資源簡介

成都市金堂縣金龍中學2018-2019北師大版八下數(shù)學各章節(jié)知識歸納

第一章 三角形的證明知識點匯總講解
知識點1 全等三角形的判定及性質(zhì)
判定定理簡稱 判定定理的內(nèi)容 性質(zhì)
SSS 三角形分別相等的兩個三角形全等 全等三角形對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等
SAS 兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等
ASA 兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等
AAS 兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等
HL（Rt△） 斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等

知識點2 等腰三角形的性質(zhì)定理及推論
內(nèi)容 幾何語言 條件與結(jié)論
等腰三角形的性質(zhì)定理 等腰三角形的兩底角相等。簡述為：等邊對等角 在△ABC中，若AB=AC，則∠B=∠C 條件：邊相等，即AB=AC 結(jié)論：角相等，即∠B=∠C
推論 等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相垂直，簡述為：三線合一 在△ABC，AB=AC，AD⊥BC，則AD是BC邊上的中線，且AD平分∠BAC 條件：等腰三角形中已知頂點的平分線，底邊上的中線、底邊上的高線之一 結(jié)論：該線也是其他兩線

等腰三角形中的相等線段：1、等腰三角形兩底角的平分線相等；2、等腰三角形兩腰上的高相等；3、兩腰上的中線相等；4、底邊的中點到兩腰的距離相等
知識點3 等邊三角形的性質(zhì)定理
內(nèi)容
性質(zhì)定理 等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個角都等于60度
解讀 （1）等邊三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性質(zhì) （2）等邊三角形每條邊上的中線、高線和所對角的平分線“三線合一” 【易錯點】所有的等邊三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等邊三角形

知識點4 等腰三角形的判定定理
內(nèi)容 幾何語言 條件與結(jié)論
等腰三角形的判定定理 有兩個角相等的三角形是等腰三角形，簡述為：等校對等邊 在△ABC中，若∠B=∠C則AC=BC 條件：角相等，即∠B=∠C 結(jié)論：邊相等，即AB=AC
解讀 對“等角對等邊”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一個三角形中”
拓展 判定一個三角形是等腰三角形有兩種方法:1、利用等腰三角形；2、利用等腰三角形的判定定理，即“等角對等邊”

知識點5 反證法
概念 證明的一般步驟
反證法 在證明時，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、基本事實、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立，這種證明方法稱為反證法 假設(shè)命題的結(jié)論不成立 從這個假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推論方法，得出與定義、基本事實、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果 由矛盾的結(jié)果判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題正確
解讀 【要點提示】（1）對于一個數(shù)學命題，當用直接證法比較困難甚至不能證明時，往往采用間接證法，反證法就是其中一種，當一個命題涉及“一定”“至少”“至多”“無限”“唯一”等情況時，由于結(jié)論的反面簡單明確，常常用反證法來證明 （2）“推理”必須順著假設(shè)的思路進行，即把假設(shè)當作已知條件，“得出矛盾”是指推出與定義、基本事實、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果

知識點6 等邊三角形的判定定理
內(nèi)容
判定定理1 三個角都相等的三角形是等邊三角形
判定定理2 有一角是60度的等腰三角形是等邊三角形
解讀 應(yīng)用判定定理2時，證三角形是等腰三角形，且三角形中有一角為60°
拓展 判定一個三角形是等邊三角形的方法有三個：（1）三邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。注意要更根據(jù)條件和特征靈活選擇判定方法
巧計樂背 三種方法證等邊，定義與兩個判定，判定2可先證等腰，再找60°角

知識點7 線段的垂直平分線的性質(zhì)及判定
內(nèi)容
性質(zhì)定理 線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等
判定定理 到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

實例應(yīng)用：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等（交點是外接圓圓心）
知識點8 角平分線的性質(zhì)及判定
內(nèi)容
性質(zhì)定理 角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等
判定定理 在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上

實例應(yīng)用：三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等（交點是內(nèi)切圓圓心）

第二章 一元一次不等式和一元一次不等式組
一、一般地，用符號“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）連接的式子叫做不等式。
1、能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.
2、不等式的解不唯一，把所有滿足不等式的解集合在一起，構(gòu)成不等式的解集.
3、求不等式解集的過程叫解不等式.
4、由幾個一元一次不等式組所組成的不等式組叫做一元一次不等式組
5、不等式組的解集 :一元一次不等式組各個不等式的解集的公共部分。
6、等式基本性質(zhì)1：在等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或整式，所得的結(jié)果仍是等式.
基本性質(zhì)2：在等式的兩邊都乘以或除以同一個數(shù)(除數(shù)不為0)，所得的結(jié)果仍是等式.
二、不等式的基本性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個整式，不等號的方向不變.
（注：移項要變號，但不等號不變。）
性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變.
性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變.
三、解不等式的步驟: 1、去分母; 2、去括號; 3、移項、合并同類項; 4、系數(shù)化為1。
四、解不等式組的步驟:
1、解出不等式的解集。
2、在同一數(shù)軸表示不等式的解集。
3、寫出不等式組的解集。
五、列一元一次不等式組解實際問題的一般步驟：
（1） 審題； （2）設(shè)未知數(shù)，找（不等量）關(guān)系式；
（3）設(shè)元，(根據(jù)不等量)關(guān)系式列不等式(組) （4）解不等式組；檢驗并作答。

第三章 圖形的平移與旋轉(zhuǎn)
一、平移定義和規(guī)律
1平移的定義：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。
關(guān)鍵：a. 平移不改變圖形的形狀和大小（也不會改變圖形的方向，但改變圖形的位置）。 b. 圖形平移三要素：原位置、平移方向、平移距離。
2平移的規(guī)律(性質(zhì))：經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等、對應(yīng)角相等。注意：平移后，原圖形與平移后的圖形全等。
3簡單的平移作圖： 平移作圖要注意：①方向；②距離。整個平移作圖，就是把整個圖案的每一個特征點按一定方向和一定的距離平行移動。
二、旋轉(zhuǎn)的定義和規(guī)律
1旋轉(zhuǎn)的定義：在平面內(nèi)，將一個圖形饒一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉(zhuǎn)。這個定點稱為旋轉(zhuǎn)中心；轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角。
關(guān)鍵：a. 旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小（但會改變圖形的方向，也改變圖形的位置）。
b. 圖形旋轉(zhuǎn)四要素：原位置、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角。
2旋轉(zhuǎn)的規(guī)律(性質(zhì))：
經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，圖形上的每一個點都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動了相同的角度，任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。
(旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形的對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等。) 注意：旋轉(zhuǎn)后，原圖形與旋轉(zhuǎn)后的圖形全等。
3簡單的旋轉(zhuǎn)作圖：旋轉(zhuǎn)作圖要注意：①旋轉(zhuǎn)方向；②旋轉(zhuǎn)角度。整個旋轉(zhuǎn)作圖，就是把整個圖案的每一個特征點繞旋轉(zhuǎn)中心按一定的旋轉(zhuǎn)方向和一定的旋轉(zhuǎn)角度旋轉(zhuǎn)移動。
三、中心對稱
1．中心對稱的有關(guān)概念：中心對稱、對稱中心、對稱點
把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關(guān)于這點對稱，也稱這兩個圖形成中心對稱，這個點叫做對稱中心，兩個圖形中的對應(yīng)點叫做對稱點。
2．中心對稱的基本性質(zhì)：
（1）．成中心對稱的兩個圖形具有圖形旋轉(zhuǎn)的一切性質(zhì)。
（2）．成中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。
3．中心對稱圖形的有關(guān)概念：中心對稱圖形、對稱中心
把一個平面圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。這個點就是它的對稱中心。
4、中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系
如果將成中心對稱的兩個圖形看成一個圖形，那么這個整體就是中心對稱圖形；反過來，如果把一個中心對稱圖形沿著過對稱中心的任一條直線分成兩個圖形，那么這兩個圖形成中心對稱。 3．圖形的平移、軸對稱（折疊）、中心對稱（旋轉(zhuǎn)）的對比
5、圖案的分析與設(shè)計 ① 首先找到基本圖案，然后分析其他圖案與它的關(guān)系，即由它作何種運動變換而形成。 ② 圖案設(shè)計的基本手段主要有：軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)三種方法。

第四章 分解因式
一、公式：
1、ma+mb+mc=m(a+b+c) 2、 3、
二、把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式。
1、把幾個整式的積化成一個多項式的形式，是乘法運算.
2、把一個多項式化成幾個整式的積的形式，是因式分解.
3、ma+mb+mc=m（a+b+c）
4、因式分解與整式乘法是相反方向的變形。
三、把多項式的各項都含有的相同因式，叫做這個多項式的各項的公因式.
提公因式法分解因式就是把一個多項式化成單項式與多項式相乘的形式.
找公因式的一般步驟：（1）若各項系數(shù)是整系數(shù)，取系數(shù)的最大公約數(shù)；
（2）取相同的字母，字母的指數(shù)取較低的；
（3）取相同的多項式，多項式的指數(shù)取較低的.
（4）所有這些因式的乘積即為公因式.
四、分解因式的一般步驟為:
（1）若有“-”先提取“-”，若多項式各項有公因式,則再提取公因式.
（2）若多項式各項沒有公因式,則根據(jù)多項式特點,選用平方差公式或完全平方公式.
（3）每一個多項式都要分解到不能再分解為止.
五、形如或的式子稱為完全平方式.
六、分解因式的方法：1、提公因式法。 2、運用公式法。


第五章 分式與分式方程
分式的定義：如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
分式與整式最本質(zhì)的區(qū)別：分式的字母必須含有字母，即未知數(shù)；分子可含字母可不含字母。
分式有意義的條件：分母不為零，即分母中的代數(shù)式的值不能為零。
分式的值為零的條件：分子為零且分母不為零
分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘或除以一個不等于0的整式，分式的值不變。
用式子表示 其中A、B、C為整式（）

注：（1）利用分式的基本性質(zhì)進行分時變形是恒等變形，不改變分式值的大小，只改變形式。
（2）應(yīng)用基本性質(zhì)時，要注意C≠0，以及隱含的B≠0。
（3）注意“都”，分子分母要同時乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分項，或避免出現(xiàn)分子、分母乘除的不是同一個整式的錯誤。
3. 分式的通分和約分：關(guān)鍵先是分解因式
分式的約分定義：利用分式的基本性質(zhì)，約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值。
最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式
分式的通分的定義：利用分式的基本性質(zhì)，使分子和分母同乘適當?shù)恼剑桓淖兎质降闹担褞讉€異分母的分式化成分母相同的分式。
最簡公分母：取“各個分母”的“所有因式”的最高次冪的積做公分母，它叫做最簡公分母。
4. 分式的符號法則
分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個分式的值不變。用式子表示為
注：分子與分母變號時，是指整個分子或分母同時變號，而不是指改變分子或分母中的部分項的符號。
5.分式的運算：
1）分式乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為分母。
2）分式除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。


3）分式乘方法則： 分式乘方要把分子、分母分別乘方。
4）分式乘方、乘除混合運算：先算乘方，再算乘除，遇到括號，先算括號內(nèi)的，不含括號的，按從左到右的順序運算
5）分式的加減法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。
異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜阜质剑缓笤偌訙p

7. 整數(shù)指數(shù)冪. 1） 任何一個不等于零的數(shù)的零次冪等于1， 即；
2） 任何一個不等于零的數(shù)的-n次冪（n為正整數(shù)），等于這個數(shù)的n次冪的倒數(shù)，即 （
注：分數(shù)的負指數(shù)冪等于這個分數(shù)的倒數(shù)的正整數(shù)指數(shù)冪。即

3） 科學計數(shù)法：把一個數(shù)表示為a×10n (1≤∣a∣＜10,n為整數(shù))的形式，稱為科學計數(shù)法。
注：（1）絕對值大于1的數(shù)可以表示為a×10n 的形式，n為正整數(shù)；
（2）絕對值小于1的數(shù)可以表示為a×10-n的形式，n為正整數(shù).
（3）表示絕對值大于10的n位整數(shù)時，其中10的指數(shù)是
（4）表示絕對值小于1的正小數(shù)時,其中10的指數(shù)是第一個非0數(shù)字前面0的個數(shù)(包括小數(shù)點前面的一個0)
4) 正整數(shù)指數(shù)冪運算性質(zhì)也可以推廣到整數(shù)指數(shù)冪．(m,n是整數(shù))
（1）同底數(shù)的冪的乘法：；（2）冪的乘方：;（3）積的乘方：；（4）同底數(shù)的冪的除法：( a≠0)；（5）商的乘方：；(b≠0)
8. 分式方程：含分式，并且分母中含未知數(shù)的方程——分式方程。
1) 增根：分式方程的增根必須滿足兩個條件：
（1）增根是最簡公分母為0；（2）增根是分式方程化成的整式方程的根。
2）分式方程的解法：
(1)能化簡的先化簡(2)方程兩邊同乘以最簡公分母，化為整式方程；(3)解整式方程；(4)驗根．
注：解分式方程時，方程兩邊同乘以最簡公分母時，最簡公分母有可能為０，這樣就產(chǎn)生了增根，因此分式方程一定要驗根。
分式方程檢驗方法：將整式方程的解帶入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解。
3）烈分式方程解實際問題
（1）步驟：審題—設(shè)未知數(shù)—列方程—解方程—檢驗—寫出答案，檢驗時要注意從方程本身和實際問題兩個方面進行檢驗。
（2）應(yīng)用題基本類型；
a.行程問題：基本公式：路程=速度×時間而行程問題中又分相遇問題、追及問題．
b.數(shù)字問題 在數(shù)字問題中要掌握十進制數(shù)的表示法．
c.工程問題 基本公式：工作量=工時×工效．
d. 順水逆水問題 v順水=v靜水+v水． v逆水=v靜水-v水．
E．相遇問題 f追及問題
相遇路程＝速度和×相遇時間 追及距離＝速度差×追及時間
相遇時間＝相遇路程÷速度和 追及時間＝追及距離÷速度差
速度和＝相遇路程÷相遇時間 速度差＝追及距離÷追及時間
g流水問題 h濃度問題
順流速度＝靜水速度＋水流速度 溶質(zhì)的重量＋溶劑的重量＝溶液的重量
逆流速度＝靜水速度－水流速度 溶質(zhì)的重量÷溶液的重量×100%＝濃度
靜水速度＝(順流速度＋逆流速度)÷2 溶液的重量×濃度＝溶質(zhì)的重量
水流速度＝(順流速度－逆流速度)÷2 溶質(zhì)的重量÷濃度＝溶液的重量
m利潤與折扣問題
利潤＝售出價－成本
利潤率＝利潤÷成本×100%＝(售出價÷成本－1)×100%
漲跌金額＝本金×漲跌百分比
折扣＝實際售價÷原售價×100%(折扣＜1)
利息＝本金×利率×時間
稅后利息＝本金×利率×時間×(1－20%)


第六章 平行四邊形
一、平行四邊形的性質(zhì)
1、定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
2、平行四邊形的性質(zhì) （1）平行四邊形的對邊平行且相等。（2）平行四邊形的鄰角互補
（3）平行四邊形的對角相等 （4）平行四邊形的對角線互相平分。
二、平行四邊形的判定
1、平行四邊形的判定
（1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
（2）定理1：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
（3）定理2：兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
（4）定理3：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
2、兩條平行線的距離 兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。 平行線間的距離處處相等。
3、平行四邊形的面積：S平行四邊形=底×高=ah
三、三角形的中位線
1、概念：連接三角兩邊中點的線段叫做三角的中位線（共三條中位線）
2、三角形中位線定理： 三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半
四、多邊形的內(nèi)角和與外角和
1、多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）·180°；
多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°。
2、正多邊形的每個內(nèi)角都等于（n-2）·180°/n
3、中心對稱圖形：線段、平行四邊形、矩形、菱形、正方形，邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形
不是中心對稱圖形：四邊形、三角形、梯形、邊數(shù)為奇數(shù)的正多邊形等
4、常見的軸對稱圖形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形等。

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