資源簡介

數(shù)學(xué)課程實(shí)踐與探索 1
教材研究JIAOCAIYANJIU
七年級下冊第一章“整式的乘除”的設(shè)計思路與教學(xué)建議
《北師大版義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（7～9年級）編寫組 史炳星
隨著2013年新春的到來，我們懷著好奇的心情，
迎來了北師大2012版教材初中數(shù)學(xué)七年級下冊（簡稱
七下）的第一次使用。新一版七下教材的定位是什
么？與原來的相比有哪些變化？使用這一版的教材又
有什么需要特別注意的？
首先，我們面對的是第一章“整式的乘除”，就
讓我們從這一章開始，談?wù)勆鲜龅倪@些問題。
一、本章內(nèi)容的定位
本章承接七年級上冊“整式及其加減”的內(nèi)容，
同時這部分內(nèi)容還與后面的因式分解有密切關(guān)系。
單從標(biāo)題看，本章的內(nèi)容是否主要是一些式子
的運(yùn)算呢？確實(shí)，代數(shù)式的運(yùn)算屬于數(shù)學(xué)的“雙基”
內(nèi)容，即基礎(chǔ)知識和基本技能。我們知道，《義務(wù)
教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)
（2011年版）》），新增加了“運(yùn)算能力”為十個核
心概念之一，顯然通過本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)該能進(jìn)行
簡單的整式乘、除法運(yùn)算，能推導(dǎo)整式乘法公式，并
能利用公式進(jìn)行計算。
但除此之外，根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，本章
內(nèi)容的定位還期望學(xué)生通過整式的運(yùn)算，能夠進(jìn)一
步理解字母表示一般性的意義、發(fā)展符號意識，以
及進(jìn)一步學(xué)習(xí)用類比、歸納、轉(zhuǎn)化等方法進(jìn)行思考
與運(yùn)算。還期望學(xué)生在學(xué)習(xí)代數(shù)式運(yùn)算的過程中，能
夠利用幾何圖形進(jìn)行解釋，將代數(shù)的抽象與幾何的直
觀結(jié)合起來。本章內(nèi)容中包含了大量的探究性活動
和應(yīng)用法則解決問題的活動，旨在學(xué)生能夠理解整
式乘、除運(yùn)算的算理，同時在活動的過程中逐漸
積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展勇于探究、質(zhì)疑及合作
交流的精神。
二、本章內(nèi)容的主要變化
本章內(nèi)容有：
§1．同底數(shù)冪的乘法（1課時）
§2．冪的乘方與積的乘方（2課時）
§3．同底數(shù)冪的除法（2課時）
§4．整式的乘法（3課時）
§5．平方差公式（2課時）
§6．完全平方公式（2課時）
§7．整式的除法（2課時）
回顧與思考（2課時）
從結(jié)構(gòu)上，原七下整式的加減移到七上，與合并
同類項(xiàng)整合，這主要是根據(jù)實(shí)驗(yàn)區(qū)教師的反饋，使相
近的內(nèi)容相對集中，減少概念的重復(fù)，利于教師的使
用。這一變化可以從本冊第一章的目錄中看出。
從內(nèi)容上，同底數(shù)冪運(yùn)算的引入，所用情境多圍
繞星體的相關(guān)計算，如求地球的體積，太陽、木星的
體積是地球的多少倍等。從方法上，都是從特殊到一
般，即從數(shù)的計算開始，再過渡到字母運(yùn)算。
對于零指數(shù)和負(fù)整數(shù)指數(shù)的引入，安排了感受規(guī)
定“ a。=1（a≠0）,a-p=1/ap（a≠0，p是正整數(shù)）”的
合理性的活動，還在課后作業(yè)中增加了利用細(xì)胞分裂
體會上述規(guī)定合理性的習(xí)題。
在科學(xué)記數(shù)法一節(jié)，增加了主要體會百萬分之一
這樣數(shù)量級的小數(shù)的內(nèi)容，如細(xì)胞的直徑、一張紙的
厚度等，還增加了PM2.5的一些知識，使教材內(nèi)容能夠
與時俱進(jìn)。
整式的乘法，包括單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多
項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，都統(tǒng)一為先從計算矩形面積
入手，即從直觀入手，感受計算的必要性和初步得到
法則，然后再依據(jù)乘法分配律通過運(yùn)算（推理）最終
得到法則。
由于平方差公式和完全平方公式都是兩個特殊
的多項(xiàng)式相乘，得到一個特殊的多項(xiàng)式，特別應(yīng)引起
學(xué)生注意的是公式的形式。教科書先從簡單的計算開
始，鼓勵學(xué)生觀察等式的特點(diǎn)，在學(xué)生活動的基礎(chǔ)上
再明晰公式。同時教科書也給出了這兩個公式的圖形
表示，借助幾何直觀進(jìn)一步體會公式的形式和特點(diǎn)。
教科書還包括了利用這兩個公式進(jìn)行推理的內(nèi)容，如
發(fā)現(xiàn)計算中的規(guī)律等。
整式的除法，主要增加了具有實(shí)際背景的習(xí)題，
以增加學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣及應(yīng)用意識。
三、本章內(nèi)容的解析
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本章的知識內(nèi)容可以用上面的框圖。
從框圖可以更清楚地看出，學(xué)習(xí)整式的乘、除
運(yùn)算，我們需要首先學(xué)習(xí)同底數(shù)冪的乘法、冪的乘
方與積的乘方以及同底數(shù)冪的除法運(yùn)算，為此教材
首先安排學(xué)習(xí)：同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方與積的
乘方，同底數(shù)冪的除法，即前3節(jié)的內(nèi)容。教科書在
這里的處理方法，總的來說是類比數(shù)的運(yùn)算，從數(shù)
的運(yùn)算開始，通過觀察和進(jìn)一步體會、運(yùn)用冪的意
義，最終得到以字母為底數(shù)的冪的運(yùn)算法則。教科
書還在得到這些運(yùn)算法則的過程中，通過創(chuàng)設(shè)情境
問題、穿插應(yīng)用問題等，使學(xué)生從不同角度體會這
些運(yùn)算引入的意義，同時避免單純代數(shù)式運(yùn)算或許
給學(xué)習(xí)帶來的枯燥感。
還需要說明的是，本章在第3節(jié)“同底數(shù)冪的除
法”中，引入了零指數(shù)和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，并明
確指出它們是規(guī)定的，教科書所設(shè)計的猜想的過程，
實(shí)際上是用來體會規(guī)定的合理性。由于負(fù)整數(shù)指數(shù)
冪的引入，這里偶爾會有分式形式出現(xiàn)，但它是作
為同底數(shù)冪除法的一個自然延續(xù)，并不是作為知識
點(diǎn)出現(xiàn)，在八年級下冊，我們有專門的章節(jié)研究分
式的問題。
在“同底數(shù)冪的除法”之后，本章安排了“科學(xué)
記數(shù)法”一節(jié)，主要是用科學(xué)記數(shù)法表示0到1之間的
數(shù)，是七上內(nèi)容的延續(xù)。除用科學(xué)記數(shù)法進(jìn)行表示之
外，教科書在此還安排了讓學(xué)生體會“較小數(shù)”的活
動，把數(shù)的表示和具體數(shù)的實(shí)際意義結(jié)合起來，進(jìn)一
步發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。
本章的第4節(jié)，主要是探究整式乘法的法則，包
括單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)
式。教科書特別注重借助幾何圖形理解法則，同時進(jìn)
一步強(qiáng)調(diào)代數(shù)式運(yùn)算在解決“具有一般性”的問題中
的作用，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號意識。
第5、6兩節(jié)的內(nèi)容是“平方差公式”和“完全
平方公式”。它們實(shí)際上就是兩種特殊的多項(xiàng)式乘多
項(xiàng)式，教科書在這里除繼續(xù)注重借助幾何圖形理解法
則，還安排了利用乘法公式進(jìn)行“從特殊到一般”的
推理的內(nèi)容。
最后，第7節(jié)中，整式的除法運(yùn)算是用整式乘法的
“逆運(yùn)算”引入的。另外特別要注意的是本章只涉及
整式除以單項(xiàng)式結(jié)果仍為整式的除法。
這樣，本章內(nèi)容的設(shè)計注重代數(shù)推理與幾何直觀
兩個方面的結(jié)合，注重學(xué)生對算理的理解和運(yùn)算能力
的提高，注重學(xué)生數(shù)感、符號意識的發(fā)展，希望為后
續(xù)分式、方程、函數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定堅實(shí)的基礎(chǔ)。
四、本章內(nèi)容教學(xué)建議
1．本章的主要內(nèi)容是進(jìn)行字母運(yùn)算，教學(xué)中應(yīng)充
整式的乘除
整式的乘法
整式的除法
同底數(shù)冪的乘法
冪的乘方、積的乘方
單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式
單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式
多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式
同底數(shù)冪的除法
單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式
多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式
平方差公式
完全平方公式
零指數(shù)冪
負(fù)整數(shù)指數(shù)冪
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分類比數(shù)的運(yùn)算，使學(xué)生經(jīng)歷特殊到一般的過程。
如在推導(dǎo)字母為底的冪運(yùn)算時，類比數(shù)的冪運(yùn)算
的方法，一方面使學(xué)生感受知識的一致性、聯(lián)貫性，
順利地從數(shù)運(yùn)算過渡到字母運(yùn)算，另一方面也可以進(jìn)
一步體會字母運(yùn)算所代表的一般性。
2．本章內(nèi)容包括極好的發(fā)展學(xué)生幾何直觀的素
材，應(yīng)重視將代數(shù)推理與幾何直觀結(jié)合起來。
如在推導(dǎo)整式運(yùn)算法則（包括乘法公式）時，在
代數(shù)推理的前或后，應(yīng)利用幾何直觀作為輔助手段
進(jìn)行解釋、驗(yàn)證。幾何直觀可以幫助學(xué)生理解和記
憶代數(shù)結(jié)論的意義和結(jié)構(gòu)，因?yàn)樗唧w、直觀，從
而使得代數(shù)結(jié)論變得看得見、摸得著、易掌握，因
此幾何直觀在抽象的代數(shù)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常起著腳手架
的作用。
3．注重對運(yùn)算法則的探索過程以及對算理的理
解，法則有條理的思考與表達(dá)的能力。
教科書為學(xué)生探索運(yùn)算法則提供了較為豐富的素
材，教學(xué)中最好不簡單要求學(xué)生記憶各種運(yùn)算法則，
而要關(guān)注學(xué)生對法則的探索過程。同時，要重視學(xué)生
對算理的理解，讓學(xué)生說所處每一步運(yùn)算的道理，有
意識地培養(yǎng)他們有條理的思考和語言表達(dá)能力。如單
項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則依據(jù)的是乘法分配律，利用面積
相等只是一種直觀上的解釋。
4．注重在代數(shù)學(xué)習(xí)中發(fā)展學(xué)生的推理能力。
也許有人認(rèn)為，平面幾何對發(fā)展學(xué)生邏輯推理能
力有著重要作用，因此不重視代數(shù)對于學(xué)生推理能力
的培養(yǎng)。事實(shí)上，幾何中的邏輯推理只是推理中的一
個方面，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究還包括觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、
類比等合情推理的另一個方面。即使是邏輯推理能力
的培養(yǎng)，也不應(yīng)只限于平面幾何，甚至并不只局限于
數(shù)學(xué)學(xué)科。總之，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個領(lǐng)域，包括代數(shù)、
圖形與幾何、統(tǒng)計與概率等，都應(yīng)該對全面發(fā)展學(xué)生
的推理能力起到應(yīng)有的作用。
代數(shù)對培養(yǎng)學(xué)生推理能力的作用可以體現(xiàn)在
兩個方面：意識在用符號表示數(shù)量關(guān)系或變化規(guī)
律之前，我們需要對事物之間的數(shù)量關(guān)系或變化
規(guī)律進(jìn)行分析，歸納與概括，發(fā)現(xiàn)隱含在其中的
量與量之間的關(guān)系，并將這個關(guān)系用符號一般性
地表示出來，在這個過程中需要學(xué)生經(jīng)歷觀察、
歸納等探索過程；二是運(yùn)用符號間的運(yùn)算證明猜
想或解決問題，在這個過程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推
理能力。
教學(xué)中，教師應(yīng)有意識地培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，
鼓勵學(xué)生通過合情推理進(jìn)行大膽推測，利用符號間的
運(yùn)算驗(yàn)證猜想或解決問題，同時鼓勵學(xué)生有條理地表
達(dá)自己的思考過程。
5．注重發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力，但又要避免繁雜的
運(yùn)算。
符號運(yùn)算對于數(shù)學(xué)來說是必不可少的，基本運(yùn)算
技能是學(xué)生學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的一個重要目標(biāo)，因此，數(shù)
學(xué)中必須要適當(dāng)?shù)亍⒎蛛A段地提供一些必要的訓(xùn)練，
使學(xué)生能準(zhǔn)確地進(jìn)行基本的符號運(yùn)算，并能明白每一
步的算理。
教學(xué)中要避免過多、繁瑣的運(yùn)算，如在多項(xiàng)式相
乘中僅要求一次式相乘，不宜再做擴(kuò)展，這一方面是
因?yàn)橛嬎銠C(jī)的介入使得一些繁雜的運(yùn)算沒有必要了，
更重要的是絕大多數(shù)的學(xué)生在今后的生活、學(xué)習(xí)和工
作中并不需要繁雜的運(yùn)算，而對它的學(xué)習(xí)卻要花費(fèi)學(xué)
生相當(dāng)多的時間和精力，甚至?xí)绊懰麄儗W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的
興趣和信心。
建議在教學(xué)中，若需要補(bǔ)充習(xí)題，請多在數(shù)學(xué)理解、
問題解決、聯(lián)系拓展方面多下功夫，增加一些習(xí)題。
七年級下冊第二章“相交線與平行線”的
設(shè)計思路與教學(xué)建議
《北師大版義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（7～9年級）編寫組 劉德華
一、本章內(nèi)容定位
相交線、平行線在現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見，同時，
它們又構(gòu)成同一平面內(nèi)兩條直線位置的基本關(guān)系。
雖然學(xué)生在在小學(xué)階段學(xué)習(xí)了一些簡單的圖形，在
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七上進(jìn)一步認(rèn)識基本平面圖形，但是，均未系統(tǒng)學(xué)
習(xí)圖形與幾何，因此本章的內(nèi)容實(shí)際上是圖形與幾
何的入門。
在入門階段，既要學(xué)習(xí)一些最基本、最簡單的
幾何圖形及其有關(guān)知識，也要開始進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的
空間觀念和推理能力（含合情推理能力與演繹推理能
力，主要是培養(yǎng)合情推理能力）。
基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》
（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》）的要求和學(xué)生的
實(shí)際，本章內(nèi)容與要求的定位是：在生動的問題情境
和豐富的數(shù)學(xué)活動中，探索相交線、平行線的有關(guān)事
實(shí)；以直觀認(rèn)識為基礎(chǔ)進(jìn)行簡單的說理，將幾何直觀
與簡單推理相結(jié)合，發(fā)展空間觀念和推理能力；借助
平行的有關(guān)結(jié)論解決一些簡單的實(shí)際問題。
二、本章內(nèi)容有哪些變化
修改后的平行線與相交線在教材中所處的位置沒有
變化，仍作為七下第二章，全章仍安排4節(jié)，具體如下：
第1節(jié) 兩條直線的位置關(guān)系（2課時）
第2節(jié) 探索直線平行的條件（3課時）
第3節(jié) 平行線的性質(zhì)（2課時）
第4節(jié) 用尺規(guī)作角（1課時）
總體來說，本章在結(jié)構(gòu)上未作大的調(diào)整，只將原教
材七上第四章“平面圖形及其位置關(guān)系”中的第5節(jié)“平
行”、第6節(jié)“垂直”、以及原七下第二章第1節(jié)“余角
與補(bǔ)角”整合為本章第1節(jié)“兩條直線的位置關(guān)系”， 內(nèi)
容包括：相交線、平行線的概念，對頂角、余角、補(bǔ)角
的概念與性質(zhì)，兩條直線垂直的定義與性質(zhì)。
此外，將原教材第4節(jié)中“用尺規(guī)作線段和角”中
的用尺規(guī)作線段整合到七上“平面圖形”，在本章保
留用尺規(guī)作角，并單獨(dú)成節(jié)。
就具體內(nèi)容而言，主要有以下幾點(diǎn)：
1.問題的設(shè)置更加有利于拓展學(xué)生空間觀念的培
養(yǎng)，更具開放性。
如借助三角尺畫平行線，原教材（七下P64）
是“你還記得怎樣用移動三角尺的方法畫兩條平行
線嗎？”，現(xiàn)在修改為“你能借助三角板畫平行線
嗎？”，拓展了學(xué)生發(fā)展思維的空間；
再比如，在方格紙上只用直尺畫互相垂直的直
線，原教材在提出問題后即給出兩種情況（其中一條
是水平的，一條是傾斜的）下兩條直線位置的圖（七
上P157圖-24），修改時則將給出的這兩條直線都刪
除，而將這兩種情況給學(xué)生自己去思考，以期培養(yǎng)學(xué)
生的空間觀念和分類的數(shù)學(xué)思想。
2.關(guān)于歸納推理的理由的表述。
如，原教材P67，“三個相同的三角尺拼接成一
個圖形，請找出圖中的一組平行線，并說明你的理
由。”原教材安排了兩種說明理由的方法，現(xiàn)在將用
箭頭表示的方法刪除，主要是考慮教材使用過程發(fā)現(xiàn)
學(xué)生對用箭頭說理的表達(dá)方式掌握有困難。
再如P71，一束平行光線被一平面鏡反射問題的說
理，也刪除了箭頭說理方式，改用文字表述，這樣的
修改，一方面是降低學(xué)生學(xué)習(xí)難度，另一方面也是為
后面演繹推理的表述做鋪墊。
3.適當(dāng)增加了習(xí)題訓(xùn)練。
一是原來沒有安排“隨堂練習(xí)”的這次安排了，二
是增加習(xí)題課，如第2節(jié)“探索直線平行的條件”、第3
節(jié)“平行線的特征”均分別增加1課時，作為習(xí)題課，以
利于學(xué)生及時用于鞏固。
4.盡可能提供學(xué)生動手操作的機(jī)會。
如在畫兩條直線垂直的內(nèi)容中，教材在“做一
做”欄目中的安排是：先在方格紙中畫兩條互相垂直
的直線，隨后提出“你能用折紙的方法折出兩條互相
垂直的直線嗎？”
三、本章內(nèi)容闡述
教科書安排了4節(jié)內(nèi)容：
第1節(jié)“兩條直線的位置關(guān)系”。 首先從反映生活
中存在的兩條直線位置關(guān)系的圖片的觀察入手，提出
兩條直線的兩種位置關(guān)系（相交與平行），接著介紹
對頂角的概念及其性質(zhì)，繼而通過七巧板所拼成的正
方形的觀察，創(chuàng)設(shè)了有利于學(xué)習(xí)補(bǔ)角、余角的問題情
境，使學(xué)生在直觀、有趣的情景中，認(rèn)識相交線所成
的角及其基本結(jié)論。
第2節(jié)“探索直線平行的條件”、第3節(jié)“平行線
的性質(zhì)”。教科書通過設(shè)置觀察、操作等探究活動，按
照“先探索直線平行的條件，再探索直線平行的特征”
順序呈現(xiàn)、展開平行線的有關(guān)內(nèi)容，其中，在探索直線
平行的條件中自然引入“三線八角”，并試圖在探索性
質(zhì)和解決問題的過程中，加深對直線平行的理解，進(jìn)一
步發(fā)展學(xué)生的空間觀念。
第4節(jié)，“用尺規(guī)作角”。在學(xué)生七上學(xué)習(xí)“用尺
規(guī)作一條線段等于已知線段”的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)“用尺
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規(guī)作一個角等于已知角”，并用規(guī)范的尺規(guī)作圖語言
加以敘述，給出了尺規(guī)作圖的范例。
在內(nèi)容的呈現(xiàn)方式上，綜合考慮學(xué)生年齡狀況、
認(rèn)知特點(diǎn)，以及培養(yǎng)幾何直觀、數(shù)學(xué)推理能力的需
要，教材力求為學(xué)生提供生動有趣的問題情景，提供
觀察、操作、推理、交流等豐富的數(shù)學(xué)活動平臺。
四、本章內(nèi)容解析
1.關(guān)于直線位置與角的相關(guān)內(nèi)容。
相交與平行，是平面內(nèi)兩條直線的兩種位置關(guān)系，
本章學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容是相交線和平行線，但是，對直線
的相交與平行的研究都是通過對角的學(xué)習(xí)、研究進(jìn)行
的。因此，角，是本章學(xué)習(xí)的一個重要內(nèi)容，無論是學(xué)
習(xí)相交線，還是學(xué)習(xí)平行線，都離不開對角的研究。
研究相交線，主要是研究直線相交所成角：兩
條直線相交，研究對頂角；研究平行線的判定與性
質(zhì)，則通過研究兩條直線被第三條直線所截而成的
同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角。至于角的互余、互
補(bǔ)，則是兩角的數(shù)量關(guān)系，與角的位置無關(guān)，在本
章研究余角、補(bǔ)角，是在研究兩條直線相交過程
中，在研究對頂角的過程中提出，并不表示與兩角
的位置有關(guān)。
既然本章有關(guān)角的內(nèi)容，是為研究兩條直線的位
置關(guān)系服務(wù)的，是研究兩條直線位置關(guān)系的工具，因
此，關(guān)于角的內(nèi)容的學(xué)習(xí)又要有度，不可喧賓奪主。
關(guān)于對頂角的研究與學(xué)習(xí)，應(yīng)該以兩條直線相交
為前提，突出兩條直線相交是產(chǎn)生對頂角的關(guān)鍵，至
于“有公共頂點(diǎn)”、“兩邊互為反向延長線”，我們
認(rèn)為是對對頂角特征的一種直觀的描述，而非概念的
本質(zhì)，不必為此花費(fèi)時間和精力。
同樣道理，學(xué)習(xí)同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角，是
為研究平行線的判定與性質(zhì)而引入，也不必人為編造
一些訓(xùn)練題進(jìn)行專項(xiàng)的識別。
2.關(guān)于數(shù)學(xué)推理能力。
數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)，從本章正式開始要求了。
數(shù)學(xué)推理包括合情推理和演繹推理兩方面，根據(jù)
《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的要求和學(xué)生生理、心理的發(fā)
展階段，本章側(cè)重于合情推理能力的培養(yǎng)與運(yùn)用。為
此，有必要了解本套教科書關(guān)于這方面的總體安排。
本套教科書就發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力，分兩個階
段：八上“平行線的證明”之前為第一階段，側(cè)重于
合情推理能力的培養(yǎng)，即憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納
和類比等推斷圖形的某些性質(zhì)等，同時滲透演繹推理
的有關(guān)思想；在八上從“平行線的證明”到“三角形
的證明”，正式學(xué)習(xí)證明的必要性、證明的形式化表
述，并對在此之前得到的有關(guān)圖形（如平行線、三角
形及全等三角形）的結(jié)論或明確為“基本事實(shí)”，或
給以嚴(yán)格的推理證明；在此之后，八下學(xué)習(xí)四邊形內(nèi)
容時，則合情推理與演繹推理并舉，對四邊形圖形性
質(zhì)、判定，先用合情推理方法歸納猜想出結(jié)論，在用
演繹推理對猜想的結(jié)論進(jìn)行嚴(yán)格的證明，此時，證明
作為探索活動的自然延續(xù)和必要發(fā)展，學(xué)生對數(shù)學(xué)推
理的理解和運(yùn)用就更加全面、深刻，推理能力得到全
面發(fā)展。
基于以上安排，對于《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》要求
的有關(guān)相交線、平行線的基本事實(shí)、判定定理、性質(zhì)
定理，教科書在本章均沒有明確標(biāo)明，更沒有給出定
理的證明，僅將其作為合情推理得出的結(jié)論，而一律
以黑體字呈現(xiàn)。到八上，教材對上述內(nèi)容的要求和學(xué)
生的學(xué)習(xí)方完全達(dá)到《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》要求的終
極目標(biāo)。
雖然現(xiàn)階段以培養(yǎng)合情推理能力為主，但是，合
情推理與演繹推理畢竟是有聯(lián)系的，本章內(nèi)容在編排
時也充分考慮到二者的聯(lián)系：在用合情推理方法得到
相關(guān)結(jié)論之后，安排 “說理” 要求，在“說理” 過程
中滲透演繹推理能力的培養(yǎng)。至于說理方式，教科書
在肯定和鼓勵學(xué)生用自己的方式的前提下，采用文字
表述為主，一方面是降低學(xué)生學(xué)習(xí)難度，另一方面也
是為后面學(xué)習(xí)演繹推理的形式化表述做鋪墊。
五、本章教學(xué)建議
1.認(rèn)真研讀《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，領(lǐng)會教科書的
編寫意圖，正確把握和落實(shí)教學(xué)目標(biāo)。
《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》總結(jié)十多年課改的經(jīng)驗(yàn)和
教訓(xùn)，為我們進(jìn)一步深化數(shù)學(xué)課程改革不僅提出了方
向性的要求，而且提出了很多有意義的教學(xué)建議，在
教學(xué)前必須反復(fù)地認(rèn)真研讀。
教科書是為實(shí)現(xiàn)《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的要求編
寫的，是“實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要
資源”，領(lǐng)會教科書的編寫意圖是用好這個資源的重
要環(huán)節(jié)。
圍繞本章相交線和平行線的內(nèi)容，我們建議：
（1）認(rèn)真學(xué)習(xí)《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》關(guān)于空間觀
念、幾何直觀等核心思想的表述，始終注重學(xué)生空間
觀念、幾何直觀的發(fā)展。
數(shù)學(xué)課程實(shí)踐與探索6
教材研究 JIAOCAIYANJIU
發(fā)展空間觀念，必須以學(xué)生自己的空間感覺和體
驗(yàn)為基礎(chǔ)。教師應(yīng)立足于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的數(shù)學(xué)
活動經(jīng)驗(yàn)，充分挖掘和利用現(xiàn)實(shí)生活中與相交線、平行
線密切相關(guān)的現(xiàn)實(shí)背景，盡可能從學(xué)生感興趣的話題出
發(fā)，創(chuàng)設(shè)有利于發(fā)展學(xué)生空間觀念的學(xué)習(xí)情境。
問題情境的創(chuàng)設(shè)，既要注意從現(xiàn)實(shí)情景抽象出平行
線、相交線的模型（即平行線、相交線是對現(xiàn)實(shí)生活中
大量現(xiàn)象的一種刻畫），也要注意借助幾何直觀發(fā)展空
間觀念。問題情境的選材，既可以充分利用教科書中的
題材，也可以創(chuàng)設(shè)更符合本地學(xué)生的現(xiàn)實(shí)的、有趣的情
境，還可以讓學(xué)生自己從生活中尋找素材。
發(fā)展空間觀念，需要學(xué)生親自經(jīng)歷觀察、操作、
想像、推理與交流等數(shù)學(xué)活動，教師要給學(xué)生留有充
分探索和交流的空間，鼓勵學(xué)生運(yùn)用多種方法進(jìn)行探
索，并盡可能多的發(fā)現(xiàn)有關(guān)圖形的事實(shí)。特別地，教
師應(yīng)重視學(xué)生的動手操作以及在操作過程中的思考。
發(fā)展學(xué)生空間觀念的基本途徑多種多樣。培養(yǎng)
空間觀念需要大量的實(shí)踐活動，學(xué)生要有充分的時間
和空間觀察、測量、動手操作，對周圍環(huán)境和實(shí)物產(chǎn)
生直接感知，這些都不僅需要自主探索、親身實(shí)踐，
更離不開大家一起動手、共同參與。觀察、操作、歸
納、類比、猜測、變換、直觀思考等對形成空間觀念
有重要作用的手段，只有在大家共同探討、合作解決
問題的過程中才能不斷生成和發(fā)展，并得到提升。通
過合作交流可以更清楚地明確自己對空間的看法，并
有機(jī)會分享各自的想法。大家的共同感受對促進(jìn)空間
觀念的發(fā)展具有重要意義。
（2）要全面理解數(shù)學(xué)推理能力，努力把握培養(yǎng)學(xué)
生推理能力的階段性要求。
根據(jù)教科書的整體安排，現(xiàn)階段關(guān)于推理能力的
培養(yǎng)以合情推理能力為主。教師要在數(shù)學(xué)活動中借助
幾何直觀培養(yǎng)學(xué)生歸納、類比、聯(lián)想。
要有意識地逐步培養(yǎng)學(xué)生有條理的思考、表達(dá)和交
流，引導(dǎo)學(xué)生在活動中自覺地進(jìn)行思考，自覺地用自己
的語言說明操作的過程，并嘗試解釋其中的理由。
對于“說理”的學(xué)習(xí)，應(yīng)循序漸進(jìn)，注意控制難
度。說理要求基本控制為一步，同時鼓勵學(xué)生運(yùn)用自
己的語言清晰地表達(dá)自己的發(fā)現(xiàn)或說明理由。
在書寫格式上對“說理”不作統(tǒng)一要求，既可以
用自然語言，也可以結(jié)合在圖中標(biāo)示進(jìn)行說明，學(xué)生
如果采用其他的方法，只要能說清楚均可。
不要急于要求學(xué)生進(jìn)行書寫，特別是不要急于要
求學(xué)生進(jìn)行形式化的表述。
需要說明的是，有關(guān)兩條直線平行的判斷和平行
線特征的例題，教材給出的解答主要提供學(xué)生閱讀理
解，為今后培養(yǎng)推理能力作鋪墊，而不是要求學(xué)生現(xiàn)
在就按照例題解答的格式書寫，這一點(diǎn)在教學(xué)中要注
意把握，不可操之過急。
數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí)對數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)具有十分
重要的意義。數(shù)學(xué)語言及其使用，是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行
數(shù)學(xué)思考的重要形式。
幾何學(xué)習(xí)的難度不僅僅在演繹推理有一定難度，
而且在于數(shù)學(xué)語言三種形式（文字語言、圖形語言和
符號語言）的轉(zhuǎn)換，在開始學(xué)習(xí)“圖形與幾何”就要
重視三種形式的數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換，這不僅是學(xué)習(xí)演繹
推理時要注意，在學(xué)習(xí)尺規(guī)作圖時也要注意。
2.重視學(xué)生的主體地位，引導(dǎo)學(xué)生積極參與、經(jīng)
歷教學(xué)活動過程，在活動過程中感悟數(shù)學(xué)思想，積累
數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。
（1）體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，首先愛護(hù)、信任、尊
重學(xué)生，以平等、民主的態(tài)度對待他們。
要使學(xué)生積極、主動地探索求知，必須在民主、
平等、友好合作師生關(guān)系基礎(chǔ)上，創(chuàng)設(shè)愉悅和諧的學(xué)
習(xí)氣氛。教師應(yīng)鼓勵學(xué)生大膽地提出自己的見解，即
使有時學(xué)生說得不準(zhǔn)確、不完整，也要讓他們把話說
完，保護(hù)學(xué)生的積極性。
本章內(nèi)容是“圖形與幾何”的入門，就知識點(diǎn)
而言，學(xué)生的起點(diǎn)是相同的，但是就數(shù)學(xué)思維能力、
學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣等方面的發(fā)展就不可能整齊劃一了，因
此差異是存在的，必須正視，必須及早關(guān)注。不僅要
關(guān)注基礎(chǔ)知識、基本能力的差異，而且要關(guān)注學(xué)生情
感態(tài)度的發(fā)展，既要注意正確維護(hù)他們的自尊心，鼓
勵、增強(qiáng)他們的自信心，同時耐心而恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行養(yǎng)成
教育。
（2）讓學(xué)生多觀察、多思考、多討論，增加參與機(jī)會。
教師在教學(xué)設(shè)計時，應(yīng)當(dāng)給學(xué)生留有足夠的時間
和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計算、推理、驗(yàn)證等
活動過程。
教師要主動把課堂教學(xué)活動的時間多分給學(xué)生
使用，把課堂教學(xué)活動的內(nèi)容多留些給學(xué)生處理解
決，教師做好組織、設(shè)計、指導(dǎo)和點(diǎn)撥。這樣，不
僅學(xué)生的主體地位得到了落實(shí)，而且讓學(xué)生有充分
的時間積極地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，這是培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能
力的保障。
數(shù)學(xué)課程實(shí)踐與探索 7
教材研究JIAOCAIYANJIU
逐步培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑問難的能力，是發(fā)揮學(xué)生主體
作用的重要措施。留給學(xué)生質(zhì)疑的空間，使其養(yǎng)成多
思善問的習(xí)慣。可以激發(fā)學(xué)生主動探究的意識，提高
學(xué)習(xí)的興趣和效率。全方位、多渠道培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑
能力，能使學(xué)生從被動學(xué)習(xí)變?yōu)橹鲃訉W(xué)習(xí)，進(jìn)而達(dá)到
拓展學(xué)生思維的目的。
引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動探索、合作交流，使學(xué)
生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能，體會和運(yùn)用數(shù)
學(xué)思想和方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。
七年級下冊第三章“三角形”的設(shè)計思路與教學(xué)建議
《北師大版義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（7～9年級）編寫組 劉德華
一、本章內(nèi)容定位
三角形是最簡單、最基本的幾何圖形，在生產(chǎn)實(shí)
踐、科學(xué)研究和社會生活中隨處可見。它不僅是研究其
他圖形的基礎(chǔ)，在解決實(shí)際問題中也有著廣泛的應(yīng)用。
因此，探索和掌握它的基本性質(zhì)對于更好地認(rèn)識現(xiàn)實(shí)世
界、發(fā)展空間觀念和推理能力都是非常重要的。
學(xué)生在前面學(xué)習(xí)“相交線和平行線”的過程中，
積累了一些初步的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，空間觀念、幾何直
觀與推理能力（主要是合情推理）得到了初步的培
養(yǎng)，這都為三角形的學(xué)習(xí)提供了有利的條件。
基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以
下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》）的要求、學(xué)生的基礎(chǔ)
和本書的總體設(shè)計，本章內(nèi)容與要求的定位是：在生動
的問題情境和豐富的數(shù)學(xué)活動中，理解三角形的有關(guān)概
念；在動手、動腦的數(shù)學(xué)活動過程中，探索三角形全等
的條件，感悟數(shù)學(xué)的分類思想；以直觀認(rèn)識為基礎(chǔ)進(jìn)行
簡單的說理，將幾何直觀與簡單推理相結(jié)合，逐步而又
恰當(dāng)?shù)靥岣邔W(xué)生數(shù)學(xué)推理能力；借助三角形和全等三角
形的有關(guān)結(jié)論解決一些簡單的實(shí)際問題。
二、本章內(nèi)容有哪些變化
修改后的“三角形”仍安排在七下，在教材中
的位置由第五章調(diào)整為第三章，由原來的7節(jié)調(diào)整為5
節(jié)，調(diào)整后的安排如下：
第1節(jié) 認(rèn)識三角形（4課時）
第2節(jié) 圖形的全等（1課時）
第3節(jié) 探索三角形全等的條件（3課時）
第4節(jié) 用尺規(guī)作三角形（1課時）
第5節(jié) 利用三角形全等測距離（1課時）
結(jié)構(gòu)上的修改主要有：將原第2節(jié)“圖形的全等”
和第3節(jié)“全等三角形”整合成“圖形的全等”，仍作
為第2節(jié)“圖形的全等”；刪除原教材第7節(jié)“探索直
角三角形全等的條件”；原教材第5節(jié)的標(biāo)題改為“用
尺規(guī)作三角形”，使得標(biāo)題與內(nèi)容更加貼切。
（1）在得出“三角形兩邊之和大于第三邊”結(jié)
論之后，將原來先安排“做一做”，再提出問題“計
算每個三角形的任意兩邊之差，并與第三邊比較，你
能得到什么結(jié)論？”修改為先提出問題：“在一個三
角形中，任意兩邊之差與第三邊的長度有怎樣的關(guān)
系呢？”，這樣的修改，一是考慮到讓學(xué)生帶著問題
做，做的目標(biāo)明確，且一邊做、一邊思考，二也是為
了使前后體例保持一致和連貫性。
（2）增加了問題情境的設(shè)置。
主要有：關(guān)于三角形中線概念的提出，將原習(xí)題
“聯(lián)系拓廣”中的鉛筆支起紙片的問題設(shè)置為本節(jié)課
的情境，繼而提出問題“你知道怎樣確定這個點(diǎn)的位置
嗎？”，改變了原來直接給出概念的做法，主要考慮全
書體例的一致（能設(shè)置問題情境的內(nèi)容盡可能從問題情
境入手）。
另外，在探究三角形三條中線交于一點(diǎn)的結(jié)論
后，給出了三角形重心的概念，且回應(yīng)本節(jié)課開始的
問題，明確指出三角形重心就是用鉛筆支起三角形紙
讓學(xué)生從事觀察、測量、拼擺、折疊、畫圖等活
動，要幫助他們有意識地積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，獲得成
功的體驗(yàn)，例如在“探索平行線的特征”時，教科書
只提供了運(yùn)用測量進(jìn)行探索的活動，教師還可以鼓勵
學(xué)生利用其他的方法進(jìn)行探索，如可以剪下一組同位
角中的一個，把它貼在另一個上面觀察兩個角是否重
合，在此基礎(chǔ)上，教師還可以安排“你還能探索出平
行線的哪些特征”的實(shí)踐活動，鼓勵感興趣的學(xué)生積
極參與。
數(shù)學(xué)課程實(shí)踐與探索8
教材研究 JIAOCAIYANJIU
片的支點(diǎn)。但是不涉及三角形重心的性質(zhì)。
再如，三角形高的概念，也是從觀察房梁立柱與
橫梁的位置關(guān)系入手。
以上這些情境的設(shè)置，一方面是學(xué)習(xí)的需要，另
一方面也是保持和發(fā)揚(yáng)被十年教改實(shí)驗(yàn)肯定的北師大
版初中數(shù)學(xué)教材的傳統(tǒng)。
（3）在整合“圖形的全等”和“全等三角形”提
出全等三角形概念之后增加一幅表示兩個全等三角形
重合的圖。
（4）修改了關(guān)于運(yùn)用三角形全等的判定和性質(zhì)內(nèi)
容的歸納推理的表述形式，將原來的箭頭表示統(tǒng)一修
改成自然語言表述，一是降低學(xué)生表述推理理由的難
度，同時也為后面形式化表述作適當(dāng)?shù)匿亯|。
（5）適當(dāng)增加訓(xùn)練量，一是原來有的課時沒有
“隨堂練習(xí)”的，這次補(bǔ)上了，二是在習(xí)題中調(diào)換、
增加了一部分習(xí)題。
三、本章內(nèi)容闡述
教科書安排了5節(jié)內(nèi)容：
第1節(jié)“認(rèn)識三角形”。 介紹三角形的有關(guān)概念、
符號表示、三角形的重要線段，以及三角形三邊之間
的關(guān)系、內(nèi)角和等基本性質(zhì)。
第2節(jié)“圖形的全等”、第3節(jié)“探索三角形全等
的條件”。在認(rèn)識全等圖形的基礎(chǔ)上，理解全等三角
形的概念和性質(zhì)，接著從全等三角形的定義出發(fā)，提
出判定三角形全等的條件至少需要幾個的問題，在學(xué)
生猜想的基礎(chǔ)上，通過所設(shè)計的一系列的實(shí)踐活動，
逐步由少到多地分類探索三角形全等的條件。
第4節(jié)“用尺規(guī)作三角形”、第5節(jié)“利用三角形
全等測距離”。 教科書以用尺規(guī)作三角形和利用三角
形全等測距離，體現(xiàn)全等三角形的應(yīng)用。
四、本章內(nèi)容解析
1.關(guān)于操作活動。
綜合考慮學(xué)生年齡狀況、認(rèn)知特點(diǎn)，以及培養(yǎng)幾
何直觀、數(shù)學(xué)推理能力的需要，教科書在為學(xué)生提供
生動有趣的問題情景的同時，設(shè)計了測量、拼圖、折
紙等多種形式的活動，提供學(xué)生觀察、操作、推理、
交流等豐富的數(shù)學(xué)活動平臺，給學(xué)生充分實(shí)踐和探索
的空間，目的是使學(xué)生通過自己的探索和與同伴的交
流發(fā)現(xiàn)三角形的有關(guān)結(jié)論，解決一些實(shí)際問題，為學(xué)
生空間觀念的發(fā)展、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的積累、個性的發(fā)
展提供機(jī)會。同時，生動有趣的三角形應(yīng)用的例子貫
穿于整章內(nèi)容中。
需要指出的是，在探索三角形全等條件時，教科
書安排了較為充分的操作活動，其意義不僅僅在通過
這些活動探索的，而且一是有助于學(xué)習(xí)主體——學(xué)生
積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)；二是要及時提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能
力，主要是空間觀念和幾何直觀，而不能停留在操作
層面，即說，操作活動是手段，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)、
發(fā)展幾何直觀和空間觀念才是目的。
2.關(guān)于數(shù)學(xué)推理能力。
根據(jù)整套教材的設(shè)計，本章在直觀操作的基礎(chǔ)上，
將幾何直觀與簡單推理相結(jié)合，更多地注重學(xué)生推理意
識的建立和對推理過程的理解，注重學(xué)生運(yùn)用自己的方
式有條理地表達(dá)推理過程，這是第三學(xué)段“圖形與幾
何”內(nèi)容中發(fā)展推理和論證能力的第一階段。
教科書關(guān)于推理過程的表述，采用文字加符號的
方式，一方面是降低學(xué)生學(xué)習(xí)難度，另一方面也是為
八上學(xué)習(xí)“平行線的證明”（開始學(xué)習(xí)演繹推理的形
式化表述）做鋪墊。
對于《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》要求的有關(guān)三角形和
全等三角形的基本事實(shí)、判定定理、性質(zhì)定理，教科
書均沒有明確標(biāo)明，更沒有給出定理的證明。上述內(nèi)
容，在現(xiàn)階段教科書僅將其作為合情推理得出的結(jié)
論，而一律以黑體字呈現(xiàn)。
通過本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生推理意識的樹立以及推
理經(jīng)驗(yàn)的積累，為以后學(xué)習(xí)證明打下基礎(chǔ)。在以后的學(xué)
習(xí)中，學(xué)生將在直觀認(rèn)識和簡單說明理由的基礎(chǔ)上，學(xué)
習(xí)從幾個基本事實(shí)出發(fā)，進(jìn)行比較嚴(yán)格地證明。
五、本章教學(xué)建議
1.認(rèn)真學(xué)習(xí)《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》關(guān)于空間觀
念、幾何直觀等核心思想的表述。領(lǐng)會教科書的編寫
意圖。始終注重學(xué)生空間觀念、幾何直觀的發(fā)展。正
確把握和落實(shí)教學(xué)目標(biāo)。
發(fā)展空間觀念、幾何直觀，必須以學(xué)生自己的
空間感覺和體驗(yàn)為基礎(chǔ)。探究能力的培養(yǎng)與空間觀
念、幾何直觀的發(fā)展，需要學(xué)生在經(jīng)歷觀察、操作、
想像、推理與交流等數(shù)學(xué)活動過程中逐步培養(yǎng)，沒有
學(xué)生對這些活動過程的參與，教學(xué)效果會大打折扣。
在本章內(nèi)容的教學(xué)中，教師應(yīng)充分利用教材提供的素
材和設(shè)計的活動，鼓勵學(xué)生積極參與觀察、操作、推
理、想像等活動過程，運(yùn)用多種方式探索三角形的有
關(guān)性質(zhì)和三角形全等的條件。
例如，在探索三角形全等的條件時，按照教材
數(shù)學(xué)課程實(shí)踐與探索 9
教材研究JIAOCAIYANJIU
的安排，先提出“已知兩個三角形的哪些邊或角的條
件，就能保證這兩個三角形全等？”“知道的條件能
盡可能少嗎？”等問題，然后鼓勵學(xué)生通過畫圖、觀
察、比較、推理、交流，在條件由少到多的過程中逐
步探索出最后的結(jié)論。在這個過程中，學(xué)生不僅得到
了兩個三角形全等的條件，同時體會了分析問題的一
種方法，感悟分類的數(shù)學(xué)思想方法，積累了數(shù)學(xué)活動
的經(jīng)驗(yàn)。
反之，若直接給出“SAS” “ASA”和“SSS”等
條件，讓學(xué)生分別作出符合條件的三角形，經(jīng)過比較
確認(rèn)這幾個條件，則只是進(jìn)行了知識的傳授，而在分
析問題能力的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的積累方面，失去
了由此很好的機(jī)會，久而久之，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力
乃至學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)都是不利的，因此，這樣的教學(xué)
設(shè)計是我們不贊成的。
在本章三角形相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，觀察、測量、
動手操作等活動是重要的，它的重要性不僅僅在于發(fā)
現(xiàn)三角形的有關(guān)性質(zhì)，不僅僅在于探索到三角形全等
的條件，更重要的是要通過這些活動發(fā)展學(xué)生的空間
觀念、幾何直觀，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。感性認(rèn)識是重
要的，但是人的認(rèn)識不能停留在感性認(rèn)識階段，而應(yīng)
該上升到理性認(rèn)識，即從直觀感知發(fā)展空間觀念、幾
何直觀，因此，我們在設(shè)計數(shù)學(xué)活動的同時要始終關(guān)
注學(xué)生空間觀念的發(fā)展，數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展，不失
時機(jī)地利用直觀感知發(fā)展空間觀念。各種操作活動，
不是學(xué)習(xí)目的，而是發(fā)展學(xué)生空間觀念、數(shù)學(xué)思維能
力的一種手段，一種方法，不能為活動而活動。
發(fā)展學(xué)生空間觀念，觀察、操作、歸納、類比、
猜測、變換、直觀思考等對空間觀念的形成、發(fā)展具
有重要作用，不僅需要自主探索、親身實(shí)踐等活動，
更離不開大家一起動手、共同參與。這個作用在大家
共同探討、合作解決問題的過程中才能不斷生成和發(fā)
展，并得到提升。通過合作交流可以更清楚地明確自
己對空間的看法，并有機(jī)會分享各自的想法。大家的
共同感受對促進(jìn)空間觀念的發(fā)展具有重要意義。
2.加強(qiáng)直觀性。注意直觀操作與簡單推理的結(jié)
合。注意推理意識的建立和對推理過程的理解。努力
把握培養(yǎng)學(xué)生推理能力的階段性要求。
要充分利用圖形的直觀性，利用圖形直觀，學(xué)生
的推理能力，培養(yǎng)學(xué)生有條理的思考和表達(dá)。
幾何圖形的直觀性，是幾何學(xué)習(xí)區(qū)別于代數(shù)學(xué)
習(xí)的重要的、有利的條件，在三角形有關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)
中，我們要充分利用幾何圖形的直觀性，逐步培養(yǎng)、
發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力，這里的推理能力既包含演
繹推理能力，也包含合情推理能力。
在探索三角形性質(zhì)和三角形全等條件的過程中，
教材安排了大量的畫圖、折紙等直觀操作活動，在操
作中思考，在思考中操作，將直觀操作與簡單推理緊
密結(jié)合起來。教師在教學(xué)中要增強(qiáng)學(xué)生推理意識的建
立，加強(qiáng)推理過程的理解，在操作活動中有意識地培
養(yǎng)學(xué)生自覺地進(jìn)行思考、推理，在和同伴的交流中，
有條理的表述操作的過程，并嘗試解釋其中的理由。
例如，在探索“三角形內(nèi)角和為180。”這個結(jié)論
時，學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)通過操作獲得了這個結(jié)論，教師
此時應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在操作中進(jìn)行自覺地思考，思考能否
利用平行線的有關(guān)事實(shí)說明這個結(jié)論，將直觀感知和
推理結(jié)合起來。
同前面“相交線、平行線”關(guān)于推理能力的要求
有所不同，從全等三角形內(nèi)容的學(xué)習(xí)開始，教科書對
三角形全等條件的學(xué)習(xí)，雖然仍然以培養(yǎng)、發(fā)展合情
推理能力為主，但是已逐步地明顯增加了演繹推理的
要求。
教師在數(shù)學(xué)活動中，既要借助幾何直觀培養(yǎng)學(xué)
生歸納、類比、聯(lián)想等合情推理能力，也要注意對演
繹推理能力的培養(yǎng)和發(fā)展予以適當(dāng)?shù)年P(guān)注，具體表現(xiàn)
在有關(guān)“說理”的學(xué)習(xí)要求方面。對“說理”的要求
應(yīng)循序漸進(jìn)，注意控制難度，基本控制為一步，對于
兩步的“說理”，在書寫上只要求學(xué)生能指出每一步
的理由。在“說理”的書寫格式上，現(xiàn)階段不作統(tǒng)一
要求，既可以用自然語言，也可以結(jié)合在圖中標(biāo)示進(jìn)
行說明，學(xué)生如果采用其他的方法，只要能說清楚均
可，要鼓勵學(xué)生運(yùn)用自己的語言晰地表達(dá)自己的發(fā)現(xiàn)
或說明理由。不要急于要求學(xué)生進(jìn)行形式化的表述。
需要說明的是，有關(guān)三角形全等的例題，教材給
出的解答主要提供學(xué)生閱讀理解，為今后培養(yǎng)推理能力
作鋪墊，而不是要求學(xué)生現(xiàn)在就按照例題解答的格式書
寫，這一點(diǎn)在教學(xué)中要注意把握，不可操之過急。
《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，對于尺規(guī)作圖，學(xué)生
不僅要知道作圖的步驟，而且要“了解作圖的道理”。
這個要求，對于我們?nèi)嬲J(rèn)識尺規(guī)作圖的數(shù)學(xué)價值，又
向前推進(jìn)了一步，我們在教學(xué)中應(yīng)努力落實(shí)。
例如，在利用尺規(guī)作出三角形之后，教師應(yīng)引導(dǎo)
學(xué)生主動思考作圖的合理性，如提出“大家畫出的三角
形是否全等”的問題供學(xué)生討論。除了利用將所作三角
數(shù)學(xué)課程實(shí)踐與探索10
教材研究 JIAOCAIYANJIU
形進(jìn)行比較看是否重合的辦法外，還應(yīng)繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)
用已有的結(jié)論（三角形全等條件）來說明，不僅使學(xué)生
意識到這兩種方法的不同，而且發(fā)展了演繹推理能力。
3.重視學(xué)生的主體地位。及時了解、承認(rèn)并尊重
學(xué)生的個體差異。滿足多樣化的學(xué)習(xí)需要。
重視學(xué)生的主體地位，首先要愛護(hù)、信任、尊重
學(xué)生，以平等、民主的態(tài)度對待他們；要主動把課堂
教學(xué)活動的時間多分給學(xué)生使用，把課堂教學(xué)活動的
內(nèi)容多留些給學(xué)生處理解決，教師做好組織、設(shè)計、
指導(dǎo)和點(diǎn)撥；還要及時了解、承認(rèn)并尊重學(xué)生的個體
差異，滿足多樣化的學(xué)習(xí)需要。教學(xué)中要鼓勵與提倡
解決問題策略的多樣化，尊重學(xué)生在解決問題過程中
所表現(xiàn)出的不同水平。問題情境的設(shè)計、教學(xué)過程的
展開、練習(xí)的安排等要盡可能地讓所有學(xué)生都能積極
主動地參與，提出各自解決問題的策略，并引導(dǎo)學(xué)生
在與他人的交流中選擇合適的策略，豐富數(shù)學(xué)活動的
經(jīng)驗(yàn)，提高思維水平。這樣，不僅學(xué)生的主體地位得
到了落實(shí)，而且讓學(xué)生有充分的時間積極地學(xué)習(xí)數(shù)
學(xué)，這是培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的保障。
例如，對于“三角形任意兩 邊之和大于第三
邊”，可以由“兩點(diǎn)間直線段最短”直接推出，還可
以用測量方法歸納得出，這樣，既體現(xiàn)了個體差異的
尊重，也體現(xiàn)了學(xué)習(xí)的多樣化。引導(dǎo)學(xué)生積極參與、
經(jīng)歷教學(xué)活動過程，在活動過程中感悟數(shù)學(xué)思想，積
累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。
4.適當(dāng)注意數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí)。
幾何學(xué)習(xí)的難度不僅僅在演繹推理對思維能力的
要求較高，有一定難度，而且在于數(shù)學(xué)語言三種形式
（文字語言、圖形語言和符號語言）的轉(zhuǎn)換，這種語
言轉(zhuǎn)換能力的高低，在一定程度上反映了數(shù)學(xué)思維能
力的強(qiáng)弱。
自本章開始，數(shù)學(xué)語言的三種形式及其相互轉(zhuǎn)換
的力度在逐步加大，要求在逐步提高，特別是有關(guān)三
角形全等的判斷，演繹推理的要求已經(jīng)比之前學(xué)習(xí)平
行線判定時有顯著提高，推理過程的語言表述要求也
隨之提高（盡管目前對數(shù)學(xué)的形式化語言的表述未作
要求，但顯然已在為這個要求做鋪墊）。
例如，在用尺規(guī)作三角形時，表格“作法”欄
是采用文字語言表述，而“示范”欄則是以圖形語言
表述，兩種語言形式的轉(zhuǎn)換對于理解尺規(guī)作三角形就
不僅是必要的，而且是必不可少的。再如，本章的例
題、習(xí)題中關(guān)于三角形全等的問題的已知條件，大部
分是以圖形給出（實(shí)質(zhì)是圖形語言形式給出），而推
理過程的表述很多情況下是以符號語言呈現(xiàn)（有的也
直接在圖上用不同標(biāo)記標(biāo)出，那是圖形語言的一種運(yùn)
用），將來會出現(xiàn)單純文字語言描述的已知條件，就
要求學(xué)生首先根據(jù)文字語言畫出圖（實(shí)質(zhì)教師將文字
語言轉(zhuǎn)換為圖形語言，而解答、證明的過程則是將文
字語言、圖形語言轉(zhuǎn)換為符號語言）。
因此，在增強(qiáng)學(xué)生演繹推理能力培養(yǎng)的同時，教
師有意識地加強(qiáng)數(shù)學(xué)語言三種形式轉(zhuǎn)換的學(xué)習(xí)，增強(qiáng)
學(xué)生對數(shù)學(xué)語言的三種形式及其轉(zhuǎn)換的認(rèn)識、使用已
是十分迫切的了。
當(dāng)然，本章對用形式化語言表述推理過程尚未達(dá)
到要求，因此，在教學(xué)中，對于數(shù)學(xué)符號語言的使用
及符號語言與圖形語言、文字語言轉(zhuǎn)換的度要注意把
握，要根據(jù)教材的安排適時、適度地推進(jìn)。重視、增
強(qiáng)數(shù)學(xué)語言使用的意識，但不要超越階段性。
七年級下冊第四章“變量之間的關(guān)系”的
設(shè)計思路與教學(xué)建議
《北師大版義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（7～9年級）編寫組 史炳星
《北師大版義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（7～9年
級）七年級下冊屬于數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的內(nèi)容共有兩章：
整式的乘除、變量之間的關(guān)系。現(xiàn)在我們來談一談
“變量之間的關(guān)系”這一章內(nèi)容的定位與教學(xué)建議。
一、內(nèi)容的定位
數(shù)學(xué)課程實(shí)踐與探索 11
教材研究JIAOCAIYANJIU
我們知道，在數(shù)學(xué)發(fā)展的過程中，“到十六世
紀(jì)，對于運(yùn)動的研究，變成了自然科學(xué)的中心問題。
實(shí)踐的需要和各門科學(xué)的本身的全部發(fā)展使自然科學(xué)
轉(zhuǎn)向?qū)\(yùn)動的研究，對各種變化過程和各種變化著的
量之間的依賴關(guān)系的研究。
作為變化著的量的一般性質(zhì)及它們之間依賴關(guān)系
的反映，在數(shù)學(xué)中產(chǎn)生了變量和函數(shù)的概念，而數(shù)學(xué)
對象的這種根本擴(kuò)展就決定了向數(shù)學(xué)的新階段——變
量的數(shù)學(xué)的過渡。”（亞歷山大洛夫：數(shù)學(xué)——它的
內(nèi)容、方法和意義）
函數(shù)是刻畫變量間關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，由于
變量之間關(guān)系的廣泛存在性，以及學(xué)習(xí)“定量地刻
畫變量之間的關(guān)系”的重要性，對函數(shù)的學(xué)習(xí)，不
可否認(rèn)地是初中數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容。同時，又由
于函數(shù)內(nèi)容的抽象性，有數(shù)學(xué)教育研究表明，對變
化規(guī)律的探索、描述應(yīng)從低年級非正式地開始，學(xué)
生早期對函數(shù)的豐富經(jīng)歷是十分重要的。也就是
說，學(xué)生對函數(shù)相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，應(yīng)該分階段地進(jìn)
行，即使一個從非形式化、逐步地過渡到形式化的
過程。學(xué)生在非形式化階段積累的豐富的對變量之
間關(guān)系探究的經(jīng)驗(yàn)，將為他們一般性研究函數(shù)，包
括函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)、應(yīng)用等奠定基礎(chǔ)。因
此，本套教科書對函數(shù)內(nèi)容的設(shè)計，本著循序漸
進(jìn)、螺旋上升的原則，首先從學(xué)生熟悉的最普遍、
最常見的變量間關(guān)系開始，并緊密依托實(shí)際背景、
根據(jù)情景中的具體量（常量、變量），研究具體變
量之間的關(guān)系，如溫度隨時間的變化、三角形面積
隨底邊長的變化等，初步理解變量之間的關(guān)系并開
始熟悉用數(shù)學(xué)的方法刻畫變量之間的關(guān)系等，再逐
步過渡到一般性地研究一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比
例函數(shù)等內(nèi)容。
其實(shí)，在七年級上學(xué)期中，教科書已經(jīng)在代數(shù)式
求值、探索規(guī)律等地方滲透了變化的思想，而這里則
是在第三學(xué)段第一次較為系統(tǒng)、集中討論變量之間的
關(guān)系，本章所設(shè)置的教學(xué)目標(biāo)包括：
（1） 經(jīng)歷探索具體情境中兩個變量之間關(guān)系的過
程，感受變量的思想、發(fā)展符號意識。
（2） 能發(fā)現(xiàn)實(shí)際情境中的變量及其相互關(guān)系，并
確定其中的自變量或因變量。
（3） 能從表格、圖象中分析出某些變量之間的關(guān)
系，感受幾何直觀的作用，并能用自己的語言進(jìn)行表
達(dá)，發(fā)展有條理地進(jìn)行思考和表達(dá)的能力。
（4） 能根據(jù)具體問題，選取用表格和關(guān)系式表
示某些變量之間的關(guān)系，初步感受模型思想，并結(jié)合
對變量之間關(guān)系的分析，嘗試對變化趨勢進(jìn)行初步的
預(yù)測。
（5） 體驗(yàn)從運(yùn)動變化的角度認(rèn)識數(shù)學(xué)對象的過
程，發(fā)展發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的
能力。
（6） 在探究、學(xué)習(xí)變量之間關(guān)系的過程中，進(jìn)一
步發(fā)展學(xué)習(xí)興趣和增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。
二、內(nèi)容的主要變化
與2001版教科書相比，本章內(nèi)容從結(jié)構(gòu)上沒有變
化。但節(jié)標(biāo)題有一些變化：
§1．用表格表示的變量間關(guān)系（1課時）
§2．用關(guān)系式表示的變量間關(guān)系（1課時）
§3．用圖象表示的變量間關(guān)系（2課時）
回顧與思考（1課時）
一些具體變化如下：
第一節(jié)增加了“常量”的概念，還增加了習(xí)題，
并與時俱進(jìn)地更新了世界人口總數(shù)。
第二節(jié)增加了“排碳計算公式”，從知識方面
說，增加了將語言表示的變量之間關(guān)系表示為關(guān)系
式。從態(tài)度情感方面說，增加了學(xué)生的社會責(zé)任感方
面的體驗(yàn)。
第三節(jié)、第四節(jié)分別增加了習(xí)題，其他沒有變化。
三、對內(nèi)容的解析
本章的知識內(nèi)容可以用下面的框圖表示：

從框圖可以更清楚地看出：多種研究表明，為了
發(fā)展學(xué)生對函數(shù)思想的理解，必須使他們對函數(shù)的多
種表示——數(shù)值表示、解析表示、圖象表示有相當(dāng)
數(shù)學(xué)課程實(shí)踐與探索12
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豐富的經(jīng)歷。因此教科書首先在第1節(jié)通過探討小
車下滑時間的活動，使學(xué)生初步體會變量之間的相
依關(guān)系，并用表格來表示變量之間的關(guān)系。然后，
借助人口統(tǒng)計表、土豆種植氮肥施用量表等素材，
使學(xué)生學(xué)習(xí)如何從表格中獲取信息，發(fā)展他們通過
數(shù)據(jù)分析進(jìn)行預(yù)測和解決問題的能力。在學(xué)生已經(jīng)
計算一些圖形的面積或體積的基礎(chǔ)上，教科書在第
2節(jié)討論由邊長（或半徑、高）的變化引起的面積
或體積的變化。然后運(yùn)用形象的“機(jī)器輸入輸出
圖”，滲透自變量和因變量值的對應(yīng)思想，為以后
理解函數(shù)的概念做鋪墊。“排碳計算公式”內(nèi)容的
設(shè)計，是為了將生活中變量之間關(guān)系的表達(dá)，轉(zhuǎn)化
為實(shí)現(xiàn)上的關(guān)系式表達(dá)。在第3節(jié)課中，通過學(xué)生
所熟悉的氣溫變化圖，引入變量之間關(guān)系的第三種
表示方法——圖象。圖象以其直觀性有著其他表示
方式所不能替代的作用。它是將關(guān)系式和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化
為圖形形式，是“看見”相應(yīng)的變化規(guī)律的途徑之
一。因此，本章在第4節(jié)中特別又對圖象所表示的
變量之間的關(guān)系進(jìn)行了討論，讓學(xué)生用語言描述
圖象所表示的變化過程，加強(qiáng)他們對圖象表示的
理解，發(fā)展從圖象中獲得信息的能力及有條理地
進(jìn)行語言表達(dá)的能力。
概括起來說：
研究小車下滑的時間，是本章的起始課，除給出
變量、常量的概念，還給出變量之間關(guān)系的第一種表
示方式——表格表示法。
通過研究變化中的三角形，給出變量之間關(guān)系的
第二種表示方式——關(guān)系式表示法。
通過研究溫度的變化和速度的變化，給出變量之間
關(guān)系的第三種表示方式——圖象表示法，并力圖與表格
表示、關(guān)系式表示進(jìn)行聯(lián)系，但不要求學(xué)生畫圖象。
值得一提的是，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011
年版）》對函數(shù)內(nèi)容的要求是學(xué)段目標(biāo)，本章只是函
數(shù)內(nèi)容的起始課，內(nèi)容設(shè)計定位于對函數(shù)的初步感
受，對變量之間關(guān)系的討論基本上是依托情境的、非
形式化的。本套教科書對函數(shù)內(nèi)容的設(shè)計是逐步形式
化的，在學(xué)生學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)和平面直角坐標(biāo)系的知識
后，教科書將給出函數(shù)的定義，并要求畫出變量之間
關(guān)系的圖象表示。
四、教學(xué)建議
1.創(chuàng)設(shè)豐富的現(xiàn)實(shí)情境。使學(xué)生在對變化規(guī)律的
豐富經(jīng)歷中理解變量之間的相依關(guān)系。
本章主要討論的是現(xiàn)實(shí)世界中大量存在的變量，
討論如何用數(shù)學(xué)的方法去理解、表示變量之間的關(guān)
系，并解決一些問題和進(jìn)行預(yù)測。 因此在教學(xué)中，教
師要創(chuàng)設(shè)豐富的現(xiàn)實(shí)情境使學(xué)生體會變量以及變量之
間相互依賴的關(guān)系，而不是形式地討論函數(shù)的有關(guān)概
念。教師可以充分利用教科書中提供的問題，也可以
根據(jù)學(xué)生實(shí)際創(chuàng)設(shè)新的情境，或鼓勵學(xué)生自己從生活
中尋找有關(guān)素材供課堂討論。
2.注重使學(xué)生親身經(jīng)歷探索現(xiàn)實(shí)世界變化規(guī)律的
過程。
運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言、方法、知識去理解、刻畫
現(xiàn)實(shí)世界中的變化規(guī)律，是本章學(xué)習(xí)的主要目標(biāo)
之一。 而實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的重要途徑是使學(xué)生親身
經(jīng)歷探索現(xiàn)實(shí)世界變化規(guī)律的過程，在探索活動
中理解變量之間的相依關(guān)系，并嘗試用語言和符
號去刻畫。
例如，在探索小車下滑過程中下滑時間與支撐
物高度的關(guān)系時，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生充分地從表格中獲
取信息，運(yùn)用自己的語言進(jìn)行描述，并與同伴進(jìn)行交
流。 有條件的地方，教師可以讓學(xué)生親自實(shí)踐這個實(shí)
驗(yàn)或?qū)嵺`其他可操作性的實(shí)驗(yàn)，使他們獲得變量之間
關(guān)系的直觀體驗(yàn)，并體會收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、由數(shù)
據(jù)進(jìn)行推斷的思考方式。
3.注重使學(xué)生從表格、關(guān)系式、圖象中盡可能多
地獲取信息，并運(yùn)用語言進(jìn)行表達(dá)。
前面已經(jīng)提到，為了發(fā)展學(xué)生對函數(shù)思想的理
解，必須使他們對函數(shù)的各種表示——數(shù)值表示、
解析表示、圖象表示有相當(dāng)豐富的經(jīng)歷。 因此，
教科書安排了大量由表格、關(guān)系式、圖象所表達(dá)
的變量之間關(guān)系的實(shí)例。 在學(xué)生討論這些例子
時，教師要留給他們充分思考的時間，鼓勵他們
從表格、關(guān)系式、圖象中盡可能多地獲取信息，
并運(yùn)用自己的語言進(jìn)行表達(dá)。 當(dāng)學(xué)生運(yùn)用語言進(jìn)
行表達(dá)時，教師不要苛求語言的統(tǒng)一性以及對關(guān)系
的精確描述，只要學(xué)生能大致描述出變量之間的關(guān)
系即可。
需要指出的是，教科書安排了表格、關(guān)系式、圖
象等內(nèi)容，目的是使學(xué)生體驗(yàn)多種形式表示下的變
量之間的關(guān)系，而不是對其本身的討論。 因此，教
學(xué)時不要形式地對函數(shù)及函數(shù)的三種表達(dá)方式展開
討論。
書
ＪＩＡＯＣＡＩＹＡＮＪＩＵ 教材研究
七年級下冊第五章 “生活中的軸對稱”的
設(shè)計思路與教學(xué)建議
《北師大版義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（７－９年級）編寫組　史炳星
　　一、本章內(nèi)容的定位
軸對稱是現(xiàn)實(shí)生活中廣泛存在的一種現(xiàn)象，大
到雄偉的天安門城樓，小到一只精美的剪紙蝴蝶，
都引起人們深深的贊嘆。軸對稱圖形又是幾何圖形
中極為重要的一種圖形，如圓、矩形、箏形、等腰
三角形等。欣賞軸對稱圖形、學(xué)習(xí)軸對稱的基本性
質(zhì)、利用軸對稱進(jìn)行簡單的圖案設(shè)計，將使我們進(jìn)
一步豐富自己的圖形認(rèn)識、幾何直觀和數(shù)學(xué)活動經(jīng)
驗(yàn)，體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的密切聯(lián)系。
同時，軸對稱也是探索圖形的性質(zhì)，以及認(rèn)識、
描述圖形形狀和位置關(guān)系的必要手段之一。因此，
本章的內(nèi)容是十分重要的。在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，我們
還將用坐標(biāo)的方法對軸對稱進(jìn)行刻畫，這必將進(jìn)一
步深化我們對軸對稱的認(rèn)識。
　　二、本章內(nèi)容的主要變化
本章內(nèi)容有：
§１　軸對稱現(xiàn)象　　　　　１課時
§２　探索軸對稱的性質(zhì)　 １課時
§３　簡單的軸對稱圖形　 ３課時
§４　利用軸對稱進(jìn)行設(shè)計　１課時
回顧與思考　 １課時
與２００１版教科書相比，本章內(nèi)容的變化主要有
如下幾點(diǎn)。
首先從結(jié)構(gòu)方面看：
原§２“簡單軸對稱圖形”與 §３“探索軸對稱
的性質(zhì)”調(diào)換了次序，即 “探索軸對稱的性質(zhì)”在
前，“簡單軸對稱圖形”在后。一般地，我們都是
探索圖形性質(zhì)在前，研究具體的圖形在后。
原 “簡單軸對稱圖形”中，線段和角只用一課
時，現(xiàn)用兩課時，原因是增加了尺規(guī)作圖的內(nèi)容。
對于尺規(guī)作圖，按 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （２０１１
年版）》（以下簡稱 《標(biāo)準(zhǔn)》），不要求寫作法，但應(yīng)
保留作圖痕跡。
原 “利用軸對稱進(jìn)行設(shè)計”的部分內(nèi)容 （簡單
幾何圖形）移至 “探索軸對稱的性質(zhì)”一節(jié)，原
“剪紙與鑲邊”的主要內(nèi)容放在 “利用軸對稱進(jìn)行
設(shè)計”一節(jié)，這節(jié)的設(shè)計主要是生活中的軸對稱圖
案。這樣做，使得內(nèi)容更緊湊、層次也更清楚。
去掉了原§５“鏡子改變了什么”，因?yàn)橐?《標(biāo)
準(zhǔn)》這個內(nèi)容可以暫不做要求。
再從內(nèi)容上方面看：
§１軸對稱現(xiàn)象，定義中突出了軸對稱圖形首
先是平面圖形。由于操作性的原因，去掉了 “滴墨
跡”的活動。
§２探索軸對稱的性質(zhì)，增加了畫圖形 （簡單
幾何圖形）“另一半”的活動 “做一做”，習(xí)題也相
應(yīng)增加。
§３簡單的軸對稱圖形，共用三個課時。
第一課時等腰三角形的軸對稱性，去掉了 “三
角形中等角對等邊及等邊對等角”的結(jié)論，增加了
“如何獲得等腰三角形”的活動 （不是尺規(guī)作圖），
積累活動經(jīng)驗(yàn)。
第二課時線段的軸對稱性，增加了用尺規(guī)作
“線段的垂直平分線”和作圖之前的探究性活動，
相應(yīng)增加了作圖的活動和習(xí)題。
第三課時角的軸對稱性，增加了用尺規(guī)作 “角
平分線”和作圖之前的探究性活動，相應(yīng)增加了作
圖的活動和習(xí)題。
§４利用軸對稱進(jìn)行設(shè)計，主要設(shè)計生活中的
軸對稱圖案。
　　三、本章內(nèi)容的解析
本章的知識內(nèi)容可以用下面的框圖表示：
數(shù)學(xué)課程實(shí)際與探索 １
教材研究 ＪＩＡＯＣＡＩＹＡＮＪＩＵ
本章內(nèi)容主要分為四個部分：軸對稱現(xiàn)象、探
索軸對稱的性質(zhì)、簡單的軸對稱圖形和利用軸對稱
進(jìn)行設(shè)計。
軸對稱現(xiàn)象，立足于學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和初
步的數(shù)學(xué)活動經(jīng)歷，從觀察現(xiàn)實(shí)生活中的軸對稱現(xiàn)
象以及簡單的軸對稱圖形開始，力圖使學(xué)生能夠從
廣闊的視角直觀認(rèn)識并描述軸對稱的概念。
探索軸對稱的性質(zhì)，通過學(xué)生活動，發(fā)現(xiàn)和概
括軸對稱的基本性質(zhì)，并利用軸對稱畫簡單圖形。
在探索出軸對稱的性質(zhì)后，通過逐步分析等腰
三角形、線段、角等簡單的軸對稱圖形，引導(dǎo)學(xué)生
進(jìn)一步了解和認(rèn)識軸對稱圖形及軸對稱圖形的性質(zhì)。
將簡單軸對稱圖形的學(xué)習(xí)順序安排為等腰三角形、
線段、角，是考慮了等腰三角形的軸對稱性是最直
觀、最易于被認(rèn)知的。
簡單的圖案設(shè)計活動，使學(xué)生進(jìn)一步體會軸對
稱的應(yīng)用價值和豐富內(nèi)涵，發(fā)展應(yīng)用意識和創(chuàng)新
能力。
本章所涉及的學(xué)習(xí)素材首先包含大量的與軸對
稱有關(guān)的現(xiàn)象和實(shí)際問題，其次包括常見的簡單軸
對稱圖形，如等腰三角形、線段、角等。本章的每
節(jié)內(nèi)容都為學(xué)生提供了生動有趣的現(xiàn)實(shí)情境，并通
過觀察、折紙、扎眼、簡單圖案設(shè)計、藝術(shù)作品欣
賞等活動，進(jìn)一步豐富學(xué)生對軸對稱的直觀體驗(yàn)，
發(fā)展幾何直觀和積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。
　　四、本章內(nèi)容教學(xué)建議
１．充分挖掘和利用現(xiàn)實(shí)生活中大量存在的軸對
稱現(xiàn)象進(jìn)行教學(xué)
本章內(nèi)容具有豐富的實(shí)際背景，在現(xiàn)實(shí)世界中
有著極其廣泛的應(yīng)用，因此教師要充分利用現(xiàn)實(shí)生
活中大量存在的軸對稱現(xiàn)象進(jìn)行教學(xué)，所挖掘的素
材不僅應(yīng)包括人們所習(xí)慣的標(biāo)準(zhǔn)的幾何圖形，而且
更應(yīng)包括豐富多彩的現(xiàn)實(shí)世界中的二、三維圖形
（如徽標(biāo)、楓葉、雪花、建筑物、昆蟲、飛機(jī)），使
學(xué)生能夠用軸對稱的觀點(diǎn)來解釋現(xiàn)實(shí)世界中與圖形
有關(guān)的現(xiàn)象，同時能夠欣賞現(xiàn)實(shí)世界中蘊(yùn)涵的有關(guān)
軸對稱的圖案。
需要注意的是，處理這部分內(nèi)容時不能照搬變
換幾何的理論，而應(yīng)注重以變換的觀點(diǎn)欣賞和分析
生活中的現(xiàn)象和簡單的幾何圖形，而不是刻意追求
對變換性質(zhì)的研究，尤其是不刻意追求對變換性質(zhì)
的嚴(yán)格證明。
２．注重使學(xué)生經(jīng)歷探索軸對稱性質(zhì)和圖案設(shè)計
等實(shí)踐活動
本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，包括觀察并分析生活中的軸
對稱現(xiàn)象，探索軸對稱的性質(zhì)和利用軸對稱設(shè)計圖
案等大量實(shí)踐活動，學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)、推理能
力的發(fā)展，對圖形美的感受等都是在這些實(shí)踐活動
中逐漸發(fā)展的。因此，教學(xué)中應(yīng)充分利用這部分內(nèi)
容的特點(diǎn)，將觀察、操作等實(shí)踐活動以及實(shí)踐活動
數(shù)學(xué)課程實(shí)際與探索２
ＪＩＡＯＣＡＩＹＡＮＪＩＵ 教材研究
中的思考與交流貫穿于教學(xué)過程的始終。使學(xué)生體
會所學(xué)內(nèi)容與現(xiàn)實(shí)世界的廣泛聯(lián)系，體驗(yàn)軸對稱的
數(shù)學(xué)內(nèi)涵和文化價值，積累豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，
發(fā)展良好的空間觀念和一定的創(chuàng)新意識。
３．有意識地滿足學(xué)生多樣化的學(xué)習(xí)需求，為學(xué)
生提供個性化學(xué)習(xí)的時間和空間
本章內(nèi)容中有許多需要發(fā)揮學(xué)生想像和個性的
活動，如欣賞軸對稱現(xiàn)象、圖案設(shè)計，鑲邊與剪紙
等，在這些內(nèi)容的教學(xué)中，教師應(yīng)有意識地滿足學(xué)
生多樣化的學(xué)習(xí)需求，并真正為學(xué)生提供個性化學(xué)
習(xí)的時間和空間。例如，當(dāng)學(xué)生設(shè)計軸對稱圖案時，
可能會有不同的創(chuàng)意，也許還會選擇扎眼、印墨跡、
折疊，剪紙、畫圖等不同辦法完成自已的創(chuàng)意，教
師應(yīng)鼓勵他們大膽想像并展示自己的作品，教師也
不能用惟一的標(biāo)準(zhǔn)衡量全體同學(xué)的設(shè)計活動和結(jié)果。
一方面只要能設(shè)計出符合要求的圖案就應(yīng)給予肯定，
另一方面對具有創(chuàng)造性的設(shè)計也給予充分的贊揚(yáng)，
有條件的地區(qū)，教師還可以鼓勵學(xué)生利用計箅機(jī)進(jìn)
行圖案設(shè)計。
七年級下冊第六章 “概率”的設(shè)計思路與教學(xué)建議
南京郵電大學(xué)繼續(xù)教育學(xué)院 （２１０００３）　張新華
在廣泛吸收一線教師的意見、認(rèn)真學(xué)習(xí) 《義務(wù)
教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （２０１１年版）》 （以下簡稱 《標(biāo)
準(zhǔn)》）的基礎(chǔ)上，本著更好地凸顯概率的課程目標(biāo)，
更好地方便一線教師教學(xué)，更好地與小學(xué)教材對接，
我們對教材進(jìn)行了認(rèn)真的自我審查，并作出了重新
設(shè)計。現(xiàn)將新版教材七年級下冊第六章概率部分的
特點(diǎn)作一些介紹。
　　一、本章內(nèi)容定位
通過本章的學(xué)習(xí)，使學(xué)生認(rèn)識到現(xiàn)實(shí)世界廣泛
存在的隨機(jī)性，形成初步的隨機(jī)觀念。知道通過大
量地重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻率來估計概率。了解兩類
事件 （古典概型和可化為古典概型的幾何概型）發(fā)
生的概率，能進(jìn)行簡單的計算。通過認(rèn)識隨機(jī)事件
及其發(fā)生的概率，能對現(xiàn)實(shí)世界中一些簡單的隨機(jī)
現(xiàn)象作出解釋，利用隨機(jī)觀念作出自己的決策。在
探究頻率與概率的過程中，進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)的價值
及發(fā)展合作意識。
在現(xiàn)代社會里，人們面臨著更多的機(jī)會和選擇，
常常需要在不確定的情境中作出合理的決策。概率
論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律的數(shù)學(xué)學(xué)科。在自然
界和人類社會中，確定性的現(xiàn)象十分有限，不確定
性的現(xiàn)象 （也稱為隨機(jī)現(xiàn)象）卻是大量存在的，而
概率正是對隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述，它能幫助人們作
出合理的決策，因而具有學(xué)習(xí)與研究的必要性。
概率可以幫助學(xué)生更好地認(rèn)識世界，讓學(xué)生認(rèn)
識到許多偶然現(xiàn)象中所包含的必然規(guī)律，發(fā)展學(xué)生
的隨機(jī)觀念和辯證思維。
雖然不能在試驗(yàn)之前預(yù)知試驗(yàn)的確切結(jié)果，只
能知道每個結(jié)果發(fā)生的概率；雖然確定的理論概率
也不能給人們提供絕對無誤的行為判斷，但仍然可
以指導(dǎo)我們的實(shí)踐，并且在這樣的實(shí)踐中，提高自
身的辯證思維能力。
例如：明天的降水概率為１０％，后天是９０％，
這一信息，可以指導(dǎo)我們的行動：可能我們明天出
門不帶雨衣，后天會帶雨衣。當(dāng)然，現(xiàn)實(shí)也可能和
我們開個玩笑，說不定明天下了雨，而后天卻沒有
下雨，我們固然可以抱怨天氣預(yù)報出現(xiàn)了一些問題，
但我們總不會因?yàn)檫@件事情，以后天氣預(yù)報降水概
率９０％的那天我們就不帶雨傘，而降水概率為１０％
的那天帶雨傘。這就是概率不確定性思維的特點(diǎn)，
可以很好地發(fā)展學(xué)生的隨機(jī)意識和辯證思維。
對隨機(jī)現(xiàn)象本體的認(rèn)識，又可細(xì)分為這樣幾個
層次：
（１）理解確定事件和不確定事件的基本概念，
能夠辨別一個事件是否是確定事件。例如：知道
“隨意拋擲一枚硬幣，落地后國徽朝上”這一事件
是不確定事件，在拋擲之前無法保證它是否一定發(fā)
生，再如 “摸彩中獎”、“明天下雨”等大量生活中
事件都是不確定事件。
（２）粗略地感知某一事件發(fā)生的可能性。這是
數(shù)學(xué)課程實(shí)際與探索 ３
教材研究 ＪＩＡＯＣＡＩＹＡＮＪＩＵ
（１）的必然發(fā)展，在定性地知道了某一事件有時發(fā)
生、有時不發(fā)生的情況下，自然希望知道這一事件
發(fā)生的可能性大還是不發(fā)生的可能性大，并對這些
事件發(fā)生的可能性有個直覺的估計。
（３）用數(shù)量較為精確地刻畫具體某一事件發(fā)生
的可能性。這是 （２）的數(shù)量化，因而要求學(xué)生能
用各種方式進(jìn)行計算，這里的計算有理論計算和試
驗(yàn)估算兩種方式。
（４）理解某一事件發(fā)生的試驗(yàn)頻率與理論概率
存在偏差，而且偏差的存在是正常的、經(jīng)常的。雖
然多次試驗(yàn)的頻率漸趨穩(wěn)定于其理論概率，但也不
排斥無論做多少次試驗(yàn)，試驗(yàn)概率仍然是理論概率
的一個近似值，兩者存在著一定的偏差，而且偏差
的存在是正常的、經(jīng)常的。例如理論上事件 “隨意
拋擲一枚硬幣，落地后國徽朝上”發(fā)生的概率為
１／２，但試驗(yàn)１００次，并不能保證恰好５０次國徽朝
上，５０國徽朝下。只要學(xué)生真正動手做試驗(yàn)，必能
體會到這一點(diǎn)，事實(shí)上，做１００次擲幣試驗(yàn)恰好５０
次國徽朝上，５０次國徽朝下的可能性僅為 ８
!
左
右。只有學(xué)生認(rèn)識到這一點(diǎn)，才算對某一事件發(fā)生
的概率的較為全面的理解，初步形成隨機(jī)觀念。
　　二、本章內(nèi)容有哪些變化
１．適度整合有關(guān)內(nèi)容，加強(qiáng)與小學(xué)的對接
原來教材，考慮到小學(xué)階段的實(shí)際情況，設(shè)計
了較多的概率基礎(chǔ)知識。現(xiàn)在的初中生，小學(xué)階段
都已經(jīng)使用了課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材，已經(jīng)有了相關(guān)的
知識基礎(chǔ)和活動經(jīng)驗(yàn)，這些是初中概率統(tǒng)計學(xué)習(xí)重
要的基礎(chǔ)。但考慮到各個版本小學(xué)教材這部分內(nèi)容
設(shè)計的時間不同，學(xué)生經(jīng)過幾年的學(xué)習(xí)，也難免有
所遺忘，因此，對于與小學(xué)重復(fù)的內(nèi)容，不是簡單
的刪減，而是設(shè)計了幾個活動，通過活動對這部分
內(nèi)容進(jìn)行簡單的回顧，力圖調(diào)動學(xué)生的知識基礎(chǔ)和
活動經(jīng)驗(yàn)，從而順利過渡到初中的學(xué)習(xí)。具體地，
本章第１課時，就是通過一個活動，以回顧確定事
件與隨機(jī)事件，必然事件與不可能事件等概念，并
感受隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小等。
２．關(guān)注概率意義理解，進(jìn)一步凸顯過程
教科書設(shè)計了大量的試驗(yàn)活動，通過不同類型
的模型，感受隨機(jī)性，加深對概率意義的理解。很
多教科書一開始就呈現(xiàn)古典概型問題，這些隨機(jī)現(xiàn)
象具有先天的等可能性，這樣的設(shè)計容易誤導(dǎo)學(xué)生，
誤認(rèn)為所有的隨機(jī)現(xiàn)象都有等可能的基礎(chǔ)，也容易
誤解某些背景中的等可能基礎(chǔ)。為此，我們首先呈
現(xiàn)的隨機(jī)現(xiàn)象，并不是古典概型，只能通過試驗(yàn)頻
率估計其發(fā)生的可能性，接著再呈現(xiàn)具有等可能性
的隨機(jī)現(xiàn)象，通過試驗(yàn)活動感受其等可能后，才上
升到一般的古典概型。這樣做，希望引導(dǎo)學(xué)生，概
率問題的等可能基礎(chǔ)是有條件的，并不能想當(dāng)然地
認(rèn)可所謂的等可能基礎(chǔ)。
３．關(guān)注變式，嘗試適度的問題提出
提出問題的能力，是 《標(biāo)準(zhǔn)》中新增的要求，
為此，本次修訂也凸顯了這一點(diǎn)。如在擲骰子試驗(yàn)
中，要求學(xué)生思考：在這個試驗(yàn)中還有哪些隨機(jī)現(xiàn)
象？你還能求哪些概率？與同伴交流。力圖通過這
些活動，引導(dǎo)學(xué)生自主地提出問題，發(fā)展學(xué)生自主
學(xué)習(xí)能力。
４．關(guān)注運(yùn)用，力圖在解決問題過程中發(fā)展學(xué)生
的應(yīng)用意識和能力
概率的學(xué)習(xí)，由于初中階段學(xué)生的能力限制，
概率模型要求盡可能簡單，基本上都具有先天的等
可能性，因此，教科書中的概率模型基本都是什么
硬幣、骰子游戲之類的；另外，課程標(biāo)準(zhǔn)僅僅要求
認(rèn)識概率，實(shí)際上，僅僅認(rèn)識概率還不能做出行為
判斷，更需要利用概率做出判斷。因此，我們繼續(xù)
遵循原有教材的特色，９年級下冊設(shè)計了 “哪種方
式更合算”，通過轉(zhuǎn)盤搖獎中平均收益這一類問題
的研究，進(jìn)一步感受概率的應(yīng)用。
５．進(jìn)一步關(guān)注情境的現(xiàn)實(shí)性、趣味性，及時調(diào)
整了一些情境
認(rèn)識到情境的重要性，創(chuàng)設(shè)了豐富的現(xiàn)實(shí)情境，
既引發(fā)了學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，又揭示了新知學(xué)習(xí)的必要
性。同時，很多情境設(shè)計中注意研究學(xué)生的認(rèn)知心
理，借助認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。借這次教材
大規(guī)模修訂，增補(bǔ)了部分更具有生活氣息的情境，如
掃雷游戲、紅綠燈等。但需要說明的是，教材是靜態(tài)
的，教學(xué)是動態(tài)的，在教材真正使用的時候，老師們
可以根據(jù)當(dāng)?shù)氐膶?shí)際情況進(jìn)行情境的更換。
　　三、本章內(nèi)容安排
第一節(jié)：在具體游戲活動的基礎(chǔ)上，回顧小學(xué)
關(guān)于隨機(jī)事件的有關(guān)概念、感受隨機(jī)事件發(fā)生的可
能性是有大有小的。
現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的隨機(jī)事件，教科書先
數(shù)學(xué)課程實(shí)際與探索４
ＪＩＡＯＣＡＩＹＡＮＪＩＵ 教材研究
以學(xué)生喜聞樂見的擲骰子游戲?yàn)楸尘埃?jīng)歷猜測、
試驗(yàn)、收集試驗(yàn)數(shù)據(jù)、分析試驗(yàn)結(jié)果等活動過程，
讓學(xué)生體驗(yàn)生活中有許多事件的發(fā)生是不確定的，
加深對確定事件與隨機(jī)事件，必然事件與不可能事
件等概念的理解，并感受隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有
大有小。同時，初步體會人們一般通過重復(fù)多次試
驗(yàn)來估計事件發(fā)生的可能性大小。
本節(jié)是這次修改教材新增內(nèi)容，目的是承上啟
下，使學(xué)生體會不確定性事件發(fā)生可能性的大小和
利用可能性的大小做一些簡單的決策。
第二節(jié)：通過拋擲圖釘和拋擲均勻的硬幣的試
驗(yàn)，讓學(xué)生感受到頻率的穩(wěn)定性，并得出概率的統(tǒng)
計定義，即用事件發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值作為該事件
發(fā)生的概率。本章內(nèi)容設(shè)計時，先給出概率的統(tǒng)計
定義，是基于下面幾點(diǎn)考慮：首先，可以更深刻地
理解概率的意義。我們說一個事件發(fā)生的概率為
３０％，它的意義就是在大量的重復(fù)試驗(yàn)中，該事件
發(fā)生的頻率穩(wěn)定在３０％。其次，相對于概率的古典
定義，概率的統(tǒng)計定義更具普遍性和一般性。概率
的古典定義是在等可能假設(shè)下的一種理想模型，事
實(shí)上，現(xiàn)實(shí)世界存在大量的非古典概型，所涉及的
事件的概率都不能用古典概率的公式計算，而只要
條件允許，我們總可以通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，用頻
率來估計它。最后，在用試驗(yàn)的方法探究概率的過
程中，可以培養(yǎng)學(xué)生的動手能力，處理數(shù)據(jù)的能力，
增強(qiáng)學(xué)生的統(tǒng)計意識，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是的態(tài)度、
勇于探索的精神和交流協(xié)作的精神。
在本節(jié)最后，通過對特殊例子中頻率穩(wěn)定值的
反思，得出在一些特定的例子中存在等可能的現(xiàn)象，
為下一節(jié)古典概型中理論概率的計算作鋪墊。
本節(jié)從原教材七年級下冊第四章第一節(jié)第２課
時修改而來，主要不同有兩點(diǎn)：
（１）兩個課時分別由拋圖釘 （非等可能）和均
勻的硬幣 （等可能）的活動開始，統(tǒng)計針尖朝上或
正面朝上的次數(shù)和頻率；
（２）明晰頻率的穩(wěn)定性，并從中理解概率的統(tǒng)
計學(xué)定義，以及據(jù)此估計某些隨機(jī)事件發(fā)生的概率。
第三節(jié)：用事件發(fā)生的頻率來估計該事件發(fā)生
的概率，雖然具有普遍性，但這種方法需要進(jìn)行大
量的重復(fù)試驗(yàn)，而且得到的往往只是概率的估計值，
所以教科書從具體的摸球游戲出發(fā)，了解古典概型
的特點(diǎn)和概率計算公式，并利用古典概型的概率計
算公式計算一些事件發(fā)生的概率。進(jìn)一步通過例子，
讓學(xué)生能利用簡單的一步試驗(yàn)的概率解決簡單的問
題，作出決策。這里關(guān)注了問題的變式，關(guān)注了概
率模型的設(shè)計以及一些不同概率問題的等價性。
本節(jié)比原來增加了一個課時，主要是通過試驗(yàn)
與設(shè)計游戲的活動使學(xué)生理解結(jié)果等可能的意義。
第四節(jié)：對幾何背景進(jìn)行適度的分析，將有關(guān)
問題轉(zhuǎn)化為具有等可能基礎(chǔ)的、可能情況有限的古
典概型，也就是說研究可轉(zhuǎn)化為古典概型的幾何概
型。通過對停留在黑磚上的概率的討論，對可轉(zhuǎn)化
為古典概型的幾何概型發(fā)生的概率進(jìn)行簡單的理論
計算，并設(shè)計符合要求的簡單概率模型，進(jìn)一步加
深對概率意義的理解。
本節(jié)也比原來增加了一個課時，主要是增加一
些活動，目的是進(jìn)一步熟悉幾何概型的意義和概率
計算。
　　四、本章教學(xué)建議
１．注重學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念的培養(yǎng)與發(fā)展。對于
隨機(jī)現(xiàn)象，學(xué)生一般都有一些樸素的想法，這些想
法，有的是正確的，有的是錯誤的，在教學(xué)過程中
應(yīng)及時了解并加以引導(dǎo)和糾正。一方面，要讓學(xué)生
親自經(jīng)歷對隨機(jī)現(xiàn)象的探索過程，親自經(jīng)歷猜測、
試驗(yàn)、收集試驗(yàn)數(shù)據(jù)、分析試驗(yàn)結(jié)果等活動過程，
以獲得事件發(fā)生的概率；另一方面，引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)
實(shí)生活中熟悉和感興趣的問題中體會隨機(jī)事件發(fā)生
的概率。了解隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)，了解概率的意義，
樹立一定的隨機(jī)觀念，是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。
２．注重引導(dǎo)學(xué)生積極參與試驗(yàn)過程，親自動手
進(jìn)行試驗(yàn)，經(jīng)歷猜測、試驗(yàn)、收集試驗(yàn)數(shù)據(jù)、設(shè)計
試驗(yàn)、分析試驗(yàn)結(jié)果等活動過程，并在活動過程中
體驗(yàn)如何與他人合作交流。
３．注意從不同角度了解概率意義 （統(tǒng)計定義，
古典概型），體會模型思想。如古典概型就是一個
理想化的概率模型，只要符合古典概型的特征，在
計算時就可以利用古典概型的概率計算公式進(jìn)行。
４．引導(dǎo)學(xué)生從身邊的點(diǎn)點(diǎn)滴滴 （如：天氣預(yù)報
中的降水概率，商場摸獎時中獎的概率等等）去觀
察和體會隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律性，通過身邊大量的實(shí)例
讓學(xué)生對概率形成正確的認(rèn)識，注重讓學(xué)生了解概率
在日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐中的應(yīng)用，進(jìn)一步體會 “數(shù)
學(xué)就在我們身邊”，發(fā)展 “用數(shù)學(xué)”的意識與能力。
數(shù)學(xué)課程實(shí)際與探索 ５

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