，該設(shè)備每年生產(chǎn)的收入均為萬元.
設(shè)該設(shè)備使用了年后，年平均盈利額達(dá)到最大值（盈利額等于收入減去成本），則等于（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【遷移運(yùn)用】
1.設(shè)an＝－3n2＋15n－18，則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)的值是(　　)．
A.
B.
C．4
D．0
【答案】D
【解析】∵an＝－3＋，由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)n＝2或3時(shí)，an最大，最大為0.
2.等差數(shù)列中，，是前n項(xiàng)和且，則當(dāng)（
）時(shí)，最大.
A.12
B.13
C．12或13
D．13或14
【答案】D
【解析】（函數(shù)法）由，可知，整理得.
所以.
又因?yàn)椋詃<0，且n∈,
故當(dāng)n=13或14時(shí)，最大.
3.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝13，S3＝S11，當(dāng)Sn最大時(shí)，n的值是(　　)
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】
C　
【解析一】由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a7＋a8＝0，根據(jù)首項(xiàng)等于13可推知這個(gè)數(shù)列遞減，從而得到a7＞0，a8＜0，故n＝7時(shí)，Sn最大．
【解析二】由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a(bǔ)1＝13代入，得d＝－2，
故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，知當(dāng)n＝7時(shí)，Sn最大．
【解析三】根據(jù)a1＝13，S3＝S11，則這個(gè)數(shù)列的公差不等于零，且這個(gè)數(shù)列的和先是單調(diào)遞增然后又單調(diào)遞減，根據(jù)公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，以及二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性，得只有當(dāng)n＝＝7時(shí)，Sn取得最大值．
4.數(shù)列{an}滿足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N
)，它的前n項(xiàng)和為Sn，則滿足Sn>1
025的最小n值是(　　)．
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】C
【解析】因?yàn)閍1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N
)，所以an＋1＝2an，an＝2n－1，Sn＝2n－1，則滿足Sn>1
025的最小n值是11.
5.在數(shù)列{an}中，an＝，則該數(shù)列前100項(xiàng)中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別是
(　　)
A．a(chǎn)1，a50
B．a(chǎn)1，a44
C．a(chǎn)45，a44
D．a(chǎn)45，a50
【答案】C
6.【2016屆重慶市南開中學(xué)高三12月月考】已知函數(shù)，且，設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最小值為（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】由題意可得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，代入由基本不等式可得．
由題意可得或
解得a=1或a=-4，
當(dāng)a=-1時(shí)，，數(shù)列{an}不是等差數(shù)列；
當(dāng)a=-4時(shí)，，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
∵n為正數(shù)，故當(dāng)n=3時(shí)原式取最小值，故選D．
7.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3.則滿足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為________．
【答案】12
8.
【2016屆江蘇省鹽城市鹽阜中學(xué)高三上12月月】等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S10=0，S15=25，則nSn的最小值為
．
【答案】﹣49
【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，
∵S10=10a1+45d=0，S15=15a1+105d=25，
∴a1=﹣3，d=，
∴Sn=na1+d=n2﹣n，
∴nSn=n3﹣n2，令nSn=f（n），
∴f′（n）=n2﹣n，
∴當(dāng)n=時(shí)，f（n）取得極值，當(dāng)n＜時(shí)，f（n）遞減；當(dāng)n＞時(shí)，f（n）遞增；
因此只需比較f（6）和f（7）的大小即可．
f（6）=﹣48，f（7）=﹣49，
故nSn的最小值為﹣49．
故答案為：﹣49．
9.【2016屆河北省正定中學(xué)高三上第五次月考】已知數(shù)列滿足，，則的最小值為
．
【答案】
10.已知等差數(shù)列滿足：，且，，成等比數(shù)列.
[]
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得？若存在，求的最小值；
若不存在，說明理由.
【解析】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為，依題意，，，成等比數(shù)列，故有，
化簡(jiǎn)得，解得或.
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
從而得數(shù)列的通項(xiàng)公式為或.
11.已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N
)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列．
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ)設(shè)Tn＝Sn－(n∈N
)，求數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值．
【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
因?yàn)镾3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列，
所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，
即4a5＝a3，于是q2＝＝.
又{an}不是遞減數(shù)列且a1＝，所以q＝－.
故等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為
an＝×＝(－1)n－1·.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得Sn＝1－＝
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而減小，
所以1故0當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而增大，
所以＝S2≤Sn<1，故0>Sn－≥S2－＝－＝－.
綜上，對(duì)于n∈N
，總有－≤Sn－≤.
所以數(shù)列{Tn}最大項(xiàng)的值為，最小項(xiàng)的值為－.
12.【2016屆上海市七校高三上12月聯(lián)考】公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1、a2、a5成等比數(shù)列，且該數(shù)列的前10項(xiàng)和為100．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若bn=an﹣10，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn的最小值．
【答案】（1）an=2n﹣1；（2）﹣25．
（2）∵bn=an﹣10=2n﹣11，
∴=2﹣11=﹣9，bn﹣bn﹣1=（2n﹣11）﹣[2（n﹣1）﹣11]=2，
∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為﹣9，公差為2的等差數(shù)列，
Tn==n2﹣10n=（n﹣5）2﹣25．
∴當(dāng)n=5時(shí)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn的最小值為﹣25．
13.【2015北京理20】已知數(shù)列滿足：，，且
，記集合.[]
（1）若，寫出集合的所有元素；
（2）若集合存在一個(gè)元素時(shí)3的倍數(shù)，證明：的所有元素都是3的倍數(shù)；
（3）求集合的元素個(gè)數(shù)的最大值.
（3）由，，，可歸納證明.因?yàn)槭钦麛?shù)，，所以是2的倍數(shù).
從而當(dāng)時(shí)，是的倍數(shù).
如果是3的倍數(shù)，由（2）知對(duì)所有正整數(shù)，是3的倍數(shù)，因此當(dāng)時(shí)，，這時(shí)，中的元素的個(gè)數(shù)不超過5.如果不是3的倍數(shù)，由（2）知，對(duì)所有的正整數(shù)，不是3的倍數(shù)，因此當(dāng)時(shí)，，這時(shí)的元素的個(gè)數(shù)不超過8.
當(dāng)時(shí)，有8個(gè)元素.
綜上可知，集合的元素個(gè)數(shù)的最大值為8.
14.【2015四川理16】設(shè)數(shù)列（）的前項(xiàng)和滿足，且，，成等差數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使得成立的的最小值.
（2）由（1）可得，所以.
由，得，即.
因?yàn)椋?
所以使成立的的最小值為.
問題三：由復(fù)雜遞推關(guān)系求解數(shù)列的通項(xiàng)公式問題
遞推公式是給出數(shù)列的一種重要方法，利用遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，通常將所給遞推關(guān)系式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃握?如累加、累乘、待定系數(shù)等，構(gòu)造或轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后求通項(xiàng).
題型一：用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)
【例1.】【2016屆福建省三明一中高三上第二次月考】在數(shù)列中，
，，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式=
．
【分析】題目已知條件是，且）形式，用疊加原理求解.
【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)，且）滿足一定條件時(shí)，可用…來求通項(xiàng)，這種方法通常叫累加法.
本題用到裂項(xiàng)相消求和，相消時(shí)應(yīng)注意消去的項(xiàng)規(guī)律，及消去哪些項(xiàng)，保留哪些項(xiàng)，于是前項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和.還有不少同學(xué)會(huì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，認(rèn)為或是常數(shù)，實(shí)際上或是個(gè)變量，變化隨之改變.
【小試牛刀】在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，有an＝an－1＋2n－1(n≥2)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【解析】∵an＝an－1＋2n－1(n≥2)．
∴an－an－1＝2n－1(n≥2)．
則有
上述n－1個(gè)式子的等號(hào)兩端分別相加可得：an－a1＝n2－1，
∴an＝n2.
又∵a1也滿足上式，所以an＝n2.
題型二：利用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)
【例2】設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，則
.
【分析】觀察已知的遞推式，用十字交叉法分解因式，可求得與的關(guān)系式，再用累乘法求解.
【點(diǎn)評(píng)】形如型的遞推公式常用累乘法.當(dāng)為常數(shù)且不等于0時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列，；當(dāng)為函數(shù)時(shí)，
.
本題可思考為常數(shù)數(shù)列.
【小試牛刀】在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為
．
【答案】(n∈N
)
【解析】an＝···…···a1＝×××…×××1＝，
又∵a1也滿足上式，∴an＝(n∈N
)．
題型三：用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)
【例3】【2016屆寧夏六盤山高中高三上學(xué)期第二次月考】已知數(shù)列滿足，且=2，則=__________．
【分析】變形為，構(gòu)造新數(shù)列求解.
【解析】，，即數(shù)列是以3為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列，則，即；故填．
【點(diǎn)評(píng)】數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，通過遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)再猜想數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，要驗(yàn)證通項(xiàng)的正確性.
易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是只考慮了前3項(xiàng)，就猜想出.用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)，要仔細(xì)觀察遞推等式，選準(zhǔn)要構(gòu)造的新數(shù)列的形式，再確定系數(shù).
【小試牛刀】【2016屆云南師范大附中高考適應(yīng)性月考】已知數(shù)列滿足，，，，則
．
【答案】．
【解析】且，，又，，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，，，．故應(yīng)填．
題型四．利用與的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)
【例4】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn，滿足Tn＝2Sn－n2，n∈N
.
（Ⅰ）求a1的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
【分析】
第1步
賦值n＝1，可求a1；第2步
當(dāng)時(shí)，由，，
找出與的關(guān)系式；第3步
變形．
【評(píng)析】（Ⅰ）有的考生思維定勢(shì)，只會(huì)使用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，未想到Sn＝Tn－Tn－1(n≥2)致使出錯(cuò)；
（Ⅱ）在使用an＝Sn－Sn－1求an時(shí)，不少考生漏掉了n≥2這一前提條件，有的對(duì)n＝1的情況也沒有驗(yàn)證，應(yīng)引起注意．
【小試牛刀】【2016屆貴州市興義市八中高三上第四次月考】已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，則__________．
【答案】
【解析】由條件，得，所以．又滿足，所以．
題型5
：遞推公式為（其中，均為常數(shù)）.
解法一（待定系數(shù)——迭加法）:
【例5.】數(shù)列：，
，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【分析一】解法一(待定系數(shù)法)：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足.
【分析二】(特征根法)：對(duì)于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程.
若是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）.
【解法一】（待定系數(shù)——迭加法）:
由，得
，
且。
則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
于是.
把代入，得
，，，，.
把以上各式相加，得。
。
【解法二】（特征根法）：數(shù)列：，
的特征方程是：。,。
又由，于是
故.
例:
已知數(shù)列中，,,，求.
解：由可轉(zhuǎn)化為
即或
這里不妨選用（當(dāng)然也可選用，大家可以試一試），
則是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
所以,應(yīng)用類型1的方法，分別令，代入上式得個(gè)等式累加之，即
又，所以.
【小試牛刀】已知數(shù)列滿足
（Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；[]
（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（III）若數(shù)列滿足證明是等差數(shù)列
（Ⅰ）【證明】
是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列
（Ⅱ）【解析】由（Ⅰ）得
　　
[]
【遷移運(yùn)用】
1.已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N
)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是(　　)
A．2n－1
B.
C．n2
D．n
【答案】D
【解法一】(構(gòu)造法)由已知整理得(n＋1)an＝nan＋1，
∴＝，∴數(shù)列是常數(shù)列．
且＝＝1，∴an＝n.
【解法二】(累乘法)：n≥2時(shí)，＝，＝.
…
＝，＝，
兩邊分別相乘得＝n，又因?yàn)閍1＝1，∴an＝n.
2.
【2016屆河北省邯鄲市一中高三一輪收官考試】數(shù)列中，，，（，），則
．
【答案】
【解析】因?yàn)椋裕詳?shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，所以．
3.數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，{bn}為等差數(shù)列且bn＝an＋1－an(n∈N＋)．若b3＝－2，b10＝12，則a8＝(　　)
A．0　　　　　　B．3
C．8
D．11
【答案】B
【解析】由已知得bn＝2n－8，an＋1－an＝2n－8，
所以a2－a1＝－6，a3－a2＝－4，…，a8－a7＝6，
由累加法得a8－a1＝－6＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝0，
所以a8＝a1＝3.
4.正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n∈N
，n≥2)，則a7＝________.
【答案】
5.在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，則{an}的通項(xiàng)公式為
．
【答案】
【解析】∵an＝an－1＋(n≥2)，
∴an＝3an－1＋4，∴an＋2＝3(an－1＋2)．
又a1＋2＝3，故數(shù)列{an＋2}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列．
∴an＋2＝3n，即an＝3n－2.
6.
已知數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝，則其通項(xiàng)公式為________．
【答案】
【解析】?jī)蛇吶〉箶?shù)，得＝＝2＋，故有－＝2.
故數(shù)列是首項(xiàng)為＝，公差為2的等差數(shù)列，
所以＝＋2(n－1)＝，故an＝.[]
7．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，(n－1)an＝n×2nan－1(n∈N，n≥2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．
【答案】n×2
8.在數(shù)列中，，
則數(shù)列的通項(xiàng)通項(xiàng)
．[]
【答案】
【解析】∵
∴，
兩式相減得：，∴，
又，，
∴（），
又當(dāng)時(shí)，，故
.
9．【2016屆重慶市第一中學(xué)高三12月月考】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
（1）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，若對(duì)于任意正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知，令可得，又，
所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以．
（2）由已知可求得，，所以，則．
10．【2016屆江蘇省鹽城市鹽阜中學(xué)高三上12月月測(cè)】已知{an}的前n項(xiàng)和Sn，an＞0且an2+2an=4Sn+3
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若bn=，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn．
【答案】（1）an=2n+1；
（2）．
【解析】（1）證明：∵3+4Sn=an2+2an，3+4Sn+1=an+12+2an+1，
兩式相減整理可得（an+1+an）（an+1﹣an﹣2）=0，
∵n≥1時(shí)，an＞0，
∴an+1﹣an﹣2=0，
∴an+1﹣an=2，
n=1時(shí)，a1=﹣1（舍去），a1=3
∴{an}成等差數(shù)列，首項(xiàng)為3，公差為2，
∴an=2n+1
（2）∵bn=，
∴bn==[]
∴{bn}的前n項(xiàng)和Tn=[+…+]=[]=
11．【2016屆河南省信陽高中高三上第八次月考】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=n（2﹣Sn），n∈N
，若bn≤λ，n∈N
恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
（3）設(shè)Cn=，Tn是數(shù)列{Cn}的前n項(xiàng)和，證明≤Tn＜1．
【答案】（1）；
（2）λ≥2．
（3）．
【解析】（1）由已知得，其中n∈N
∴數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，
又首項(xiàng)，則，∴
（2）由（1）知[]
∴
兩式相減得：，
∴，∴
∵bn=n（2﹣Sn），∴，
∴
則當(dāng)n=1，b2﹣b1＞0，即b2＞b1，
當(dāng)n≥2，bn+1﹣bn＜0，即bn+1＜bn，b2是最大項(xiàng)且b2=2，
∴λ≥2．
證明：（3）由（1）得，，
∴=
又令f（n）=，顯然f（n）在n∈N
時(shí)單調(diào)遞減，
∴0＜f（n）≤f（1）=，
故
12．【2016屆重慶市巴蜀中學(xué)高三上學(xué)期一診模擬】已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）整理得，
所以數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
所以，所以．
（2）由（1）知，，
，①
，②
①-②有，
解得：．
13.【2015湖南文19】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，
且.
（1）證明：；
（2）求.
（2）由（I）知，，所以，于是數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，（于是
從而，
綜上所述，.
14.【2015浙江文17】已知數(shù)列和滿足，
.
(1)求與;
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.
問題四：如何順暢求解復(fù)雜數(shù)列的求和問題
數(shù)列求和數(shù)歷年高考命題的熱點(diǎn)，數(shù)列求和的方法取決于其通項(xiàng)公式的形式，基本思路是將其轉(zhuǎn)化為等成數(shù)列或等比數(shù)列的求和問題進(jìn)行求解.
一、公式法
公式法是數(shù)列求和的最基本的方法．也是數(shù)列求和的基礎(chǔ)．其他一些數(shù)列的求和可以轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和.利用等比數(shù)列求和公式,當(dāng)公比是用字母表示時(shí)，應(yīng)對(duì)其是否為1進(jìn)行討論．
【例1】設(shè)為等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求．
【分析】利用等差數(shù)列的求和找、的等式，解出、，判斷數(shù)列的類型，在用公式求解.
【評(píng)析】直接應(yīng)用公式求和時(shí)，要注意公式的應(yīng)用范圍，如當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為參數(shù)(字母)時(shí)，應(yīng)對(duì)其公比是否為1進(jìn)行討論．常用的數(shù)列求和公式有：
等差數(shù)列前項(xiàng)和公式：??
．[]
等比數(shù)列前項(xiàng)和公式：
．
自然數(shù)方冪和公式：
[]
【小試牛刀】【2016屆河北省衡水二中高三上學(xué)期期中】的值為（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
二、分組法
將數(shù)列的每一項(xiàng)拆成多項(xiàng)，然后重新分組，將一般的數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列求和問題.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將通項(xiàng)變形.
“合項(xiàng)”法是利用加法的交換律和結(jié)合律將“不規(guī)則和”轉(zhuǎn)化為“規(guī)則和”，化繁為簡(jiǎn).
【例2】
【
2016屆河北省衡水中學(xué)高三二調(diào)】已知數(shù)列中，，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】分偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)分別求和
【解析】由題易知數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別組成一1,1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，所以不難得到前100項(xiàng)的和．
，故選A．
【評(píng)注】某些數(shù)列的求和是將數(shù)列分解轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，這就要通過對(duì)數(shù)列通項(xiàng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行分析研究，將數(shù)列的通項(xiàng)合理分解轉(zhuǎn)化．特別注意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的討論．
【小試牛刀】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列是以函數(shù)的最小正周期為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.[]
三、裂項(xiàng)相消法
此類變形的特點(diǎn)是將原數(shù)列每一項(xiàng)拆為兩項(xiàng)之后，其中中間的大部分項(xiàng)都互相抵消了．只剩下有限的幾項(xiàng)．注意：余下的項(xiàng)前后的位置前后是對(duì)稱的．余下的項(xiàng)前后的正負(fù)性是相反的．常用的裂項(xiàng)公式：[]
【
例3】已知數(shù)列前項(xiàng)和為，首項(xiàng)為，且，，成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）數(shù)列滿足，求證：．
【分析】（Ⅰ）根據(jù)成等差數(shù)列，可得，
當(dāng)時(shí)，得到，
當(dāng)時(shí)，由，得到
，知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列.（Ⅱ）由于
利用“裂項(xiàng)相消法”求和
“放縮”即得.
（Ⅱ）
，
=.
【評(píng)注】在應(yīng)用裂項(xiàng)相消法時(shí)，要注意消項(xiàng)的規(guī)律具有對(duì)稱性，即前剩多少項(xiàng)則后剩多少項(xiàng)．常用的裂項(xiàng)公式：
．
！=！！
【小試牛刀】【2016屆湖南省長(zhǎng)沙明德中學(xué)高三上第三次月考】數(shù)列1，，，…，的前項(xiàng)和
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因?yàn)椋裕蕬?yīng)選．
四、錯(cuò)位相減法
若數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，由這兩個(gè)數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積組成的新數(shù)列，當(dāng)求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，常常采用將各項(xiàng)乘以的公比，并向后錯(cuò)一項(xiàng)與原的同次項(xiàng)對(duì)應(yīng)相減的方法.錯(cuò)位相減法實(shí)際上是把一個(gè)數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和的問題.
注意：
要考慮
當(dāng)公比為1時(shí)為特殊情況
，
錯(cuò)位相減時(shí)要注意末項(xiàng).
【例4】
已知數(shù)列，滿足，,，
.
（Ⅰ）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【分析】（Ⅰ）由，得，數(shù)列是等差數(shù)列.（Ⅱ）用錯(cuò)位相減法求解.
【解析】∵，∴，由，
∴，化簡(jiǎn)得：，∵，
∴，即，
而，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.
∴，即，∴.
【評(píng)注】利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等．在應(yīng)用錯(cuò)位相減法時(shí)，注意觀察未合并項(xiàng)的正負(fù)號(hào)．
【小試牛刀】【2016屆重慶市巴蜀中學(xué)高三上學(xué)期一診模擬】已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）整理得，
所以數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
所以，所以．
（2）由（1）知，，
，①
，②
①-②有，
解得：．
五.
數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和問題
【例5】在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比數(shù)列．
(Ⅰ)求d，an；
（Ⅱ）若d<0，求|a1|＋|a2|＋…＋|an|.
【評(píng)注】
(Ⅰ)本題求解用了分類討論思想，求數(shù)列{|an|}的和時(shí)，因?yàn)閍n有正有負(fù)，所以應(yīng)分兩類分別求和．
（Ⅱ）常出現(xiàn)的錯(cuò)誤：①當(dāng)n≤11時(shí)，求{|an|}的和，有的學(xué)生認(rèn)為就是S11＝110；②當(dāng)n≥12時(shí)，求{|an|}的和，有的學(xué)生不能轉(zhuǎn)化為2(a1＋a2＋…＋a11)－(a1＋a2＋…＋an)，導(dǎo)致出錯(cuò)．
求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和一般步驟如下：
第一步：求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和；
第二步：令an≤0(或an≥0)確定分類標(biāo)準(zhǔn)；
第三步：分兩類分別求前n項(xiàng)和；
第四步：用分段函數(shù)形式下結(jié)論；
第五步：反思回顧：查看{|an|}的前n項(xiàng)和與{an}的前n項(xiàng)和的關(guān)系，以防求錯(cuò)結(jié)果．
【牛刀小試】【2016屆浙江寧波效實(shí)中學(xué)高三上期中考試】數(shù)列的前項(xiàng)和為，則
；數(shù)列的前10項(xiàng)和
．
【答案】，．
【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴，∴．
【遷移運(yùn)用】
1.【
2016屆浙江省余姚中學(xué)高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列滿足：，且，則的值為（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?br/>，所以，故應(yīng)選．
2.
【2014年杭州模擬】已知函數(shù)f(x)＝x2＋2bx過(1,2)點(diǎn)，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則S2
014的值為(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
3.
已知函數(shù)f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100等于（
）
A．0
B．100
C．－100
D．10
200
【答案】B
【解析】由題意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100
＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012
＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)
＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)
＝－1＋101＝100.故選B.
4.【2016屆學(xué)年江西省新余一中等校高三聯(lián)考模擬】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，令，記數(shù)列的前n項(xiàng)為
，則
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根據(jù)題意有，所以有，所以，故選D．
5.【2016屆學(xué)年江西省新余一中等校高三聯(lián)考模擬】數(shù)列的通項(xiàng)公式是，則該數(shù)列的前100項(xiàng)之和為
A．
B．
C．200
D．100
【答案】D
【解析】根據(jù)題意有，故選D．
6.
設(shè)f(x)＝，若S＝f()＋f()＋…＋f()，則S＝________.
【答案】1
007
【解析】∵f(x)＝，∴f(1－x)＝＝，
∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝1.
S＝f()＋f()＋…＋f()，
①
S＝f()＋f()＋…＋f()，
②
①＋②得，2S＝[f()＋f()]＋[f()＋f()]＋…＋[f()＋f()]＝2
014，
∴S＝＝1
007.
7.【2016屆甘肅省蘭州一中高三12月月考】數(shù)列的通項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，則=
．
【答案】200
．
8.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N
)，則S2
012
。
【答案】
【解析】a1＝1，a2＝＝2，又＝＝2.
∴＝2.∴a1，a3，a5，…成等比數(shù)列；a2，a4，a6，…成等比數(shù)列，
∴S2
012＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2
011＋a2
012
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2
011)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2
012)
＝＋＝3·21
006－3.
9.【2016屆云南省玉溪市一中高三上學(xué)期期中】數(shù)列的通項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，則為
．
【答案】470．
【解析】
，
故答案應(yīng)填：470．
10.數(shù)列{an}滿足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則{an}的前60項(xiàng)和為________．
【答案】1830
11．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn＝(－1)nan－，n∈N＋，則：
(Ⅰ)a3＝________；
（Ⅱ）S1＋S2＋…＋S100＝________.
【答案】(Ⅰ)－　（Ⅱ）
【解析】∵an＝Sn－Sn－1＝(－1)nan－－(－1)n－1an－1＋，
∴an＝(－1)nan－(－1)n－1an－1＋.
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an－1＝－，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，2an＋an－1＝，
∴當(dāng)n＝4時(shí)，a3＝－＝－.
根據(jù)以上{an}的關(guān)系式及遞推式可求．
a1＝－，a3＝－，a5＝－，a7＝－，
a2＝，a4＝，a6＝，a8＝.
∴a2－a1＝，a4－a3＝，a6－a5＝，…，
∴S1＋S2＋…＋S100＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a100－a99)－
＝.
12.
【2016屆福建省上杭縣一中高三12月考】已知等差數(shù)列的公差，其前項(xiàng)和為，若，且成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】（1）依題意，得，即，得．
，．∴數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2），
．
，，故，又為單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，故．
13.
直線ln：y＝x－與圓Cn：x2＋y2＝2an＋n交于不同的兩點(diǎn)An，Bn，n∈N＋.數(shù)列{an}滿足：a1＝1，
an＋1＝|AnBn|2.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若bn＝求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
【解析】(Ⅰ)由題意，知圓Cn的圓心到直線ln的距離dn＝，半徑rn＝，
所以an＋1＝(|AnBn|)2＝r－d＝(2an＋n)－n＝2an.
又a1＝1，所以an＝2n－1.
（Ⅱ）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)
＝[1＋5＋…＋(2n－3)]＋(2＋23＋…＋2n－1)
＝＋＝＋(2n－1)．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n＋1為偶數(shù)，
Tn＋1＝＋(2n＋1－1)＝＋(2n＋1－1)．
而Tn＋1＝Tn＋bn＋1＝Tn＋2n，所以Tn＝＋(2n－2)．
所以Tn＝
14.(山東省青島市高三3月統(tǒng)一質(zhì)量檢測(cè)考試2)在數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，滿足.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（Ⅱ）設(shè)（為正整數(shù)）,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】(Ⅰ)由題設(shè)得:,所以，
所以
,
當(dāng)時(shí)，,數(shù)列是為首項(xiàng)、公差為的等差數(shù)列，
故.
（Ⅱ）由(Ⅰ)知:
,
，
，
，
設(shè)，
則，
兩式相減得：，
整理得：
,[]
所以
.
15.
在等比數(shù)列{an}中，an>0(n∈N＋)，公比q∈(0,1)，且a3a5＋2a4a6＋a3a9＝100，又4是a4與a6的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列{|bn|}的前n項(xiàng)和Sn.
（Ⅱ）∵bn＝log2an＝7－n，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn＝，
∴當(dāng)1≤n≤7時(shí)，bn≥0，∴Sn＝.
當(dāng)n≥8時(shí)，bn<0，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋b7－(b8＋b9＋…＋bn)
＝－(b1＋b2＋…＋bn)＋2(b1＋b2＋…＋b7)
＝－＋2×＝.
∴Sn＝
問題五：數(shù)列與不等式的相結(jié)合問題
數(shù)列與不等式的交匯題，是高考數(shù)學(xué)的常見題型.
對(duì)數(shù)列不等式綜合題的解答，往往要求能夠熟練應(yīng)用相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，同時(shí)還應(yīng)具備比較嫻熟的代數(shù)變換技能和技巧.
近年數(shù)列與不等式交匯題考查點(diǎn)：
1．以客觀題考查不等式的性質(zhì)、解法與數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列的簡(jiǎn)單交匯.
2．以解答題以中檔題或壓軸題的形式考查數(shù)列與不等式的交匯，還有可能涉及到導(dǎo)數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)的知識(shí)等，深度考查不等式的證明(主要比較法、綜合法、分析法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法)和邏輯推理能力及分類討論、化歸的數(shù)學(xué)思想，試題新穎別致，難度相對(duì)較大.
3．將數(shù)列與不等式的交匯滲透于遞推數(shù)列及抽象數(shù)列中進(jìn)行考查，主要考查轉(zhuǎn)化及方程的思想.[]
題型一：最值問題
求解數(shù)列中的某些最值問題，有時(shí)須結(jié)合不等式來解決，其具體解法有：（1）建立目標(biāo)函數(shù)，通過不等式確定變量范圍，進(jìn)而求得最值；（2）首先利用不等式判斷數(shù)列的單調(diào)性，然后確定最值；（3）利用條件中的不等式關(guān)系確定最值.
【例1】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，
則的最大值為______.
【分析】根據(jù)條件將前4項(xiàng)與前5項(xiàng)和的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項(xiàng)與公差的不等式，然后利用此不等關(guān)系確定公差的范圍，由此可確定的最大值.
【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，且，，
所以，即，
所以，
所以，則，即.
所以，
故的最大值為4.
【評(píng)注】本題最值的確定主要是根據(jù)條件的不等式關(guān)系來求最值的，其中確定數(shù)列的公差是解答的關(guān)鍵，同時(shí)解答中要注意不等式傳遞性的應(yīng)用.
【小試牛刀】【2016屆浙江省嘉興一中等高三第一次五校聯(lián)】已知等差數(shù)列的等差，且，，
成等比數(shù)列，若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則的最小值為（
）
A．4
B．
3
C．
D．
【答案】A．
題型二:恒成立問題
求解數(shù)列與不等式結(jié)合恒成立條件下的參數(shù)問題主要兩種策略：（1）若函數(shù)在定義域?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，有恒成立；恒成立；（2）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列等數(shù)列知識(shí)化簡(jiǎn)不等式，再通過解不等式解得.
【例2】已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和滿足．
（Ⅰ）求證：為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，不等式4恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【分析】本題考查等差數(shù)列的判斷，裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和，利用不等式恒成立求參數(shù)的范圍.
（Ⅰ）由代入，變形整理得出數(shù)列是等差數(shù)列，從而可求出；（Ⅱ）先用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和為，再求的取值范圍，最后根據(jù)不等式4恒成立，求出實(shí)數(shù)的取值范圍．
【評(píng)注】數(shù)列中與的關(guān)系的運(yùn)用一定要注意題目的條件，有時(shí)變形為與的關(guān)系，也有時(shí)變形為與的關(guān)系.
使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．
【小試牛刀】【2016屆湖北武漢華中師大第一附中高三上期中】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，對(duì)任意正整數(shù)，都有，則的值為(
)
A.1006
B.1007
C.1008
D.1009
【答案】C
【解析】
由上述可知對(duì)任意正整數(shù)，都有，，故答案選
題型三：證明問題
此類不等式的證明常用的方法：（1）比較法，特別是差值比較法是最根本的方法；（2）分析法與綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法分析；（3）放縮法，主要是通過分母分子的擴(kuò)大或縮小、項(xiàng)數(shù)的增加與減少等手段達(dá)到證明的目的.
【例3】設(shè)數(shù)列滿足，，其中為實(shí)數(shù).
（Ⅰ）證明：對(duì)任意成立的充分必要條件是；
(Ⅱ)設(shè)，證明：；
（Ⅲ）設(shè)，證明：.
【分析】第（Ⅰ）小題可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明；
第
(Ⅱ)小題可利用綜合法結(jié)合不等關(guān)系的迭代；
第
（Ⅲ）小題利用不等式的傳遞性轉(zhuǎn)化等比數(shù)列，然后利用前項(xiàng)和求和，再進(jìn)行適當(dāng)放縮.
【解析】（Ⅰ）必要性：∵，，
又∵，∴，即，
充分性：設(shè)，對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法證明.
（1）當(dāng)時(shí)，.
（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，
則，且，
∴，這就是說時(shí)，.[]
由（1）、（2）知，當(dāng)時(shí)，知對(duì)所有成立.
綜上所述，對(duì)任意成立的充分必要條件是.
（Ⅱ）設(shè)，當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立.
當(dāng)時(shí)，由，∴，
∵，由(Ⅰ)知，所以，且，
∴，
∴，
∴.
(Ⅲ)設(shè)，當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立.
當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）知，
∴，
∴
.
∴，不等式恒成立.
【評(píng)注】本題是數(shù)列與不等式、數(shù)學(xué)歸納法的知識(shí)交匯題，屬于難題，此類試題在高考中點(diǎn)占有一席之地.應(yīng)用放縮法證明不等式的關(guān)鍵.
其一，選擇適當(dāng)?shù)姆趴s因子（即放縮的對(duì)象），其二，放大或縮小的幅度，這時(shí)幅度要合適，且力求計(jì)算量不要太大.
【小試牛刀】【2015屆江蘇省鹽城中學(xué)高三上學(xué)期12月月考】已知等差數(shù)列的公差，其前項(xiàng)和為，若，且成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
題型四：探索性問題
數(shù)列與不等式中的探索性問題主要表現(xiàn)為存在型，解答的一般策略：先假設(shè)所探求對(duì)象存在或結(jié)論成立，以此假設(shè)為前提條件進(jìn)行運(yùn)算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設(shè)不成立，從而得到“否定”的結(jié)論，即不存在.若推理不出現(xiàn)矛盾，能求得在范圍內(nèi)的數(shù)值或圖形，就得到肯定的結(jié)論，即得到存在的結(jié)果.
【例4】已知等差數(shù)列滿足：，且、、成等比數(shù)列.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（Ⅱ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)，使得若存在，求的最小值；若不存在，說明理由.
【分析】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)成等比數(shù)列求得的值，從而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求出，解不等式求出滿足條件的的.
【解析】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為，依題意，，，成等比數(shù)列，
故有，
化簡(jiǎn)得，解得或.
當(dāng)時(shí)，；[]
當(dāng)時(shí)，，
從而得數(shù)列的通項(xiàng)公式為或.
【評(píng)注】本題的表示式有兩種，需要對(duì)著兩種情況討論，再確定是否存在滿足題意的.
解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題的關(guān)鍵是從題設(shè)中提煉出數(shù)列的基本條件，綜合函數(shù)與不等式的知識(shí)求解；數(shù)列是特殊的函數(shù)，以數(shù)列為背景的不等式證明問題及以函數(shù)為背景的數(shù)列的綜合問題體現(xiàn)了在知識(shí)交匯點(diǎn)上命題的特點(diǎn)．
與數(shù)列有關(guān)的探索問題：第一步：假設(shè)符合條件的結(jié)論存在；第二步：從假設(shè)出發(fā)，利用題中關(guān)系求解；第三步，確定符合要求的結(jié)論存在或不存在；第四步：給出明確結(jié)果；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn).
【小試牛刀】是否存在一個(gè)等比數(shù)列同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：
①且；
②；
③至少存在一個(gè)，使得，，依次構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出通項(xiàng)公式；若不存在，說明理由.
題型五:新定義題型
【例5】【2016屆北京市海淀區(qū)高三上學(xué)期期中考試】對(duì)于數(shù)列，都有為常數(shù)）成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．
（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且具有性質(zhì)，則t的最大值為
；
（2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且具有性質(zhì)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
．
【答案】（1）；（2）
【解析】(1)
所以數(shù)列是遞增數(shù)列
即
因?yàn)椋陨鲜交?jiǎn)為，得
故的最大值
（2）由已知條件得
所以數(shù)列是遞增數(shù)列
即
因?yàn)椋陨鲜交?jiǎn)為，
令
由三次函數(shù)的圖像性質(zhì)可知為或或或
，，，
所以
所以
故的取值范圍為
評(píng)注：高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型是通過給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，
解答新穎性的數(shù)學(xué)題，一是通過轉(zhuǎn)化，化“新”為“舊”；二是通過深入分析，多方聯(lián)想，以“舊”攻“新”；三是創(chuàng)造性地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，以“新”制“新”，應(yīng)特別關(guān)注創(chuàng)新題型的切入點(diǎn)和生長(zhǎng)點(diǎn).
創(chuàng)新題型大致有結(jié)構(gòu)形式新、問題情境新、表達(dá)方式新、設(shè)問角度新、思維方式新、知識(shí)交匯新等.
新穎的題目難度在“新”上，只要心態(tài)平和認(rèn)真讀題，按題目要求，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題，應(yīng)該能順利完成.
【小試牛刀】若有窮數(shù)列（是正整數(shù)），滿足，即
（是正整數(shù)，且），就稱該數(shù)列為“對(duì)稱數(shù)列”.
（Ⅰ）已知數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為7的對(duì)稱數(shù)列，且成等差數(shù)列，，試寫出的每一項(xiàng).
（Ⅱ）已知是項(xiàng)數(shù)為的對(duì)稱數(shù)列，且構(gòu)成首項(xiàng)為50，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則當(dāng)為何值時(shí)，取到最大值？最大值為多少？
（Ⅲ）對(duì)于給定的正整數(shù)，試寫出所有項(xiàng)數(shù)不超過的對(duì)稱數(shù)列，使得成為數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，試求其中一個(gè)數(shù)列的前2008項(xiàng)和.
【解析】（1）設(shè)的公差為，則，解得
，
數(shù)列為．
（Ⅱ），
[]
，
當(dāng)時(shí)，取得最大值．的最大值為626．
（Ⅲ）所有可能的“對(duì)稱數(shù)列”是：
①
；
②
；
③
；
④
．
對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，
．
對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，．
對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，．
對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，．
【遷移運(yùn)用】
1.
【2015浙江理3】已知是等差數(shù)列，公差不為零，前項(xiàng)和是，若成等比數(shù)列，則（
）．
A.
B.
C.
D.
【答案】B
2.【2015北京理6】設(shè)是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是（
）.
A.若，則
B.若，則
C.若，則
D.若，則
【答案】C
3.設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，則“”是數(shù)列是遞增數(shù)列的（
）
A.
充分不必要條件
B.
必要不充分條件
C.充要條件
D.
既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)椋裕獾茫遥?br/>所以數(shù)列是遞增數(shù)列；反之，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則公比且，
所以，即.
故“”是
是數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件，選C.
4.設(shè)是公差為的無窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列命題錯(cuò)誤的是（
）
A.若，則數(shù)列有最大項(xiàng)
B.若數(shù)列有最大項(xiàng)，則
C.若數(shù)列是遞增數(shù)列，則對(duì)任意，均有
D.
若對(duì)任意，均有，則數(shù)列是遞增數(shù)列
【答案】C
【解析】選項(xiàng)C顯然是錯(cuò)的，舉出反例：—1，0，1，2，3，…．滿足數(shù)列{S
n}是遞增數(shù)列，但是S
n＞0不成立．故選C.
5．【2016屆福建省上杭縣一中高三12月】函數(shù)若數(shù)列滿足，且是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因?yàn)椋沁f增數(shù)列，所以函數(shù)為增函數(shù)，需滿足三個(gè)條件
，解不等式組得實(shí)數(shù)的取值范圍是，選C．
6．【2015-2016學(xué)年遼寧省鞍山市一中等校高二上期末】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)之積為，若，則的最小值為（
）．
A．7
B．8
C．
D．
【答案】A
7.【2016屆重慶市南開中學(xué)高三12月月考】已知數(shù)列滿足：，則（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】，
，故選B．
8．【2016屆遼寧省葫蘆島市一中高三上學(xué)期期中】已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)，等式成立，若數(shù)列滿足，，且，則下列結(jié)論成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令可得：，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以，所以．當(dāng)時(shí)，，，所以．
設(shè)，且，則，所以，所以
，即，所以是上單調(diào)遞減函數(shù)．因?yàn)椋裕?，即，而，即，這表明出數(shù)列為單調(diào)遞減，所以，，，，而是上單調(diào)遞減函數(shù)，所以，，，，故應(yīng)選．
9．【2016屆寧夏銀川一中高三上學(xué)期第三次月考】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為=，其中a、b、c均為正數(shù)，那么與的大小是
（
）
A．>
B．<
C．=
D．與n的取值有關(guān)
【答案】B
【解析】，所以，故選B．
10.【2015屆江蘇省泰興市高三上學(xué)期期中考試】已知，設(shè)為數(shù)列的最大項(xiàng)，則
．
【答案】8
【解析】因?yàn)?br/>，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以為數(shù)列的最大項(xiàng)，
8
11.已知數(shù)列和滿足，若為
等比數(shù)列，且.
（Ⅰ）求與；
（Ⅱ）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為
()求；
()求正整數(shù)，使得對(duì)任意，均有.
【解析】（Ⅰ）由題意知，，
所以，
又由得公比（舍去），
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
所以，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
12.在平面上有一點(diǎn)列，，…，，…，對(duì)每個(gè)自然數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)、點(diǎn)與點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)以為頂點(diǎn)的等腰三角形.
（Ⅰ）求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的表達(dá)式；
（Ⅱ）若對(duì)每個(gè)自然數(shù)，以，，為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形，求的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè).若取（Ⅱ）中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，求數(shù)列的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù).
【解析】（Ⅰ）由題意，，∴．
（Ⅱ）∵函數(shù)遞減，
∴對(duì)每個(gè)自然數(shù)，有，
則以，，為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形的充要條件是，
即，
解得或，
∴．
（Ⅲ）∵，
∴，．
數(shù)列是一個(gè)遞減的正數(shù)數(shù)列.對(duì)每個(gè)自然數(shù)，．
于是當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此，數(shù)列的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)滿足不等式且.
由，得，∴.
13.設(shè)（，），（，）是函數(shù)的圖象上的任意兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)時(shí)，求+的值；
（2）設(shè)，其中，求
（3）對(duì)應(yīng)（2）中，已知，其中，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證.
【解析】（1)
且，
，
，
，
，
[]
，解得，
，
，
，是單調(diào)遞減數(shù)列，
，
又
，
綜上所述：．
14.【2016屆遼寧省大連市八中高三12月月考】已知數(shù)列中，函數(shù)．
（1）若正項(xiàng)數(shù)列滿足，試求出，，，由此歸納出通項(xiàng)，并加以證明；
（2）若正項(xiàng)數(shù)列滿足（n∈N
），數(shù)列的前項(xiàng)和為Tn，且，求證：．
【答案】（1），；（2）證明見解析．
【解析】（1）依題意，
，，
，由此歸納得出：
；
證明如下：
∵，∴，∴，
∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，
∴，∴；
問題六：數(shù)列中探索性問題
近幾年的高考試卷中經(jīng)常出現(xiàn)以數(shù)列為載體的探索性問題，這類問題不僅考查學(xué)生的探索能力，而且給學(xué)生提供了創(chuàng)新思維的空間，而這類問題有下列三類題型：規(guī)律探索性問題；條件探索性問題；結(jié)論探索性問題.現(xiàn)將這三類問題的解法總結(jié)如下，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.
題型一：條件探索性問題
對(duì)于條件開放的探索性問題，往往采用分析法，從結(jié)論和部分已知的條件入手，執(zhí)果索因，導(dǎo)出所需的條件．另外，需要注意的是，這一類問題所要求的往往是問題的充分條件，而不一定是充要條件，因此，直覺聯(lián)想、較好的洞察力都將有助于這一類問題的解答．
【例1】【2016屆江蘇省揚(yáng)州中學(xué)高三12月月考】已知數(shù)列為等差數(shù)列，，的前和為，數(shù)列為等
比數(shù)列，且對(duì)任意的恒成立．
（Ⅰ）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在非零整數(shù)，使不等式對(duì)一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
（Ⅲ）各項(xiàng)均為正整數(shù)的無窮等差數(shù)列，滿足，且存在正整數(shù)k，使成等比數(shù)列，若數(shù)列的公差為d，求d的所有可能取值之和．
【分析】（Ⅰ）因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，所以取，又知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，設(shè)出首項(xiàng)，公差，公比解方程組即可；（Ⅱ））由，得，設(shè)，則不等式等價(jià)于，問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，因，利用知單調(diào)遞增，求的最小值，再根據(jù)求解；（Ⅲ）特殊情況時(shí)，成立，當(dāng)d＞0時(shí)，，，由等比中項(xiàng)知，化簡(jiǎn)得，整理得：，由，所以，根據(jù)，故，從而，所以公差d的所有可能取值之和為．
法2：因?yàn)?br/>①
對(duì)任意的恒成立
則（）
②
①②得，又，也符合上式，所以
由于為等差數(shù)列，令，則，
因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，則（為常數(shù)），
即對(duì)于恒成立，
，所以．
又，所以，故．
（Ⅱ）由，得，
設(shè)，則不等式等價(jià)于．
∵，且，∴，數(shù)列單調(diào)遞增．
假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)一切都成立，則
①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，得；
②
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，得，即．
綜上，，由是非零整數(shù)，可知存在滿足條件．
（Ⅲ）易知d=0，成立．
當(dāng)d＞0時(shí)，，
，
，
，
，
，
又，，
，，所以公差d的所有可能取值之和為．……16分
【評(píng)注】第一問采取特殊化的思想，轉(zhuǎn)化為聯(lián)立方程組求首項(xiàng)，公差公比問題，比較容易解決；第二問學(xué)會(huì)構(gòu)造數(shù)列，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的最小值，選擇做商的方法研究數(shù)列的單調(diào)性，進(jìn)而求其最值，特別注意最后結(jié)果需要對(duì)分奇偶討論；第三問通過等比中項(xiàng)，構(gòu)造公差和項(xiàng)數(shù)的方程，利用項(xiàng)數(shù)是正整數(shù)，分析對(duì)公差的要求，進(jìn)而得到的可能取值，此類問題雖然比較常見，但是對(duì)變形、運(yùn)算、分析能力要求很高．
【小試牛刀】
數(shù)列滿足：.
（Ⅰ）證明：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是；
（Ⅱ）求的取值范圍，使數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.
【解析】（Ⅰ）必要條件：當(dāng)時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列。
充分條件：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，
得：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是。
題型二：結(jié)論探索性問題
探索結(jié)論型問題是指那些題目結(jié)論不明確、或者答案不唯一，給同學(xué)們留有較大探索余地的試題．一般是由給定的已知條件求相應(yīng)的結(jié)論。它要求同學(xué)們充分利用已知條件進(jìn)行猜想、透徹分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲取結(jié)論，這一類問題立意于對(duì)發(fā)散思維能力的培養(yǎng)和考察，具有開放性，解法活、形式新，無法套用統(tǒng)一的解題模式，不僅有利于考查和區(qū)分同學(xué)們的數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新能力，而且還可以有效地檢測(cè)和區(qū)分考生的學(xué)習(xí)潛能，因而受到各方面的重視，近年來已成為高考試題的一個(gè)新亮點(diǎn)．
【例2】【2016屆江蘇省清江中學(xué)高三上測(cè)評(píng)】已知數(shù)列中，（為非零常數(shù)），其前n項(xiàng)和滿足．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，且，求的值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，數(shù)列中滿足的最大項(xiàng)恰為第項(xiàng)？
若存在，分別求出與的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】(1)先由得，
，兩式相減整理得，，
再相減化為，故是等差數(shù)列，；(2)先求出代入整理得，只有且，解得；(3)先排除的情況，再求得時(shí)有，再由對(duì)任意正數(shù)成立可得
，最后驗(yàn)證得．
【解析】（1）由已知，得，∴，
則有，∴，[]
即，，
兩式相加，得，
即，
故數(shù)列是等差數(shù)列，
又，∴
（2）若，則，∴，
由，得，即，
∴．
∵43是質(zhì)數(shù)，，，
∴，解得，
【評(píng)注】判定一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列的常見方法是：①驗(yàn)證時(shí)為同一常數(shù)；②驗(yàn)證時(shí)，恒成立；③驗(yàn)證；④驗(yàn)證．本題（1）運(yùn)用了方法②．
【小試牛刀】從數(shù)列中抽出一些項(xiàng)，依原來的順序組成的新數(shù)列叫數(shù)列的一個(gè)子列.
（Ⅰ）寫出數(shù)列的一個(gè)是等比數(shù)列的子列；
（Ⅱ）若是無窮等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比且，則數(shù)列是否存在一個(gè)子列
為無窮等差數(shù)列？若存在，寫出該子列的通項(xiàng)公式；若不存在，證明你的結(jié)論.
【解析】（Ⅰ）（若只寫出2,8,32三項(xiàng)也給滿分）.
（Ⅱ）證明：假設(shè)能抽出一個(gè)子列為無窮等差數(shù)列，設(shè)為，通項(xiàng)公式為.因?yàn)椋?
（1）當(dāng)時(shí)，∈（0，1]，且數(shù)列是遞減數(shù)列，
所以也為遞減數(shù)列且∈（0，1]，,
令，得，
即存在使得，這與∈（0，1]矛盾.
綜上，所以數(shù)列不存在是無窮等差數(shù)列的子列.
題型三：存在性探索問題
通常假定題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立)或暫且認(rèn)可其中的一部分的結(jié)論，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出肯定結(jié)論．其中反證法在解題中起著重要的作用．
【例3】【2016屆江西省南昌市二中高三上第四次考試】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為滿足
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前項(xiàng)和；[來源:學(xué)
科
網(wǎng)]
（Ⅱ）是否存在非零實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列？并說明理由
【分析】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為,由又，解得,
由此即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即，所以，然后再利用裂項(xiàng)相消法即可求出結(jié)果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，若是等比數(shù)列，則有而，所以矛盾，故數(shù)列不是等比數(shù)列．
（Ⅱ）因?yàn)?br/>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以，若是等比數(shù)列，則有而，所以矛盾，故數(shù)列不是等比數(shù)列．
【評(píng)注】裂項(xiàng)相消在使用過程中有一個(gè)很重要得特征，就是能把一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)裂為兩項(xiàng)的差，其本質(zhì)就是兩大類型,類型一:型，通過拼湊法裂解成；類型二：通過有理化、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、階乘和組合數(shù)公式直接裂項(xiàng)型；該類型的特點(diǎn)是需要熟悉無理型的特征，對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和階乘和組合數(shù)公式。無理型的特征是，分母為等差數(shù)列的連續(xù)兩項(xiàng)的開方和，形如型，常見的有①；②對(duì)數(shù)運(yùn)算本身可以裂解；
【小試牛刀】在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，，，是前項(xiàng)和．
（Ⅰ）若，求實(shí)數(shù)的值；
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)，使得數(shù)列的所有項(xiàng)都在數(shù)列中？若存在，求出所有的，若不存在，說明理由；
（Ⅲ）是否存在正實(shí)數(shù)，使得數(shù)列中至少有三項(xiàng)在數(shù)列中，但中的項(xiàng)不都在數(shù)列中？若存在，求出一個(gè)可能的的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．[]
【解析】（Ⅰ）對(duì)等比數(shù)列，公比．
因?yàn)椋裕?br/>解方程，
得或．
因?yàn)椋裕甗]
（Ⅲ）由題意，因?yàn)樵谥校灾兄辽俅嬖谝豁?xiàng)在中，另一項(xiàng)不在中.
由得，
取得，即.
取4，得（舍負(fù)值）。此時(shí).
當(dāng)時(shí)，，，對(duì)任意，.
綜上，取．
(此問答案不唯一，請(qǐng)參照給分)
【遷移運(yùn)用】
1.已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，若對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍_______.
【答案】
2.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的正整數(shù)，不等式恒成立，則常數(shù)所能取得的最大整數(shù)為
.
【答案】5
【解析】要使恒成立，只需.
因
，
所以，所以，所能取得的最大整數(shù)為5.
3.設(shè)等差數(shù)列滿足公差,,且數(shù)列中任意兩項(xiàng)之和也是該數(shù)列的一項(xiàng).若，則的所有可能取值之和為_________________.
【答案】
【解析】設(shè)設(shè)等差數(shù)列中的任意兩項(xiàng)，由已知得，，，則，設(shè)是數(shù)列中的第項(xiàng)，則有，即，，故的所有可能取值為，其和為．
4．【2016屆江蘇省南通市石莊高中高三上第三次調(diào)研】已知非零數(shù)列{an}滿足a1=1，anan+1=an﹣2an+1（n∈N
）．
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）若關(guān)于n的不等式＜m﹣3有解，求整數(shù)m的最小值；
（3）在數(shù)列中，是否存在首項(xiàng)、第r項(xiàng)、第s項(xiàng)（1＜r＜s≤6），使得這三項(xiàng)依次構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出所有的r、s；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解析】（1）證明：由anan+1=an﹣2an+1，
得，即，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列；
（2）由（1）可得，，
故，
設(shè)，
則，
所以f（n）單調(diào)遞增，
則，于是，即，
故整數(shù)m的最小值為4；
（3）由上面得，，
設(shè)，
要使得b1，br，bs成等差數(shù)列，即b1+bs=2br，
即3+2s﹣（﹣1）s=2r+1﹣2（﹣1）r，
得2s﹣2r+1=（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3，
∵s≥r+1，∴（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3≥0，
∴，
故s為偶數(shù)，r為偶數(shù)，
∵3≤s＜6，∴s=4，r=3或s=6，r=5．
5．【2015-2016學(xué)年山東省棗莊市三中10月學(xué)情調(diào)查】數(shù)列滿足（）,
（1）證明為等差數(shù)列并求；
（2）設(shè)，數(shù)列的前n
項(xiàng)和為，求；
（3）設(shè)，，是否存在最小的正整數(shù)使對(duì)任意，有成立？設(shè)若存在，求出的值，若不存在，說明理由．
【答案】（1）詳見答案；（2）；（3）
【解析】（1）證明：
即，為等差數(shù)列．
，，又由題知．
（2）解：，
，兩式相減得
6．【2016屆福建省廈門一中高三上學(xué)期期中】已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，成等差數(shù)列，且
（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求，并求滿足的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
，滿足的值為2．
【解析】（Ⅰ）依題意有
由于，故
，
又，從而，
由已知可得
，
故
，
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，，所以
，
由
得
，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)不滿足，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，遞減，
所以滿足的的值為，即滿足的的值為．
7．【2016屆浙江省嘉興一中等高三第一次五校聯(lián)考】已知數(shù)列
（1）若，對(duì)于任意，不等式恒成立，求的取值范圍
（2）求證：()
【答案】（1）；（2）詳見解析．
【解析】（1）由題意得，令，
∴[]
，即單調(diào)遞增，∴，故問題等價(jià)于
，又∵，，
且，∴的取值范圍是；（2）∵，∴，
∴，，……，
，累加得：，
∴，
∴，
要證原不等式成立，只需證：，
，時(shí)顯然成立，時(shí)，左邊
，故原不等式成立．
8．【2016屆山東師大附中高三上學(xué)期第三次模擬】已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足．
（1）求；
（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求，并求滿足時(shí)的最大值．
【答案】（1），；（2），的最大值為3．
（2）由（1）知，
∴
①，
②，
①－②，得，
∴．
∵，
∴，即為遞增數(shù)列．
又，，
∴時(shí)，的最大值為3．
9.在等差數(shù)列中，已知，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較與的大小．
10.已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝3，且an＋1＝an＋2an－1(n≥2)．
（Ⅰ）設(shè)bn＝an＋1＋λan，是否存在實(shí)數(shù)λ，使數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．若存在，求出λ的值，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.
【解析】（Ⅰ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，
設(shè)＝q(n≥2)，即an＋1＋λan＝q(an＋λan－1)，
得an＋1＝(q－λ)an＋qλan－1.
與已知an＋1＝an＋2an－1比較，得
解得λ＝1或λ＝－2.
所以存在實(shí)數(shù)λ，使數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．
當(dāng)λ＝1時(shí)，q＝2，b1＝4，則數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列；
當(dāng)λ＝－2時(shí)，q＝－1，b1＝1，則數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公比為－1的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＋1－2an＝(－1)n＋1(n≥1)，
所以－＝＝(n≥1)，
當(dāng)n≥2時(shí)，＝＋
.
因?yàn)椋揭策m合上式，
所以n≥1)．
所以an＝[2n＋1＋(－1)n]．
則Sn＝[(22＋23＋…＋2n＋1)＋((－1)1＋(－1)2＋…＋(－1)n)]
.
11.等差數(shù)列的公差為，且．若設(shè)是從開始的前項(xiàng)數(shù)列的和，即，，如此下去，其中數(shù)列是從第開始到第)項(xiàng)為止的數(shù)列的和，即．
（Ⅰ）若數(shù)列,試找出一組滿足條件的,使得：
；
（Ⅱ）試證明對(duì)于數(shù)列，一定可通過適當(dāng)?shù)膭澐郑顾玫臄?shù)列中的各數(shù)都為平方數(shù)；
（Ⅲ）若等差數(shù)列中．試探索該數(shù)列中是否存在無窮整數(shù)數(shù)列,使得為等比數(shù)列,如存在,就求出數(shù)列；如不存在，則說明理由．
【解析】（Ⅰ）則.
（Ⅱ）記即,又由，,所以第二段可取3個(gè)數(shù)，；再由，即,因此第三段可取9個(gè)數(shù)，即，依次下去,
一般地:,，
所以，
，
則．
由此得證．
20090318數(shù)列版塊
目錄
TOC
\o
"1-3"
\h
\z
\u
問題一：等差數(shù)列、等比數(shù)列的證明問題
1
問題二：數(shù)列中的最值問題
16
問題三：由復(fù)雜遞推關(guān)系求解數(shù)列的通項(xiàng)公式問題
31
問題四：如何順暢求解復(fù)雜數(shù)列的求和問題
45
問題五：數(shù)列與不等式的相結(jié)合問題
60
問題六：數(shù)列中探索性問題
79
問題一：等差數(shù)列、等比數(shù)列的證明問題
翻看近幾年的高考題，有關(guān)證明、判斷數(shù)列是等差（等比）數(shù)列的題型比比皆是，主要證明方法有：利用等差、等比數(shù)列的定義、運(yùn)用等差或等比中項(xiàng)性質(zhì)、反證法、利用通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式，證明或判斷等差（等比）數(shù)列即數(shù)學(xué)歸納法.
題型一：利用等差（等比）數(shù)列的定義
用定義法判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，常采用的兩個(gè)式子和有差別，前者必須加上“”，否則時(shí)無意義；在等比數(shù)列中一樣有：時(shí)，有（常數(shù)）；②時(shí)，有（常數(shù)）．
【例1】【2016屆廣西河池高中高三上第五次月考】在數(shù)列中，．
（Ⅰ）證明數(shù)列成等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【小試牛刀】【2016屆安徽省馬鞍山二中等高三第三次聯(lián)考】已知數(shù)列滿足．
（1）求證：為等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；
（2）若，求的前n項(xiàng)和．
題型二：運(yùn)用等差或等比中項(xiàng)性質(zhì)
是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，這是證明數(shù)列為等差（等比）數(shù)列的另一種主要方法．[]
【例2】正數(shù)數(shù)列和滿足：對(duì)任意自然數(shù)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列．證明：數(shù)列為等差數(shù)列．
【小試牛刀】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)為，已知，且其中為常數(shù)．
（Ⅰ）求與的值；
（Ⅱ）證明數(shù)列為等差數(shù)列．
題型三：反證法
解決數(shù)學(xué)問題的思維過程，一般總是從正面入手，即從已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列的推理和運(yùn)算，最后得到所要求的結(jié)論，但有時(shí)會(huì)遇到從正面不易入手的情況，這時(shí)可從反面去考慮．如：
【例3】設(shè)是公比不相等的兩等比數(shù)列，．證明數(shù)列不是等比數(shù)列．
【小試牛刀】
設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列．
（Ⅰ）推導(dǎo){an}的前n項(xiàng)和公式；
（Ⅱ）設(shè)q≠1，證明數(shù)列{an＋1}不是等比數(shù)列．
題型四：利用通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式，證明或判斷等差（等比）數(shù)列
【例4】若是數(shù)列的前項(xiàng)和，,則是(
　　)
A．等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列
B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列
C．等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列
D.既非等數(shù)列又非等差數(shù)列
【小試牛刀】已知正數(shù)數(shù)列{an}對(duì)任意p，q∈N＋，都有ap＋q＝ap＋aq，若a2＝4，則a9＝(　　)
A．6　　　　　　　　　B．9
C．18
D．20
題型五：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法
【例5】數(shù)列的前項(xiàng)和記為，已知，．
證明：數(shù)列是等比數(shù)列．
【小試牛刀】已知數(shù)列滿足.
（Ⅰ）寫出，，，并推測(cè)的表達(dá)式；
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明推測(cè)的結(jié)論.
【遷移運(yùn)用】
1.
已知在正整數(shù)數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn＝(an＋2)2，則{an}為（
）數(shù)列．
A.
等差
B.等比
C.常數(shù)列
D.可能是等差數(shù)列也可能是等比數(shù)列
2.
等差數(shù)列的前項(xiàng)和為30，前項(xiàng)和為100則它的前項(xiàng)和為（　　）
A．130
B．170
C．210
D．260
3.
已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n－2，n∈N
，則(　　)
A．{an}是遞增的等比數(shù)列
B．{an}是遞增數(shù)列，但不是等比數(shù)列
C．{an}是遞減的等比數(shù)列
D．{an}不是等比數(shù)列，也不單調(diào)
4.
等差數(shù)列的公差，，前項(xiàng)和為，則對(duì)正整數(shù)，下列四個(gè)結(jié)論中：
（1）成等差數(shù)列，也可能成等比數(shù)列；
（2）成等差數(shù)列，但不可能成等比數(shù)列；
（3）可能成等比數(shù)列，但不可能成等差數(shù)列；
（4）不可能成等比數(shù)列，也不可能成等差數(shù)列；
正確的是
（
）
A.（1）（3）
B.（1）（4）
C.（2）（3）
D.（2）（4）
5.
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，其中為常數(shù)．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）當(dāng)為何值時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列？并說明理由．
6.
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，其中.
（Ⅰ）求證:是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求證:；
（Ⅲ）求證:.
[]
7．【2016屆吉林省吉林大學(xué)附中高三上第四次摸底】設(shè)數(shù)列滿足：.
（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（Ⅱ）若，且對(duì)任意的正整數(shù)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
8.【2016屆陜西省商洛市商南高中高三上第二次模擬】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=4an﹣p，其中p是不為零的常數(shù)．
（1）證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
（2）當(dāng)p=3時(shí)，若數(shù)列{bn}滿足bn+1=bn+an（n∈N
），b1=2，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．
9.【2016屆山東省棗莊八中高三上12月月考】在數(shù)列{an}中，已知．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
（3）設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn=an+bn，求{cn}的前n項(xiàng)和Sn．
10．【2016屆寧夏石嘴山三中高三補(bǔ)習(xí)班上第三次適應(yīng)性考試】設(shè)數(shù)列{an}滿足當(dāng)n＞1時(shí)，．
（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）試問a1a2是否是數(shù)列{an}中的項(xiàng)．如果是，是第幾項(xiàng)；如果不是，說明理由．
11.【2016屆黑龍江省哈爾濱師大附中高三12月考】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,若（）,且．
（Ⅰ）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明:（）．
12．【2016屆山東省棗莊市三中高三12月月考】已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為0，其前n項(xiàng)和為，且滿足，．
（1）求的值；
（2）求證是等差數(shù)列；
（3）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求
問題二：數(shù)列中的最值問題
數(shù)列中的最值常見題型有：求數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)、與有關(guān)的最值、求滿足數(shù)列的特定條件的最值、求滿足條件的參數(shù)的最值、實(shí)際問題中的最值及新定義題型中的最值問題等.
題型一：求數(shù)列的最大項(xiàng)
【例1】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為=，求的最大項(xiàng)．
【小試牛刀】【2015-2016學(xué)年湖南省常德石門一中高二上期中】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最大值為_____．
題型二：的最值問題
【例2】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N＋)，且Sn的最大值為8.
（Ⅰ）確定常數(shù)k，并求an；[]
(Ⅱ)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.
【小試牛刀】【2016屆河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期四調(diào)】設(shè)向量，（），若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最小值為
．
題型三：求滿足數(shù)列的特定條件的最值
【例3】【2016屆云南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三月考四】數(shù)列是等差數(shù)列，若，且它的前n項(xiàng)和有最大值，那么當(dāng)取得最小正值時(shí)，n等于（
）
A．17
B．16
C．15
D．14
【小試牛刀】已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列{}滿足，且．
（Ⅰ）求，；
(Ⅱ)設(shè)為數(shù)列{}的前項(xiàng)和，求，并求滿足7時(shí)的最大值．
題型四：求滿足條件的參數(shù)的最值
【例4】
己知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列的前四項(xiàng)和
，且，，成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ)設(shè)為
數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．
【小試牛刀】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的正整數(shù)，不等式恒成立，則常數(shù)所能取得的最大整數(shù)為
.
題型五：實(shí)際問題中的最值
【例5】為了保障幼兒園兒童的人身安全，國(guó)家計(jì)劃在甲、乙兩省試行政府規(guī)范購(gòu)置校車方案，計(jì)劃若干時(shí)間內(nèi)（以月為單位）在兩省共新購(gòu)1000輛校車．其中甲省采取的新購(gòu)方案是：本月新購(gòu)校車10輛，以后每月的新購(gòu)量比上一月增加50％；乙省采取的新購(gòu)方案是：本月新購(gòu)校車40輛，計(jì)劃以后每月比上一月多新購(gòu)m輛．
（Ⅰ）求經(jīng)過n個(gè)月，兩省新購(gòu)校車的總數(shù)S(n)；
（Ⅱ）若兩省計(jì)劃在3個(gè)月內(nèi)完成新購(gòu)目標(biāo)，求m的最小值．
【小試牛刀】某企業(yè)為節(jié)能減排，用萬元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)新設(shè)備用于生產(chǎn).
第一年需運(yùn)營(yíng)費(fèi)用萬元，從第二年起，每年運(yùn)營(yíng)費(fèi)用均比上一年增加萬元，該設(shè)備每年生產(chǎn)的收入均為萬元.
設(shè)該設(shè)備使用了年后，年平均盈利額達(dá)到最大值（盈利額等于收入減去成本），則等于（
）
A.
B.
C.
D.
【遷移運(yùn)用】
1.設(shè)an＝－3n2＋15n－18，則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)的值是(　　)．
A.
B.
C．4
D．0
2.等差數(shù)列中，，是前n項(xiàng)和且，則當(dāng)（
）時(shí)，最大.
A.12
B.13
C．12或13
D．13或14
3.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝13，S3＝S11，當(dāng)Sn最大時(shí)，n的值是(　　)
A．5
B．6
C．7
D．8
4.數(shù)列{an}滿足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N
)，它的前n項(xiàng)和為Sn，則滿足Sn>1
025的最小n值是(　　)．
A．9
B．10
C．11
D．12
5.在數(shù)列{an}中，an＝，則該數(shù)列前100項(xiàng)中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別是
(　　)
A．a(chǎn)1，a50
B．a(chǎn)1，a44
C．a(chǎn)45，a44
D．a(chǎn)45，a50
6.【2016屆重慶市南開中學(xué)高三12月月考】已知函數(shù)，且，設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最小值為（
）
A．
B．
C．
D．
7.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3.則滿足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為________．
8.
【2016屆江蘇省鹽城市鹽阜中學(xué)高三上12月月】等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S10=0，S15=25，則nSn的最小值為
．
9.【2016屆河北省正定中學(xué)高三上第五次月考】已知數(shù)列滿足，，則的最小值為
．
10.已知等差數(shù)列滿足：，且，，成等比數(shù)列.
[]
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得？若存在，求的最小值；
若不存在，說明理由.
11.已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N
)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列．
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ)設(shè)Tn＝Sn－(n∈N
)，求數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值．
12.【2016屆上海市七校高三上12月聯(lián)考】公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1、a2、a5成等比數(shù)列，且該數(shù)列的前10項(xiàng)和為100．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若bn=an﹣10，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn的最小值．
13.【2015北京理20】已知數(shù)列滿足：，，且
，記集合.[]
（1）若，寫出集合的所有元素；
（2）若集合存在一個(gè)元素時(shí)3的倍數(shù)，證明：的所有元素都是3的倍數(shù)；
（3）求集合的元素個(gè)數(shù)的最大值.
14.【2015四川理16】設(shè)數(shù)列（）的前項(xiàng)和滿足，且，，成等差數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使得成立的的最小值.
問題三：由復(fù)雜遞推關(guān)系求解數(shù)列的通項(xiàng)公式問題
遞推公式是給出數(shù)列的一種重要方法，利用遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，通常將所給遞推關(guān)系式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃握?如累加、累乘、待定系數(shù)等，構(gòu)造或轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后求通項(xiàng).
題型一：用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)
【例1.】【2016屆福建省三明一中高三上第二次月考】在數(shù)列中，
，，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式=
．
【小試牛刀】在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，有an＝an－1＋2n－1(n≥2)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
題型二：利用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)
【例2】設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，則
.
題型三：用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)
【例3】【2016屆寧夏六盤山高中高三上學(xué)期第二次月考】已知數(shù)列滿足，且=2，則=__________．
【小試牛刀】【2016屆云南師范大附中高考適應(yīng)性月考】已知數(shù)列滿足，，，，則
．
題型四．利用與的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)
【例4】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn，滿足Tn＝2Sn－n2，n∈N
.
（Ⅰ）求a1的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
【小試牛刀】【2016屆貴州市興義市八中高三上第四次月考】已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，則__________．
題型5
：遞推公式為（其中，均為常數(shù)）.
解法一（待定系數(shù)——迭加法）:
【例5.】數(shù)列：，
，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【小試牛刀】已知數(shù)列滿足
（Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；[]
（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（III）若數(shù)列滿足證明是等差數(shù)列
[]
【遷移運(yùn)用】
1.已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N
)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是(　　)
A．2n－1
B.
C．n2
D．n
2.
【2016屆河北省邯鄲市一中高三一輪收官考試】數(shù)列中，，，（，），則
．
3.數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，{bn}為等差數(shù)列且bn＝an＋1－an(n∈N＋)．若b3＝－2，b10＝12，則a8＝(　　)
A．0　　　　　　B．3
C．8
D．11
4.正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n∈N
，n≥2)，則a7＝________.
5.在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，則{an}的通項(xiàng)公式為
．
6.
已知數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝，則其通項(xiàng)公式為________．
7．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，(n－1)an＝n×2nan－1(n∈N，n≥2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．
8.在數(shù)列中，，
則數(shù)列的通項(xiàng)通項(xiàng)
．[]
9．【2016屆重慶市第一中學(xué)高三12月月考】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
（1）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，若對(duì)于任意正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
10．【2016屆江蘇省鹽城市鹽阜中學(xué)高三上12月月測(cè)】已知{an}的前n項(xiàng)和Sn，an＞0且an2+2an=4Sn+3
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若bn=，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn．
11．【2016屆河南省信陽高中高三上第八次月考】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=n（2﹣Sn），n∈N
，若bn≤λ，n∈N
恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
（3）設(shè)Cn=，Tn是數(shù)列{Cn}的前n項(xiàng)和，證明≤Tn＜1．
12．【2016屆重慶市巴蜀中學(xué)高三上學(xué)期一診模擬】已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
14.【2015浙江文17】已知數(shù)列和滿足，
.
(1)求與;
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.
問題四：如何順暢求解復(fù)雜數(shù)列的求和問題
數(shù)列求和數(shù)歷年高考命題的熱點(diǎn)，數(shù)列求和的方法取決于其通項(xiàng)公式的形式，基本思路是將其轉(zhuǎn)化為等成數(shù)列或等比數(shù)列的求和問題進(jìn)行求解.
一、公式法
公式法是數(shù)列求和的最基本的方法．也是數(shù)列求和的基礎(chǔ)．其他一些數(shù)列的求和可以轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和.利用等比數(shù)列求和公式,當(dāng)公比是用字母表示時(shí)，應(yīng)對(duì)其是否為1進(jìn)行討論．
【例1】設(shè)為等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求．
【小試牛刀】【2016屆河北省衡水二中高三上學(xué)期期中】的值為（
）
A．
B．
C．
D．
二、分組法
將數(shù)列的每一項(xiàng)拆成多項(xiàng)，然后重新分組，將一般的數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列求和問題.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將通項(xiàng)變形.
“合項(xiàng)”法是利用加法的交換律和結(jié)合律將“不規(guī)則和”轉(zhuǎn)化為“規(guī)則和”，化繁為簡(jiǎn).
【例2】
【
2016屆河北省衡水中學(xué)高三二調(diào)】已知數(shù)列中，，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（
）
A．
B．
C．
D．
【小試牛刀】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列是以函數(shù)的最小正周期為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.[]
三、裂項(xiàng)相消法
此類變形的特點(diǎn)是將原數(shù)列每一項(xiàng)拆為兩項(xiàng)之后，其中中間的大部分項(xiàng)都互相抵消了．只剩下有限的幾項(xiàng)．注意：余下的項(xiàng)前后的位置前后是對(duì)稱的．余下的項(xiàng)前后的正負(fù)性是相反的．常用的裂項(xiàng)公式：[]
【
例3】已知數(shù)列前項(xiàng)和為，首項(xiàng)為，且，，成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）數(shù)列滿足，求證：．
【小試牛刀】【2016屆湖南省長(zhǎng)沙明德中學(xué)高三上第三次月考】數(shù)列1，，，…，的前項(xiàng)和
（
）
A．
B．
C．
D．
四、錯(cuò)位相減法
若數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，由這兩個(gè)數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積組成的新數(shù)列，當(dāng)求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，常常采用將各項(xiàng)乘以的公比，并向后錯(cuò)一項(xiàng)與原的同次項(xiàng)對(duì)應(yīng)相減的方法.錯(cuò)位相減法實(shí)際上是把一個(gè)數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和的問題.
注意：
要考慮
當(dāng)公比為1時(shí)為特殊情況
，
錯(cuò)位相減時(shí)要注意末項(xiàng).
【例4】
已知數(shù)列，滿足，,，
.
（Ⅰ）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【小試牛刀】【2016屆重慶市巴蜀中學(xué)高三上學(xué)期一診模擬】已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
五.
數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和問題
【例5】在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比數(shù)列．
(Ⅰ)求d，an；
（Ⅱ）若d<0，求|a1|＋|a2|＋…＋|an|.
【牛刀小試】【2016屆浙江寧波效實(shí)中學(xué)高三上期中考試】數(shù)列的前項(xiàng)和為，則
；數(shù)列的前10項(xiàng)和
．
【遷移運(yùn)用】
1.【
2016屆浙江省余姚中學(xué)高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列滿足：，且，則的值為（
）
A．
B．
C．
D．
2.
【2014年杭州模擬】已知函數(shù)f(x)＝x2＋2bx過(1,2)點(diǎn)，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則S2
014的值為(　　)
A.
B.
C.
D.
3.
已知函數(shù)f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100等于（
）
A．0
B．100
C．－100
D．10
200
4.【2016屆學(xué)年江西省新余一中等校高三聯(lián)考模擬】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，令，記數(shù)列的前n項(xiàng)為
，則
）
A．
B．
C．
D．
5.【2016屆學(xué)年江西省新余一中等校高三聯(lián)考模擬】數(shù)列的通項(xiàng)公式是，則該數(shù)列的前100項(xiàng)之和為
A．
B．
C．200
D．100
6.
設(shè)f(x)＝，若S＝f()＋f()＋…＋f()，則S＝________.
7.【2016屆甘肅省蘭州一中高三12月月考】數(shù)列的通項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，則=
．
8.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N
)，則S2
012
。
9.【2016屆云南省玉溪市一中高三上學(xué)期期中】數(shù)列的通項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，則為
．
10.數(shù)列{an}滿足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則{an}的前60項(xiàng)和為________．
11．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn＝(－1)nan－，n∈N＋，則：
(Ⅰ)a3＝________；
（Ⅱ）S1＋S2＋…＋S100＝________.
12.
【2016屆福建省上杭縣一中高三12月考】已知等差數(shù)列的公差，其前項(xiàng)和為，若，且成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．
13.
直線ln：y＝x－與圓Cn：x2＋y2＝2an＋n交于不同的兩點(diǎn)An，Bn，n∈N＋.數(shù)列{an}滿足：a1＝1，
an＋1＝|AnBn|2.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若bn＝求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
14.(山東省青島市高三3月統(tǒng)一質(zhì)量檢測(cè)考試2)在數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，滿足.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（Ⅱ）設(shè)（為正整數(shù)）,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
15.
在等比數(shù)列{an}中，an>0(n∈N＋)，公比q∈(0,1)，且a3a5＋2a4a6＋a3a9＝100，又4是a4與a6的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列{|bn|}的前n項(xiàng)和Sn.
問題五：數(shù)列與不等式的相結(jié)合問題
數(shù)列與不等式的交匯題，是高考數(shù)學(xué)的常見題型.
對(duì)數(shù)列不等式綜合題的解答，往往要求能夠熟練應(yīng)用相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，同時(shí)還應(yīng)具備比較嫻熟的代數(shù)變換技能和技巧.
近年數(shù)列與不等式交匯題考查點(diǎn)：
1．以客觀題考查不等式的性質(zhì)、解法與數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列的簡(jiǎn)單交匯.
2．以解答題以中檔題或壓軸題的形式考查數(shù)列與不等式的交匯，還有可能涉及到導(dǎo)數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)的知識(shí)等，深度考查不等式的證明(主要比較法、綜合法、分析法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法)和邏輯推理能力及分類討論、化歸的數(shù)學(xué)思想，試題新穎別致，難度相對(duì)較大.
3．將數(shù)列與不等式的交匯滲透于遞推數(shù)列及抽象數(shù)列中進(jìn)行考查，主要考查轉(zhuǎn)化及方程的思想.[]
題型一：最值問題
求解數(shù)列中的某些最值問題，有時(shí)須結(jié)合不等式來解決，其具體解法有：（1）建立目標(biāo)函數(shù)，通過不等式確定變量范圍，進(jìn)而求得最值；（2）首先利用不等式判斷數(shù)列的單調(diào)性，然后確定最值；（3）利用條件中的不等式關(guān)系確定最值.
【例1】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，
則的最大值為______.
【小試牛刀】【2016屆浙江省嘉興一中等高三第一次五校聯(lián)】已知等差數(shù)列的等差，且，，
成等比數(shù)列，若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則的最小值為（
）
A．4
B．
3
C．
D．
題型二:恒成立問題
求解數(shù)列與不等式結(jié)合恒成立條件下的參數(shù)問題主要兩種策略：（1）若函數(shù)在定義域?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，有恒成立；恒成立；（2）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列等數(shù)列知識(shí)化簡(jiǎn)不等式，再通過解不等式解得.
【例2】已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和滿足．
（Ⅰ）求證：為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【小試牛刀】【2016屆湖北武漢華中師大第一附中高三上期中】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，對(duì)任意正整數(shù)，都有，則的值為(
)
A.1006
B.1007
C.1008
D.1009
題型三：證明問題
此類不等式的證明常用的方法：（1）比較法，特別是差值比較法是最根本的方法；（2）分析法與綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法分析；（3）放縮法，主要是通過分母分子的擴(kuò)大或縮小、項(xiàng)數(shù)的增加與減少等手段達(dá)到證明的目的.
【例3】設(shè)數(shù)列滿足，，其中為實(shí)數(shù).
（Ⅰ）證明：對(duì)任意成立的充分必要條件是；
(Ⅱ)設(shè)，證明：；
（Ⅲ）設(shè)，證明：.
【小試牛刀】【2015屆江蘇省鹽城中學(xué)高三上學(xué)期12月月考】已知等差數(shù)列的公差，其前項(xiàng)和為，若，且成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．
題型四：探索性問題
數(shù)列與不等式中的探索性問題主要表現(xiàn)為存在型，解答的一般策略：先假設(shè)所探求對(duì)象存在或結(jié)論成立，以此假設(shè)為前提條件進(jìn)行運(yùn)算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設(shè)不成立，從而得到“否定”的結(jié)論，即不存在.若推理不出現(xiàn)矛盾，能求得在范圍內(nèi)的數(shù)值或圖形，就得到肯定的結(jié)論，即得到存在的結(jié)果.
【例4】已知等差數(shù)列滿足：，且、、成等比數(shù)列.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（Ⅱ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)，使得若存在，求的最小值；若不存在，說明理由.
【小試牛刀】是否存在一個(gè)等比數(shù)列同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：
①且；
②；
③至少存在一個(gè)，使得，，依次構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出通項(xiàng)公式；若不存在，說明理由.
題型五:新定義題型
【例5】【2016屆北京市海淀區(qū)高三上學(xué)期期中考試】對(duì)于數(shù)列，都有為常數(shù)）成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．
（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且具有性質(zhì)，則t的最大值為
；
（2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且具有性質(zhì)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
．
【小試牛刀】若有窮數(shù)列（是正整數(shù)），滿足，即
（是正整數(shù)，且），就稱該數(shù)列為“對(duì)稱數(shù)列”.
（Ⅰ）已知數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為7的對(duì)稱數(shù)列，且成等差數(shù)列，，試寫出的每一項(xiàng).
（Ⅱ）已知是項(xiàng)數(shù)為的對(duì)稱數(shù)列，且構(gòu)成首項(xiàng)為50，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則當(dāng)為何值時(shí)，取到最大值？最大值為多少？
（Ⅲ）對(duì)于給定的正整數(shù)，試寫出所有項(xiàng)數(shù)不超過的對(duì)稱數(shù)列，使得成為數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，試求其中一個(gè)數(shù)列的前2008項(xiàng)和.
【遷移運(yùn)用】
1.
【2015浙江理3】已知是等差數(shù)列，公差不為零，前項(xiàng)和是，若成等比數(shù)列，則（
）．
A.
B.
C.
D.
2.【2015北京理6】設(shè)是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是（
）.
A.若，則
B.若，則
C.若，則
D.若，則
3.設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，則“”是數(shù)列是遞增數(shù)列的（
）
A.
充分不必要條件
B.
必要不充分條件
C.充要條件
D.
既不充分也不必要條件
4.設(shè)是公差為的無窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列命題錯(cuò)誤的是（
）
A.若，則數(shù)列有最大項(xiàng)
B.若數(shù)列有最大項(xiàng)，則
C.若數(shù)列是遞增數(shù)列，則對(duì)任意，均有
D.
若對(duì)任意，均有，則數(shù)列是遞增數(shù)列
5．【2016屆福建省上杭縣一中高三12月】函數(shù)若數(shù)列滿足，且是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（
）
A．
B．
C．
D．
6．【2015-2016學(xué)年遼寧省鞍山市一中等校高二上期末】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)之積為，若，則的最小值為（
）．
A．7
B．8
C．
D．
7.【2016屆重慶市南開中學(xué)高三12月月考】已知數(shù)列滿足：，則（
）
A．
B．
C．
D．
8．【2016屆遼寧省葫蘆島市一中高三上學(xué)期期中】已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)，等式成立，若數(shù)列滿足，，且，則下列結(jié)論成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．【2016屆寧夏銀川一中高三上學(xué)期第三次月考】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為=，其中a、b、c均為正數(shù)，那么與的大小是
（
）
A．>
B．<
C．=
D．與n的取值有關(guān)
10.【2015屆江蘇省泰興市高三上學(xué)期期中考試】已知，設(shè)為數(shù)列的最大項(xiàng)，則
．
11.已知數(shù)列和滿足，若為
等比數(shù)列，且.
（Ⅰ）求與；
（Ⅱ）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為
()求；
()求正整數(shù)，使得對(duì)任意，均有.
12.在平面上有一點(diǎn)列，，…，，…，對(duì)每個(gè)自然數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)、點(diǎn)與點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)以為頂點(diǎn)的等腰三角形.
（Ⅰ）求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的表達(dá)式；
（Ⅱ）若對(duì)每個(gè)自然數(shù)，以，，為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形，求的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè).若取（Ⅱ）中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，求數(shù)列的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù).
13.設(shè)（，），（，）是函數(shù)的圖象上的任意兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)時(shí)，求+的值；
（2）設(shè)，其中，求
（3）對(duì)應(yīng)（2）中，已知，其中，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證.
14.【2016屆遼寧省大連市八中高三12月月考】已知數(shù)列中，函數(shù)．
（1）若正項(xiàng)數(shù)列滿足，試求出，，，由此歸納出通項(xiàng)，并加以證明；
（2）若正項(xiàng)數(shù)列滿足（n∈N
），數(shù)列的前項(xiàng)和為Tn，且，求證：．
問題六：數(shù)列中探索性問題
近幾年的高考試卷中經(jīng)常出現(xiàn)以數(shù)列為載體的探索性問題，這類問題不僅考查學(xué)生的探索能力，而且給學(xué)生提供了創(chuàng)新思維的空間，而這類問題有下列三類題型：規(guī)律探索性問題；條件探索性問題；結(jié)論探索性問題.現(xiàn)將這三類問題的解法總結(jié)如下，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.
題型一：條件探索性問題
對(duì)于條件開放的探索性問題，往往采用分析法，從結(jié)論和部分已知的條件入手，執(zhí)果索因，導(dǎo)出所需的條件．另外，需要注意的是，這一類問題所要求的往往是問題的充分條件，而不一定是充要條件，因此，直覺聯(lián)想、較好的洞察力都將有助于這一類問題的解答．
【例1】【2016屆江蘇省揚(yáng)州中學(xué)高三12月月考】已知數(shù)列為等差數(shù)列，，的前和為，數(shù)列為等
比數(shù)列，且對(duì)任意的恒成立．
（Ⅰ）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在非零整數(shù)，使不等式對(duì)一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
（Ⅲ）各項(xiàng)均為正整數(shù)的無窮等差數(shù)列，滿足，且存在正整數(shù)k，使成等比數(shù)列，若數(shù)列的公差為d，求d的所有可能取值之和．
【小試牛刀】
數(shù)列滿足：.
（Ⅰ）證明：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是；
（Ⅱ）求的取值范圍，使數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.
題型二：結(jié)論探索性問題
探索結(jié)論型問題是指那些題目結(jié)論不明確、或者答案不唯一，給同學(xué)們留有較大探索余地的試題．一般是由給定的已知條件求相應(yīng)的結(jié)論。它要求同學(xué)們充分利用已知條件進(jìn)行猜想、透徹分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲取結(jié)論，這一類問題立意于對(duì)發(fā)散思維能力的培養(yǎng)和考察，具有開放性，解法活、形式新，無法套用統(tǒng)一的解題模式，不僅有利于考查和區(qū)分同學(xué)們的數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新能力，而且還可以有效地檢測(cè)和區(qū)分考生的學(xué)習(xí)潛能，因而受到各方面的重視，近年來已成為高考試題的一個(gè)新亮點(diǎn)．
【例2】【2016屆江蘇省清江中學(xué)高三上測(cè)評(píng)】已知數(shù)列中，（為非零常數(shù)），其前n項(xiàng)和滿足．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，且，求的值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，數(shù)列中滿足的最大項(xiàng)恰為第項(xiàng)？
若存在，分別求出與的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【小試牛刀】從數(shù)列中抽出一些項(xiàng)，依原來的順序組成的新數(shù)列叫數(shù)列的一個(gè)子列.
（Ⅰ）寫出數(shù)列的一個(gè)是等比數(shù)列的子列；
（Ⅱ）若是無窮等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比且，則數(shù)列是否存在一個(gè)子列
為無窮等差數(shù)列？若存在，寫出該子列的通項(xiàng)公式；若不存在，證明你的結(jié)論.
題型三：存在性探索問題
通常假定題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立)或暫且認(rèn)可其中的一部分的結(jié)論，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出肯定結(jié)論．其中反證法在解題中起著重要的作用．
【例3】【2016屆江西省南昌市二中高三上第四次考試】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為滿足
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前項(xiàng)和；[來源:學(xué)
科
網(wǎng)]
（Ⅱ）是否存在非零實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列？并說明理由
【小試牛刀】在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，，，是前項(xiàng)和．
（Ⅰ）若，求實(shí)數(shù)的值；
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)，使得數(shù)列的所有項(xiàng)都在數(shù)列中？若存在，求出所有的，若不存在，說明理由；
（Ⅲ）是否存在正實(shí)數(shù)，使得數(shù)列中至少有三項(xiàng)在數(shù)列中，但中的項(xiàng)不都在數(shù)列中？若存在，求出一個(gè)可能的的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．[]
【遷移運(yùn)用】
1.已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，若對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍_______.
2.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的正整數(shù)，不等式恒成立，則常數(shù)所能取得的最大整數(shù)為
.
3.設(shè)等差數(shù)列滿足公差,,且數(shù)列中任意兩項(xiàng)之和也是該數(shù)列的一項(xiàng).若，則的所有可能取值之和為_________________.
4．【2016屆江蘇省南通市石莊高中高三上第三次調(diào)研】已知非零數(shù)列{an}滿足a1=1，anan+1=an﹣2an+1（n∈N
）．
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）若關(guān)于n的不等式＜m﹣3有解，求整數(shù)m的最小值；
（3）在數(shù)列中，是否存在首項(xiàng)、第r項(xiàng)、第s項(xiàng)（1＜r＜s≤6），使得這三項(xiàng)依次構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出所有的r、s；若不存在，請(qǐng)說明理由．
5．【2015-2016學(xué)年山東省棗莊市三中10月學(xué)情調(diào)查】數(shù)列滿足（）,
（1）證明為等差數(shù)列并求；
（2）設(shè)，數(shù)列的前n
項(xiàng)和為，求；
（3）設(shè)，，是否存在最小的正整數(shù)使對(duì)任意，有成立？設(shè)若存在，求出的值，若不存在，說明理由．
6．【2016屆福建省廈門一中高三上學(xué)期期中】已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，成等差數(shù)列，且
（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求，并求滿足的值．
7．【2016屆浙江省嘉興一中等高三第一次五校聯(lián)考】已知數(shù)列
（1）若，對(duì)于任意，不等式恒成立，求的取值范圍
（2）求證：()
8．【2016屆山東師大附中高三上學(xué)期第三次模擬】已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足．
（1）求；
（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求，并求滿足時(shí)的最大值．
9.在等差數(shù)列中，已知，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較與的大小．
10.已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝3，且an＋1＝an＋2an－1(n≥2)．
（Ⅰ）設(shè)bn＝an＋1＋λan，是否存在實(shí)數(shù)λ，使數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．若存在，求出λ的值，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.
11.等差數(shù)列的公差為，且．若設(shè)是從開始的前項(xiàng)數(shù)列的和，即，，如此下去，其中數(shù)列是從第開始到第)項(xiàng)為止的數(shù)列的和，即．
（Ⅰ）若數(shù)列,試找出一組滿足條件的,使得：
；
（Ⅱ）試證明對(duì)于數(shù)列，一定可通過適當(dāng)?shù)膭澐郑顾玫臄?shù)列中的各數(shù)都為平方數(shù)；
（Ⅲ）若等差數(shù)列中．試探索該數(shù)列中是否存在無窮整數(shù)數(shù)列,使得為等比數(shù)列,如存在,就求出數(shù)列；如不存在，則說明理由．

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